19.1.2 二次根式的性质 课件- 2025--2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦二次根式的三个性质，通过“数字猜猜猜”游戏导入，联系算术平方根旧知，以问题链引导学生从具体实例抽象出√a≥0、(√a)²=a及√a²=|a|的核心内容，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以探究活动为主线，通过分类讨论√a²的化简培养推理意识，对比表格清晰区分(√a)²与√a²的联系与区别，融入中考题强化应用。游戏导入激发兴趣，帮助学生深化对性质的理解，教师可借此提升教学效率。

人教版（新教材）数学八年级下册 第十九章 二次根式 19.1.2 二次根式的性质 1 复习引入 2 新知讲解 3 典例讲解 5 课堂检测 4 新知讲解 6 变式训练 7 中考考法 8 小结梳理 学习目录 学习目标 1. 理解二次根式的三个性质 (a≥0) ， (a≥0) 和 (a≥0) . 会运用二次根式的性质进行有关计算和化简. (重点) 2. 通过对 的化简，了解分类讨论的思想；利用乘方与开方互为逆运算推导结论 (a≥0)，感受数学知识的内在联系 . (难点) 3. 经历对二次根式性质的探究活动，感受数学的探索性和创造性，体验发现的快乐. ≥0 ＝ ＝ ＝ 学习目标 数字猜猜猜 游戏规则：老师在心里想一个二次根式，比如 ，提示信息：这个二次根式的值是一个整数，大家来猜一猜 x 可能是哪些数。 如：这个二次根式的值是 2，同学们猜 x 是多少？ 如：这个二次根式的值是 4，同学们猜 x 是多少？ 追问：二次根式的值可以是 －3 吗？ 情景导入 探究点1：≥0(a≥0) 问题1：当 a≥0 时， 表示什么含义？其数值有什么特点？ 当 a＞0 时， 表示 a 的算术平方根，因此＞0； 当 a＝0 时， 表示 0 的算术平方根，因此＝0； 所以当 a≥0 时，≥0 ， 即当 a 是非负数时， 也是非负数. 情景导入 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道： (1) a 为被开方数或式，为保证其有意义，可知 a≥0； (2) 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0. 二次根式的被开方数或式非负 二次根式的值非负 【归纳小结】 二次根式 的双重非负性 探究新知 例1 已知实数 m，n 满足｜m - 2｜+ = 0， 则 m = ，n = . 问题2：我们还学过哪些非负数？ 答：一个数的绝对值；一个数的偶次幂. ∴ m - 2＝0，n - 1＝0. 分析： ∴ m＝2，n＝1. 2 1 探究新知 1. 已知 (x－2)²＋ ＝0，则 xy 的值为 . 【练一练】 2. 若 ＝ 3－x，则 x 的值为 . －2 3 探究新知 问题3：根据算术平方根的意义填空： ; ＝ ; 因此，3. 分析： 是 3 的算术平方根，根据算术平方根的意义， 是一个平方等于 3 的非负数. 3 0.5 0 因此， 同理， 分别是 0.5， ，0，的算术平方根. 探究新知 【知识要点】 注意：不要忽略 a≥0 这一限制条件.这是使二次根式 有意义的前提条件.a 可以是数，也可以是式. 一般地， ＝a (a≥0). 探究新知 例2 计算： 解析： 积的乘方： (ab)2 = a2b2 探究新知 3. 计算： 【练一练】 分数的乘方： 探究新知 探究点3：(a≥0) 问题4：填空： ＝ ； 2 0.1 0 【拓展】当 a＞0 时， 当 a＝0 时， a 0 探究新知 ＝a (a≥0). 即任意一个非负数的平方的算术平方根等于它本身. 一般地，根据算术平方根的意义： 【知识要点】 【思考】当 a 为任意实数时， 都有意义. 如果上式中的 a 为负实数，那么上式还成立吗？为什么？ 不成立. 探究新知 问题5：填空： ＝ ； 2 0.1 猜想： 证明： 当 a＜0 时， = -a ∵ a＜0，∴ -a＞0，则 探究新知 即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值. a (a≥0)， -a (a＜0). 【知识要点】 ＝|a|＝ 问题6：如果 a 是任意实数，那么如何化简 ？ 0 (a＝0)， 探究点3：(a≥0) 探究新知 例3 化简： 探究新知 4. 