专题7.7 三角函数的应用（高效培优讲义）数学苏教版2019高一必修第一册

本讲义聚焦三角函数的应用核心知识点，系统梳理y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义（振幅、周期、初相），以及应用三角函数模型解决问题的一般程序（审题、建模、求解、还原），构建从基本概念到物理、生活、几何等实际场景的学习支架。 资料特色在于结合简谐运动、摩天轮、潮汐等丰富实例，通过即学即练与变式训练，引导学生用数学眼光观察周期现象，用数学思维建立模型解决问题，用数学语言表达实际规律。课中辅助教师提升教学效果，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

专题7.7 三角函数的应用 教学目标 1. 能应用三角函数解决一些简单的实际问题． 2. 体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型． 教学重难点 1.重点 掌握建立三角函数模型解决实际问题的思路； 2.难点 三角函数模型在实际问题中的具体意义. 知识点01 函数(,)中,各参数的物理意义 函数y＝Asin(ωx＋φ)中，各参数的物理意义： x表示时间，y表示相对于平衡位置的偏离量；A表示物体运动时离开平衡位置的最大距离，称为振幅；往复运动一次所需要的时间T＝称为这个运动的周期；单位时间内往复运动的次数f＝＝称为运动的频率；ωx＋φ称为相位，x＝0时的相位φ称为初相位． 【即学即练】 1．已知挂在弹簧下方的小球上下振动，小球在时间t（单位：s）时相对于平衡位置（即静止时的位置）的距离h（单位：cm）由函数解析式决定，其部分图像如图所示 (1)求小球在振动过程中的振幅、最小正周期和初相； (2)若时，小球至少有101次速度为0cm/s，则的最小值是多少？ 【答案】(1)； (2) 【解析】（1）由图易知小球的振幅， 最小正周期，所以，∴， ∴代入可得，∴，即， 又，∴初相 （2）∵小球在振动过程中位于最高、最低位置时的速度为0cm/s， ∴小球有100次速度为0cm/s等价于函数有100次取得最值， ∵函数在一个周期内取得一次最大值、一次最小值，， ∴函数经过50个周期时小球有100次速度为0cm/s， ∴时，小球有100次速度为0cm/s， 又∵当时，小球速度为0cm/s， ∴的最小值为 2．如图，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若振幅为3 cm，周期为3 s，且从物体向右运动到平衡位置最远处时开始计时． (1) 求物体对平衡位置的位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系； (2) 求该物体在t＝5 s时的位置． 【答案】(1)3cos； (2)在点O的左侧1.5 cm处 【解析】(1) 设x＝3sin(ωt＋φ)(ω>0，0≤φ<2π)， 则由T＝＝3，得ω＝. 当t＝0时，x＝3sinφ＝3，则φ＝， 所以x＝3cos. (2) 当t＝5时，x＝3cos＝－1.5， 所以物体在t＝5 s时的位置是在点O的左侧1.5 cm处． 知识点02 应用三角函数模型解决问题的一般程序 应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题,通过分析它的变化趋势,确定它的周期,从而建立起适当的三角函数模型,解决问题的一般程序如下:  (1)审题,先审清楚题目条件、要求、理解数学关系. (2)建模,分析题目特性,选择适当的三角函数模型. (3)求解,对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论. (4)还原,把数学结论还原为实际问题的解答. 3、三角函数的应用 （1）三角函数模型的作用 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用． （2）用函数模型解决实际问题的一般步骤 收集数据―→画散点图―→选择函数模型―→求解函数模型―→检验． 【即学即练】 1．将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律，若将后轮放入如图所示的坐标系中，轮胎以角速度rad/s做圆周运动，是气针的初始位置，气针（看作一个点P）到原点O的距离为r. (1)求气针P的纵坐标y关于时间t的函数解析式，并求出P的运动周期； (2)当，时，作出其图象． 【答案】(1)，；(2)图象见解析 【分析】1）作出辅助线，结合初相为得到函数解析式，并利用求出运动的周期； （2），在的图象基础上，平移得到函数图象. 【解析】（1）过P作x轴的垂线，设垂足为M，则MP就是正弦值, 又初相为，故P的纵坐标y关于时间t的函数解析式为， 因此P的运动周期. （2）当，时，， 其图象可由的图象向左平移个单位长度得到，如图所示： 2．如图，弹簧挂着的小球上下振动，它在（单位：s）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度（单位：）由关系式确定，其中，，.已知在时，小球位于最高点，且最高点与最低点间的距离为. (1)求小球相对平衡位置的高度和时间之间的函数关系； (2)每秒钟小球能往复振动多少次？ 【答案】(1)，；(2)次. 【分析】（1）根据最高点与最低点间距离和两次到达最高点的最短时间可分别得到A和最小正周期T，由此可得解析式； （2）由频率与周期的关系即可直接得答案. 【解析】（1）因为小球振动过程中最高点与最低点的距离为，所以. 因为在时，小球位于最高点，所以，解得，. 因为，所以. 所以，. （2）小球振动的频率，即每秒钟小球能往复振动次. 题型01 三角函数模型在物理学中的应用 【典例1】（多选）如图是某质点作简谐运动的部分图象，位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系式是（，，），则（  ）    A．该简谐运动的初相为 B．该简谐运动的周期为3 C．第4秒该质点的位移为 D．当时，位移随着时间的增大而减小 【答案】BD 【分析】先根据函数图象求出函数解析式，结合选项逐个判定即可. 【解析】由图可知，时，，时，，所以,; 因为，所以或； 因为时，，所以，，所以或，； 由图可知周期满足，即，解得，所以，此时； 解析式为，该简谐运动的初相为，周期为，A不正确，B正确； 当时，，位移是，C不正确； 令，当时，， 结合的简图可得，在区间为减函数，D正确. 故选：BD. 处理物理学问题的策略： 1.常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性． 2.明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题． 3.在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)表示物体振动的位移y随时间x的变化规律，A为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T＝为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f＝为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数． 【变式1】如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，.小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（  ） A． B．秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则 【答案】B 【分析】根据周期求出，代入得到，从而得到函数解析式，即可判断A，代入求值判断B，根据正弦函数的性质判断C，利用特殊值判断D. 【解析】由题可知小球运动的周期，又，所以，解得， 当时，，即，，所以， 则，故A错误； 因为，， 所以秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为，故B正确； 若，则，又当时，小球有且只有三次到达最高点， 所以，解得，即，故C错误； 因为，令，， 则，， 满足且时刻小球偏离于平衡位置的距离相同， 此时，故D错误. 故选：B 【变式2】阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减振装置，被称为“镇楼神器”.某阻尼器模型的运动过程可近似看为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系式为，其中，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，，，且，，则在一个周期内阻尼器偏离平衡位置的位移的大小小于1.5cm的总时间为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得， 故函数的周期为，则，可得， 位移的大小即，故令，得， ，或, 则， 或者， 故总时间为：， 故选：C. 【变式3】智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为，初相位为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为____________ 【答案】 【解析】因为噪音的声波曲线（其中，，）的振幅为1， 则，周期为，则，初相位为，， 所以噪声的声波曲线的解析式为， 所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为． 故答案为： 题型02 三角函数模型在生活中的应用 【典例1】如图，一个大风车的半径为旋转一周，它的最低点离地面2m，风车翼片的一个端点从开始按逆时针方向旋转，则点离地面距离与时间之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用待定系数法设出函数解析式后，由题意可得函数周期、最大最小值等，即可计算出函数中相应系数，即可得解. 【解析】根据题意可设，则．旋转一周， ． 最大值与最小值分别为14，2， ，解得． ． 故选：D． 三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用：大海中的潮汐现象、日常生活中的气温变化、季节更替等都具有周期性，因此常用三角函数模型来解决这些问题. 【变式1】筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今仍在农业生产中发挥作用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．一半径为2m的筒车水轮如图，水轮圆心O距离水面1m，已知水轮每30s逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列结论错误的是（ ） A．点P再次进入水中用时20s B．当水轮转动25s时，点P处于最低点 C．当水轮转动28.75s时，点P距离水面 D．点P第三次到达距水面时用时42.5s 【答案】D 【分析】由题意，利用角度除以角速度等于时间，再结合特殊角三角函数值逐项判断可得. 【解析】由题意，角速度弧度/秒， 又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米，可知半径与水面所成角为，点P再次进入水中用时为秒，故A正确； 当水轮转动25秒时，半径转动了弧度，而，点P正好处于最低点，故B正确； 当水轮转动28.75秒时，由于，又，所以距水面高度为米，故C正确； 逆时针转动一周时，两次到达离水面高度为用时30秒， 所以第三次到达距水面高度为时需要转动一周后再逆时针转动弧度，此时用时为秒， 所以点P第三次到达距水面米时用时37.5秒，故D错误． 故选：D． 【变式2】据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在千元的基础上，按月呈的模型波动（为月份），已知月份达到最高价千元，月份价格最低为千元，根据以上条件可确定的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的最小正周期，可求出的值，根据函数的最值可得出关于、的方程组，可解出这两个量的值，再由结合的取值范围可求出的值，由此可得出函数的解析式. 【解析】因为月份达到最高价千元，月份价格最低为千元， 所以函数的最小正周期为，则， 又，解得，所以， 因为，可得， 所以，则， 因为，则， 因此. 故选：A. 【变式3】某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数（x=1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温为28℃；12月份的月平均气温为18℃，则10月份的平均气温为___________℃. 【答案】20.5 【解析】据题意得 ， 解得 ， 所以 令 得 . 故答案为：20.5 【变式4】一架飞机从北京向南飞行1935公里到达广州，假设在广州白云国际机场上空的等待航线是圆形，飞机到达机场上空后，继续沿原航线向南飞行20公里后，开始在直径40公里的圆形等待航线上飞行，飞机每15分钟飞行一周，如图所示，设飞机在等待航线上飞行的时间为t小时，飞机从北京出发向南的飞行距离为，可以近似地表示为，则 ， ． 【答案】 20 【解析】依题意，，而，因此， 又飞机每15分钟飞行一周，则函数的周期小时，因此. 故答案为：20； 题型03 三角函数模型在圆周运动问题中的应用 【典例1】摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，均匀设置了依次标号为1～48号的48个座舱．开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动后距离地面的高度为，转一周需要．    (1)求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； (2)若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求为何值时高度差最大． （参考公式：，） 【答案】(1)，． (2)，；或 【分析】（1）据题意，设，由条件确定的值； （2）由题意，1号与9号座舱的角度差为，不妨假设1号座舱出发早于9号座舱，时1号与9号的高度分别为，，进而求出高度差，由余弦函数性质即可求. 【解析】（1）设，则， 令时，则，， 又，解得， 所以，． （2）由题意得：1号与9号座舱的角度差为． 不妨假设1号座舱出发早于9号座舱，时1号与9号的高度分别为，， 则，， 所以高度， 由参考公式得，上式 从而高度差为，； 当，即，时，解得，， 又，所以或，此时高度差的最大值为． 【变式1】摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮等距离设置有60个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要.已知在转动一周的过程中，座舱距离地面的高度关于时间（min）的函数关系式为，若甲､乙两人的座舱之间有4个座舱，则甲､乙两人座舱高度差的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设甲位置对应的时间为，转到乙位置时对应的时间为，则，利用函数关系式为作差可求出结果. 【解析】设甲位置对应的时间为，转到乙位置时对应的时间为， 则， 所以甲､乙两人座舱高度差为 ， 所以甲､乙两人座舱高度差的最大值为. 故选：D. 【变式2】（多选）水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述正确的是（  ） A．水斗作周期运动的初相为 B．在水斗开始旋转的60秒（含）中，其高度不断增加 C．在水斗开始旋转的60秒（含）中，其最高点离平衡位置的纵向距离是6 D．当水斗旋转100秒时，其和初始点A的距离为6 【答案】ACD 【分析】求出圆的半径，利用周期求出，通过三角函数的解析式求出初相，再利用正弦函数的性质依次判断各选项即可． 【解析】对于选项A：由，则， 且，所以， 当时，点P在点A位置，有，解得， 又因为，所以，故A正确； 对于选项B：由选项A可知， 当，，所以函数先增后减，故B错误； 对于选项C：当，，则， 所以点到轴的距离的最大值为6，故C正确； 对于D，当时，，的纵坐标为，横坐标为， 所以，故D正确． 故选：ACD． 【变式3】某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离与时间的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为分钟． (1)求1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式； (2)在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时的值； 【答案】(1)；(2)分钟或分钟. 【解析】（1）设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为（，，）， 依题意可得，， ． 依题意，， 当时，，， ． （2）令，即，， ，， 或，解得或， 或时，1号座舱与地面的距离为17米． 题型04 三角函数在几何中的应用 【典例1】如图，已知OAB是半径为2千米的扇形，，C是弧AB上的动点，过点C作，垂足为H，某地区欲建一个风景区，该风景区由△AOC和矩形ODEH组成，且，若风景区的修建费为100万元/平方千米，则该风景区的修建最多需要（  ） A．260万元 B．265万元 C．255万元 D．250万元 【答案】D 【分析】设，，利用表示风景区的面积，求出最大值，进而可求得该风景区的修建最多需要多少费用． 【解析】设，，则，， 所以矩形ODEH的面积， 又， 所以风景区面积， 当时，有最大值，故最多需要万元的修建费． 故选：D． 解决函数图象与实际问题的策略：一般方法是根据已知所反映出来的性质解决，充分利用图象中的几何关系．此外特殊点也可以作为判断的好方法． 【变式1】如图，点P为射线与以原点O为圆心的单位圆的交点，一动点在圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向运动，每2秒转一圈．则该动点横坐标关于运动时间t的函数的解析式是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】动点的运动速度为，射线对应的角度为，故动点行程的射线对应的角度为，得到答案. 【解析】动点的运动速度为，射线对应的角度为， 故动点行程的射线对应的角度为，故， 故选：C. 【变式2】如图，直线与单位圆相切于点，射线从出发绕着点逆时针旋转，在此过程中，记，射线经过的单位圆内阴影部分的面积为，则对函数说法正确的是（  ） A．当时， B．，使得 C．对，都有 D．对，都有 【答案】D 【分析】根据题设可得且，结合图分析各项的正误. 【解析】如下图(OD与OP重合)，则阴影部分面积，且， 所以，A错； 由图知在旋转过程中阴影面积不断变大，不存在使得，B错； 当，则，C错； ，D对. 故选：D. 【变式3】如图，长方形的边，，是的中点．点沿着边，与运动，记．将动点到两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为（  ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解析】由题意可得，， 故，由此可排除C、D； 当时点在边上，，， 所以 ，可知时图像不是线段,可排除A，故选B． 故选：B. 【变式4】一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=25米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建3条如图所示的观光走廊OE，EF，OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且．    (1)设，试将的周长l表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用． 【答案】(1)； (2)详见解析；元. 【解析】（1）在Rt 中，，，所以 ， 在Rt 中，，即 ，又 ， 所以 ， 所以 的周长， 即; 当点 在点 时，角 最小，此时 ; 当点 在点 时，角 最大，此时 ; 故此函数的定义域是 （2）由题意可知，只需求出 的周长 的最小值即可 设 ，则 ， 则原函数可化简为 ， 因为 ，所以 ，， 则 ， 则 从而 则当时，即时，； 即当米时，铺路总费用最低，最低总费用为元. 题型05 用拟合法建立三角函数模型 【典例1】海水受日月引力会产生潮汐．以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低．现测得某港口某天的时刻与水深的关系表如下所示：（3.1时即为凌晨3点06分） 时刻：x（时） 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24 水深：y（米） 5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0 (1)根据以上数据，可以用函数来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，求出这个函数的解析式； (2)某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米．安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠时，船底高于海底平面的安全间隙至少有2米，根据（1）中的解析式，求出这条货船最早可行的进港时间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长． 【答案】(1) (2)最早可行的进港时间为 1 时 2 分， 5 时 10 分出港；这条货船一天中最多可以在港口中停靠的总时长为8小时16分. 【分析】（1）由公式可求，由表格可得周期，进而求，代入最高点可求； （2）由题意可知进港条件为 ，解不等式即可. 【解析】（1）由表格可知y的最大值为7.4，最小值为2.6， 所以， 由表格可知， 所以， 所以， 将点代入可得：， 所以， 解得， 因为，所以， 所以. （2）货船需要的安全水深为 米, 所以进港条件为 . 令 , 即, 所以, 解得, 因为， 所以时，, 时， 因为（时） 时 2 分, （时） 时 10 分. （时） 时 26 分，（时） 时 34 分. 因此，货船可以在 1 时 2 分进港，早晨 5 时 10 分出港；或在下午 13 时 26 分进港，下午 17 时 34 分出港. 则该货船最早进港时间为1时2分，停靠总时长为8小时16分钟. 处理曲线拟合与预测问题时，通常需要以下几个步骤： (1)根据原始数据绘出散点图． (2)通过观察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线． (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式． (4)利用函数解析式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据． 【变式1】某市某日气温()是时间，单位：小时的函数，下面是该天不同时间的气温预报数据： （时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 () 15.7 14.0 15.7 20.0 24.2 26.0 24.2 20.0 15.7 根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成函数 的图象． (1)根据以上数据，试求函数 的表达式 (2)大数据统计显示，某种特殊商品在室外销售可获得3倍于室内销售的利润，但对室外温度的要求是气温不能低于，根据（1）中所得模型，一个24小时营业的商家想获得最大利润，应在什么时间段（用区间表示）将该种商品放在室外销售？(忽略商品搬运时间及其他非主要因素) 【答案】(1) (2)应在时间段将该种商品放在室外销售 【分析】（1）由，求得，又由，求得，再由时，得到，求得，即可求得函数的解析式； （2）令，得到，解得，进而得到答案. 【解析】（1）解：由的图象，可得，解得， 又由，解得，所以， 因为时，可得，即，解得， 即，所以， 又因为，解得，所以. （2）解：令，即，可得， 解得，解得， 又因为，所以当 时，可得， 所以一个小时营业的商家想获得最大利润，应在时间段将该种商品放在室外销售． 【变式2】某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(，单位：小时)呈周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如表： t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.6 1.0 (1)从，，中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式； (2)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间． 【答案】(1)选择较合适，()； (2)应安排在11时到19时训练较恰当 【解析】（1）把表格中的数据在坐标系内描出，如下， 由所描点知：应选择， 令，，， 依题意，函数的最大值为，最小值为，周期为， 则，，， 于是，代入点，得， 即，则，又，因此， 所以该模型的解析式为：. （2）令，得，则， 解得，而， 当时，，则；当时，，则； 当时，，则，因此或或， 依题意，应在白天11点到19点之间训练较恰当. 【变式3】某港口水深（米是时间（，单位：小时）的函数，下表是水深数据： （小时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 （米 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图象.    (1)试根据数据表和曲线，求出 的表达式； (2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间） 【答案】(1)；(2)16小时. 【分析】（1）根据图象的最高点和最低点可以求出，由两个最高点的之间的距离可以求出，从而可求函数的表达式； （2）在当的前提下，解不等式即可. 【解析】（1）根据数据，， ，，， ， 函数的表达式为； （2）由题意，水深， 即， ， ，，1， 或； 所以，该船在至或至能安全进港， 若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时. 题型06 三角函数新定义 【典例1】若函数满足且（），则称函数为“函数”． (1)试判断是否为“函数”，并说明理由； (2)函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调增区间； (3)在（2）条件下，当，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求． 【答案】(1)不是“函数”，理由见解析 (2)，单调递增区间为，； (3) 【分析】（1）根据题干条件代入检验，得到，故不是“函数”； （2）求出函数的周期，由得到，结合当时，，从而得到函数解析式，并求出单调递增区间； （3）画出在上图象，数形结合，由函数的对称性，分四种情况进行求解，得到. 【解析】（1）不是“函数”，理由如下： ， ，， 则， 故不是“函数”； （2）函数满足，故的周期为， 因为， 所以， 当时，，， 当时，，， 综上：， 中， 当时，，，此时单调递增区间为， ，中， 当时，，， 则， 当，即时，函数单调递增， 经检验，其他范围不是单调递增区间， 所以在上的单调递增区间为，； （3）由（2）知：函数在上图象为： 当时，有3个解，其和为， 当或1时，有4个解，由对称性可知：其和为， 当时，有6个解，由对称性可知：其和为， 当时，有8个解，其和为， 所以. 【变式1】对于函数，在使成立的所有常数中，我们把的最大值称为函数的“下确界”.若函数，的“下确界”为，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由下确界定义，，的最小值是，由余弦函数性质可得． 【解析】由题意，的最小值是， 又， 由，得， ，， 时，， 所以． 故选：A． 【变式2】定义函数为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：.可得：也为函数的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究的单调性：函数在是严格减函数，在上严格增函数，再结合，可以确定：的最小正周期为.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题： (1)求“余正弦”函数的定义域； (2)判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由； (3)探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域. 【解析】（1）的定义域为. （2）对于函数， ，所以是偶函数. （3）， 在区间上递减，在区间上递增，所以在上递减. 在区间上递增，在区间上递增，所以在上递增. 所以的最小正周期为， 在上是严格减函数，在上是严格增函数. 结合的单调性可知，的值域为. 1．弹簧振子的振动是简谐振动.下表给出了振子在完成一次全振动的过程中的事件t与位移s之间的测量数据，那么能与这些数据拟合的振动函数的解析式为（ ） t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 s 0.1 10.3 1.7 20.0 17.7 10.3 0.1 A．， B． C． D．， 【答案】D 【解析】设简谐振动的解析式为，其中 由表格可知：振幅，周期，过点， 由周期，且，可得， 由过点，可得，即，则， 可得， 所以简谐振动的解析式为. 故选：D. 2．如图所示是一个主体高为的螺旋形旋转滑梯.某游客从该滑梯顶端出发一直滑到底部，把其运动轨迹投影到滑梯的轴截面上，得到的曲线对应的方程为（，）（，的单位：），若该游客整个运动过程中相位的变化量为，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由旋转滑梯高为知，投影到轴截面上后，游客对应在横轴上移动的距离是， 当时，初相为，且游客一直滑到底部，则最后的相位为， 故整个运动过程中，相位的变化量为 ，. 故选：D. 3．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y(m)和时间t(s)的函数关系为，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续四次到达同一位置的时间分别为，且，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的距离大于0.5m的总时间为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定函数的一个周期，再利用三角函数的性质解不等式即得. 【解析】设的周期为，， 根据， 可知， 所以，，所以， 令，则， 所以，可得， 所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的距离大于0.5m的总时间为. 故选：B 4．如图，为了打造传统农耕文化，某景区的景观筒车直径12米，有24个盛水筒均匀分布，分别寓意一年12个月和24节气，筒车转一周需48秒，其最高点到水面的距离为10米，每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，盛水筒（视为质点）的初始位置到水面的距离为7米．为了把水引到高处，在筒车中心正上方距离水面8米处正中间设置一个宽4米的水平盛水槽，筒车受水流冲击转到盛水槽正上方后，把水倒入盛水槽，求盛水筒转一圈的过程中，有多长时间能把水倒入盛水槽．（参考数据：）（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以筒车中心为原点，与水面平行的直线为轴，建立平面直角坐标系， 设盛水筒经过秒后到水面的距离为米， 由题可知筒车半径为6，点的纵坐标为3，则， 又由题知，， 则，， 作弦平行且等于盛水槽，则在中， ，则（H为中点）， 则距离水面的高度为， 盛水筒转到盛水槽的正上方（即之间），能把水倒入盛水槽， 即当时符合题意， 故，即，解得， 因为，所以盛水筒转一圈的过程中，有秒能把水倒入盛水槽. 故选：A. 5．对于集合和常数，定义：为集合相对的“正切方差”.若集合，则（  ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】利用“正切方差” 的定义，结合特殊角的三角函数值即可求解. 【解析】由题意，得 . 故选：C. 6．如图，摩天轮的半径为，点距地面的距离为，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则在摩天轮转动的过程中，（  ） A．转动后点距离地面 B．第和第点距离地面的高度相同. C．转速减半时转动一圈所需的时间变为原来的 D．转动一圈内，点距离地面的高度不低于的时长为 【答案】B 【分析】设转动过程中，点离地面距离的函数为，由题意求得解析式，然后逐项求解判断. 【解析】设转动过程中，点离地面距离的函数为：， 由题意得：，又， 即，故，， 所以 所以， 选项A，转到后，点距离地面的高度为，故A错误； 选项B，因为 ， ， 所以， 即第和第点距离地面的高度相同，故B正确； 选项C，若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的2倍，故C不正确； 选项D，令，则， 由，解得， 考虑第一圈时，点距离地面的高度不低于的时长，可得 当时，，当时，， 即摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于m的时间为，故D错误； 故选：B. 7．（多选）在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在适当的直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（  ） A．，频率为，初相为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在上的值域为 D．若在上恰有4个零点，则m的取值范围是 【答案】BD 【解析】根据函数的图象，，，故，所以； 当时，， 所以，，整理得，， 由于，所以当时，，故． 对于A，，频率为，初相为，故A错误； 对于B：当时，，故B正确； 对于C：由于，故，故，故C错误； 对于D：，则，若在上恰有4个零点， 则，解得， 故的取值范围是，D正确． 故选：BD． 8．（多选）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式确定，其中.小球从最高点出发，经过后，第一次回到最高点，则（  ）    A． B． C．与时的相对于平衡位置的高度之比为 D．与时的相对于平衡位置的高度之比为2 【答案】BD 【解析】由题可知小球运动的周期，所以，解得，故B正确； 当时，. 又，所以，故A错误； 则， 所以与时的相对于平衡位置的高度之比为，故C错误，D正确. 故选：BD. 9．（多选）假设某人在出生起180天内的体力、情绪、智力呈周期性变化，它们的变化规律遵循如图所示的正弦型曲线模型：    记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，且三条曲线的起点位于坐标系的同一点处、均为可向右延伸，则（  ） A．智力曲线的最小正周期是三个曲线中最大的 B．在出生起180天内，体力共有7次达高峰值 C．第94天时，情绪值小于15 D．第62天时，智力曲线和情绪曲线均处于上升期 【答案】AD 【解析】由图象，智力曲线的最小正周期是三个曲线中最大的，故A正确； 由图像，体力曲线的最小正周期为天，，所以在出生起180天内，体力共有8次达高峰值，故B错误； 由图像，情绪曲线的最小正周期为天，所以第天情绪值为，第91天情绪值为20，而，所以第天情绪值大于，故C错误； 由图像，智力曲线的最小正周期为天，而，所以第天，智力曲线处于上升期，，所以第天，情绪曲线处于上升期，故D正确. 故选：AD 10．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（m）和时间t（s）的函数关系为，如图，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，（），且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为 s． 【答案】 【解析】该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，（），且，， ，，，，， 由可得， ，， ， 在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为. 故答案为：. 11．如图是一大观览车的示意图，已知观览车轮半径为80米，观览车中心到地面的距离为82米，观览车每30分钟沿逆时针方向转动1圈.若是从距地面42米时开始计算时间时的初始位置，以观览车的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系.设从点运动到点时所经过的时间为t（单位：分钟），且此时点P距离地面的高度为h（单位：米），则h关于t的函数解析式为____________    【答案】 【分析】先求出观览车的角速度，再求出对应的角，根据三角函数的定义可的坐标，从而可求. 【解析】观览车的角速度为， 设，其中， 则，故，故， 故点的纵坐标为， 所以. 故答案为：. 12．坐落于奉贤渔人码头的摩天轮，堪称上海独一无二的海滨摩天轮.在晴朗的傍晚时分，踏上这场别具一格的海边摩天轮之旅，你将有机会与落日余晖、轻柔晚风、辽阔大海以及璀璨星空进行一场浪漫的邂逅.若已知摩天轮最高点距离地面高度为50米，转盘直径为40米，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，进舱后开始计时，若开始转动（单位：分钟）后距离地面的高度为（单位：米），转一周大约需要15分钟. (1)已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； (2)若游客在距离地面至少40米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据最高、最低点距离地面高度计算出，根据转一周的时间计算出，再结合初始位置计算出，由此可求； （2）化简，根据求解出的范围，由此可知结果； 【解析】（1）由题意可知：摩天轮最高点距离地面，最低点距离地面， 所以，所以， 又因为转一周大约需要，所以， 所以， 又因为， 所以且，所以， 所以； （2）因为， 令，则， 又因为，则，所以， 所以，且， 故摩天轮在运行一周的过程中，游客能有最佳视觉效果. 13．对于定义在R上的连续函数，若存在常数t（），使得对任意的实数x都成立，则称是阶数为t的回旋函数． (1)试判断函数是否是一个阶数为的回旋函数，并说明理由； (2)若是回旋函数，求实数ω的值； (3)若回旋函数（）在[0，1]上恰有2024个零点，求ω的值． 【答案】(1)不是，理由见解析;(2)，;(3) 【分析】（1）代入题目给的定义求解即可， （2）求解分 讨论即可， （3）求解讨论得 【解析】（1）因为， 所以， 所以不恒成立， 所以函数不是一个阶数为的回旋函数． （2）设是阶数为t的回旋函数，则， 若，上式对任意实数x均成立； 若，， 因为的值域为，所以， 当时，对任意实数x有， 则，， 所以，； 当时，对任意实数x有， 则，，所以，． 综上所述，，． （3）因为对任意的x都成立， 由（2）可知，，， 所以． 令，解得（）． 因为函数在[0，1]上恰有2024个零点，所以，所以． 又因为，所以，所以． 14．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，所以至今还在农业生产中被使用.如图，假定在水流稳定的情况下，一个直径为10米的筒车开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要1分钟，筒车的轴心O距离水面的高度为米.以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，设筒车开始旋转t秒后盛水筒P到水面的距离为h米（规定：若盛水筒P在水面下，则h为负数）. (1)写出h（单位：米）关于t（单位：秒）的函数解析式（其中，，）； (2)若盛水筒P在，时刻距离水面的高度相等，求的最小值. 【答案】(1)， (2)40 【分析】（1）根据图形，利用几何知识和三角函数求解函数解析式； （2）根据正弦方程，求解的关系，通过分类讨论得到的最小值. 【解析】（1）如图，过O作交PB于点C，设筒车与水面的交点为M，N，连接OM. 因为筒车转一周需要1分钟，所以筒车每秒钟转，则. 又因为，，所以， 则. ，， 即，. （2）不妨设，由题意得， 故， ①，，解得，，故，当且仅当，时，等号成立， ②，，解得，显然当时，取得最小值，最小值为. 综上，的最小值为40. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.7 三角函数的应用 教学目标 1. 能应用三角函数解决一些简单的实际问题． 2. 体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型． 教学重难点 1.重点 掌握建立三角函数模型解决实际问题的思路； 2.难点 三角函数模型在实际问题中的具体意义. 知识点01 函数(,)中,各参数的物理意义 函数y＝Asin(ωx＋φ)中，各参数的物理意义： x表示时间，y表示相对于平衡位置的偏离量；A表示物体运动时离开平衡位置的最大距离，称为振幅；往复运动一次所需要的时间T＝称为这个运动的周期；单位时间内往复运动的次数f＝＝称为运动的频率；ωx＋φ称为相位，x＝0时的相位φ称为初相位． 【即学即练】 1．已知挂在弹簧下方的小球上下振动，小球在时间t（单位：s）时相对于平衡位置（即静止时的位置）的距离h（单位：cm）由函数解析式决定，其部分图像如图所示 (1)求小球在振动过程中的振幅、最小正周期和初相； (2)若时，小球至少有101次速度为0cm/s，则的最小值是多少？ 2．如图，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若振幅为3 cm，周期为3 s，且从物体向右运动到平衡位置最远处时开始计时． (1) 求物体对平衡位置的位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系； (2) 求该物体在t＝5 s时的位置． 知识点02 应用三角函数模型解决问题的一般程序 应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题,通过分析它的变化趋势,确定它的周期,从而建立起适当的三角函数模型,解决问题的一般程序如下:  (1)审题,先审清楚题目条件、要求、理解数学关系. (2)建模,分析题目特性,选择适当的三角函数模型. (3)求解,对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论. (4)还原,把数学结论还原为实际问题的解答. 3、三角函数的应用 （1）三角函数模型的作用 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用． （2）用函数模型解决实际问题的一般步骤 收集数据―→画散点图―→选择函数模型―→求解函数模型―→检验． 【即学即练】 1．将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律，若将后轮放入如图所示的坐标系中，轮胎以角速度rad/s做圆周运动，是气针的初始位置，气针（看作一个点P）到原点O的距离为r. (1)求气针P的纵坐标y关于时间t的函数解析式，并求出P的运动周期； (2)当，时，作出其图象． 2．如图，弹簧挂着的小球上下振动，它在（单位：s）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度（单位：）由关系式确定，其中，，.已知在时，小球位于最高点，且最高点与最低点间的距离为. (1)求小球相对平衡位置的高度和时间之间的函数关系； (2)每秒钟小球能往复振动多少次？ 题型01 三角函数模型在物理学中的应用 【典例1】（多选）如图是某质点作简谐运动的部分图象，位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系式是（，，），则（  ）    A．该简谐运动的初相为 B．该简谐运动的周期为3 C．第4秒该质点的位移为 D．当时，位移随着时间的增大而减小 处理物理学问题的策略： 1.常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性． 2.明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题． 3.在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)表示物体振动的位移y随时间x的变化规律，A为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T＝为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f＝为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数． 【变式1】如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，.小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（  ） A． B．秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则 【变式2】阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减振装置，被称为“镇楼神器”.某阻尼器模型的运动过程可近似看为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系式为，其中，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，，，且，，则在一个周期内阻尼器偏离平衡位置的位移的大小小于1.5cm的总时间为（  ） A． B． C． D． 【变式3】智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为，初相位为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为____________ 题型02 三角函数模型在生活中的应用 【典例1】如图，一个大风车的半径为旋转一周，它的最低点离地面2m，风车翼片的一个端点从开始按逆时针方向旋转，则点离地面距离与时间之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用：大海中的潮汐现象、日常生活中的气温变化、季节更替等都具有周期性，因此常用三角函数模型来解决这些问题. 【变式1】筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今仍在农业生产中发挥作用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．一半径为2m的筒车水轮如图，水轮圆心O距离水面1m，已知水轮每30s逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列结论错误的是（ ） A．点P再次进入水中用时20s B．当水轮转动25s时，点P处于最低点 C．当水轮转动28.75s时，点P距离水面 D．点P第三次到达距水面时用时42.5s 【变式2】据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在千元的基础上，按月呈的模型波动（为月份），已知月份达到最高价千元，月份价格最低为千元，根据以上条件可确定的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式3】某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数（x=1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温为28℃；12月份的月平均气温为18℃，则10月份的平均气温为___________℃. 【变式4】一架飞机从北京向南飞行1935公里到达广州，假设在广州白云国际机场上空的等待航线是圆形，飞机到达机场上空后，继续沿原航线向南飞行20公里后，开始在直径40公里的圆形等待航线上飞行，飞机每15分钟飞行一周，如图所示，设飞机在等待航线上飞行的时间为t小时，飞机从北京出发向南的飞行距离为，可以近似地表示为，则 ， ． 题型03 三角函数模型在圆周运动问题中的应用 【典例1】摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，均匀设置了依次标号为1～48号的48个座舱．开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动后距离地面的高度为，转一周需要．    (1)求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； (2)若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求为何值时高度差最大． （参考公式：，） 【变式1】摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮等距离设置有60个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要.已知在转动一周的过程中，座舱距离地面的高度关于时间（min）的函数关系式为，若甲､乙两人的座舱之间有4个座舱，则甲､乙两人座舱高度差的最大值为（  ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述正确的是（  ） A．水斗作周期运动的初相为 B．在水斗开始旋转的60秒（含）中，其高度不断增加 C．在水斗开始旋转的60秒（含）中，其最高点离平衡位置的纵向距离是6 D．当水斗旋转100秒时，其和初始点A的距离为6 【变式3】某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离与时间的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为分钟． (1)求1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式； (2)在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时的值； 题型04 三角函数在几何中的应用 【典例1】如图，已知OAB是半径为2千米的扇形，，C是弧AB上的动点，过点C作，垂足为H，某地区欲建一个风景区，该风景区由△AOC和矩形ODEH组成，且，若风景区的修建费为100万元/平方千米，则该风景区的修建最多需要（  ） A．260万元 B．265万元 C．255万元 D．250万元 解决函数图象与实际问题的策略：一般方法是根据已知所反映出来的性质解决，充分利用图象中的几何关系．此外特殊点也可以作为判断的好方法． 【变式1】如图，点P为射线与以原点O为圆心的单位圆的交点，一动点在圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向运动，每2秒转一圈．则该动点横坐标关于运动时间t的函数的解析式是（  ） A． B． C． D． 【变式2】如图，直线与单位圆相切于点，射线从出发绕着点逆时针旋转，在此过程中，记，射线经过的单位圆内阴影部分的面积为，则对函数说法正确的是（  ） A．当时， B．，使得 C．对，都有 D．对，都有 【变式3】如图，长方形的边，，是的中点．点沿着边，与运动，记．将动点到两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为（  ）    A．   B．   C．   D．   【变式4】一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=25米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建3条如图所示的观光走廊OE，EF，OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且．    (1)设，试将的周长l表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用． 题型05 用拟合法建立三角函数模型 【典例1】海水受日月引力会产生潮汐．以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低．现测得某港口某天的时刻与水深的关系表如下所示：（3.1时即为凌晨3点06分） 时刻：x（时） 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24 水深：y（米） 5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0 (1)根据以上数据，可以用函数来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，求出这个函数的解析式； (2)某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米．安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠时，船底高于海底平面的安全间隙至少有2米，根据（1）中的解析式，求出这条货船最早可行的进港时间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长． 处理曲线拟合与预测问题时，通常需要以下几个步骤： (1)根据原始数据绘出散点图． (2)通过观察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线． (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式． (4)利用函数解析式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据． 【变式1】某市某日气温()是时间，单位：小时的函数，下面是该天不同时间的气温预报数据： （时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 () 15.7 14.0 15.7 20.0 24.2 26.0 24.2 20.0 15.7 根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成函数 的图象． (1)根据以上数据，试求函数 的表达式 (2)大数据统计显示，某种特殊商品在室外销售可获得3倍于室内销售的利润，但对室外温度的要求是气温不能低于，根据（1）中所得模型，一个24小时营业的商家想获得最大利润，应在什么时间段（用区间表示）将该种商品放在室外销售？(忽略商品搬运时间及其他非主要因素) 【变式2】某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(，单位：小时)呈周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如表： t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.6 1.0 (1)从，，中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式； (2)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间． 【变式3】某港口水深（米是时间（，单位：小时）的函数，下表是水深数据： （小时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 （米 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图象.    (1)试根据数据表和曲线，求出 的表达式； (2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间） 题型06 三角函数新定义 【典例1】若函数满足且（），则称函数为“函数”． (1)试判断是否为“函数”，并说明理由； (2)函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调增区间； (3)在（2）条件下，当，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求． 【变式1】对于函数，在使成立的所有常数中，我们把的最大值称为函数的“下确界”.若函数，的“下确界”为，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式2】定义函数为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：.可得：也为函数的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究的单调性：函数在是严格减函数，在上严格增函数，再结合，可以确定：的最小正周期为.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题： (1)求“余正弦”函数的定义域； (2)判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由； (3)探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域. 1．弹簧振子的振动是简谐振动.下表给出了振子在完成一次全振动的过程中的事件t与位移s之间的测量数据，那么能与这些数据拟合的振动函数的解析式为（ ） t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 s 0.1 10.3 1.7 20.0 17.7 10.3 0.1 A．， B． C． D．， 2．如图所示是一个主体高为的螺旋形旋转滑梯.某游客从该滑梯顶端出发一直滑到底部，把其运动轨迹投影到滑梯的轴截面上，得到的曲线对应的方程为（，）（，的单位：），若该游客整个运动过程中相位的变化量为，则的值为（  ） A． B． C． D． 3．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y(m)和时间t(s)的函数关系为，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续四次到达同一位置的时间分别为，且，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的距离大于0.5m的总时间为（  ） A． B． C． D． 4．如图，为了打造传统农耕文化，某景区的景观筒车直径12米，有24个盛水筒均匀分布，分别寓意一年12个月和24节气，筒车转一周需48秒，其最高点到水面的距离为10米，每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，盛水筒（视为质点）的初始位置到水面的距离为7米．为了把水引到高处，在筒车中心正上方距离水面8米处正中间设置一个宽4米的水平盛水槽，筒车受水流冲击转到盛水槽正上方后，把水倒入盛水槽，求盛水筒转一圈的过程中，有多长时间能把水倒入盛水槽．（参考数据：）（ ） A． B． C． D． 5．对于集合和常数，定义：为集合相对的“正切方差”.若集合，则（  ） A． B．1 C． D．2 6．如图，摩天轮的半径为，点距地面的距离为，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则在摩天轮转动的过程中，（  ） A．转动后点距离地面 B．第和第点距离地面的高度相同. C．转速减半时转动一圈所需的时间变为原来的 D．转动一圈内，点距离地面的高度不低于的时长为 7．（多选）在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在适当的直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（  ） A．，频率为，初相为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在上的值域为 D．若在上恰有4个零点，则m的取值范围是 8．（多选）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式确定，其中.小球从最高点出发，经过后，第一次回到最高点，则（  ）    A． B． C．与时的相对于平衡位置的高度之比为 D．与时的相对于平衡位置的高度之比为2 9．（多选）假设某人在出生起180天内的体力、情绪、智力呈周期性变化，它们的变化规律遵循如图所示的正弦型曲线模型：    记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，且三条曲线的起点位于坐标系的同一点处、均为可向右延伸，则（  ） A．智力曲线的最小正周期是三个曲线中最大的 B．在出生起180天内，体力共有7次达高峰值 C．第94天时，情绪值小于15 D．第62天时，智力曲线和情绪曲线均处于上升期 10．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（m）和时间t（s）的函数关系为，如图，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，（），且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为 s． 11．如图是一大观览车的示意图，已知观览车轮半径为80米，观览车中心到地面的距离为82米，观览车每30分钟沿逆时针方向转动1圈.若是从距地面42米时开始计算时间时的初始位置，以观览车的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系.设从点运动到点时所经过的时间为t（单位：分钟），且此时点P距离地面的高度为h（单位：米），则h关于t的函数解析式为____________    12．坐落于奉贤渔人码头的摩天轮，堪称上海独一无二的海滨摩天轮.在晴朗的傍晚时分，踏上这场别具一格的海边摩天轮之旅，你将有机会与落日余晖、轻柔晚风、辽阔大海以及璀璨星空进行一场浪漫的邂逅.若已知摩天轮最高点距离地面高度为50米，转盘直径为40米，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，进舱后开始计时，若开始转动（单位：分钟）后距离地面的高度为（单位：米），转一周大约需要15分钟. (1)已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； (2)若游客在距离地面至少40米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？ 13．对于定义在R上的连续函数，若存在常数t（），使得对任意的实数x都成立，则称是阶数为t的回旋函数． (1)试判断函数是否是一个阶数为的回旋函数，并说明理由； (2)若是回旋函数，求实数ω的值； (3)若回旋函数（）在[0，1]上恰有2024个零点，求ω的值． 14．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，所以至今还在农业生产中被使用.如图，假定在水流稳定的情况下，一个直径为10米的筒车开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要1分钟，筒车的轴心O距离水面的高度为米.以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，设筒车开始旋转t秒后盛水筒P到水面的距离为h米（规定：若盛水筒P在水面下，则h为负数）. (1)写出h（单位：米）关于t（单位：秒）的函数解析式（其中，，）； (2)若盛水筒P在，时刻距离水面的高度相等，求的最小值. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $