数列求和方法 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦数列求和，通过等差与等比数列公式对比导入，衔接公式法、分组、错位相减等求和方法，结合例题解析与变式训练搭建学习支架，帮助学生构建从基础到应用的知识脉络。 其亮点在于情境化例题（如侏罗纪蜘蛛网问题）培养数学眼光，逻辑推导（错位相减步骤）发展数学思维，符号化方法总结提升数学语言表达。学生能系统掌握求和技巧，教师可借助分层训练提升教学效率。

回忆一下 等差数列 等比数列 通项公式 前n项和公式 等差 等比 等差 等比 怎样求数列的和？ 倒序相加法 错位相减法 数列求和方法 例1. 侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图，它由无数 个正方形环绕而成，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外 围一层正方形四条边的三等分点上.有人说，如此下去，蜘蛛网 的长度将会无限地增大，那么侏罗纪蜘蛛网的长度真的是无限长 的吗？设外围第一个正方形的边长是 ，侏罗纪蜘蛛网的长度为 ，则( ) . B A.无限大 B. C. D.可以取 典例精析 [解析] 由题意可知，从外到内正方形的边长依次为 ， ，， ，则数列 是首项 为，公比为的等比数列，所以，由的表达式可知，越大， 越大，当趋于 时，趋近于，故 . 课下研读 P38例10 方法总结： 当一个数列或以判断（证明）是等差或等比数列时，求和使用公式求和法 一、公式求和法 典例精析 例2：去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理，预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨. 为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量 (精确到0.1万吨). 解：设从今年起每年生活垃圾的总量(单位:万吨)构成数列{an}，每年以环保方式处理的垃圾量(单位:万吨)构成数列{bn}，n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为Sn(单位:万吨)，则 =20(1.05+1.052+…+1.05n )(7.5+9+…+6+1.5n) 自主研读 P39例12 方法总结： 当一个数列或以判断（证明）是等差或等比数列时，求和使用公式求和法 一、公式求和法 二、分组求和法 当一个数列为{an±bn}，其中{an}{bn}为等差或等比时，求和使用分组求和法 也可用分组求和法：分奇、偶数项分别求和 并项求和法 典例精析 例3：求数列 的前n项和Tn ③等比数列求和(注意项数) ①写Sn与qSn ④同除以1－q写出Sn ②齐次式 错位相减 ② ① ①―②得 ② 例4 ：设Sn为等差数列{an}的前n项和，a1=3，公差d＝2， 设bn＝ ，求数列{bn}的前n项和Tn. 典例精析 解： a1＝3，d＝2， 求通项 裂项 ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn 所留的正项与负项的个数是否相同 （对称） 累加 消项 化简 ①将分式型的通项 an 进行裂项(注意配平系数保持等价)； ②求和，正负项相消，剩下的项有对称性(对称剩项)； 四、裂项相消法 方法总结： 例5： 已知函数y=f(x)满足f(x) + f(1-x) =1，若数列{an}满足 ，求数列{an}的前20项和. 典例精析 倒序相加法 典例精析 归纳总结 当一个数列或以判断（证明）是等差或等比数列时，求和使用公式求和法 一、公式求和法 二、分组求和法 当一个数列为{an±bn}，其中{an}{bn}为等差或等比数列时，求和使用分组求和法 三、错位相减法 当一个数列为{an•bn} ，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列时，求和使用错位相减法 适用于通项中含有(－1)n的数列[摆动数列] ; 也可分奇数项和偶数项分组求和 并项求和法 归纳总结 ①将分式型的通项 an 进行裂项(注意配平系数保持等价)； ②求和，正负项相消，剩下的项有对称性(对称剩项)； 四、裂项相消法 五、倒序相加法 累加法 累乘法 课后作业 课本P40 习题4.3 3（1） 课本P41 7，8，11 课本P56 11 ⸫Sn＝na1＋d＝n(n＋2)， ∴bn＝ ＝. ＝ ＝ ＝－. 常见的裂项公式有： 1 ； ② ； ③ ； ④eq \f(1,\r(n＋1)＋\r(n))＝eq \r(n＋1)－eq \r(n)； ⑤eq \f(1,\r(n＋k)＋\r(n))＝eq \f(1,k)(eq \r(n＋k)－eq \r(n))． 例6．（2021·浙江·高考真题）已知数列的前n项和为，，且. （1）求数列的通项； （2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. （1）当时，，， 当时，由①， 得②，①―②得 ， 又是首项为，公比为的等比数列， ； （2）由，得， 所以， ， 两式相减得 由得恒成立， 即恒成立， 时不等式恒成立； 时，，得； 时，，得； 所以. $