计算： 【练一练】 探究新知 例4 实数 a、b 在数轴上的对应点如图所示，请你化简： 解：由数轴可知 a＜0，b＞0，a -b＜0， ∴ 原式 = | a | - | b | + | a - b | = - a - b - (a - b) = -2a. a b 探究新知 例5 已知 a、b、c 是△ABC 的三边长，化简： 分析： 利用三角形三边关系 三边长均为正数， a + b + c＞0 两边之和大于第三边， b + c - a＞0，c - b - a＜0 解：∵ a、b、c 是 △ABC 的三边长， ∴ a + b + c＞0，b + c＞a，b + a＞c， ∴ 原式 = | a + b + c| - | b + c - a | + | c - b - a | = a + b + c - ( b + c - a ) + ( b + a - c) = a + b + c - b - c + a + b + a - c = 3a + b - c． 探究新知 从运算顺序看 从取值范围看 从运算结果看 先开方，后平方 先平方，后开方 a≥0 a 取任何实数 a | a | 意义 表示一个非负数 a 的算术平方根的平方 表示一个实数 a 的平方的算术平方根 议一议：如何区别 与 ？ 探究新知 返回 B 中考考法 22 返回 D 中考考法 23 中考考法 24 返回 【点拨】根据数轴可得，b<0，a>0，|b|>|a|, ∴a＋b<0，b－a<0，∴原式＝a－(b－a)＋(a＋b)＝a－b＋a＋a＋b＝3a. 【答案】A 【点思路】结合数轴利用二次根式的性质求值或化简的关键是根据数轴判断字母的取值范围和熟练运用二次根式的性质． 中考考法 25 返回 50 中考考法 26 返回 2c 中考考法 27 返回 2≤x≤3 中考考法 28 【解】原式＝5－24＝－19. 中考考法 29 返回 原式＝8xy. 原式＝|x2＋1|＝x2＋1. 中考考法 30 返回 C 中考考法 31 中考考法 32 返回 【答案】B 中考考法 33 中考考法 34 【答案】B 返回 中考考法 35 返回 中考考法 36 性质 拓展性质 二次根式 ( a 为全体实数 ) ≥0 (a≥0) (a≥0) (a≥0) 课堂小结 谢谢观看！ 1．[2025安徽]下列计算正确的是(　　) A．＝－a　 B．＝－a C．a3·(－a)2＝a4 D．(－a2)3＝a6 2．当a＜2时，化简的值为(　　) A．2 B．a C．a－2 D．2－a 3．[2025重庆长寿区期中]已知实数a，b在数轴上的对应点如图，则化简()2＋－为(　　) A．3a B．2b－a C．a＋2b D．a－2b 【点拨】∵有意义，∴16－n≥0，即n≤16. 又∵是整数，n是自然数，∴n只能是0或7或12或15或16.∴满足条件的自然数n的和为0＋7＋12＋15＋16＝50. 4．若是整数，则满足条件的自然数n的和为________． 【点拨】∵a，b，c是△ABC的三边长，∴a－b＋c>0， a－b－c<0.∴＋＝|a－b＋c|＋|a－b－c|＝a－b＋c＋b＋c－a＝2c. 5．已知a，b，c是△ABC的三边长，化简＋的结果为________． 6．若－|x－2|化简的结果为5－2x，则x的取值范围是________． 7．计算： (1)－(－2)2； (2)－＋3×； 原式＝4－3＋3×＝2. 【解】原式＝－1＋1＋2－(－1)＝3－. (3)(－1)2 025＋(π－3)0＋－； (4)(xy≥0)； (5)． 【点拨】∵是一个整数，∴45n是一个完全平方数． ∵45n＝3×3×5×n，∴n的最小正整数的值是5. 8．若是一个整数，则n的最小正整数的值是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 9．[2025盐城月考]已知p＝＋＋2 026(m，n为两个连续奇数，0<m<n，q＝mn)，则下列对p的表述中正确的是(　　) A．总是奇数 B．总是偶数 C．总是无理数 D．可能是有理数也可能是无理数 【点拨】∵m，n为两个连续奇数，0<m<n，∴n＝m＋2. ∴p＝＋＋ 2 026＝＋＋2 026＝m＋2＋m＋2 026＝2m＋2 028.∵m为奇数，∴2m为偶数．∴p＝2m＋2 028为偶数． 10．若对任何实数x，不等式＋≥a都成立，则a的取值范围是(　　) A．a≥6 B．a≤6 C．0≤a≤3 D．a≥3 【点拨】＋＝＋＝|x＋1|＋|x－5|，由绝对值的几何意义可得，|x＋1|＋|x－5|表示的是数轴上表示数x的点到表示数－1和数5的两个点的距离之和，∴当－1≤x≤5时，|x＋1|＋|x－5|有最小值，最小值为x＋1＋5－x＝6，此时|x＋1|＋|x－5|＝6.∵若对任何实数x，不等式＋≥a都成立，∴＋的最小值要大于或等于a.∴a≤6. 3－ 【点拨】∵16－6＝9＋7－6＝32－2×3×＋()2＝(3－)2，∴16－6的算术平方根是3－. 11．[2025南通模拟预测]阅读材料：由6＋2＝5＋1＋2＝()2＋2××1＋12＝(＋1)2，可知6＋2的算术平方根是＋1．类似地，16－6的算术平方根是________． $