第六章 对概率的进一步认识 单元复习检测试卷 2025-2026学年鲁教版（五四制）九年级数学下册

第六章 对概率的进一步认识 一、单选题 1．在排球训练中，甲、乙、丙三人相互传球，由甲开始发球（记作为第一次传球），则经过三次传球后，球仍回到甲手中的概率是（ ） A． B． C． D． 2．为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下． 身高 人数 60 260 550 130 根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于的概率是（    ） A．0.32 B．0.55 C．0.68 D．0.87 3．一个两位数记作（，，其中，， 均为自然数，任意取出一个 ），任意取出一个 的两位数的概率是 (      ) A． B． C． D． 4．在a2□4a□4的空格中，任意填上“＋”或“－”，在所得到的代数式中，可以构成完全平方式的概率是(  ) A． B． C． D． 5．一个盒子中装有a个白球和3个红球（除颜色外完全相同），若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在80%左右，则a的值约为（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 6．从，，这三个数中任取两个数作为点的坐标，则点在第二象限的概率是（   ） A． B． C． D． 7．“向空中抛2枚同样的一元硬币，落地后朝上一面相同”的概率是（   ） A．0 B． C． D．1 8．一个均匀的立方体六个面上分别标有数1，2，3，4，5，6．右图是这个立方体表面的展开图．抛掷这个立方体，则朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的的概率是（　　）． A． B． C． D． 二、填空题 9．有50个数据，把它们分成五组，第一、二、三、四、五组的数据个数分别是3，7，14、x、6，则第四组的频率为 ． 10．某校开展以“我和我的祖国”为主题的“大合唱”活动，七年级准备从小明，小东、小聪三名男生和小红、小慧两名女生中各随机选出一名男生和一名女生担任领唱，则小聪和小慧被同时选中的概率是 ． 11．在一个不透明的袋子中装有4个白球，2个黑球，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，则摸到白球的概率为 ． 12．在一个不透明的口袋中有20个球，这些球除颜色外均相同，其中白球个，绿球个，其余为黑球．搅匀后，甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中搅匀，乙从袋中任意摸出一个球，若为黑球则乙获胜，若游戏对甲、乙双方都公平，则的值应为 ． 13．一个不透明的箱子里有若干个小球，这些小球除颜色外完全相同．箱子中有12个白球，剩下的都是红球，小颖经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，则红球的个数为 ． 14．现有四张正面分别标有数字﹣1，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背而面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n，则点P（m，n）在第二象限的概率为 ． 三、解答题 15．某批乒乓球的质量检验结果如下： 抽取的乒乓球数 200 500 1000 1500 2000 优等品频数 188 471 946 1426 1898 优等品频率 (1)这批乒乓球“优等品”的概率的估计值是多少？ (2)从这批乒乓球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋中． ①求从袋中摸出一个球是黄球的概率； ②现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于，问至少取出了多少个黑球？ 16．某篮球运动员在最近几场比赛中罚球投篮的结果如下： 投篮次数n 8 10 12 9 10 16 20 进球次数m 6 8 9 7 7 12 15 进球频率 (1)计算进球频率； (2)这位运动员投篮一次，进球的概率是多少？ 17．一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下： 摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000 摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667 摸到白球的频率 0.3600 0.3100 0.3250 0.3340 0.3325 0.3335 (1)该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是__________（精确到0.01），由此估出红球有__________个． (2)现从该袋中摸2次球，请用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，并求恰好摸到2个红球的概率． 18．随着初三的到来，同学们都进入紧张的初三冲刺阶段，为了了解年级同学们每天作业完成时间情况，现对年级部分同学进行调查统计，并制成如下两幅不完整的统计图：（其中A代表完成作业时间2小时，B代表完成作业时间2.5小时，C代表完成作业时间3小时，D代表睡眠时间3.5小时，E代表睡眠时间4小时），其中扇形统计图中“C”的圆心角为90°，请你结合统计图所给信息解答下列问题： (1)共抽取了　 　名同学进行调查，同学们的完成作业时间的中位数是　 　小时，并将条形统计图补充完整； (2)抽取调查的同学中，D类学生有两男两女，E类学生有两男一女，现要从D、E两类学生中各抽取一名同学，了解其每天晚上作业时间安排的具体情况，则抽取到的两名学生刚好是一男一女的概率是多少？ 19．某校开展主题为“防疫常识知多少”的调查活动，抽取了部分学生进行调查，调查问卷设置了：非常了解、：比较了解、：基本了解、：不太了解四个等级，要求每个学生填且只能填其中的一个等级，采取随机抽样的方式，并根据调查结果绘制成如图所示不完整的频数分布表和频率直方图，根据以上信息回答下列问题： 等级 频数 频率 20 0.4 15 10 0.2 0.1 （1）频数分布表中____________，____________，将频数分布直方图补充完整； （2）若该校有学生1000人，请根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”防疫常识的学生共有多少人？ （3）在“非常了解”防疫常识的学生中，某班有5个学生，其中3男2女，计划在这5个学生中随机抽选两个加入防疫志愿者团队，请用列表或画树状图的方法求所选两个学生中至少有一个女生的概率． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【详解】试题分析：画树状图得： ∵共有8种等可能的结果，经过3次传球后，球仍回到甲手中的有2种情况， ∴经过3次传球后，球仍回到甲手中的概率是：=． 故选B． 考点：列表法与树状图法． 2．C 【分析】先计算出样本中身高不低于170cm的频率，然后根据利用频率估计概率求解． 【详解】解：样本中身高不低于170cm的频率， 所以估计抽查该地区一名九年级男生的身高不低于170cm的概率是0.68． 故选：C． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 3．B 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】试题解析：列表如下： ba 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 12 13 14 15 16 17 18 19 2 23 24 25 26 27 28 29 3 34 35 36 37 38 39 4 45 46 47 48 49 5 56 57 58 59 6 67 68 69 7 78 79 8 89 9 共有种等可能的结果，其中的两位数占36种， 所以任意取出一个的两位数的概率 故选B． 4．A 【分析】先利用树状图展示所有4种等可能的结果数，其中可以构成完全平方式占2种，然后根据概率的概念计算即可． 【详解】解：画树状图如下：    共有4种等可能的结果数，其中可以构成完全平方式占2种， 所以可以构成完全平方式的概率=． 故选A． 【点睛】题目主要考查列表法与树状图法求概率及完全平方式，熟练掌握列表法或树状图法是解题关键． 5．B 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到白球的频率稳定在80%左右得到比例关系，列出方程求解即可． 【详解】解：由题意可得，×100%=80%， 解得，a=12． 故选：B． 【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系． 6．A 【分析】本题考查坐标系的概念，画树状图法求概率． 第二象限的点横坐标为负，纵坐标为正，根据题目要求画出树状图求概率即可． 【详解】解： ． 故选：A． 7．C 【分析】本题考查列表法求概率，列举出所有的可能性，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，两枚硬币落地后，朝上一面的情况有：（正，反），（正，正），（反，反），（反，正），共4种等可能的结果，其中落地后朝上一面相同的情况有2种， ∴； 故选C． 8．A 【详解】由题意可知，6和3相对，4和1相对，5和2相对，朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的的只有6和3．并且还得3朝上，6朝下，则可得到所求的结果． 9．0.4 【分析】根据各小组频数之和等于数据总和，即可求出第四组的频数，再根据频率=频数÷总数，进行计算. 【详解】解：根据题意，得：x=50-3-7-14-6=20， ∴第四组的频率为：. 故答案为0.4. 【点睛】本题考查了频数与频率. 10． 【分析】先画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出小聪和小慧被同时选中的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图如下： 可知：共有6种等可能的结果，其中小聪和小慧同时被选中的情况有1种， ∴小聪和小慧被同时选中的概率是， 故答案为：. 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有等可能的结果数，再找出某事件所占有的结果数，然后根据概率公式计算这个事件的概率． 11． 【分析】先算出总的球的个数，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：总的球数为：4+2=6个，其中白球数有4个 ∴从中随机摸出一个球，恰好是白球的概率为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数． 12．4 【分析】本题主要考查的是根据概率相同来判断游戏公平性以及一元一次方程的应用，计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平，概率等于所求情况数与总情况数之比； 【详解】解：若游戏对甲、乙双方都公平， ∴绿球与黑球的个数应相等，也为个， 根据题意可得：， 解得：． 故答案为：4． 13．4 【分析】此题考查了用频率估计概率，掌握“经过大量重复试验后，事件发生的频率会稳定在一个常数，这个常数等于该事件发生的概率”，据此即可解答． 【详解】解：∵摸到红球的频率稳定在， ∴摸到白球的频率稳定在， ∴箱子里球的总个数（个）， ∴红球的个数（个）， 故答案为：4． 14． 【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，利用第二象限内点的坐标特征确定点P（m，n）在第二象限的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图为： 共有16种等可能的结果数，其中点P（m，n）在第二象限的结果数为3， 所以点P（m，n）在第二象限的概率＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了点的坐标． 15．(1) (2)①；②9个 【分析】本题主要考查利用频率估计概率： （1）根据频率估计概率，频率都在0.946左右波动，所以可以估计这批乒乓球“优等品”概率的估计值是0.946； （2）①用黄球的个数除以球的总个数即可；②设从袋中取出了x个黑球，根据搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于， 列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：这批乒乓球“优等品”概率的估计值是0.946； （2）解：①∵袋中一共有球个，其中有5个黄球， ∴从袋中摸出一个球是黄球的概率为：；          ②设从袋中取出了个黑球，由题意得 ，解得， 故至少取出了9个黑球． 16．(1)见解析 (2)0.75 【分析】本题考查利用频率估计概率： （1）利用进球次数除以投篮次数，进行求解即可； （2）利用频率估算概率即可． 【详解】（1）解：利用进球次数除以投篮次数，填表如下： 投篮次数n 8 10 12 9 10 16 20 进球次数m 6 8 9 7 7 12 15 进球频率 0.75 0.8 0.75 0.78 0.7 0.75 0.75 （2）由表格可知：进球的概率是0.75． 17．(1)0.33，2； (2)所有可能得结果见解析，恰好摸到2个红球的概率为； 【分析】（1）根据表中频率的变化范围求得频率，再利用频率表示概率计算求值即可； （2）画出树状图，根据概率=所求事件的结果数÷总的结果数计算求值即可； 【详解】（1）解：观察表格发现，随着摸球次数的增多，摸到白球的频率逐渐稳定在0.33附近， 设红球有个，则，解得， 故答案为0.33，2； （2）解：画树状图如下： 由图可知，共有9种等可能的结果，其中恰好摸到2个红球的有4种， 所以从该袋中摸2次球，恰好摸到2个红球的概率为． 【点睛】本题考查了由频率估计概率，画树状图法求概率，掌握概率=所求事件的结果数÷总的结果数是解题关键． 18．(1)20，3，补图见解析；(2). 【分析】（1）由B情况的人数及其所占比例可得总人数，再分别求得C、A情况的人数，最后利用中位数的定义求解可得； （2）列表得出所有可能的情况数，再找出一男一女的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】(1)共抽取的同学人数=6÷30%=20（人）， 睡眠时间3小时左右的人数（人），睡眠时间2小时的人=20﹣6﹣5﹣4﹣3=2（人）， 按照睡眠时间从小到大排列，各组人数分别为2，6，5，4，3，共有20个数据， 第10个和第11个数据都是3小时，它们的平均数也是3小时， ∴同学们的睡眠时间的中位数是3小时左右； 将条形统计图补充完整如图所示： (2)列表得： 男 男 女 男 （男，男） （男，男） （男，女） 男 （男，男） （男，男） （男，女） 女 （女，男） （男，女） （女，女） 女 （女，男） （男，女） （女，女） 所有等可能的情况有12种，刚好是一男一女的6种， 抽取到的两名学生刚好是一男一女的概率是． 【点睛】此题考查了条形统计图，扇形统计图，中位数，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 19．（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）根据频率分布表计算出被调查的总人数，即可算出； （2）利用样本估计总体的统计思想，先求出调查结果中“非常了解”和“比较了解”的频率之和，再乘上该校总人数即可得到； （3）利用树状图列出所有的情况，选出满足条件的情况数，利用概率公式求解即可． 【详解】解：（1）被调查的总人数为：（人）， （人）， ， 故答案是：， （2）根据频数分布表知，“非常了解”和“比较了解”的频率之和为：， 利用样本估计总体的思想，若该校有学生1000人，校“非常了解”和“比较了解”防疫常识的学生共有：（人）； （3）设3男生对应大写字母，两女生对应大写字母，在这5个学生中随机抽选两个加入防疫志愿者团队的所有结果，利用树状图呈现如下： 共有种等可能结果，满足所选两个学生中至少有一个女生有：种， 由概率公式得所选两个学生中至少有一个女生的概率为：． 【点睛】本题考查了频率分布表、频率分布直方图、样本估计总体的统计思想、利用树状图或列表法求概率问题，解题的关键是：能从图表中获取信息，会画树状图列出所有的情况，利用概率公式求概率． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $