精品解析：上海市曹杨第二中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

高一数学阶段训练2 （20251216） 一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1~6题每题3分，第7~12题每题4分） 1. 设集合，，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据集合相等可得出关于的等式与不等式，即可解得的值. 【详解】因为集合，，且，故，解得. 故答案为：. 2. 若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由韦恩图可知阴影部分表示，根据集合间的运算直接可得解. 【详解】由韦恩图可知阴影部分表示， 又,，则， 所以. 故答案为： 3. 函数的定义域为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由函数有意义，得到，即可求解函数的定义域，得到答案． 【详解】由题意，要使函数有意义， 需满足，即，解得， 所以函数的定义域为：． 故答案为： 4. 函数的图象不经过第一象限，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】借助函数图像即可求解； 【详解】画出的图像，同时向下平移一个单位得到 结合图象可知：， 故答案为： 5. 试用函数观点解不等式，则该不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】令函数，再根据指数函数和幂函数的单调性得函数的单调性，结合特殊点即可求解. 【详解】令函数，定义域为， 因为为定义域内的增函数，为定义域内的减函数， 所以在定义域内单调递增，且， 对应不等式即为，从而得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 6. 已知 是定义在上的奇函数，且当 时，，则 __________． 【答案】 【解析】 【分析】由奇函数且定义域为，利用求出，再利用奇函数性质得即可. 【详解】由于 是定义在上的奇函数，则， 由于当 时，，则， 则， 则. 故答案为：. 7. 已知，则的最小值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】根据对数的运算性质可得x＋2y＝xy，利用基本不等式计算即可得出结果. 【详解】因为， 所以x＋2y＝xy，x＞0，y＞0，所以， 则， 当且仅当且，即x＝y＝3时取等号． 故答案为：9 8. 设，若关于x的不等式的解集是区间的真子集，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】原不等式等价于，分类讨论，，即可得出答案． 【详解】原不等式等价于， 当时，原不等式为，解集为，满足题意； 当时，原不等式解集为，不满足题意； 当时，原不等式解集为，要满足该解集是区间的真子集，只需，即 综上，的取值范围是 9. 设函数，若恒成立，则的最小值为______. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据对数的单调性可得时，；当时，；即可由恒成立得，由二次函数的性质即可求最值. 【详解】当时，；当时，， 当时，；当时，； 若恒成立，则必须，即， 所以， 所以当，时，取到最小值. 故答案为： 10. 已知函数，若的值域为，则实数c的取值范围是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，由函数最小值为2可得，再按结合的取值情况求解即得. 【详解】函数，当时，，当时，， 而，即有，依题意，，即，又，则有， 当时，函数在上的取值集合为，在  上 ，不符合题意， 于是，函数在上单调递增，则， 有，因此， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 11. 定义在上的奇函数满足:任意,且,若,则不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，根据条件求证其奇偶性和单调性，求解不等式即可. 【详解】因，则， 则在上单调递增， 因为奇函数，则， 则，即为奇函数， 则在上单调递增， 因，则， 则的解集，即的解集为. 故答案为： 12. 田同学向肖老师请教一个问题：已知三个互不相同的实数，，满足和，求的取值范围.肖老师告诉他：函数在区间上是严格增函数，在区间上是严格减函数，在区间上是严格增函数.根据肖老师的提示，可求得该问题中值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得：，，结合韦达定理和根的判别式可得，由，得，令，结合条件得到的单调性，从而得到值范围 【详解】由题和，，得， 所以，则，即， 又，所以由韦达定理得和为关于的方程的两个不等根， 所以，即，得， 再由，得，令， 根据题意可知：在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ，，，， 当时，，或，，不满足实数，，互不相同； 当时，，或，，不满足实数，，互不相同； 所以值范围是， 故答案为： 二、选择题（本大题共有4题，满分14分，第13、14题每题3分，第15、16题每题4分） 13. 下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合结论二分法只能求变号零点，结合图象确定正确选项. 【详解】根据二分法的概念可知二分法只能求变号零点， 观察选项A中的函数图象可知该函数没有变号零点，观察选项BCD中的函数图象可知对应的函数都存在变号零点， 所以选项A中函数不能用二分法求零点． 故选：A. 14. 设，则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件及不等式的性质得解. 【详解】取，满足，推不出且； 当且时，由不等式性质，可得且， 即成立， 故“”是“且”的必要不充分条件. 故选：B 15. 已知都是非空集合且，则函数的最大值与最小值的情况是（ ） A. 有最大值，但不一定有最小值； B. 有最小值，但不一定有最大值； C. 既有最大值，又有最小值； D. 不一定有最大值，也不一定有最小值. 【答案】A 【解析】 【分析】转化为与的值域问题，结合图象来求解. 【详解】，结合图象可知当时，取得最大值为，当时，取得最小值为. 在上递增，在上递减，结合图象可知，当时，取得最大值为，当时，取得最小值为. 所以有最大值为. 如，有最大值，有最小值. 如，此时有最大值，没有最小值. 所以有最大值，但不一定有最小值. 故选：A 16. 定义域和值域均为（常数）的函数和y=g(x)的图像如图所示，给出下列四个命题： （1）方程有且仅有三个解； （2）方程有且仅有三个解； （3）方程有且仅有九个解； （4）方程有且仅有一个解； 那么，其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】依题意，依次判断： （1）由于，可得方程有且仅有三个解； （2）由于，可得方程最多三个解； （3）方程的解最多有九个解； （4）由于，可得方程有且仅有一个解. 最后可求得结果. 【详解】（1）方程f[g（x）]＝0有且仅有三个解；g（x）有三个不同值，由于y＝g（x）是减函数，所以有三个解，正确； （2）方程g[f（x）]＝0有且仅有三个解；从图中可知，f（x）∈（0，a）可能有1，2，3个解，不正确； （3）方程f[f（x）]＝0有且仅有九个解；类似（2）不正确； （4）方程g[g（x）]＝0有且仅有一个解．结合图象，y＝g（x）是减函数，故正确． 故答案为①④． 故选B. 【点睛】本题考查了函数的图象及其性质、复合函数的图象与性质、方程的解与函数的零点之间的关系，考查了推理能力，考查了数形结合的思想方法，属于中档题. 三、解答题（本大题共有4题，满分44分） 17. 已知，. （1）若函数的定义域为，求的取值范围. （2）当时，判断函数在上的单调性，并用定义证明. 【答案】（1） （2）在上单调递减，证明如下： 令， 对任意的，且， 所以， 由在上单调递增， 所以， 又在单调递减， 所以， 所以， 所以在上单调递减. 【解析】 【分析】（1）由题意有的解集为，分和两种情况讨论即可求解； （2）利用复合函数单调性先判断的单调性，再利用单调性的定义证明即可. 【小问1详解】 由题意有：的解集为， 当时，由，解得，不满足题意， 当时，由，解得， 所以； 【小问2详解】 当时，在上单调递减，证明略. 18. 如图，在等腰梯形中，，，点沿折线移动，点沿折线移动.已知点P，Q同时从点A出发，P每秒移动2个单位长度，Q每秒移动3个单位长度，当点P，Q重合时，停止移动.设它们的运动时间为x秒，记的面积为S. （1）当时，求的面积S的值； （2）试将S表示为x的函数，并求当运动时间x为多少秒时，的面积S达到最大，最大值是多少? 【答案】（1） （2），当时，的最大值为 【解析】 【分析】（1）首先求出梯形的高，即可求出，当求出、，再求出的高，即可得解； （2）首先可判断，再分、、三种情况讨论，分别求出函数解析式，再根据分段说明函数的单调性，求出函数的取值范围，即可得解. 【小问1详解】 解：在等腰梯形中，，，则梯形的高为， 所以，则，所以， 当时，，，此时的高， 所以； 所以当时，求的面积S的值为 【小问2详解】 解：因为，又， 所以两点相遇于点， 因为，所以； 过两点分别作与垂直，垂足分别为． 由平面几何知识可得：，，，    ， ①当时，在线段（不含点）上，在上，且，， 此时的高 所以． ②当时，在线段（不含端点）上，在上，且， 所以．    ③当时，在线段（不含点）上，在上，且，， 此时的高    所以． 综上，. 当时，则在上单调递增， 又，所以． 当时，则在上单调递增，所以． 当时，， 所以在上单调递减，又，所以， 综上可得， 所以的最大值为，当且仅当时取得最大值. 19. 设函数. （1）求证：是偶函数； （2）若，使得成立，求实数的取值范围； （3）设函数，若方程在有唯一实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1） 函数的定义域为， 因为，都有，且， 故是偶函数. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由代入即可求解； （2）由已知代入可得，在上能成立，换元后利用二次函数的性质可求； （3）结合已知，代入可求，然后结合方程在有唯一实数解，利用换元法，结合二次函数的性质可求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 存在，使得成立， 即， 则在上能成立， 即， 设，则，， 则的对称轴方程为直线， 在单调递减，故，即. 【小问3详解】 由题意得， 设，又函数在上单调递增，则， 若方程在有唯一实数解，即 在上有唯一实数解， 即有唯一实数解 在上连续且单调递减，在上连续且单调递增， 又时，；时，， 所以的取值范围为. 20. 已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意的，都有，则称函数具有性质. （1）若函数具有性质，求的值； （2）证明：存在常数，使得函数具有性质； （3）若函数具有性质，且其图像是一条连续不断的曲线，证明：关于的方程有解. 【答案】（1） （2） 证明：需找到，使得对任意，. 左边化简为，故等式等价于（消去）， 即需证明方程有正实数解. 构造函数（）： 当时，； 当时，. 由零点存在定理，在内存在零点，满足，即. 因此存在，使得，即具有性质. （3） 证明：设，因为，所以， 设， 因为， 所以具有性质，， 令得，， ①若，则函数在存在零点； ②若，即时， 当时，， 即， 所以在区间存在零点； ③若，即， 由题意，用替换， 得，即. 应用该式次可得， 令，得，所以， 当时，， 即， 所以在区间存在零点； 综上所述，，都存在零点， 即对任意实数m，关于x的方程都有解． 所以关于的方程有解. 【解析】 【分析】（1）利用性质，通过代入和，逐步推导得的值； （2）化简性质对应的等式，转化为方程后，结合函数单调性与零点存在性确定的存在； （3）设，可知具有性质，分，和三种情况，结合零点存在性定理得出在上存在零点，即可证明． 【小问1详解】 因具有性质，即对任意，. 令，得； 令，得. 将代入，得，故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学阶段训练2 （20251216） 一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1~6题每题3分，第7~12题每题4分） 1. 设集合，，若，则_____． 2. 若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为_____. 3. 函数的定义域为_____． 4. 函数的图象不经过第一象限，则实数的取值范围为________． 5. 试用函数观点解不等式，则该不等式的解集为______. 6. 已知 是定义在上的奇函数，且当 时，，则 __________． 7. 已知，则的最小值为______． 8. 设，若关于x的不等式的解集是区间的真子集，则a的取值范围是______． 9. 设函数，若恒成立，则的最小值为______. 10. 已知函数，若的值域为，则实数c的取值范围是_______________． 11. 定义在上的奇函数满足:任意,且,若,则不等式的解集为________. 12. 田同学向肖老师请教一个问题：已知三个互不相同的实数，，满足和，求的取值范围.肖老师告诉他：函数在区间上是严格增函数，在区间上是严格减函数，在区间上是严格增函数.根据肖老师的提示，可求得该问题中值范围是______. 二、选择题（本大题共有4题，满分14分，第13、14题每题3分，第15、16题每题4分） 13. 下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（ ） A. B. C. D. 14. 设，则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 15. 已知都是非空集合且，则函数的最大值与最小值的情况是（ ） A. 有最大值，但不一定有最小值； B. 有最小值，但不一定有最大值； C. 既有最大值，又有最小值； D. 不一定有最大值，也不一定有最小值. 16. 定义域和值域均为（常数）的函数和y=g(x)的图像如图所示，给出下列四个命题： （1）方程有且仅有三个解； （2）方程有且仅有三个解； （3）方程有且仅有九个解； （4）方程有且仅有一个解； 那么，其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三、解答题（本大题共有4题，满分44分） 17. 已知，. （1）若函数的定义域为，求的取值范围. （2）当时，判断函数在上的单调性，并用定义证明. 18. 如图，在等腰梯形中，，，点沿折线移动，点沿折线移动.已知点P，Q同时从点A出发，P每秒移动2个单位长度，Q每秒移动3个单位长度，当点P，Q重合时，停止移动.设它们的运动时间为x秒，记的面积为S. （1）当时，求的面积S的值； （2）试将S表示为x的函数，并求当运动时间x为多少秒时，的面积S达到最大，最大值是多少? 19. 设函数. （1）求证：是偶函数； （2）若，使得成立，求实数的取值范围； （3）设函数，若方程在有唯一实数解，求实数的取值范围. 20. 已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意的，都有，则称函数具有性质. （1）若函数具有性质，求的值； （2）证明：存在常数，使得函数具有性质； （3）若函数具有性质，且其图像是一条连续不断的曲线，证明：关于的方程有解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $