第16讲 相交线（知识点+题型+强化训练） 2025-2026学年苏科版七年级数学上册同步讲义与测试

本讲义聚焦相交线核心知识点，系统梳理对顶角（含概念与性质）、垂直（定义及几何语言）、垂线画法（三步骤规范）、垂线段及点到直线距离（性质与区别），构建从概念认知到操作实践再到应用拓展的学习支架。 资料特色在于知识梳理设“特别提醒”辨析易混点培养数学思维，题型巩固融入村庄引水等情境题发展几何直观与空间观念，强化训练分层设计选择填空解答题助力数学语言应用。课中便于教师按题型授课，课后学生可针对性练习查漏补缺。

第16讲 相交线（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.对顶角 2.垂直 3.垂线的画法及基本事实 4.垂线段及点到直线的距离 题型巩固 一、相交线 二、垂线的定义理解 三、画垂线 四、垂线段最短 五、点到直线的距离 六、对顶角的定义 七、对顶角相等 八、邻补角的定义理解 九、找邻补角 十、利用邻补角互补求角度 强化训练 单选题（8） 填空题（5） 解答题（6） 知识梳理 知识点1.对顶角 1. 概念 两条直线相交所成的四个角中，有公共顶点没有公共边的两个角叫作对顶角. 在图6 .3-1 中，∠1和∠3是对顶角，∠2和∠4也是对顶角. 特别提醒：对顶角是成对出现的，指两个角之间的位置关系，一个角的对顶角只有一个. 2. 性质 两直线相交，对顶角相等. 特别提醒：(1)两个角互为对顶角，它们一定相等； (2)相等的两个角不一定是对顶角； (3)符号语言：因为∠1与∠2是对顶角，所以∠1＝∠2. 知识点2.垂直 1. 概念 如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么就称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足. 通常在图上垂足交角处标上“ ∟”，表明该角为直角. 表示方法：如图6 .3-3，两条直线互相垂直，记作“a⊥b”或“CD⊥AB”，垂足是O. 符号“⊥”读作“垂直”. 直线AB是CD的垂线，直线CD也是AB的垂线. 2. 几何语言 如图6.3-3. 因为∠AOC＝90°(已知)，所以AB⊥CD(垂直的概念).反过来：因为AB⊥CD(已知)，所以∠AOC＝90°(垂直的概念). 特别提醒：直角线垂直. 知识点3.垂线的画法及基本事实 1. 垂线的画法 经过一点(已知点在直线上或直线外)画已知直线的垂线. (1)利用三角板画已知直线的垂线，步骤如下： 步骤 内容 示例 一落 让三角板的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合 过点P作直线l的垂线： 二移 沿已知直线移动三角板，使其另一条直角边经过已知点 三画 沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线 (2)利用量角器画垂线； (3)利用方格纸画垂线，在方格纸中作图应根据方格纸的特征来操作. 2. 垂线的基本事实 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 知识点4.垂线段及点到直线的距离 1. 垂线段 (1)概念：过直线外一点画已知直线的垂线，连接这点与垂足之间的线段，叫作这点到已知直线的垂线段. 如图6.3-8，过直线l外一点P作l的垂线，垂足为O，线段PO叫作点P到直线l的垂线段. (2)性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短. (3)垂线、垂直与垂线段之间的区别与联系： ①区别：垂线是一条与已知直线垂直的直线 ；垂直是两条直线之间的位置关系；垂线段是一条与已知直线垂直的线段；②联系：垂线段所在的直线是已知直线的垂线；垂线段所在的直线与已知直线垂直. 2. 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离. (1)垂线段与点到直线的距离的区别：垂线段是一个几何图形，而点到直线的距离是一个数量，是垂线段的长度. (2)点到直线的距离与两点间的距离的区别： 两点间的距离 点到直线的距离 定义 连接两点的线段的长度 直线外一点到这条直线的垂线段的长度 性质 两点之间，线段最短 垂线段最短 题型巩固 题型一、相交线 1．（24-25七年级上·江苏南京·月考）若平面内两条直线，被第三条直线l3所截，则这三条直线把平面分成（   ）个部分． A．5或6 B．6 C．6或7 D．7或8 2．如图，用几何语言叙述图的含义是 ． 3．（23-24七年级上·江苏·期末）在同一平面内有条直线，设它们的交点个数为． 例如：当时，或（如图所示）． (1)当时，可以取哪些不同的值？请画图说明； (2)当时，的最大值为多少？请画图说明； (3)的最大值为__________（用含的式子表示） (4)当时，的最大值为多少？请画图说明． 题型二、垂线的定义理解 4．如图，在同一平面内，，，垂足为，则直线和直线重合的理由是（　　） A．两点确定一条直线 B．已知直线的垂线只有一条 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 5．三条直线相交，最多可以组成 个直角． 6．如图所示，直线、相交于点O，，，判断与的位置关系，并说明理由； 题型三、画垂线 7．过点作的垂线，下列选项中，三角板的放法正确的是（   ） A． B． C． D． 8．在平面内，已知点P在直线l外，则过点P可以画 条直线与直线l相垂直． 9．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）用无刻度直尺在网格中画图（图中的点、、、都在网格的格点上）：    (1)画直线交于点； (2)过点画一条直线，使得； (3)在直线上画出点，使最小． 题型四、垂线段最短 10．（24-25七年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，点M在边上（不与B，C两点重合），连接，则的长可能是（   ） A．6 B．5.5 C．4.5 D．3 11．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，已知，若G在线段上运动，则的最大值与最小值相差 m． 12．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，村庄A和村庄B位于一条笔直的公路l的两侧． (1)现要在公路l上设立一个公交站台C，使它到A、B两个村庄的距离之和最小．请在图中画出公交站C的位置，并说明理由． (2)一位A庄的居民有急事出门，打算打车前往目的地．请在图中画出公路l上最近上车点H的位置，并说明理由． 题型五、点到直线的距离 13．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，，，垂足分别为B、P．下列说法中错误的是（　　） A．线段的长是点P到的距离 B．、、三条线段，最短 C．线段的长是点A到的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 14．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，已知，，，，，则点到直线的距离等于 ；点到直线的垂线段是线段 ．    15．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）（1）在如图所示的方格纸中，点P是的边上的一点，不用量角器与三角尺，仅用直尺，完成下列各题： ①过点P画的垂线，垂足为H； ②在直线上找一点C，使得直线； （2）在上图中线段的长度是点P到直线________的距离，线段________的长度是点C到直线的距离．这三条线段大小关系是________．（用“”号连接） 题型六、对顶角的定义 16．（2023七年级上·江苏·专题练习）如图中，和是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 17．如图，直线，相交于点，则图中的对顶角有 ．    18．古城黄冈的旅游资源十分丰富，“桃林春色，柏子秋波”便是其八景之一．如图，你能设计出一种测量“柏子古塔”外墙底部的底角（图中）大小的方案吗？ 题型七、对顶角相等 19．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）如图，直线与相交，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 20．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，直线a、b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，发现表示的点在直线a上，表示的点在直线b上，则 ． 21．（22-23七年级上·江苏常州·期末）如图，直线、相交于点O，，平分． (1)求的度数； (2)若射线，求的度数． 题型八、邻补角的定义理解 22．下面四个图形中，与是邻补角的是（    ） A． B． C． D． 23．如图，直线，，相交于点，则的邻补角有 个．    24．推理与验证： 一副直角三角板按下图摆放，可以推出． 推理过程如下： 因为，，所以，，所以． 如图，两条直线相交于点，请你仿照左边的推理过程，推出． 推理过程如下： 题型九、找邻补角 25．如图，图中邻补角有几对（    ）    A．4对 B．5对 C．6对 D．8对 26．如图，点O是直线 上一点，自点O引射线，图中共有 对邻补角． 27．如图所示，直线，，相交于点O． (1)请写出的对顶角； (2)请写出的邻补角． 题型十、利用邻补角互补求角度 28．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如图，将长方形纸条折叠，若，则（ ）° A．60 B．70 C．80 D．100 29．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，点，，在同一条直线上，，，分别是，的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 强化训练 一、单选题 1．下列各图中，和是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在同一平面内过点画直线的垂线，能画（　　） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 3．如图，计划从河边引水到处，从，，，四处地方何处引水，所用水管最短（   ） A．处 B．处 C．处 D．处 4．点是直线外一点，在直线上．经过测量，，，，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 5．如图，直线与直线相交于点O，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 7．以下说法正确的有（   ） ①有理数包括正有理数和负有理数；②同角（或等角）的余角相等；③两点之间，直线最短；④“铅垂线”可用来检验平面与水平面是否垂直． A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 8．图1是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即（如图2）反射光线与入射光线、法线在同一平面上，法线垂直于平面镜，反射光线和入射光线位于法线的两侧，反射角等于入射角．如图3，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜，利用光的反射原理找到了乒乓球的位置，已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，现要从村庄A修建一条连接公路的最短小路，过点A作于点H，沿修建公路，则这样做的理由是 10．如图，直线，相交于点，平分，若，则的度数是 ． 11．如图，为直线上一点，射线平分，射线平分，且，则的度数为 ． 12．已知直线和相交于点，射线于点，且，则的度数为 度． 13．如图，点O在直线上，平分，，，设，利用方程的思想，求得 ． 三、解答题 14．如图所示，AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，已知∠AOC＝120°，求∠BOD、∠AOE的度数． 15．如图，O是直线上一点，，求的度数． 16．如图，根据图形填空： (1) ． (2) ． 17．如图，直线相交于点，于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 18．如图，是平面内三点． （1）按要求作图：请先用铅笔作图，确认无误后，再用黑色水笔描深． ①作射线，过点作直线，使两点在直线两旁； ②过点作直线的垂线段，垂足为； ③点为直线上任意一点，点为射线上任意一点，连结线段． （2）在（1）所作图形中，若点到直线的距离为2，点到射线的距离为5，点、之间的距离为8，点之间的距离为6，则的最小值为__________，依据是___________． 19．如图，直线AB，CD相交于点O，． (1)若，判断ON与CD的位置关系．请将下面的解题过程补充完整，在括号内填写理由． 解：ON______CD．理由如下： 因为，所以______°． 所以______． 又因为，所以______（等量代换）， 即． 所以__________（__________）． (2)若，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 相交线（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.对顶角 2.垂直 3.垂线的画法及基本事实 4.垂线段及点到直线的距离 题型巩固 一、相交线 二、垂线的定义理解 三、画垂线 四、垂线段最短 五、点到直线的距离 六、对顶角的定义 七、对顶角相等 八、邻补角的定义理解 九、找邻补角 十、利用邻补角互补求角度 强化训练 单选题（8） 填空题（5） 解答题（6） 知识梳理 知识点1.对顶角 1. 概念 两条直线相交所成的四个角中，有公共顶点没有公共边的两个角叫作对顶角. 在图6 .3-1 中，∠1和∠3是对顶角，∠2和∠4也是对顶角. 特别提醒：对顶角是成对出现的，指两个角之间的位置关系，一个角的对顶角只有一个. 2. 性质 两直线相交，对顶角相等. 特别提醒：(1)两个角互为对顶角，它们一定相等； (2)相等的两个角不一定是对顶角； (3)符号语言：因为∠1与∠2是对顶角，所以∠1＝∠2. 知识点2.垂直 1. 概念 如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么就称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足. 通常在图上垂足交角处标上“ ∟”，表明该角为直角. 表示方法：如图6 .3-3，两条直线互相垂直，记作“a⊥b”或“CD⊥AB”，垂足是O. 符号“⊥”读作“垂直”. 直线AB是CD的垂线，直线CD也是AB的垂线. 2. 几何语言 如图6.3-3. 因为∠AOC＝90°(已知)，所以AB⊥CD(垂直的概念).反过来：因为AB⊥CD(已知)，所以∠AOC＝90°(垂直的概念). 特别提醒：直角线垂直. 知识点3.垂线的画法及基本事实 1. 垂线的画法 经过一点(已知点在直线上或直线外)画已知直线的垂线. (1)利用三角板画已知直线的垂线，步骤如下： 步骤 内容 示例 一落 让三角板的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合 过点P作直线l的垂线： 二移 沿已知直线移动三角板，使其另一条直角边经过已知点 三画 沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线 (2)利用量角器画垂线； (3)利用方格纸画垂线，在方格纸中作图应根据方格纸的特征来操作. 2. 垂线的基本事实 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 知识点4.垂线段及点到直线的距离 1. 垂线段 (1)概念：过直线外一点画已知直线的垂线，连接这点与垂足之间的线段，叫作这点到已知直线的垂线段. 如图6.3-8，过直线l外一点P作l的垂线，垂足为O，线段PO叫作点P到直线l的垂线段. (2)性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短. (3)垂线、垂直与垂线段之间的区别与联系： ①区别：垂线是一条与已知直线垂直的直线 ；垂直是两条直线之间的位置关系；垂线段是一条与已知直线垂直的线段；②联系：垂线段所在的直线是已知直线的垂线；垂线段所在的直线与已知直线垂直. 2. 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离. (1)垂线段与点到直线的距离的区别：垂线段是一个几何图形，而点到直线的距离是一个数量，是垂线段的长度. (2)点到直线的距离与两点间的距离的区别： 两点间的距离 点到直线的距离 定义 连接两点的线段的长度 直线外一点到这条直线的垂线段的长度 性质 两点之间，线段最短 垂线段最短 题型巩固 题型一、相交线 1．