1 数列的概念及其函数特性（教学课件）数学北师大版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦数列的概念及其函数特性，以提丢斯-波得定则科学史故事及钢管堆放、GDP数据等生活实例导入，从具体数列抽象出定义，衔接通项公式、函数特性（单调性等）学习，构建“实例-抽象-应用”的学习支架。 其亮点是融合数学建模与逻辑推理，通过邮车装卸邮件实例分析数列增减性，培养数学思维；题型训练涵盖观察归纳、递推求通项等，结合函数图象直观理解，落实数学运算与直观想象。小结系统梳理概念与分类，助学生构建知识体系，教师可直接用于教学，提升课堂效率。

1 数列的概念及其函数特性 第一章 数列 北师大版选择性必修第二册·高二 本章导读 这是科学史上的一个真实故事！ 下面一列数 同学们可能并不在意,但普鲁士天文学家提丢斯(,1729-1796)却把它和下面的表格联系起来,推导出从太阳到行星距离的经验定律，并探明了一些新的行星（或小行星）! 1766年，他发现： 1.每个数恰好是前一个数的2倍； 2.如果把0加在这一列数的最前面，再在每个数上加上4，然后除以10，就得出另一列数 这可不是一列简单的数：第一个数表示了太阳到其最近的行星——水星的近似距离；第二个数表示太阳到金星的近似距离……依此类推，他得到了一张出色的表： 本章导读 注：1天文单位等于太阳到地球的平均距离，约为. 表中留下了一些空格．1781年发现的天王星，差不多恰好处在定律所预言的轨道上．于是，天文学家们开始在距离太阳约为2.8天文单位的区域寻找一个尚未被发现的行星．1801年意大利天文学家皮亚齐（,1746-1826）果然在这个距离发现了谷神星，它与太阳的近似距离为2.7天文单位，预测偏差约为. 上面所说的一列数就是一个数列． 本章主要学习有关数列的基本知识，建立等差数列和等比数列两种模型，探索它们的基本数量关系，感受它们的应用，提升数学运算、数学建模、逻辑推理等核心素养． 距离/天文单位 行星 水星 金星 地球 火星 ？ 木星 土星 ？ ？ 实际距离 0.39 0.72 1.0 1.52 ？ 5.2 9.5 ？ ? 计算距离 0.4 0.7 1.0 1.6 2.8 5.2 10.0 19.6 本章导读 1.2等差数列 等差数列的概念与通项公式 等差数列的前n项和公式 1.4数列的应用 数列在日常经济生活中的应用 数列的其他应用 1.3等比数列 等比数列的概念与通项公式 等比数列的前n项和公式 1.5数学归纳法 1.1数列的概念及其函数特性 数列的概念 数列的函数特性 学 习 目 标 1 2 3 理解数列的定义，能区分数列的项与项数，会用通项公式表示简单数列，并能根据通项公式求出数列的指定项.  掌握数列的函数本质，明确数列是定义域为正整数集（或其有限子集）的函数，能结合函数的单调性分析数列的增减性. 能根据数列的前几项归纳猜想其通项公式，体会从特殊到一般的数学思想，提升观察、分析和归纳推理的能力. 读教材 阅读课本P1-P6，5分钟后完成下列问题： 1.什么是数列？生活中哪些实例可以构成数列？ 2.已知数列的通项公式如何求每一项呢？ 3.数列有哪些函数特性呢？ 我们一起来探究“数列的概念及其函数特性”吧！ 新课引入 在日常生活和数学学习中，我们经常遇到这样的一组组数据： ①正整数的倒数： ②堆放的钢管各层数量：（从下往上数） ③每年的国内生产总值：假设2020年为，2021年为，2022年为，… ④2的正整数次幂： 这些数据的共同特点是“按一定顺序排列”，这就是我们今天要研究的“数列”。早在古代，数列就被广泛应用于历法推算、工程计算等领域，如今更是在金融、计算机算法、数据分析等领域发挥着关键作用 学习过程 01 02 目录 1 数列的概念 3 题型训练 03 2 数列的函数特性 实例分析 我们来看下面的例子： (1)一个工厂把所生产的钢管堆成右图的形状． 从最上面的一排起，各排钢管的数量依次是 (2)我国国内生产总值从2013年的60万亿元增长到了2022年的123万亿元．下图呈现的是中华人民共和国国家统计局官网发布的数据． 2013年﹣2022年我国国内生产总值依次排列为 实例分析 (3)如下图，正弦函数的图象在轴左侧所有最低点从右向左，它们的横坐标依次排成一列数为 (5)重庆市渝北区某肉兔养殖场的兔舍内始终保持着的恒温．2023年第一周该养殖场兔舍内每日的温度（单位：）依次排列为 (4)对于所有正奇数，将其倒数依次排成一列数为 抽象概况 按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项．数列的一般形式可以写成 或简记为数列，其中是数列的第1项，也叫数列的首项；是数列的第项，也叫数列的通项． 像数列①,②,⑤这样的项数有限的数列，称为有穷数列；像数列③,④这样的项数无限的数列，称为无穷数列. 数列的概念 实例分析 可以看出，这个数列的每一项的序号与这一项的对应关系可用如下公式表示： . 于是，只要依次用序号代替公式中的，就可以求出该数列相应的项．实际上，对任意数列，其每一项的序号与该项都有对应关系，见下表. 因此，数列也可以看作定义域为正整数集（或其子集）的函数． 序号 1 2 3 4 n 项 上面的数列④中，每一项的序号与这一项有下面的对应关系： 序号 项 抽象概况 如果数列的第项与之间的函数关系可以用一个式子表示成，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式． 注意： (1)不是所有数列都能写出通项公式． (2)通项公式的形式也不是唯一的． 数列的通项公式 例题剖析 【例1】根据下面数列的通项公式，分别写出各数列的前5项． (1) 解: （1）在通项公式中依次取，得到数列的前5项为 (2）在通项公式中依次取，得到数列的前5项为 例题剖析 【例2】写出下面各数列的一个通项公式. (1) (2) (3) (4) 解:(1)观察知，这个数列的前4项都是序号的2倍加1，所以它的一个通项公式为; (2)这个数列的前4项可以写成，所以它的一个通项公式为; (3)这个数列的前4项可以写成，所以它的一个通项公式为. (4)这个数列的前4项可以写成，所以它的一个通项公式为. 学习过程 01 02 目录 1 数列的概念 3 题型训练 03 2 数列的函数特性 实例分析 可以把一个数列视作定义在正整数集（或其子集）上的函数，因此可以用图象（平面直角坐标系内的一串点）来表示数列，图象中每个点的坐标为 这个图象也称为数列的图象． 图1是数列①:的图象； 图2是数列④:的图象； 图3是数列⑤:的图象． 从图中可以看出，数列的图象是由一些点组成的，数列①对应的函数图象是上升的，数列④对应的函数图象是下降的，数列⑤对应的函数图象，这些点在与轴平行的一条直线上. 图1 图2 图3 抽象概况 一般地，一个数列，如果从第2项起，每一项都大于它的前一项，即，那么这个数列叫作递增数列. 如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即，那么这个数列叫作递减数列． 如果数列的各项都相等，那么这个数列叫作常数列． 数列的函数特性 例题剖析 【例3】写出下面数列的一个通项公式，并判断数列的增减性. (1) (2) 解:（1）可以作为这个数列的一个通项公式，那么 , , 所以，因此数列是递减数列． (2)可以作为这个数列的一个通项公式，那么 所以,因此数列是递增数列. 例题剖析 【例4】一辆邮车每天从地往地运送邮件，沿途（包括）共有8站．从地出发时，装上发往后面7站的邮件各1件，到达后面各站后卸下前面各站发往该站的邮件，同时装上该站发往后面各站的邮件各1件．试写出邮车在各站装卸完毕后剩余邮件数所成的数列，画出该数列的图象，并判断该数列的增减性. 解：将之间所有站按1,2,3,4,5,6,7,8依次编号，通过计算，上面各站剩余邮件数依次排成数列：根据题意，列下表. 该数列的图象如右图.在该数列中， 从到递增，从到递减． 因此，它既不是递增的，也不是递减的． 站号 1 2 3 4 5 6 7 8 剩余邮件数 7 12 15 16 15 12 7 0 学习过程 01 02 目录 1 数列的概念 3 题型训练 03 2 数列的函数特性 题型训练 题型一 数列的概念及辨析 【练习1】(多选)下列给出的命题中正确的有（ ） 数列1,2,3,4和数列1,3,4,2是相同数列 数列的一个通项公式是 已知数列的通项公式为,则110是该数列的第11项 数列1,3,5,7可以表示成 解：对于选项，根据数列的定义，数列具有顺序性，所以选项错误； 对于选项，将代入通项公式，得到的数列是，所以选项正确； 对于,令，解得或(舍去)，所以110是该数列的第11项,所以选项正确； 对于，不可以表示数列，故错误. 题型训练 题型二 观察法归纳通项公式 【练习2】根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式. (1； (2 (3). an＝2n＋1 根据数列的前几项求通项公式时应考虑 (1)分式中分子、分母的特征． (2)相邻项的变化特征． (3)拆项后的特征：把数列的项分成变化的部分和不变的部分． (4)各项的符号特征,可通过或调节 题型训练 题型二 观察法归纳通项公式 解：(1)符号可通过或调节，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为． (2)观察各项的特点：每一项都比2的n次幂多1，所以an＝2n＋1. (3)把原数列改写成分母依次为而分子为周期性出现，因此原数列的一个通项公式为. 题型训练 题型二 观察法归纳通项公式 【练习3】如图，在的单位正方形网格中，阴影相连的正方形个数依次为1，5，9，13，则下一阴影相连的正方形个数为________，阴影相连的正方形个数构成的数列{an}的一个通项公式为an＝________． 解：从阴影相连的正方形个数依次为1，5，9，13看出，从第2项起每一项比它的前一项多4，故下一阴影相连的正方形个数为13＋4＝17，且a2＝5＝a1＋4，a3＝9＝a1＋2×4，a4＝13＝a1＋3×4，a5＝17＝a1＋4×4，根据上述规律得an＝a1＋(n－1)×4＝1＋(n－1)×4＝4n－3. 题型训练 题型三 由递推关系求通项公式 【练习4】写出下面各数列的通项公式． (1)a1＝2，an＋1＝an＋n＋1； (2)a1＝1，an＋1＝an； 已知数列的递推关系求通项公式的常用方法 (1)当出现时，用累加法求解． (2)当出现时，用累乘法求解． 题型训练 题型三 由递推关系求通项公式 (2)由题设知则 ,又a1＝1，则故当时，又a1＝1满足上式，故 解：(1)由题意得，当时，， 所以 又a1＝2=,满足上式.因此 题型训练 题型三 由递推关系求通项公式 【练习5】在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋则 解：因为an＋1－an＝ln＝ln(n＋1)－ln n， 所以a2－a1＝ln 2－ln 1， a3－a2＝ln 3－ln 2， a4－a3＝ln 4－ln 3， …， an－an－1＝ln n－ln(n－1)(n≥2)， 把以上各式相加得an－a1＝ln n－ln 1， 则an＝2＋ln n(n≥2)，又a1＝2也满足此式，因此an＝2＋ln n(n∈N*)． 题型训练 题型四 数列的最大(小)项 【练习6】(多选)已知数列{an}的通项公式为 则下列说法正确的是(　 　) A．a1是数列{an}的最小项 B．a4是数列{an}的最大项 C．a5是数列{an}的最大项 D．当时，数列{an}是递减数列 解：假设第项为的最大项，即 又n∈N＋，所以n＝4或n＝5， 故在数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝，当n≥5时，数列{an}是递减数列． 题型训练 题型五 数列的单调性 【练习7】已知函数f (x)＝，设数列{an}的通项公式为an＝f(n)，其中n∈N＋. (1)求a2的值； (2)求证：1≤an<2； (3)判断{an}是递增数列还是递减数列，并说明理由． 解决数列的单调性问题的方法 (1)用作差比较法，根据的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列； (2)用作商比较法，根据(an>0或an<0)与1的大小关系进行判断； (3)结合相应函数的图象直观判断． 题型训练 题型五 数列的单调性 解：(1)由题意可知，所以 (2)证明：由(1)知因为为正整数，所以 ,所以1≤an<2. (3)是递增数列．理由如下：，所以是递增数列. 题型训练 题型六 根据数列的单调性求参数 【练习8】已知数列的通项公式为，若是递增数列，则实数的取值范围是_________． 解：由题意得，即.化简得，，所以. 【练习9】已知数列中，若对任意的，都有成立，求的取值范围． 解：已知对任意的，都有成立， 结合函数的单调性，可知即即的取值范围为(－10，－8). (－10，－8) 题型训练 题型六 根据数列的单调性求参数 【练习10】已知数列若对于任意都有，则实数的取值范围为( ) .( 解：因为对于任意都有,所以数列单调递减，可得, 当1时，若,单调递减，而时，单调递减，只需，解得当时，若, 单调递增，不符合题意，综上：实数的取值范围为(.故选： 课堂小结   1、按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项，其中是数列的第1项，也叫数列的首项；是数列的第项，也叫数列的通项． 2、项数有限的数列，称为有穷数列；项数无限的数列，称为无穷数列. 3、不是所有数列都能写出通项公式；通项公式的形式也不是唯一的． 4、按照数列的每一项随序号变化的情况可分为：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列． 感谢聆听! $