专题7.6 函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质（高效培优讲义）数学苏教版2019高一必修第一册

本讲义聚焦高中数学函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质，系统梳理参数A、ω、φ对图象的影响，通过平移、伸缩变换构建与正弦函数的联系，结合五点法作图形成从基础到拓展的知识支架。 资料以“即学即练+典例变式”设计，通过五点法作图培养学生几何直观（数学眼光），图象变换步骤训练逻辑推理（数学思维），性质应用题型强化模型意识（数学语言）。课中助力教师分层教学，课后帮助学生巩固薄弱环节，提升知识应用能力。

专题7.6 函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质 教学目标 1. 结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义，能借助计算器或计算机画出该函数的图象，观察并研究参数A，ω，φ对函数图象变化的影响． 2. 会用“五点法”画出函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图． 3. 能由正弦曲线通过平移、伸缩变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，并在这个过程中认识到函数y＝sinx与y＝Asin(ωx＋φ)的联系 4.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质． 教学重难点 1.重点 由正弦曲线通过平移、伸缩变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象；函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质; 2.难点 函数y＝sinx与y＝Asin(ωx＋φ)的联系;函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质的运用. 知识点01 函数y=Asin(ωx+φ)的图象 φ,ω, A对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响 (1)φ对的图象的影响 函数（其中φ≠0）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移|φ|个单位长度而得到(可简记为“左加右减”). (2)对的图象的影响 函数的图象，可以看作是把的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到. (3)对的图象的影响 函数的图象，可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到. (4)由函数的图象得到函数的图象 以上两种方法的图示如下： 【即学即练】 1．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 x 0 5 0 根据表格中的数据，函数的解析式可以是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数最值，可求得A值，根据周期公式，可求得值，代入特殊点，可求得值，即可得答案. 【解析】由题意得最大值为5，最小值为-5，所以A=5， ，解得，解得， 又，解得， 所以的解析式可以是 故选：A. 2．利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间的简图. 列表:   x y 作图:    （2）并说明该函数图象可由的图象经过怎么变换得到的. 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析. 【解析】（1）先列表，后描点并画图. 0 x y 0 1 0 0    （2）把的图象上所有的点向左平移个单位，得到的图象， 再把所得图象的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象. 知识点02 函数y=Acos(ωx+φ)的图象 类似于正弦型函数，余弦型函数的图象的画法有以下两种. (1)“五点法”，令，求出相应的x值及y值，利用这五个点，可以得到 在一个周期内的图象，然后再把这一段上的图象向左向右延伸，即得的图象. (2)“变换作图法”的途径有两种. 一是类似于正弦型函数的变换作图法，可由的图象通过变换作图法得到 (ω>0,A>0)的图象，即： 二是由诱导公式将余弦型函数转化为正弦型函数，即 ，再由的图象通过变换作图法得到的图象即可. 【即学即练】 1．为了得到的图象，只要把的图象上所有的点（  ） A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度 【答案】A 【解析】将变形为 对于函数，要得到的图象，根据“左加右减”的原则，需要将的图象上所有的点向右平行移动个单位长度。 只要把的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，就可得到的图象. 故选：A. 2．已知函数 (1)填写下表，并用“五点法”画出在上的图象； x 0    (2)将的图象向下平移1个单位，横坐标扩大为原来的4倍，再向左平移个单位后，得到的图象，求的对称中心． 【答案】(1)表格见解析，图象见解析；(2) 【解析】（1） x 0 0 0 （2）的图象向下平移1个单位得的图象， 横坐标扩大为原来的4倍得，， 再向左平移个单位后，得， 令，得， 所以函数的对称中心为 知识点03 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质: 函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0) 定义域 R 值域 [－A，A] 周期 T＝ 对称轴方程 由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得 对称中心 由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得 单调性 增区间由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)求得， 减区间由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)求得 注:(1)正弦、余弦型函数奇偶性的判断方法 正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇偶性．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；对于函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数． (2)与正弦、余弦型函数有关的单调区间的求解技巧 ①结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． ②确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间． 【即学即练】 1．函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若函数是奇函数，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数的图象向左平移个单位得到函数的图象， 可得. 因为函数的定义域为，且是奇函数， 所以，即， 即， 即，所以. 故选：B 2．某同学用“五点法”画函数 在某一周期，内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： ωx+φ 0 x 0 0 0 (1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式和单调递减区间； (2)若函数 求函数在上的最小值. 【答案】(1)见解析；；；(2) 【分析】（1）根据五点法完成表格，根据五点法即可求和单调减区间； （2）由三角恒等变换得，由得，进而求得. 【解析】（1）由题意有： ωx+φ 0 x 0 0 0 由五点法得：，单调减区间为； （2）， 由有：， 所以当时，， 所以在上的最小值为. 题型01 “五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)或者y=Acos(ωx+φ)的图象 【典例1】已知函数，．在用“五点法”作函数的图象时，列表如下： x 完成上述表格，并在坐标系中画出函数在区间上的图象；    【答案】填表见解析；作图见解析 【分析】由五点作图法的步骤：列表（此题找特殊点），描点，连线（用一条光滑的曲线连接）. 【解析】由题意列出以下表格： 0 x 0 0 2 0 函数图象如图所示：    用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设，由z取来求出相应的，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象． 【变式1】用五点法作函数的图像时，得到如下表格： x 0 π 2π y 0 4 0 0 则A，ω，φ的值分别为（  ） A．4，2， B．4，， C．4，2， D．4，， 【答案】A 【分析】利用的图像与性质，再结合图表中的数据即可求出结果. 【解析】根据图像表格，易知,，又，得到， 又由图像表格及的图像与性质知，，得到. 故选：A. 【变式2】已知函数. (1)利用“五点法”完成下面表格，并画出在区间上的图象； 0 (2)解不等式. 【答案】(1)答案见解析；(2) 【解析】（1）由题意，列表如下： 0 画出在区间上的图象如图： （2）不等式，即，所以， 所以，即， 故的解集为. 题型02 三角函数间的图象变换 【典例1】（1）要得到函数的图象，只需将的图象（  ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】B 【分析】借助正弦型函数平移的特征计算即可得.. 【解析】由题意可得的图象向右平移个单位可得，故B正确. 故选：B. （2）将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移是（  ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】D 【解析】设平移距离为，将函数图象上的各点的横坐标平移个单位， 可得， 因为，则， 即，当时，可得，所以D正确. 故选：D． A，ω，φ对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响: （1）φ对函数图象的影响（平移变换） 函数（其中）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左（当时）或向右（当时）平移个单位长度而得到（可简记为“左加右减”）. φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位. （2）对函数图象的影响（周期变换） 函数的图象，可以看作是把的图象上所有的点的横坐标缩短（当）或伸长（当时）到原来的（纵坐标不变）而得到. ω决定了函数的周期 （3）对函数图象的影响（振幅变换） 函数的图象，可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长（当时）或缩短（当时）到原来的倍而得到. 【变式1】要得到函数的图象，可以将函数的图象（  ） A．向左平移个单位长度而得到 B．向右平移个单位长度而得到 C．向左平移个单位长度而得到 D．向右平移个单位长度而得到 【答案】A 【分析】根据正弦函数图象变换的性质，结合函数的解析式进行判断即可. 【解析】因为， 所以将函数的图象向左平移个单位长度而得. 故选：A. 【变式2】已知曲线，，则（  ） A．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 B．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 C．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 D．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 【答案】A 【分析】根据给定的函数，利用三角函数图象变换，结合诱导公式逐项分析判断. 【解析】对于A，所得曲线为，A正确； 对于B，所得曲线为，B错误； 对于C，所得曲线为，C错误； 对于D，所得曲线为，D错误. 故选：A. 【变式3】为了得到的图象，只要把的图象向左平移（  ）个单位长度 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数图象变换结合诱导公式逐项分析判断. 【解析】对于选项A：若把的图象向左平移个单位长度， 可得， 不合题意，故A错误； 对于选项B：若把的图象向左平移个单位长度， 可得， 符合题意，故B正确； 对于选项C：若把的图象向左平移个单位长度， 可得， 不合题意，故C错误； 对于选项D：若把的图象向左平移个单位长度， 可得， 不合题意，故D错误； 故选：B. 【变式4】（多选）为了得到函数的图象，只需要将的图象上所有的点（  ） A．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．把横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 【答案】AC 【解析】对于A，将的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的解析式为， 再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 所得图象对应的解析式，故A正确. 对于B，将的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的解析式为， 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， 所得图象对应的解析式，故B错误. 对于C，将图象上的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 所得图象对应的解析式为，再向右平移个单位长度， 所得图象对应的解析式，故C正确. 对于D，将的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的解析式为， 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， 所得图象对应的解析式，故D错误. 故选：AC. 题型03 求图象变化前（后）的解析式 【典例1】已知函数，将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移变换的性质即可求解. 【解析】将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得到， 故， 故选：B 三角函数图象变换中的三个注意点: ①变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数； 例如：或 ②要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数图象，得到的是哪个函数图象，切不可弄错方向； ③要弄准变换量的大小，特别是平移变换中 函数y＝Asin x到y＝Asin(x＋φ)的变换量是|φ|个单位， 函数y＝Asin ωx到y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是个单位． 【变式1】把函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点横坐标放大到原来的2倍，则所得函数的解析式为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象平移过程写出对应解析式. 【解析】函数的图象向左平移个单位长度，即的图象， 再把图象上各点的横坐标放大到原来的2倍，得的图象． 故选：B. 【变式2】把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由的图象逆向变换即可得的解析式. 【解析】将图象上所有点向右平移个单位长度，得函数的图象， 再把函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变， 得，即. 故选：C. 【变式3】把函数的图象向左平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可以得到函数的图象，则的图象与直线的交点个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据三角函数图象的伸缩以及平移变换可得到函数的解析式，作出函数以及的图象，数形结合，即可得答案. 【解析】由题意将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 得到的图象，再将该图象向右平移个单位长度， 得到函数的图象， 即， 作出以及的图象，如图，    由图象可知的图象与直线的交点个数为3， 故选：C 题型04 由部分图象求函数的解析式 【典例1】已知函数的部分图象如图所示，将图象上的所有点向左平移个单位长度得到的函数表达式可以是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由最高点得到，由相邻零点得到周期进而得到，再代入一个上升零点得到，从而得到解析式，由图象平移结合诱导公式得到平移后的解析式. 【解析】由最高点知， 因为与轴相邻交点的横坐标分别为和，所以即， 所以 将代入得， 所以， 因为，所以，所以， 图象上的所有点向左平移个单位长度得到， 故选：D. 确定函数（）的解析式的步骤: （1）求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则，． （2）求，确定函数的周期，则． （3）求，常用方法有 ①代入法：把图象上的一个已知点代入（此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上）或把图象的最高点或最低点代入． ②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口． 【变式1】函数（，，）的部分图象如下图，则下列选项中为的图象的对称中心的有（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图象知，又，，， 由图象可知，，得，， ，，， 首先对称中心的纵坐标为1，故排除C，D， 令，，得，，当时，，即A错B对. 故选：B. 【变式2】（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（  ）    A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由图象可知：，周期，故． 由，解得， 故函数，选项A正确； 选项B，，B错误； 选项C，，C正确； 选项D，，D错误． 故选：AC． 【变式3】（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（  ）    A． B．将的图象上所有点横坐标变为原来2倍，再向左平移个单位，得到的图象，则 C．的对称中心为， D．若，且，则 【答案】AD 【分析】根据函数图象确定相关参数，可求出函数解析式，判断A；利用正弦函数图象平移变换可判断B；根据正弦函数的对称性可判断C；对于D，结合已知利用换元法推出，代入求值，即可判断. 【解析】由图知，故， 又过点，且该点在函数增区间上，故， 则，则，结合，则， 故，A正确； 将的图象上所有点横坐标变为原来2倍，可得的图象， 再向左平移个单位，得到的图象，则，B错误； 令，则， 即的对称中心为，，C错误； 因为，且，令， 则，则， 则， 故，D正确， 故选：AD. 题型05 结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 【典例1】（多选）将函数的图象向右平移个单位长度，在纵坐标不变的情况下，再把平移后的函数图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则函数所具有的性质是（  ） A．图象关于直线对称 B．曲线与直线的所有交点中，相邻交点距离的最小值为 C．的一个单调递增区间为 D．图象关于点成中心对称 【答案】BC 【解析】因为， 所以向右移个单位得函数解析式为， 又图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象， 所以， 对于A，因为，所以直线不是图象的对称轴，故A错误； 对于B，因为， 所以由函数图象性质可知曲线与直线的所有交点中， 相邻交点距离的最小值为，故B正确； 对于C，令， 所以当时的单调递增区间为，故C正确； 对于D，因为，所以直线不是图像的对称中心，故D错误. 故选：BC. 求函数周期、最值、单调区间的方法步骤： ①利用公式求周期； ②根据自变量的范围确定的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值； ③根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数或的单调区间． 【变式1】将函数的图象向右平移个单位长度后得到曲线．若曲线关于原点对称，则的最小值是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将函数的图象向右平移个单位长度后函数解析式为： ，即， 又因为曲线关于原点对称，所以，， 解得，，因为，所以当时，取得最小值， 的最小值是. 故选：C 【变式2】已知函数的图像关于直线对称，且图像上相邻最高点的距离为，将函数的图像向右平移个单位后，得到的图像，则的单调递减区间为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为的图像上相邻最高点的距离为，所以的最小正周期，从而． 又的图像关于直线对称，所以， 因为，所以，所以， 所以，将的图像向右平移个单位后，得到， 所以， 当， 即时，单调递减． 因此的单调递减区间为，故D正确. 故选：D. 【变式3】（多选）已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则（  ） A．函数的周期为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上的最小值为 【答案】AD 【解析】，， 故数的周期为，A正确， 对于B. 函数，故不关于直线对称，B错误， 对C. 当则，故函数在区间不是单调递减，C错误， 对于D. 则，故当时，取最小值故D正确， 故选：AD 【变式3】已知函数，若将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若函数为奇函数，则的最小值是___________ 【答案】 【解析】由题意， 因为函数为奇函数，所以，， 又，所以当时，有最小值是. 故答案为： 题型06 三角函数图象与性质的综合应用 【典例1】已知函数（其中常数）的最小正周期为． (1)求函数的表达式； (2)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围； (3)将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若实数满足，且的最小值是，求的值． 【答案】(1)；(2)；(3)或 【解析】（1）， 因为的最小正周期为，且， 所以即，所以． （2）因为，所以． 所以，令． 又在上有解， 所以在上有解， 所以． （3）由题意可知：， 因为， 所以中有一个为1，另一个为， 因为的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，且的最小值是， 所以，所以，或， 因此的值为或． 研究函数性质的基本策略: （1）借助周期性：研究函数的单调区间、对称性等问题时，可以先研究在一个周期内的单调区间、对称性，再利用周期性推广到全体实数． （2）整体思想：研究当时的函数的值域时，应将看作一个整体，利用求出的范围，再结合的图象求值域． 【变式1】（多选）函数（，，）在一个周期内的图象如图所示，且函数过点，则（  ） A． B． C．在区间上单调递增 D．为奇函数 【答案】BC 【解析】由图象可知：，所以， 由，故A选项错误； 由图象可知：， 即，所以， 解得：， 又，所以，故B选项正确； 因为函数过点，所以， 所以函数， 由，所以， 又在上单调递增， 故在区间上单调递增， 故C选项正确； 因为， 所以， 令， 由的定义域为关于坐标原点对称 但是， 所以不是奇函数，即函数不是奇函数， 故D选项不正确. 故选：BC. 【变式2】（多选）函数.的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（  ） A.函数的图象关于点对称： B.函数的解析式可以为 C.函数在上的值域为； D.若将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位，则所得函数的解析式为是 【答案】BC 【分析】由图象求得函数解析式，然后根据正弦函数的性质判断各结论． 【解析】由已知，．∴， ，又，∴， ∴． ，A错； 又，B正确； 时，，因此，C正确； 若将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得的图象，再向右平移个单位，则所得函数的解析式为是，D错， 所以正确的只有一个， 故选：BC． 【变式3】已知函数（其中，）的图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)若将函数的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍，得到函数的图象，求函数的单调递增区间. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由图象可得，，故， 所以，则， 所以，或 故，或 则，或， 又，所以，或（舍去） 所以， （2）由题意可知，， 由，可得， 故的单调递增区间. 【变式4】已知函数，满足______． 在：①函数的一个零点为0；②函数图象上相邻两条对称轴的距离为；③函数图象的一个最低点的坐标为，这三个条件中任选两个，补充在上面问题中，并给出问题的解答． (1)求的解析式； (2)把的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若在区间上的最大值为2，求实数的最小值． 【答案】(1)条件选择见解析，;(2) 【分析】（1）若选①②：根据求出，函数图象上相邻两条对称轴的距离为求出，从而得到函数的解析式；若选①③：根据求出，函数图象的一个最低点的坐标为求出，可得函数的解析式；若选②③：根据函数图象上相邻两条对称轴的距离为求出，函数图象的一个最低点的坐标为，求出可得函数的解析式； （2）利用图象平移可得的解析式，再由在区间上的最大值为2可得答案. 【解析】（1）若选①②： 因为函数的一个零点为，所以，所以， 所以，因为，所以． 因为函数图象上相邻两条对称轴的距离为，所以． 因为，所以，所以函数的解析式为； 若选①③： 因为函数的一个零点为，所以，所以， 所以，因为，所以． 因为函数图象的一个最低点的坐标为， 所以，所以， 所以，即，因为，所以． 所以函数的解析式为； 若选②③： 因为函数图象上相邻两条对称轴的距离为，所以， 因为，所以，因为函数图象的一个最低点的坐标为， 所以，所以， 所以即， 因为，所以，所以函数的解析式为； （2）把的图象向右平移个单位得到， 再将向上平移1个单位得到， 即，由得， 因为在区间上的最大值为2， 所以在区间上的最大值为1， 所以，所以，所以的最小值为. 1．要得到函数的图象，只需将函数的图象（  ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】B 【分析】根据正弦函数平移原则即可得到答案. 【解析】， 则只需将函数的图象向左平移个单位. 故选：B. 2．将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到的图象，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数图象的变换，可得答案. 【解析】将函数的图象向左平移个单位长度，可得函数的图象； 再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，可得的图象. 故选：B. 3．已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，则的表达式为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象可确定A；求出周期即可求得，利用图象过特殊点即可确定，由此可得函数解析式，结合图象的平移变换即可求得答案. 【解析】根据图象可得，周期， 又，则，所以， ，则，，因为，则， 所以函数的解析式为， 由函数的图象向右平移个单位长度得到 的图象，即， 故选：D. 4．要得到函数的图象，可以将函数的图象（  ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】A 【解析】因为， 且， 所以，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象. 故选：A 5．下图是函数的部分图象，则该函数的解析式可以是（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图可得：，即，即， 观察各选项可知，本题考虑即可，则， 把点代入中，可得：， 故，即， 所以. 故选：C. 6．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的最大值为（  ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】先根据图象的平移变换得到的解析式，再根据在区间上单调递增，即可得到的最大值. 【解析】根据题意得， 又因为函数在区间上单调递增，此时， 所以，解得，所以的最大值为. 故选：B. 7．（多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（  ） A． B．将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 C．直线是图象的一条对称轴 D．图象的对称中心为 【答案】D 【分析】先根据图象确定的值，再通过周期求出，然后根据特殊点求出，得到函数表达式后，依次对各选项进行判断. 【解析】由函数图象可知，函数的最大值为，因为，所以. 设函数的周期为，则，则，所以， 此时. 已知函数图象过点，则， 即，所以，， 因为，解得，那么. 对于A，，所以选项A正确； 对于B，将的图象向左平移个单位长度， 得到， 所以选项B错误； 对于C，因， 所以直线不是图象的一条对称轴，选项C错误； 对于D，令，，解得，，此时， 所以图象的对称中心为，，选项D正确. 故选：AD. 8．（多选）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（  ） A．的最小正周期为 B．在上单调递减 C．直线为的一条对称轴 D．若为偶函数，则 【答案】ACD 【解析】由图可知：，，则， 当时，函数取得最大值，所以，又，所以. 所以. 对A，的最小正周期为，正确； 对B，，令，则，可知在不是单调的，故错误； 对C，由，所以，所以取得最小值-3，直线为的一条对称轴，故正确； 对D，为偶函数，所以，故正确. 故选：ACD. 9．（多选）将函数图象上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移个单位，得到函数的图象，已知在上恰有5个零点．则下列说法正确的是（  ） A.的图象关于点对称；  B.在内恰有5个最值点； C.在内单调递减；          D的取值范围是． 【答案】AD 【分析】根据正弦型函数的图象变换性质求出函数的解析式，结合正弦型函数零点的性质求出的取值范围，并根据正弦型函数的对称性、最值、单调性逐一判断即可. 【解析】因为函数图象上各点横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位，得到函数的图象， 所以函数的解析式为：， 当时，， 因为函数在上有且只有5个零点，， 所以，解得， 因为，， 所以当时，，此时解不等式组，得， 当时，，即， 此时不等式组的解集为空集，故D正确； A：因为，所以的图象关于点对称， 故本命题是真命题； B：因为，所以， 又因为，所以，而， 即当时，，此时函数有4个最值点，故本命题是假命题； C：因为，所以， 又因为，所以，而，故本命题是假命题； 故选：AD. 10．已知函数，将曲线向左平移个单位长度后，所得图象关于原点对称，则的最小值为 . 【答案】 【解析】将曲线向左平移个单位长度后，所得曲线解析式为：， 因为的图象关于原点对称，所以，即， 因为，所以当时，取得最小值. 故答案为： 11．将函数向右平移个周期后所得的图象在内有个最高点和个最低点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出平移后所得函数的解析式，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【解析】函数的最小正周期为， 将函数向右平移后的解析式为， 由，可得， 要使得平移后的图象有个最高点和个最低点，则需：，解得． 故答案为：. 12．将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在上有两个不同的零点，，则__________ 【答案】 【分析】根据函数图象的变换可得，即可结合正弦函数的对称性得，进而，即可求解. 【解析】将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到的图象， 再向右平移个单位长度，得到的图象． 当时，，令，， 则关于t的方程在上有两个不等的实数根，，所以， 即，则，所以． 故答案为： 13．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 3 0 0 (1)请将上表数据补充完整，并写出函数的解析式（直接写出结果即可）； (2)根据表格中的数据作出在一个周期内的图象； (3)将函数图像上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的2倍，再将所得函数图像上所有点向左平移个单位长度得到的图像，求在区间上的值域． 【答案】(1)表格见解析，;(2)作图见解析；(3) 【分析】（1）利用最大值求；由表格中数据先求周期，求；再由求得，进而得到解析式，由解析式补全表格即可； （2）由表格数据描点连线作图即可； （3）求出后，结合正弦型函数的性质计算即可得. 【解析】（1）由题可知，，所以， ， ， ， 则数据补全如下表： 0 0 3 0 0 （2）由（1），在一个周期内的图象如图所示， （3）， 当时，， 则，则， 即在区间上的值域为. 14．已知函数（，）的最大值和最小正周期相同，的图象过点，且在区间上为增函数. （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上只有4个零点，求b的最大值. 【答案】；（2） 【解析】（1）函数的最大值是2，,函数的周期， 即， ，且，或， 当时，，当时，，满足条件； 当时，，当时，，所以函数在区间上为减函数，所以舍去， 所以函数； （2），得， ，解得：， 或，解得：， 函数在区间上只有4个零点， 这四个零点应是，，，， 那么的最大值应是第5个零点，即， 所以的最大值是. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.6 函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质 教学目标 1. 结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义，能借助计算器或计算机画出该函数的图象，观察并研究参数A，ω，φ对函数图象变化的影响． 2. 会用“五点法”画出函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图． 3. 能由正弦曲线通过平移、伸缩变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，并在这个过程中认识到函数y＝sinx与y＝Asin(ωx＋φ)的联系 4.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质． 教学重难点 1.重点 由正弦曲线通过平移、伸缩变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象；函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质; 2.难点 函数y＝sinx与y＝Asin(ωx＋φ)的联系;函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质的运用. 知识点01 函数y=Asin(ωx+φ)的图象 φ,ω, A对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响 (1)φ对的图象的影响 函数（其中φ≠0）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移|φ|个单位长度而得到(可简记为“__________”). (2)对的图象的影响 函数的图象，可以看作是把的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(_________)而得到. (3)对的图象的影响 函数的图象，可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(_________)而得到. (4)由函数的图象得到函数的图象 以上两种方法的图示如下： 【即学即练】 1．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 x 0 5 0 根据表格中的数据，函数的解析式可以是（  ） A． B． C． D． 2．利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间的简图. 列表:   x y 作图:    （2）并说明该函数图象可由的图象经过怎么变换得到的. 知识点02 函数y=Acos(ωx+φ)的图象 类似于正弦型函数，余弦型函数的图象的画法有以下两种. (1)“_________”，令，求出相应的x值及y值，利用这五个点，可以得到 在一个周期内的图象，然后再把这一段上的图象向左向右延伸，即得的图象. (2)“_________”的途径有两种. 一是类似于正弦型函数的变换作图法，可由的图象通过变换作图法得到 (ω>0,A>0)的图象，即： 二是由诱导公式将余弦型函数转化为正弦型函数，即 ，再由的图象通过变换作图法得到的图象即可. 【即学即练】 1．为了得到的图象，只要把的图象上所有的点（  ） A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度 2．已知函数 (1)填写下表，并用“五点法”画出在上的图象； x 0    (2)将的图象向下平移1个单位，横坐标扩大为原来的4倍，再向左平移个单位后，得到的图象，求的对称中心． 知识点03 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质: 函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0) 定义域 值域 周期 对称轴方程 对称中心 单调性 注:(1)正弦、余弦型函数奇偶性的判断方法 正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇偶性．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；对于函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数． (2)与正弦、余弦型函数有关的单调区间的求解技巧 ①结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． ②确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间． 【即学即练】 1．函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若函数是奇函数，则（  ） A． B． C． D． 2．某同学用“五点法”画函数 在某一周期，内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： ωx+φ 0 x 0 0 0 (1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式和单调递减区间； (2)若函数 求函数在上的最小值. 题型01 “五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)或者y=Acos(ωx+φ)的图象 【典例1】已知函数，．在用“五点法”作函数的图象时，列表如下： x 完成上述表格，并在坐标系中画出函数在区间上的图象；    用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设，由z取来求出相应的，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象． 【变式1】用五点法作函数的图像时，得到如下表格： x 0 π 2π y 0 4 0 0 则A，ω，φ的值分别为（  ） A．4，2， B．4，， C．4，2， D．4，， 【变式2】已知函数. (1)利用“五点法”完成下面表格，并画出在区间上的图象； 0 (2)解不等式. 题型02 三角函数间的图象变换 【典例1】（1）要得到函数的图象，只需将的图象（  ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 （2）将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移是（  ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 A，ω，φ对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响: （1）φ对函数图象的影响（平移变换） 函数（其中）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左（当时）或向右（当时）平移个单位长度而得到（可简记为“左加右减”）. φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位. （2）对函数图象的影响（周期变换） 函数的图象，可以看作是把的图象上所有的点的横坐标缩短（当）或伸长（当时）到原来的（纵坐标不变）而得到. ω决定了函数的周期 （3）对函数图象的影响（振幅变换） 函数的图象，可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长（当时）或缩短（当时）到原来的倍而得到. 【变式1】要得到函数的图象，可以将函数的图象（  ） A．向左平移个单位长度而得到 B．向右平移个单位长度而得到 C．向左平移个单位长度而得到 D．向右平移个单位长度而得到 【变式2】已知曲线，，则（  ） A．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 B．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 C．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 D．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 【变式3】为了得到的图象，只要把的图象向左平移（  ）个单位长度 A． B． C． D． 【变式4】（多选）为了得到函数的图象，只需要将的图象上所有的点（  ） A．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．把横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 题型03 求图象变化前（后）的解析式 【典例1】已知函数，将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式为（  ） A． B． C． D． 三角函数图象变换中的三个注意点: ①变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数； 例如：或 ②要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数图象，得到的是哪个函数图象，切不可弄错方向； ③要弄准变换量的大小，特别是平移变换中 函数y＝Asin x到y＝Asin(x＋φ)的变换量是|φ|个单位， 函数y＝Asin ωx到y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是个单位． 【变式1】把函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点横坐标放大到原来的2倍，则所得函数的解析式为（  ） A． B． C． D． 【变式2】把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（  ） A． B． C． D． 【变式3】把函数的图象向左平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可以得到函数的图象，则的图象与直线的交点个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型04 由部分图象求函数的解析式 【典例1】已知函数的部分图象如图所示，将图象上的所有点向左平移个单位长度得到的函数表达式可以是（  ） A． B． C． D． 确定函数（）的解析式的步骤: （1）求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则，． （2）求，确定函数的周期，则． （3）求，常用方法有 ①代入法：把图象上的一个已知点代入（此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上）或把图象的最高点或最低点代入． ②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口． 【变式1】函数（，，）的部分图象如下图，则下列选项中为的图象的对称中心的有（  ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（  ）    A． B． C． D． 【变式3】（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（  ）    A． B．将的图象上所有点横坐标变为原来2倍，再向左平移个单位，得到的图象，则 C．的对称中心为， D．若，且，则 题型05 结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 【典例1】（多选）将函数的图象向右平移个单位长度，在纵坐标不变的情况下，再把平移后的函数图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则函数所具有的性质是（  ） A．图象关于直线对称 B．曲线与直线的所有交点中，相邻交点距离的最小值为 C．的一个单调递增区间为 D．图象关于点成中心对称 求函数周期、最值、单调区间的方法步骤： ①利用公式求周期； ②根据自变量的范围确定的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值； ③根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数或的单调区间． 【变式1】将函数的图象向右平移个单位长度后得到曲线．若曲线关于原点对称，则的最小值是（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数的图像关于直线对称，且图像上相邻最高点的距离为，将函数的图像向右平移个单位后，得到的图像，则的单调递减区间为（  ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则（  ） A．函数的周期为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上的最小值为 【变式3】已知函数，若将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若函数为奇函数，则的最小值是___________ 题型06 三角函数图象与性质的综合应用 【典例1】已知函数（其中常数）的最小正周期为． (1)求函数的表达式； (2)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围； (3)将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若实数满足，且的最小值是，求的值． 研究函数性质的基本策略: （1）借助周期性：研究函数的单调区间、对称性等问题时，可以先研究在一个周期内的单调区间、对称性，再利用周期性推广到全体实数． （2）整体思想：研究当时的函数的值域时，应将看作一个整体，利用求出的范围，再结合的图象求值域． 【变式1】（多选）函数（，，）在一个周期内的图象如图所示，且函数过点，则（  ） A． B． C．在区间上单调递增 D．为奇函数 【变式2】（多选）函数.的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（  ） A.函数的图象关于点对称： B.函数的解析式可以为 C.函数在上的值域为； D.若将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位，则所得函数的解析式为是 【变式3】已知函数（其中，）的图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)若将函数的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍，得到函数的图象，求函数的单调递增区间. 【变式4】已知函数，满足______． 在：①函数的一个零点为0；②函数图象上相邻两条对称轴的距离为；③函数图象的一个最低点的坐标为，这三个条件中任选两个，补充在上面问题中，并给出问题的解答． (1)求的解析式； (2)把的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若在区间上的最大值为2，求实数的最小值． 1．要得到函数的图象，只需将函数的图象（  ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 2．将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到的图象，则（  ） A． B． C． D． 3．已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，则的表达式为（  ） A． B． C． D． 4．要得到函数的图象，可以将函数的图象（  ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 5．下图是函数的部分图象，则该函数的解析式可以是（  ）    A． B． C． D． 6．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的最大值为（  ） A． B． C．1 D．3 7．（多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（  ） A． B．将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 C．直线是图象的一条对称轴 D．图象的对称中心为 8．（多选）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（  ） A．的最小正周期为 B．在上单调递减 C．直线为的一条对称轴 D．若为偶函数，则 9．（多选）将函数图象上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移个单位，得到函数的图象，已知在上恰有5个零点．则下列说法正确的是（  ） A.的图象关于点对称；  B.在内恰有5个最值点； C.在内单调递减；          D的取值范围是． 10．已知函数，将曲线向左平移个单位长度后，所得图象关于原点对称，则的最小值为 . 11．将函数向右平移个周期后所得的图象在内有个最高点和个最低点，则的取值范围是 ． 12．将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在上有两个不同的零点，，则__________ 13．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 3 0 0 (1)请将上表数据补充完整，并写出函数的解析式（直接写出结果即可）； (2)根据表格中的数据作出在一个周期内的图象； (3)将函数图像上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的2倍，再将所得函数图像上所有点向左平移个单位长度得到的图像，求在区间上的值域． 14．已知函数（，）的最大值和最小正周期相同，的图象过点，且在区间上为增函数. （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上只有4个零点，求b的最大值. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $