九年级数学上学期期末模拟卷（浙教版上册全部+九年级下册1-2章，高效培优强化卷）

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 强化卷·参考答案 (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 题序 1 2 4 5 6 7 6 9 10 答案 D B B B C C c D B D 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 11. 12.24. 13.9 14.2 15.14或0 16.-4<t<-2. 三、解答题（本题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(8分)(1)解：V3-2+V12-6sin30 -25+286月 =2+3-3 =V3-1;(4分) (2)解：2cos60°+4sin60°-tan30°-cos245° 1+2g31 32 =+5(4分) 18.(8分)(1)证明：CA=CB, ∴LA=LB, 1/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .LCDB=4A +LACD =4B +LACD, LCDB=2∠B, 2LB=4B+LACD, ∴LB=∠ACD, LA=LA, ∴△ABC一△ACD;(4分) (2)解：△ABC一△ACD, 小是器即是警 ∴.AC·BC=36,即BC2=36, ·BC=6(负值已舍去)， 即BC的长为6，(4分) 19.(8分)(1)证明：如图，连接CO, 'AB是⊙O的直径， ∠ACB=90°， .∠AC0+LBC0=90°， OA=OC, ·.LACO=LA, ∠BCD=LA, .∠ACO=LBCD, ·.∠BCD+LBCO=90°， 即∠OCD=90°， OC⊥CD, 'OC是⊙O的半径， ·CD是⊙O的切线；(4分) (2)解：如图，过C作CE⊥AB于E, 2/8 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D 0 B ∠D=30°，∠OCD=90°， ·.∠C0D=60°，∠AOC=∠D+∠OCD=30°+90°=120°， CE⊥AB于E, .L0EC=90°， ÷CE=0Csin60°=6×5-3V3(cm), ÷Sa40c=A0·CE=×6×3V5-93(cm2),S扇形o41c=120E-12π(cm2), 360 圆中阴影部分的面积=S扇形o4cS△4oc=(12元-9V5)cm2.(4分) 20.(8分)(1)解：连接BC,过点A作AG⊥BC于点G, B<----G C D ∴LAGB=90°， AB=AC,∠BAC=60°， ∠B4G=4B4C=号×60=30P, ÷4G=ABcos30°-20×3=10V5(cm), 即A到BC的距离为10v3cm;(4分) (2)解：连接BC,过点A作AG1BC于点G, ! B<-----G D E 3/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴LAGB-90°， 4B=AC=20cm,∠BAC的最大张角为75度. 此时LBAG=∠BAC=×75°=37.5°，BC=2BG, 在Rt△ABG中，sinzBAG=BC AB' :BG=ABsinzBAG=20×sin37.5°-≈20×0.61=12.2(cm), 则BC=2BG=2×12.2-24.4(cm)>24(cm), 此时能用取碗夹夹起这个盘子.(4分) 21.(8分)(1)解：根据题意得本次被调查的学生人数=3030%=100（人）， 喜爱足球的人数为：100-30-20-10-5=35（人)， 条形统计图如下所示， 个学生人数 40 30 30 20 20 10 10 篮球足球乒乓球羽毛球排球项目 故答案为：100；(2分) (2)解：“羽毛球”人数所占比例为：10÷100=10%， ∴扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数=360°×10%=36°， 故答案为：36°；(3分) (3)解：设甲、乙、丙、丁四名同学分别用字母A,B,C,D表示，根据题意画树状图如下： 开始 C D A C DAB D A B 一共有12种可能出现的结果，它们都是等可能的，符合条件的有两种， P(甲、乙两人被选中)吕(3分) 22.(10分)(1)解：观察表格可知，y是关于x的一次函数，m是关于y的一次函数， 设y=a+b,把x=30,y=70和x=32,y=60代入， 得： L60-32+6, 70=30k+b 解得：6-220' J=-5 4/8 命学科网·上好课 Www.2×xk.com 上好每一堂课 y=-5x+220; 设m=m+9,把y=70,m=1680和y=60,m=1440代入， 得：0282解得： .m=24y; 答：y关于x的函数解析式为y=-5x+220,m关于y的函数解析式为m=24y;(3分) (2)解：商品周销售利润为480元， y-m=480,即x(-5x+220)-24×(-5x+220)=480, 解得：x=32或x=36, m=24y, 商品的成本是每件24元， 商品的售价为32元/件或36元/件，符合题意， 答：当该商品周销售利润为480元时，此时商品的售价为32元/件或36元/件；(3分) (3)解：设周利润为w元， ∴根据题意得：w=y-m=x(-5x+220)-24×(-5x+220)=-5x2+340x-5280=-5(x-34)2+500, -5<0, 当x-34时，w取最大值500， 答：当该商品售价为34元/件时，周销售利润最大，最大利润是500元.(4分) 23.(10分)(1)解：如图1，CN即为所求∠ACB的平分线； 图1 证明：“M是半圆的中点， ∴.LAOM=90°， ·直径MN1直径AB, :.AN BN, ∴LACN=LBCN, 即CN平分LACB;(3分) 5/8 命学科网·上好课 Www.z×xk.com 上好每一堂课 (2)如图2中，射线CP即为所求. 图2 (3分) (3)过点F作M⊥BC于点M,FN⊥AC于点N. “AB是直径， ∴LACB=90°， AB=VAC2+BC2=V122+92=13, 'CF平分∠ACB,M⊥BC,FN⊥AC, ·M=FN, 器器器品 S△4CR 小爱架 S△4CF 六加=嘉B=号 故答案为：号(4分) 24.(12分)(1)解：△APQ~△ABC, 是品 .AP=t(cm),A0=AB-BO=6-t(cm),AC =4B2+BC2=10(cm), 品总 解得：1=：(4分) (2)如图，连接OQ, 6/8 命学科网·上好课 Www.2×xk.com 上好每一堂课 p B S△4Bc=AB·BC=24(cm2), 根据矩形的性质可得：S△4oB=S△4Bc=12(cm), :40=4S=5(cm, 2 ÷8aM05a0o68Sau08号g12360, S△4Pg=S△4oB11=1,则(6-)-1， 解得：1=3+或3(4分) (3)如图，Q1E1AC,E为垂足； 当BQ=EQ1时，⊙Q与AC相切，⊙Q与矩形ABCD的对角线有三个公共点； 当EQ1<BQ≤AB时，⊙Q与矩形ABCD的对角线有四个公共点； 当AB<BQ<Q,O时，⊙Q与矩形ABCD的对角线有三个公共点； 当BQ=QO时，⊙Q经过点O,⊙Q与矩形ABCD的对角线有二个公共点； 当Q2O<BQ≤AB时，⊙0与矩形ABCD的对角线有三个公共点； 故存在⊙Q与矩形ABCD的对角线有三个公共点， 4AEQ1=LABC=90°，∠EAQ1=∠BAC, ·△AQ1E~△ACB, 装-梁即 BC 8 10 解得：QE= 7/8 命学科网·上好课 Www.2×xk.com 上好每一堂课 作QF⊥BD,F为垂足； 门 B 同理可得△BQ,F~△ACB,Q0=QB=名， ~点Q的运动速度为每秒1cm, 当BQ=EQ1时，⊙Q与AC相切，⊙Q与矩形ABCD的对角线有三个公共点； 当AB<B0<QO时，⊙0与矩形ABCD的对角线有三个公共点； 当Q2O<BQ≤AB时，⊙Q与矩形ABCD的对角线有三个公共点； 1=或3<1<或曾<ts6.(4分) 8/8 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 强化卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：浙教版2012九年级上册全部+九年级下册1-2章。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据可得，然后代入式子计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：D． 2．关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．函数图象的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．该函数的最大值是1 D．函数图象的对称轴是直线 【答案】B 【分析】本题考查二次函数顶点式的图象和性质，包括开口方向、对称轴、最值和增减性．通过比较系数得出，顶点为，从而判断各选项即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，y随x的增大而增大，函数有最小值为1； 综上，只有选项B正确，符合题意； 故选B． 3．如图，点在上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，计算即可． 【详解】解：根据圆周角定理， 故选：B． 4．在的小正方形组成的网格中，的顶点都在网格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设小正方形的边长为1，根据题意，构造，则，解答即可． 本题考查了网格上计算正切函数值，熟练掌握定义，构造直角三角形是解题的关键． 【详解】解：设小正方形的边长为1， 根据题意，构造， 则， 故选：B． 5．一个不透明袋子中装有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，现从袋子中先后摸出两个球（不放回），则两个球颜色不同的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是利用画树状图与列表的方法求解随机事件的概率，根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小． 【详解】解：画树状图如图： 共有20种等可能的结果，而摸到的2个球颜色不相同的情况有12种，所以其概率为． 故选：C 6．如图，是的直径，弦交于点，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，垂径定理，掌握以上定理是解题的关键． 过点O作，连接，根据已知条件求得，，根据含30度角的直角三角形的性质即可求得，根据勾股定理即可求得，根据垂径定理即可得出答案． 【详解】解：过点O作，连接， ∵是的直径，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在中 ， ∵， ∴， 故选：C． 7．如图，质量为的小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的函数关系（可近似看作二次函数）如图所示．根据图象，下列说法正确的是（   ） A．小球从刚开始接触弹簧就开始减速 B．当小球的速度最大时，弹簧的长度是 C．若，则小球的最大速度为 D．当弹簧的长度为时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用待定系数法求函数解析式等内容，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．利用二次函数的图象和性质以及待定系数法逐项进行判断即可． 【详解】解：A、小球从刚开始接触弹簧速度并未开始减速，该选项错误，故不符合题意， B、由图象，可知当弹簧被压缩的长度为时，小球的速度最大，此时弹簧的长度为，故不符合题意； C、由图象，抛物线的对称轴为直线， ∴的对称点为， 假设抛物线的解析式为， 将代入解析式得，， 解得： ∴抛物线解析式为， 当时，函数值最大，最大值为， ∴在小球压缩弹簧的过程中，最大速度为，该选项正确，符合题意； D、当弹簧的长度为时，被压缩了，即, 由图象可知，二次函数的对称轴是，则与对应的速度相等，所以时，小球的速度与小球刚接触弹簧时速度不等，该选项错误，故不符合题意． 故选：C． 8．一种燕尾夹如图1所示，图2是闭合状态的示意图，，，，图3是打开状态的示意图，其中，则打开状态下，两点之间的距离为（    ） A．4cm B． C．3cm D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线等分线段定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 延长、交于点，连接，根据题意可得，进而证得，根据平行线等分线段定理可证得，设，则，进而证得，根据相似三角形的性质可求出的值，再证明，利用相似三角形的性质求出的长即可． 【详解】解：延长、交于点，连接，如图： 设，则， 解得 、 故选：D． 9．设二次函数（是实数），已知函数值和自变量的部分对应取值如表所示： …… 0 1 2 3 …… …… 0 2 …… 若这三个实数的积为正数，则的取值范围（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．由表格数据，求出二次函数解析式为，再用含a的式子表示出，根据解不等式，结合即可确定的取值范围． 【详解】解：将和代入，得：， 解得， ， ， ， ， ， ， 即， ， 临界点为，，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 或，满足， 的取值范围是或， 故选：B． 10．如图，内切于正方形，边分别与切于点，点分别在线段上，且与相切．若的面积为，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，切线长定理，勾股定理，设与相切于点，正方形的边长为，可得，，，设，，则，，，由勾股定理得，即得，又由，可得，即得，得到，进而即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：设与相切于点，正方形的边长为， ∵是切线， ∴，，， 设，，则，，， 在中，∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为， 故选：． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．某一枚质地均匀的骰子上面分别标着数字1，2，3，4，5，6．任意投掷这枚骰子一次，朝上点数是奇数的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键． 骰子有6个面，每个面朝上的可能性相等，总共有6种等可能的结果，点数为奇数的面有3个，据此利用概率的公式计算即可． 【详解】解：由题意得，共有6种等可能的结果，其中点数为奇数的结果有1、3、5，共3个， ∴朝上点数是奇数的概率是． 故答案为：． 12．如图，是的直径，P是延长线上一点；与相切于点C，若，则 ° 【答案】24 【分析】本题考查了直角三角形的性质，切线的性质，圆周角定理，连接，由切线的性质得，求出的度数，再根据圆周角定理即可得到，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 与相切于点C， ， ， ， ， 故答案为：24． 13．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，在上，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定及勾股定理，关键是列出成比例线段； 由平行可得，则，再利用点坐标求出，则可求． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 14．如图，在中，，垂足为，若，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形，先利用等腰直角三角形的正弦算出，再运用正切算出的值． 【详解】解：∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 15．如图，在等边中，边长为20，点为线段上一动点，将等边沿过的直线折叠，折痕与直线交于点，使点落在直线上的点处，且，设折痕为，则的值为 ． 【答案】14或 【分析】分点在上与的反向延长线上两类讨论，根据是等边三角形得到，，根据沿折叠得到可得，，，结合三角形内外角关系即可得到，即可得到，则可得，设，则，，代入比例式中，结合，求出x的值，即可得到答案． 【详解】解：①当点D在上时， ∵是等边三角形， ∴，， ∵沿折叠得到， ∴，，， 在中， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 设，则，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 解得，经检验，符合题意， ∴； ②当点D在的反向延长线上时， 与①同理可得，， ∴， ∵，且， ∴，， 设，则，， ∴， ∴，， ∴， ， ∴， 解得，经检验，符合题意， ． 故答案为：14或． 16．二次函数的图象上存在点与点，当时，满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象及性质，解一元一次不等式等．根据题意利用二次函数对称性可知，即，再由题意可得，解出即可得到本题答案． 【详解】解：∵二次函数的图象上存在点与点， ∴二次函数对称轴为直线， ∴，即， ∵， ∴， 解第三个不等式为：， 解第二个不等式为：， 再结合第一个不等式即：且， ∴的取值范围为：， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键： （1）将特殊角的三角函数值代入，计算即可； （2）将特殊角的三角函数值代入，再进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 18．（8分）如图，中，，点是线段上一点，连接，． (1)求证：； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由等边对等角得，由三角形外角的性质得，结合已知，等量代换即可得证，而，即可证明； （2）由相似三角形的性质得，结合，将相关值代入求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ，即， ，即， （负值已舍去）， 即的长为． 19．（8分）如图，是的直径，C为上一点，点D在的延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为．求圆中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，解直角三角形，不规则图形的面积，掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接，由圆周角定理得，即，进而根据等腰三角形的性质可得，即得，即可证明是的切线； （2）过C作于E，可得，，可得，最后根据圆中阴影部分的面积即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：如图，过C作于E， ，， ，， 于E， ， ， ，， 圆中阴影部分的面积． 20．（8分）图1是一款厨房常用的防烫取碗夹，图2是其侧面示意图．经测量：支架，的最大张角为75度． (1)当时，求到的距离． (2)若一长方形的盘子（盘子的厚度忽略不计）的长为，请判断此时能否用取碗夹夹起这个盘子？ 【答案】(1) (2)能 【分析】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的三线合一，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）连接，过点作于点，运用等腰三角形的性质，得，再列式计算，求出的长度， （2）与（1）同理得，，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：连接，过点作于点， ， ，， ， ， 即到的距离为； （2）解：连接，过点作于点， ， ∵，的最大张角为75度． 此时，， 在中，， ∴， 则， ∴此时能用取碗夹夹起这个盘子． 21．（8分）为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题： (1)本次被调查的学生有______名，补全条形统计图； (2)扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是______； (3)学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少？ 【答案】(1)100；图见解析 (2) (3) 【分析】本题考查树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂条形统计图和扇形统计图，掌握树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）用选择篮球的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生总人数：求出选择“足球”的人数，再补全条形统计图即可； （2）用选择羽毛球的人数除以本次被调查的学生总人数即可求出占比，再乘以360度即可求出圆心角； （3）画树状图得出所有等可能的结果数，以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得本次被调查的学生人数（人）， 喜爱足球的人数为：（人）， 条形统计图如下所示， 故答案为：100； （2）解：“羽毛球”人数所占比例为：， ∴扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数， 故答案为：； （3）解：设甲、乙、丙、丁四名同学分别用字母A，B，C，D表示，根据题意画树状图如下： ∵一共有12种可能出现的结果，它们都是等可能的，符合条件的有两种， ∴P（甲、乙两人被选中）． 22．（10分）某商店销售某种商品，市场调查得到其售价与周销售量：周销售成本的对应数据如下： 售价x元/件 30 32 35 37 周销售量y（件） 70 60 45 35 周销售成本m（元） 1680 1440 1080 840 (1)分析发现与，与之间的数量关系为一次函数，直接写出关于的函数解析式，关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)当该商品周销售利润为480元时，求此时商品的售价； (3)当该商品售价为多少元/件时，周销售利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)关于的函数解析式为，关于的函数解析式为 (2)当该商品周销售利润为480元时，此时商品的售价为32元/件或36元/件 (3)当该商品售价为34元/件时，周销售利润最大，最大利润是500元 【分析】（1）首先观察表格发现y是关于x的一次函数，m是关于y的一次函数，再利用待定系数法求出对应的函数解析式即可； （2）首先根据商品周销售利润为480元，列出对应的函数解析式，解得商品的售价为32元/件或36元/件，再根据得到成本是24元/件，来判断售价都符合题意，即可得到最终结果； （3）根据题意列出周销售利润的函数解析式，再利用二次函数的性质求出答案即可． 【详解】（1）解：观察表格可知，y是关于x的一次函数，m是关于y的一次函数， ∴设，把，和，代入， 得：，解得：， ∴； 设，把，和，代入， 得：，解得：， ∴； 答：关于的函数解析式为，关于的函数解析式为； （2）解：∵商品周销售利润为480元， ∴，即， 解得：或， ∵， ∴商品的成本是每件24元， ∴商品的售价为32元/件或36元/件，符合题意， 答：当该商品周销售利润为480元时，此时商品的售价为32元/件或36元/件； （3）解：设周利润为w元， ∴根据题意得：， ∵， ∴当时，w取最大值500， 答：当该商品售价为34元/件时，周销售利润最大，最大利润是500元． 23．（10分）如图，是的直径，点在上，请用无刻度直尺画图（保留作图痕迹，不写画法）． (1)如图1，若是半圆的中点，且与点在同一侧，画出的平分线．并说明理由； (2)如图2，若，画出的平分线； (3)在（2）的作图下，已知，，交直径于点，则______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图—复杂作图，圆周角定理，垂径定理，角平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）作直径，作射线即可，理由见详解； （2）连接交于点，作直线交于点，作射线即可，由可得，从而得出，从而得出，再由等腰三角形性质得出，推出，最后得出结论． （3）过点作于点，于点，勾股定理求出的长，根据角平分线的性质，得到，进而得到，根据同高三角形的面积比等于底边比，得到，进一步求解即可． 【详解】（1）解：如图1，即为所求的平分线； 证明：是半圆的中点， ， 直径直径， ， ， 即平分； （2）如图2中，射线即为所求． （3）过点F作于点，于点． 是直径， ， ， 平分，，， ， ， ， ， 故答案为：． 24．（12分）如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点P从点A出发，沿对角线向点C以每秒的速度移动；同时点Q从点B出发，沿线段向点A以每秒的速度移动．P，Q两点有一点到达终点时全部停止移动．连接，设点P移动时间为t秒，回答下列问题： (1)当t为何值时，? (2)当t为何值时，以O，P，Q，B为顶点的四边形的面积等于? (3)以点Q为圆心，的长为半径作．在运动过程中，是否存在与矩形的对角线有三个公共点，若存在，请直接写出t的值或取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或； (3)或或． 【分析】本题综合考查矩形性质、相似三角形判定、面积计算及圆与直线的位置关系，解题的关键在于利用几何性质建立方程或不等式，结合分类讨论思想分析不同情境下的数量关系． （1）根据相似三角形对应边成比例构建关于的方程求解即可； （2）根据构建关于的方程求解即可； （3）根据⊙Q与对角线的位置关系进行分类讨论，以此确定的范围． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，，， ∴， 解得：； （2）如图，连接， ∵， ∴根据矩形的性质可得：， ∵， ∴， ，则， 解得：或； （3）如图，，为垂足； 当时，⊙Q与相切，⊙Q与矩形的对角线有三个公共点； 当时，⊙Q与矩形的对角线有四个公共点； 当时，⊙Q与矩形的对角线有三个公共点； 当时，⊙Q经过点O，⊙Q与矩形的对角线有二个公共点； 当时，⊙Q与矩形的对角线有三个公共点； 故存在⊙Q与矩形的对角线有三个公共点， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：， 作，为垂足； 同理可得，， ∵点Q的运动速度为每秒1 ， 当时，⊙Q与相切，⊙Q与矩形的对角线有三个公共点； 当时，⊙Q与矩形的对角线有三个公共点； 当时，⊙Q与矩形的对角线有三个公共点； ∴或或． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 强化卷·考试版A4 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：浙教版2012九年级上册全部+九年级下册1-2章。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．函数图象的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．该函数的最大值是1 D．函数图象的对称轴是直线 3．如图，点在上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．在的小正方形组成的网格中，的顶点都在网格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．一个不透明袋子中装有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，现从袋子中先后摸出两个球（不放回），则两个球颜色不同的概率为（   ） A． B． C． D． 6．如图，是的直径，弦交于点，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．如图，质量为的小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的函数关系（可近似看作二次函数）如图所示．根据图象，下列说法正确的是（   ） A．小球从刚开始接触弹簧就开始减速 B．当小球的速度最大时，弹簧的长度是 C．若，则小球的最大速度为 D．当弹簧的长度为时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同 8．一种燕尾夹如图1所示，图2是闭合状态的示意图，，，，图3是打开状态的示意图，其中，则打开状态下，两点之间的距离为（    ） A．4cm B． C．3cm D． 9．设二次函数（是实数），已知函数值和自变量的部分对应取值如表所示： …… 0 1 2 3 …… …… 0 2 …… 若这三个实数的积为正数，则的取值范围（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 10．如图，内切于正方形，边分别与切于点，点分别在线段上，且与相切．若的面积为，则的半径为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．某一枚质地均匀的骰子上面分别标着数字1，2，3，4，5，6．任意投掷这枚骰子一次，朝上点数是奇数的概率是 ． 12．如图，是的直径，P是延长线上一点；与相切于点C，若，则 ° 13．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，在上，且，则 ． 14．如图，在中，，垂足为，若，，，则的值为 ． 15．如图，在等边中，边长为20，点为线段上一动点，将等边沿过的直线折叠，折痕与直线交于点，使点落在直线上的点处，且，设折痕为，则的值为 ． 16．二次函数的图象上存在点与点，当时，满足，则的取值范围为 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）计算： (1) (2) 18．（8分）如图，中，，点是线段上一点，连接，． (1)求证：； (2)当，时，求的长． 19．（8分）如图，是的直径，C为上一点，点D在的延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为．求圆中阴影部分的面积． 20．（8分）图1是一款厨房常用的防烫取碗夹，图2是其侧面示意图．经测量：支架，的最大张角为75度． (1)当时，求到的距离． (2)若一长方形的盘子（盘子的厚度忽略不计）的长为，请判断此时能否用取碗夹夹起这个盘子？ 21．（8分）为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题： (1)本次被调查的学生有______名，补全条形统计图； (2)扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是______； (3)学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少？ 22．（10分）某商店销售某种商品，市场调查得到其售价与周销售量：周销售成本的对应数据如下： 售价x元/件 30 32 35 37 周销售量y（件） 70 60 45 35 周销售成本m（元） 1680 1440 1080 840 (1)分析发现与，与之间的数量关系为一次函数，直接写出关于的函数解析式，关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)当该商品周销售利润为480元时，求此时商品的售价； (3)当该商品售价为多少元/件时，周销售利润最大，最大利润是多少元？ 23．（10分）如图，是的直径，点在上，请用无刻度直尺画图（保留作图痕迹，不写画法）． (1)如图1，若是半圆的中点，且与点在同一侧，画出的平分线．并说明理由； (2)如图2，若，画出的平分线； (3)在（2）的作图下，已知，，交直径于点，则______． 24．（12分）如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点P从点A出发，沿对角线向点C以每秒的速度移动；同时点Q从点B出发，沿线段向点A以每秒的速度移动．P，Q两点有一点到达终点时全部停止移动．连接，设点P移动时间为t秒，回答下列问题： (1)当t为何值时，? (2)当t为何值时，以O，P，Q，B为顶点的四边形的面积等于? (3)以点Q为圆心，的长为半径作．在运动过程中，是否存在与矩形的对角线有三个公共点，若存在，请直接写出t的值或取值范围；若不存在，请说明理由． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $