6.2 黄金分割 （同步练习题） 2025-2026学年苏科版数学九年级下册

6.2 黄金分割 同步基础练习题 一．选择题 1．一本书的宽与长之比为黄金比，书的宽为14cm，则它的长为（　　） A．（77）cm B．（21﹣7）cm C．（77）cm D．（721）cm 2．如图△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CD是角平分线，则△DBC的与△ABC的面积之比是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在△ABC中，点D是线段BC的黄金分割点（DC＞BD），若△ABD的面积是22，则△ABC的面积是（　　） A．4 B．3 C．6 D．22 4．宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：如图，作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连接EF，DF，作∠DFC的平分线，交AD的延长线于点H，作HG⊥BC，交BC的延长线于点G，则下列矩形是黄金矩形的是（　　） A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH 5．点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，下列说法正确的有（　　） ①ACAB，②ACAB，③AB：AC＝AC：BC，④AC≈0.618AB A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b＞a） 以及实数x（0＜x＜1）确定实际销售价格c＝a+x（b﹣a），这里x被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x恰好使得，据此可得，最佳乐观系数x的值等于（　　） A． B． C． D． 7．黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算1的值（　　） A．在1.1和1.2之间 B．在1.2和1.3之间 C．在1.3和1.4之间 D．在1.4和1.5之间 8．如图，点O为正五边形ABCDE外接圆的圆心，五边形ABCDE的对角线分别相交于点P，Q，R，M，N．若顶角等于36°的等腰三角形叫做黄金三角形，那么图中共有（　　）个黄金三角形． A．5 B．10 C．15 D．20 9．如果一个矩形的宽（即短边）与长（即长边）之比是，那么这个矩形称为黄金矩形．如图，矩形ABCD是黄金矩形，点E、F、G、H分别为线段AD、BC、AB、EF的中点，则图中黄金矩形的个数是（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 10．如图所示，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BCAC，以点B为圆心，BC长为半径做弧，交AB于点D，再以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AC于点E，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 二．填空题 11．已知宽与长之比为的长方形称为黄金矩形，若某长方形为黄金矩形，它的长为4，则它的宽为　 　 ． 12．若点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），AP＝2，则AB＝　 　 ． 13．黄金分割是汉字结构最基本的规律．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB∥NP，“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，且AC＜BC，若NP＝2cm，则BC的长为　 　 cm（结果保留根号）． 14．黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等领域，树叶的叶脉也蕴含着黄金分割（黄金比为．如图，B为AC的黄金分割点（AB＞BC），AC的长为4cm，则AB的长为　 　 cm．（用根号表示） 15．黄金分割点是指一条线段被分为两部分，使较长部分与整体线段的比值等于较短部分与较长部分的比值的点．20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，BE＞AE．已知AB为2米，则线段BE的长为　 　 米．（结果保留根号） 16．“黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为8cm，四个黄金分割点组成的正方形的边长为　 　 ． 三．解答题 17．在人体躯干和身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即（下半身长m与身高l）比例越接近0.618越给人以美感，某女士身高165cm，下半身长（脚底到肚脐的高度）与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应该选择约多少厘米的高跟鞋看起来更美．（结果保留整数） 18．如图，点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，S1表示AE为边长的正方形面积，S2表示以BC为长，BE为宽的矩形面积，S3表示正方形ABCD除去S1和S2剩余的面积，求S3：S2的值． 19．（1）如图所示，已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），试用一元二次方程的求根公式验证黄金比． （2）如图所示，在（1）的条件下，取线段AC的黄金分割点C1（AC1＞CC1），判断点C1是否为线段AB的另一黄金分割点，并说明理由． （3）如图所示，在（2）的条件下，再取线段AC1的黄金分割点C2（AC2＞C2C1），并且AB＝1，试用的正整数次幂的形式表示线段BC，CC1，C1C2的长度． （4）已知，试求以下代数式的值（只要求直接写出结果）：　 　 ． 20．如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，可以采用下面的方法： 第一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平． 第二：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM和线段BN． （1）请问图中∠1、∠2和∠3有什么关系？证明你的结论． （2）在第（1）题图中，延长BN交AD于G，过G点作GH⊥BC于点H，得出一个以DG为宽的黄金矩形GHCD（黄金矩形就是符合黄金比例的矩形，即宽与长的比值为），若已知AB＝4，求BC的长． 21．再读教材： 宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：MN＝2） 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图③中所示的AD处． 第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图④中就会出现黄金矩形． 问题解决： （1）图③中AB＝　 　 （保留根号）； （2）如图④中的黄金矩形是：　 　 ． （3）请写出图④中的一个黄金矩形，说明理由． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D C C D B D C C 二．填空题 11．． 12．． 13．． 14．（）． 15．． 16．． 三．解答 17．解：根据已知条件可知： 下半身长是165×0.6＝99（厘米）， 设需要穿的高跟鞋为y厘米，则根据黄金分割定义，得 0.618， 解得：y≈8， 经检验y≈8是原方程的根， 答：她应该选择大约8厘米的高跟鞋． 18．解：如图，设AB＝1， ∵点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB， ∴AE＝GF， ∴BE＝FH＝AB﹣AE， ∴S3：S2＝（GF•FH）：（BC•BE） ＝（）：（1） ． 故答案为：． 19．解：（1）设AB＝1，AC＝x，则有BC＝1﹣x， ∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC）， ∴， ∴AC2＝BC•AB， ∴x2＝（1﹣x）×1 整理得：x2+x﹣1＝0， 解得x1，x2（舍去负值）， ∴AC， ∴． （2）点C1是线段AB的另一黄金分割点，理由如下： ∵点C1 是线段AC的黄金分割点（AC1＞CC1）， ∴， ∴AC1AC＝（）2， ∴BC1＝AB﹣AC1＝1﹣（）2＝1， ∴， ∴点C1是线段AB的另一黄金分割点． （3）∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC）， ∴， ∵AB＝1， ∴AC， BCAC＝（）2， ∵点C1 是线段AC的黄金分割点（AC1＞CC1）， ∴， ∴AC1AC＝（）2， CC1AC1＝（）3， ∵点C2是线段AC1的黄金分割点（AC2＞C2C1）， ∴， ∴C2A＝（）3， C1C2AC2＝（）4， ∴线段BC，CC1，C1C2的长度为：（）2，（）3，（）4； （4）由以上证明可得以下规律： BC＝AC1，CC1＝AC2，C1C2＝AC3，…， ∁nCn+1＝ACn+2 （n为正整数）． CC1＝（）3， C1C2＝（）4，…， ∁nCn+1＝（）n+3 （n为正整数）． ∴ ＝BC+CC1+C1C2+C2C3+…+C10C11 ＝BC11 ＝AB﹣AC11 ＝AB﹣C9C10 ＝1﹣（）12 ＝1﹣[（）2]6 ＝1﹣（）6 ＝1﹣[（）2]3 ＝1﹣（）3 ＝1﹣（）2×（） ＝1﹣（）×（） ＝1﹣（161﹣72） ＝72160． 故答案为：72160． 20．解：（1）如图，连接AN， 由折叠可得：∠1＝∠2，AB＝NB，EF垂直平分AB， ∴NA＝NB， ∴AB＝NA＝NB， ∴△ABN为等边三角形， ∴∠ABN＝60°， ∴∠1＝∠2＝30°． ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ABC＝90°， ∴∠3＝∠ABC﹣∠NBC＝90°﹣60°＝30°； ∴∠1＝∠2＝∠3； （2）如图： ∵ABCD是矩形纸片，GH⊥BC， ∴AB＝GH＝DC＝4， ∵黄金矩形GHCD以DG为宽，GH＝4， ∴， ∴， ∵∠1＝∠2＝∠3＝30°， ∴BG＝2GH＝8， 由勾股定理得， ∴． 21．解：（1）∵四边形MNCB是正方形， ∴NC＝MN＝2， 由折叠的性质得：ACNC＝1， 在Rt△ABC中，AB， 故答案为； （2）矩形BCDE，矩形MNDE； 故答案为：矩形BCDE，矩形MNDE； （3）∵AD＝AB，AN＝AC＝1， ∴CD1，ND1， ∴， 故矩形BCDE是黄金矩形； ∴， 故矩形MNDE是黄金矩形． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/18 23:34:05；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $