19.1.1二次根式的概念 课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦二次根式的概念、有意义条件及字母取值范围，通过复习平方根和算术平方根性质，结合长方形围栏、自由落体时间等实际问题，引导学生观察式子共同特征，搭建从算术平方根到二次根式的学习支架。 其亮点在于以情境问题驱动概念抽象，培养数学眼光。分类讨论含分式、多个二次根式等情境下的有意义条件，发展数学思维中的推理意识。规范的定义表述和解题流程总结，强化数学语言精确性。学生能夯实基础并提升逻辑思维，教师可直接用于教学提高效率。

人教版（新教材）数学八年级下册 第十九章 二次根式 19.1.1二次根式的概念 1 复习引入 2 新知讲解 3 典例讲解 5 课堂检测 4 新知讲解 6 变式训练 7 中考考法 8 小结梳理 学习目录 学习目标 1. 理解二次根式的概念，会判断一个式子是否为二次根式，感悟利用数学符号表示实际问题的意义. (重点) 2. 掌握二次根式有无意义的条件，领会数学分类讨论思想. (重点) 3. 会求二次根式的被开方数中字母的取值范围，在解题过程中利用不等式（组）模型来培养全面思考问题的正确习惯.(难点) 学习目标 (1) 16 的平方根是什么？16 的算术平方根是什么？ (2) 0 的平方根是什么？0 的算术平方根是什么？ (3) －7 有没有平方根？有没有算术平方根？ (4) 表示什么? 回答下列问题： ±4 4 0 0 没有 没有 7 的算术平方根 情景导入 平方根的性质 (1) 正数有 个平方根且互为 数 (2) 0 的平方根是_____ (3) 负数_____平方根 (4) 非负数 a 的平方根表示为 . 算术平方根的性质 (1) 正数只有____个算术平方根 (2) 0 的算术平方根是___ (3) 负数_____算术平方根 (4) 非负数 a 的算术平方根表示为 . 两 相反 0 没有 没有 0 一 情景导入 自学提示 自学教材第2页： 完成教材思考上提出的问题. 探究新知 思考：用含有根号的式子填空，看一看写出的结果有什么共同特征： (1) 一个长方形的围栏，长是宽的 2 倍，面积为 130 m²，则它的宽为 m. 探究点1：二次根式的概念 解析： 长方形的面积 130＝长(2x)×宽(x) 2x2＝130 x2＝65 探究新知 (2)一个大正方形的面积是一个边长为 a 的正方形与另一个边长为 1 的正方形的面积之和，则大正方形的边长为 . 解析： S大正方形 = a2 ＋1 边长 = 探究点1：二次根式的概念 探究新知 (3) 一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t (单位：s) 与开始落下时离地面的高度 h (单位：m) 的关系近似为 h = 5t2，如果用含有 h 的式子表示 t ，那么 t 为 开始落下的高度 h = 5t2 (t＞0) 解析： h = 5t2 ． 探究新知 问题1 这些式子分别表示什么意义？ 分别表示 65，S， 的算术平方根． ①根指数都为 2; ②被开方数为非负数. 问题2 这些式子有什么共同特征？ 上面问题中，得到的结果分别是： ， ， ． 探究新知 注意：a 可以是数，也可以是式. 两个必备特征 ①外在特征：含有“ ” ②内在特征：被开方数(式) a≥0 二次根式的定义 一般地，我们把形如 (a≥0) 的式子叫作二次根式. 二次根式也是代数式. 探究新知 通过上述的学习，同学们可以自己举出具体的二次根式吗？ 问题3：在二次根式 中，为什么 a 不能是负数？ 因为实数范围内，负数没有算术平方根. 探究新知 例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ 是否含二次根号 被开方数是不是非负数 二次根式 不是二次根式 是 是 否 否 分析： √ √ √ × × √ × × × 探究新知 当 x≥2 时， 在实数范围内有意义. 有意义 例2 当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义? 解：由 x－2≥0，得 x≥2. a≥0 探究新知 练一练：当 x 满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？ x≥3 x≤0 全体实数 x≠0 x＞0 x≥0 探究新知 【变式题1】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1) x≤5. 总结 (1) 单个二次根式如 有意义的条件：A≥0； 探究新知 答案：2≤x≤3. 多个二次根式相加如 有意义的 条件： 总结 探究新知 (3) x＞1. 二次根式要求： x - 1＞0 二次根式作为分式的分母如 有意义的条件： A＞0。 总结 x - 1≥0 分式要求： 探究新知 分式要求：x - 1≠0 二次根式要求：x + 3≥0 二次根式与分式的和如 有意义的条件： A≥0 且 B≠0. 总结 x≥-3 且 x≠1 探究新知 (2) ∵ 无论 x 为何实数，-x2 - 2x - 3 = -(x + 1)2 - 2＜0， ∴ 无论 x 为何实数， 在实数范围内都无意义. 【变式题2】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 解：(1) ∵无论 x 为何实数，-x² + 2x - 1 = -(x - 1)²≤0， ∴ 当 x = 1 时， 在实数范围内有意义. 探究点2：二次根式有意义的条件 探究新知 答：前者 x 为全体实数；后者 x≥0. 归纳:被开方式是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论. 问题 当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？ 探究新知 例3 (1) 当 a＝－2 时，二次根式 的值是 ； (2) 当 a＝ 时，二次根式 的值是 ； (3) 当 a＝4 时，二次根式 的值是 ； 2 3 1 归纳总结：把未知数的值代入二次根数求值，注意化简 探究新知 练一练 (1) 当 x＝－6 时，二次根式 的值是 ； (2) 当 a＝7 时，二次根式 的值是 ； (3) 当 x＝－1 时，二次根式 的值是 . 2 2 探究新知 考试考法 24 考试考法 25 返回 【答案】C 考试考法 26 返回 A 【点拨】由题意得3－x≥0且x－1≠0，解得x≤3且x≠1. 考试考法 27 返回 D 考试考法 28 返回 9 考试考法 29 返回 5．若一个直角三角形的面积为9，它的两条直角边长度之比为2∶3，则这两条直角边的长度分别为________． 考试考法 30 考试考法 31 考试考法 32 返回 【点技巧】含二次根式的式子有意义的条件： (1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；(2)如果所给式子中含有分母，那么除了保证二次根式中的被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 考试考法 33 考试考法 34 考试考法 35 返回 【答案】D 考试考法 36 考试考法 37 返回 【答案】D 考试考法 38 返回 32 km 考试考法 39 概念 二次根式 一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫作二次根式 代入求值 有意义的条件 被开方数大于等于0，即a≥0 若二次根式出现在分母位置时，还需保证分母不为0 数的 算术 平方根 课堂小结 谢谢观看！ 1．[2025周口期中]在式子(x>0)，，(y＝－2)，(x<0)，3, ，，x＋y中，二次根式有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【点拨】(x>0)，，(x<0)，是二次根式；当y＝－2时，y＋1＝－1，∴(y＝－2)没有意义，不是二次根式；3，x＋y不是二次根式，的根指数是3，不是二次根式，∴二次根式有4个． 【点方法】判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“”；(2)被开方数是非负数． 2．在＋中，x的取值范围在数轴上表示为(　　) 3．已知y＝＋－1，则xy的值为(　　) A．－6 B．－ C．6 D． 4．若(2x＋y－5)2＋＝0，则x－y的值是________． 2，3 6．当x是怎样的实数时，下列式子有意义？ (1)；　(2)；　(3)． 【解】(1)无论x为何实数，(x＋1)2都是非负数． 所以不论x取何实数，总有意义． (2)由得x＞3.所以当x＞3时，有意义． (3)由≥0且1－|x|≠0得1－|x|>0，解得－1<x<1. 所以当－1＜x＜1时，有意义． 7．已知点M(x，y)的坐标满足＋＝·，那么将点M先向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度后的坐标为(　　) A．(10，－4) B．(－4，10) C．(6，－4) D．(6，0) 【点拨】由题意得∴x＋y＝6，即＋＝0，∴ ①－②得x＋2y－2＝0， 与x＋y＝6联立得解得 ∴M(10，－4)，将点M先向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度后的坐标为(10－4，－4＋4)，即(6，0)． 8．若a＝2 0252－2 024×2 025，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A．b<a<c B．a<c<b C．c<b<a D．c<a<b 【点拨】a＝2 0252－2 024×2 025＝2 025×(2 025－2 024)＝2 025＝，b＝＝＝＝，c＝＝＝.∵2 0252－1<2 0252<2 0252＋1，∴<<.∴c<a<b. 9．“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为h，观测者视线能达到的最远距离为d，则d≈，其中R是地球半径，约为6 400 km．小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的 高度h为80 m，她观测到远处一艘船刚露出 海平面，则d的值为________． $