（24-25七年级上·江苏南京·月考）若平面内两条直线，被第三条直线l3所截，则这三条直线把平面分成（   ）个部分． A．5或6 B．6 C．6或7 D．7或8 【答案】C 【知识点】相交线 【分析】本题考查了直线定义，相交线，掌握直线的位置关系是解题的关键． 根据题意，画出图形，分两种情况：①，不平行；②，平行时，进行解答即可． 【详解】解：分两种情况： ①若，不平行，如图所示， 观察图形可知，这三条直线把平面分成7个部分． ②若，平行，如图所示， 观察图形可知，这三条直线把平面分成6个部分， 综上所述，这三条直线把平面分成6或7个部分． 故选：C． 2．如图，用几何语言叙述图的含义是 ． 【答案】线段AB和直线c相交于点P 【知识点】相交线 【分析】本题主要考查了几何语言运用，掌握数学术语比较重要．利用几何语言叙述． 【详解】解：图中有线段，直线c,它们相交于点P；用几何语言叙述图的含义是：线段和直线c相交于点P． 故答案为：线段和直线c相交于点P． 3．（23-24七年级上·江苏·期末）在同一平面内有条直线，设它们的交点个数为． 例如：当时，或（如图所示）． (1)当时，可以取哪些不同的值？请画图说明； (2)当时，的最大值为多少？请画图说明； (3)的最大值为__________（用含的式子表示） (4)当时，的最大值为多少？请画图说明． 【答案】(1)0,1,2,3； (2)6 (3) (4)7 【知识点】相交线、图形类规律探索 【分析】本题主要考查了直线的交点、图形规律等知识点，根据题意画出图形、归纳规律并应用规律是解题的关键． （1）画出3条直线交点的所有情况即可解答； （2）画出4条直线交点的所有情况即可解答； （3）根据、3、4归纳出规律即可解答； （4）根据题意画出图形即可解答． 【详解】（1）解：如图：当时，的值可以有：0，1，2，3． （2）解：如图：当时，m的最大值为6．    （3）解：由题意可知： 当时，m的最大值为， 当时，m的最大值为， 当时，m的最大值为， …… 当时，m的最大值为，则m的最大值为． 故答案为：． （4）解：如图：当时，的最大值为7．    题型二、垂线的定义理解 4．如图，在同一平面内，，，垂足为，则直线和直线重合的理由是（　　） A．两点确定一条直线 B．已知直线的垂线只有一条 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【知识点】垂线的定义理解 【分析】本题考查了垂线的定义，直接利用垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进而判断得出答案，掌握垂线的定义是解题的关键． 【详解】解：在同一平面内，，，垂足为，则直线和直线重合的理由是：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：． 5．三条直线相交，最多可以组成 个直角． 【答案】12 【知识点】相交线、垂线的定义理解 【分析】本题考查了直线相交后角的个数问题，垂直定义．解题的关键是熟练掌握直角的定义．根据两条直线相交最多可以出现4个直角，得出三条直线相交，每两条直线都互相垂直时，最多出现的直角个数即可． 【详解】解：两条直线相交且互相垂直时，最多可以出现4个直角，先让两条直线互相垂直得到4个直角，在空间内，再让第三条直线与前面的两条直线都互相垂直，这样又可以得到个直角， ∴三条直线相交，最多可以组成个直角． 故答案为：12． 6．如图所示，直线、相交于点O，，，判断与的位置关系，并说明理由； 【答案】，证明见解析 【知识点】相交线、垂线的定义理解 【分析】本题主要考查了角度的计算，垂直的定义等知识，根据可得，问题随之得解． 【详解】位置关系：． 理由如下：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， ∴． 题型三、画垂线 7．过点作的垂线，下列选项中，三角板的放法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】画垂线 【分析】本题考查了垂线，根据垂线的定义，即可解答． 【详解】解：过点作的垂线，下列选项中，三角板的放法正确的是 故选：C 8．在平面内，已知点P在直线l外，则过点P可以画 条直线与直线l相垂直． 【答案】一/1 【知识点】画垂线 【分析】应用垂线的性质，在平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进行判断即可得出答案． 【详解】解：在平面内，已知点P在直线l外，则过点P可以画一条直线与直线l相垂直． 故答案为：一． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，熟练掌握垂线的性质进行求解是解决本题的关键． 9．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）用无刻度直尺在网格中画图（图中的点、、、都在网格的格点上）：    (1)画直线交于点； (2)过点画一条直线，使得； (3)在直线上画出点，使最小． 【答案】(1)见解析图； (2)见解析图； (3)见解析图． 【知识点】画垂线、画出直线、射线、线段 【分析】（）连接，交于一点， 该点即为点； （）取格点，连接并延长，此时直线到直线的距离处处相等，； （）根据题意，得，由垂线段最短，得最小时， 最小，则取格点，连接，即作即可； 本题考查了作图-复杂作图，解题的关键是正确理解复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法． 【详解】（1）如图，连接，交于一点，    ∴点为所求； （2）如图，取格点，连接并延长，此时直线到直线的距离处处相等，，    ∴直线为所求； （3）如图，    ∵点在直线上， ∴， ∵的值是固定不变的， ∴当最小时，最小，即时，最小， ∴取格点，连接，此时， ∴点为所求． 题型四、垂线段最短 10．（24-25七年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，点M在边上（不与B，C两点重合），连接，则的长可能是（   ） A．6 B．5.5 C．4.5 D．3 【答案】C 【知识点】垂线段最短 【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短，得到的取值范围，进行判断即可． 【详解】，，， ， ， 的长可能是， 故选：C 11．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，已知，若G在线段上运动，则的最大值与最小值相差 m． 【答案】5 【知识点】垂线段最短 【分析】此题考查了垂线段最短．根据垂线段最短求出的最小值，再根据题意得到的最大值，即可求出答案． 【详解】解：根据题意可知，当运动到点E时，根据垂线段最短可知此时取最小值，， 当运动到点C时，根据题意可知此时取最大值，， ∴的最大值与最小值相差， 故答案为：5 12．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，村庄A和村庄B位于一条笔直的公路l的两侧． (1)现要在公路l上设立一个公交站台C，使它到A、B两个村庄的距离之和最小．请在图中画出公交站C的位置，并说明理由． (2)一位A庄的居民有急事出门，打算打车前往目的地．请在图中画出公路l上最近上车点H的位置，并说明理由． 【答案】(1)作图见解析，理由：两点之间，线段最短； (2)作图见解析，理由：垂线段最短； 【知识点】垂线段最短、两点之间线段最短 【分析】本题考查作图应用与设计作图，两点之间线段最短，垂线段最短，树立了掌握它们的性质是解题的关键； （1）连接与直线l的交于点C即为所求； （2）过点A作交于点H，即为所求． 【详解】（1）解：（1）如图所示：连接与直线l的交点即为所求的点C， ， 理由：两点之间，线段最短， （2） 如图所示：点H即为所求；， 理由：垂线段最短． 题型五、点到直线的距离 13．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，，，垂足分别为B、P．下列说法中错误的是（　　） A．线段的长是点P到的距离 B．、、三条线段，最短 C．线段的长是点A到的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 【答案】C 【知识点】垂线段最短、点到直线的距离 【分析】本题考查垂线段最短，点到直线的距离，关键是掌握点到直线距离的定义，垂线段最短． 直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，垂线段最短，由此即可判断． 【详解】解：A、线段的长是点P到的距离，正确，故A不符合题意； B、由垂线段最短得到，，，因此最短，故B不符合题意； C、线段的长是点A到的距离，故C符合题意； D、线段的长是点C到直线的距离，正确，故D不符合题意． 故选：C． 14．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，已知，，，，，则点到直线的距离等于 ；点到直线的垂线段是线段 ．    【答案】 【知识点】点到直线的距离 【分析】本题考查垂线段、点到直线距离的定义，熟练掌握垂线段和点到直线的距离定义是解题的关键．根据“从直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段，叫作垂线段．”、“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离．”即可得答案． 【详解】解：根据垂线段、点到直线距离的定义可知，点到直线的距离等于的长度，即为4．点到直线的垂线段是线段． 故答案为：4，． 15．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）（1）在如图所示的方格纸中，点P是的边上的一点，不用量角器与三角尺，仅用直尺，完成下列各题： ①过点P画的垂线，垂足为H； ②在直线上找一点C，使得直线； （2）在上图中线段的长度是点P到直线________的距离，线段________的长度是点C到直线的距离．这三条线段大小关系是________．（用“”号连接） 【答案】（1）①图见解析；②图见解析 （2）直线； 【知识点】垂线段最短、点到直线的距离、画垂线 【分析】本题考查了网格线的特征和垂线、垂线段的性质等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据网格线的特征作图即可； （2）根据点到直线的距离和垂线段最短求解即可． 【详解】解：（1）如图所示：①即为所求； ②如图所示：即为所求； （2）线段的长度是点到直线的距离，线段的长度是点到直线的距离．、、这三条线段大小关系是， 故答案为：，，． 题型六、对顶角的定义 16．（2023七年级上·江苏·专题练习）如图中，和是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题考查了对顶角的定义，如果两个角有公共顶点，其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角是对顶角．一般地，两条直线相交能形成两对对顶角．根据对顶角的定义分析即可． 【详解】解：由对顶角的定义可知， 图中的和是对顶角， 故选：B． 17．如图，直线，相交于点，则图中的对顶角有 ．    【答案】与，与． 【知识点】对顶角的定义 【分析】根据对顶角的定义即可求得答案． 【详解】根据对顶角的定义可知，图中的对顶角有与，与． 故答案为：与，与． 【点睛】本题主要考查对顶角，牢记对顶角的定义（两角有公共顶点，且一个角的两边是另外一个角两边的反向延长线，具有这种位置关系的角，互为对顶角）是解题的关键． 18．古城黄冈的旅游资源十分丰富，“桃林春色，柏子秋波”便是其八景之一．如图，你能设计出一种测量“柏子古塔”外墙底部的底角（图中）大小的方案吗？ 【答案】见解析 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题考查了对顶角相等的定义，熟悉其知识点是解题的关键. 【详解】解：能； 如图，分别延长至点， 量出的度数，． 题型七、对顶角相等 19．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）如图，直线与相交，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对顶角相等 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，理解对顶角相等时解题关键．根据“对顶角相等”可得，结合即可获得答案． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B． 20．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，直线a、b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，发现表示的点在直线a上，表示的点在直线b上，则 ． 【答案】80 【知识点】对顶角相等 【分析】本题考查了角的计算，对顶角相等，熟练掌握对顶角相等这条性质是解题的关键． 先计算的度数，后利用对顶角相等确定即可． 【详解】解：如图， 根据题意，得， ∵， ∴， 故答案为：80． 21．（22-23七年级上·江苏常州·期末）如图，直线、相交于点O，，平分． (1)求的度数； (2)若射线，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【知识点】对顶角相等、垂线的定义理解 【分析】本题考查了对顶角，角平分线，垂直的定义，解题的关键是∶ （1）利用对顶角的性质求出的度数，然后利用角平分线的定义求解即可； （2）分在的上方和下方讨论即可． 【详解】（1）解∶∵， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：当在的上方时，如图， ， ∵， ∴， 由（1）知， ∴； 当在的下方时，如图， ∴； 综上，的度数为或． 题型八、邻补角的定义理解 22．下面四个图形中，与是邻补角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】邻补角的定义理解 【分析】利用邻补角的定义进行判断即可． 【详解】解：A、两个角首先要相邻，由图知，此选项不符合题意； B、两个角要相邻，由图知，此选项不符合题意； C、两个角既相邻又互补，此选项符合题意； D、两个角相邻，但不互补，此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查的是邻补角的定义，解题关键是明白定义的本质，一是相邻，二是互补． 23．如图，直线，，相交于点，则的邻补角有 个．    【答案】2 【知识点】邻补角的定义理解 【分析】根据邻补角的定义即可解答． 【详解】解：根据邻可知：的邻补角是或，共2个． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了邻补角的定义，两个角有一条公共边,它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫做邻补角． 24．推理与验证： 一副直角三角板按下图摆放，可以推出． 推理过程如下： 因为，，所以，，所以． 如图，两条直线相交于点，请你仿照左边的推理过程，推出． 推理过程如下： 【答案】见解析 【知识点】邻补角的定义理解 【分析】本题考查了等角的补角相等．利用邻补角的关系求得，，据此即可证明． 【详解】解：因为，， 所以，， 所以． 题型九、找邻补角 25．如图，图中邻补角有几对（    ）    A．4对 B．5对 C．6对 D．8对 【答案】D 【知识点】找邻补角 【分析】根据邻补角的概念判断即可． 【详解】解：与，与，与，与，与，与，与，与是邻补角，共8对， 故选：D． 【点睛】本题考查的是邻补角的概念，只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，称为互为邻补角． 26．如图，点O是直线 上一点，自点O引射线，图中共有 对邻补角． 【答案】4 【知识点】找邻补角 【分析】此题考查了邻补角定义：和为180度的两个有公共顶点且有公共边的角是邻补角，根据定义直接解答． 【详解】解：根据图形可知， ，，，， 故答案为4． 27．如图所示，直线，，相交于点O． (1)请写出的对顶角； (2)请写出的邻补角． 【答案】(1) (2)， 【知识点】对顶角的定义、找邻补角 【分析】本题考查对顶角和邻补角的概念． （1）如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角． （2）两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做互为邻补角． 【详解】（1）根据对顶角的概念可得：的对顶角是， （2）根据邻补角的概念可得：的邻补角是，． 题型十、利用邻补角互补求角度 28．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如图，将长方形纸条折叠，若，则（ ）° A．60 B．70 C．80 D．100 【答案】C 【知识点】利用邻补角互补求角度 【分析】先根据邻补角的定义求出，再根据折叠的性质即可求解；本题主要考查了邻补角的性质，折叠的性质． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 29．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，点，，在同一条直线上，，，分别是，的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用邻补角互补求角度、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角的计算，角的平分线，角的和差关系； （1）根据题意，得到结合，分别是，的平分线得．结合计算即可； （2）根据，，得到，结合计算即可． 【详解】（1）根据题意， 得到， ∵，分别是，的平分线 ∴． ∵, ∴； （2）∵，， ∴， ∵ ∴． 强化训练 一、单选题 1．下列各图中，和是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，熟练掌握对顶角的定义是解题的关键．根据对顶角的定义逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、和不是对顶角，是邻补角，故本选项不符合题意； B、和不是对顶角，故本选项不符合题意； C、和是对顶角，故本选项符合题意； D、和不是对顶角，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．如图，在同一平面内过点画直线的垂线，能画（　　） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】B 【分析】此题主要考查了垂线的性质，根据“在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直”即可得出答案． 【详解】解：根据“在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直”得：在同一平面内过点A画直线m的垂线，只能画一条． 故选：B． 3．如图，计划从河边引水到处，从，，，四处地方何处引水，所用水管最短（   ） A．处 B．处 C．处 D．处 【答案】B 【分析】本题考查了垂线段最短，熟记垂线段的性质是解题的关键． 根据垂线段的性质：垂线段最短，可得答案． 【详解】解：∵， 由垂线段最短可知，从处引水，能使所用的水管最短． 故选：B ． 4．点是直线外一点，在直线上．经过测量，，，，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查直线外一点与直线上的所有连线中垂线段距离最短，解决本题的关键是要熟练掌握点到直线的距离的性质； 根据直线外一点与直线上的所有连线中，垂线段最短，进行作答，即可求解； 【详解】解：∵点是直线外一点，在直线上，且，，， ∴直线外一点与直线上的所有连线中垂线段最短可得：点到直线的距离小于或等于， 故选：D； 5．如图，直线与直线相交于点O，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角相等的性质以及余角的和等于的性质，需要熟练掌握． 首先由余角的定义求得；然后根据对顶角的定义来求的度数． 【详解】∵于O， ∴． 又∵ ， ∴， ∴． 故选：A． 6．利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂线的概念，熟练掌握垂线的作图是解题的关键，根据垂线的概念作图即可得到答案． 【详解】解：垂线的作图步骤：将三角尺的一条直角边与重合，另一条直角边过点后沿该直角边画直线，可得直线的垂线， ∴C选项的画法正确， 故选：C． 7．以下说法正确的有（   ） ①有理数包括正有理数和负有理数；②同角（或等角）的余角相等；③两点之间，直线最短；④“铅垂线”可用来检验平面与水平面是否垂直． A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】B 【分析】本题考查有理数的分类，余角，线段的性质，垂线的应用，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：有理数包括正有理数，负有理数和0，故①说法错误； 同角（或等角）的余角相等；故②说法正确； 两点之间，线段最短；故③说法错误； “铅垂线”可用来检验平面与水平面是否垂直；故④说法正确； 故选B． 8．图1是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即（如图2）反射光线与入射光线、法线在同一平面上，法线垂直于平面镜，反射光线和入射光线位于法线的两侧，反射角等于入射角．如图3，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜，利用光的反射原理找到了乒乓球的位置，已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂直的定义，等角的余角相等以及对顶角相等．由垂直的定义得，根据平面镜反射规律及等角的余角相等得到，由对顶角相等得到，即可得解．解题的关键是理解并掌握平面镜反射规律． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故选：B． 二、填空题 9．如图，现要从村庄A修建一条连接公路的最短小路，过点A作于点H，沿修建公路，则这样做的理由是 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短，作答即可． 【详解】解：过点A作于点H，沿修建公路，则这样做的理由是垂线段最短； 故答案为：垂线段最短． 10．如图，直线，相交于点，平分，若，则的度数是 ． 【答案】/145度 【分析】本题考查对顶角、邻补角以及角平分线，掌握对顶角相等，邻补角、角平分线的定义是正确解答的关键．根据对顶角相等，邻补角以及角平分线的定义进行计算即可． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 11．如图，为直线上一点，射线平分，射线平分，且，则的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题主要考查了几何图形中的角度计算问题，角平分线的有关计算，利用邻补角互补求角度等知识点，熟练掌握几何图形中的角度计算问题是解题的关键． 由邻补角互补可得，由射线平分可得，由邻补角互补可得，由射线平分可得，然后根据即可得出答案． 【详解】解：， ， 射线平分， ， ， 射线平分， ， ， 的度数为， 故答案为：． 12．已知直线和相交于点，射线于点，且，则的度数为 度． 【答案】或 【分析】本题考查了对顶角、邻补角、角的计算，熟记概念并准确画图是解题的关键． 根据垂直的定义求出，然后求出或，再根据邻补角或对顶角相等即可解答． 【详解】解：分为两种情况： 如图： ， ， 又， ， ； 如图： ， ， ， ， 又直线和相交于点， ； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 13．如图，点O在直线上，平分，，，设，利用方程的思想，求得 ． 【答案】20 【分析】本题考查了邻补角，角平分线的定义，找出角度之间的数量关系，利用方程的思想是解题关键．设，由题意可得，进而得到，再根据角平分线的定义，得到，最后根据，求出即可． 【详解】解：设， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：20． 三、解答题 14．如图所示，AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，已知∠AOC＝120°，求∠BOD、∠AOE的度数． 【答案】∠BOD＝120°，∠AOE＝30° 【分析】首先利用对顶角的定义得出∠BOD＝120°，再利用邻补角的定义得出，∠AOD＝60°，进而利用角平分线的定义得出答案． 【详解】解：∵AB、CD相交于点O，∠AOC＝120°， ∴∠BOD＝120°，∠AOD＝60°， ∵OE平分∠AOD， ∴∠AOE＝∠EOD＝30° 【点睛】本题考查了对顶角相等，角平分线的定义，邻补角，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键． 15．如图，O是直线上一点，，求的度数． 【答案】 【分析】由平角的定义解题：互为邻补角的两个角和为180°，据此解题． 【详解】解：由题意可知，是平角，， 所以 ． 【点睛】本题考查平角的定义、邻补角等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 16．如图，根据图形填空： (1) ． (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察是由哪些角组成的，从而确定的结果； （2）先观察能组成什么角，再结合，利用角的和差确定结果． 【详解】（1）解：由和组成 ． （2）解： ． 【点睛】本题考查了角的和差关系，掌握观察图形中角的组成，利用角的和差进行计算是解题的关键． 17．如图，直线相交于点，于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)的度数为 (2)的度数为 【分析】（1）根据垂直定义可得，然后再利用平角定义进行计算即可解答； （2）根据已知和平角定义可得，再利用对顶角相等可得，然后再利用（1）的结论，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， 的度数为； （2）解：， ， ， ， ， 的度数为． 【点睛】本题考查了垂线、对顶角、邻补角，根据题目的已知条件几何图形分析是解题的关键． 18．如图，是平面内三点． （1）按要求作图：请先用铅笔作图，确认无误后，再用黑色水笔描深． ①作射线，过点作直线，使两点在直线两旁； ②过点作直线的垂线段，垂足为； ③点为直线上任意一点，点为射线上任意一点，连结线段． （2）在（1）所作图形中，若点到直线的距离为2，点到射线的距离为5，点、之间的距离为8，点之间的距离为6，则的最小值为__________，依据是___________． 【答案】（1）①见解析；②见解析；③见解析；（2）5，垂线段最短 【分析】（1）①作射线BC，过点B作直线l，使A、C两点在直线l两旁即可； ②过点A作AE⊥直线，垂足为E，则线段AE为所求； ③点P为直线l上任意一点，点Q为直线BC上任意一点，连接线段AP、PQ即可： （2）根据垂线段最短，即可求出AP+PQ的最小值． 【详解】解：如图所示， （1）①射线BC，直线l即为所求； ②过点A作AE⊥直线，垂足为E，则线段AE为所求； ③点P、Q、线段AP、PQ即为所求； （2）根据作图可知： 过点A作AQ⊥BC，垂足为Q，与直线相交与点P， ∴AP+PQ的最小值即为点A到直线BC的距离为：AQ=5． 依据为：垂线段最短． 故答案为：5，垂线段最短． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，直线，射线，线段的定义，正确的作出图形是解题的关键． 19．如图，直线AB，CD相交于点O，． (1)若，判断ON与CD的位置关系．请将下面的解题过程补充完整，在括号内填写理由． 解：ON______CD．理由如下： 因为，所以______°． 所以______． 又因为，所以______（等量代换）， 即． 所以__________（__________）． (2)若，求的度数． 【答案】(1)⊥，90，，，，垂直的定义 (2) 【详解】（1）⊥    90                垂直的定义 （2）因为，所以． 因为，所以．所以． 所以． 所以． 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $