精品解析：广东省潮州市松昌中学2025-2026学年高二上学期阶段教学检测数学试题

广东省潮州市松昌中学2025-2026学年高二上学期阶段教学检测数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的. 1. 已知点和点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两点斜率公式以及倾斜角与斜率的关系即可求得结果. 【详解】因为，且，所以的倾斜角 故选：B 2. 若直线：​与直线：平行，则​的值为 （ ） A. 或 B. ​ C. ​或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行时斜率相等，列出方程求解，再排除两直线重合的情况即可得到答案. 【详解】因为直线：​与直线：平行 则，解得：或， 当时，两直线重合，舍去；当时，验证满足. 故选:B. 3. 已知双曲线C：的一条渐近线的斜率为，且与椭圆有相等的焦距，则C的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的焦距可得双曲线C：的焦距，根据双曲线C：的一条渐近线的斜率为，可得，结合求得，即可得出答案. 【详解】解：因为双曲线C：的一条渐近线的斜率为， 所以，即， 椭圆的焦距为， 所以双曲线C：的焦距，即， 又因，解得，所以， 所以C的方程为. 故选：B. 4. 已知点和点，则以为直径的圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由中点坐标公式求得圆，两点间距离公式求得半径，即可求解 【详解】由线段的中点坐标公式，求得圆心.直径. 故以为直径的圆的标准方程为. 故选：C 5. 如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】因为M为与的交点，所以M是与的中点， 所以. 故选：D. 6. 经过两条直线与的交点，且垂直于直线的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求直线与的交点，再根据直线垂直求斜率，利用点斜式可得所求直线方程. 【详解】联立与，得交点坐标为. 又垂直于直线的直线的斜率为， 故所求直线的方程为，即. 故选：B 7. 如图，在平行六面体中，，，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的基底表示出，两边平方，根据向量的数量积运算律，即可求解. 【详解】因为, 所以， 所以， ， 所以， 故选:C. 8. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求得两圆的圆心和半径，判定已知两圆的位置关系为内切，求得切点坐标，利用动圆与已知两圆相外切，内切的条件列出关于和动圆半径r的方程组，消去r再利用椭圆的定义写出轨迹方程，最后根据已知两圆的位置关系做出取舍. 【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 因为，所以两圆相内切于点， 设动圆的圆心为，半径为，则， ， 因此点的轨迹方程是以为焦点，长轴长为10的椭圆（不含点）， 所以该动圆的圆心的轨迹方程为. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知点和圆，下列说法正确的是（ ） A. 圆心，半径为 B. 点在圆外 C. 过点且与圆相切的直线有且只有一条 D. 设点是圆上住意一点，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，结合圆的标准方程即可判断，对于B和C选项，求出并和半径比较即可求解，对于D选项，根据的最小值为即可求解. 【详解】圆Q：的圆心，半径为，选项A正确； 因为， 所以点P在圆Q外，所以过点P且与圆Q相切的直线有2条，选项B正确，选项C错误； 设点M是圆Q上任意一点， 由题意可知的最小值为，选项D正确. 故选：ABD. 10. 已知椭圆的左、右焦点分别是，，点是上一点，是等腰三角形，则的面积可能是（ ） A. B. C. 7 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据椭圆定义，可得，，分别讨论、和三种情况，求得各个长度，代入面积公式，即可得答案. 【详解】设为坐标原点，则，， 当时，，， 所以的面积为； 当时，， 所以面积为. 同理，当时，的面积为. 故选：AD 11. 已知正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ） A. 点到直线的距离为 B. 点到平面的距离为 C. 若点在直线上，则 D. 若点在平面内，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意对于A，可由等面积法验算；对于B，由即可验算；对于C，由与共线即可验证；对于D，由即可验证. 【详解】 由题意， 所以， 若点在直线上，则， 由与共线可得，故C正确； 又，所以， 而，， 不妨设点到直线的距离为， 由等面积法有，解得，故A错误； ，不妨设平面的法向量为， 则，令，解得，即取平面的法向量为， 若点在平面内，则， 所以，即，故D错误； 又， 所以点到平面的距离为，故B正确. 故选：BC. 三、填空题：本题共:3小题，每小题5分，共15分. 12 已知向量，，，若三个向量共面，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由向量共面的性质可得，列出方程组解出即可. 【详解】因为三向量共面，所以可设， 即， 所以，解得，，所以. 故答案为：-4 13. 过点与圆相切的直线方程为_______. 【答案】或 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准方程，然后分类讨论直线斜率存在和斜率不存在两种情况，由圆心到直线距离等于圆的半径即可求解. 【详解】圆的标准方程为，圆心坐标为，半径， 过点，斜率不存在的直线方程为，圆心到直线的距离为2，该直线为圆的切线； 过点的直线斜率存在时，设直线方程为，即， 当直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，即，解得， 此时切线方程为. 故答案为：或 14. 椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任一点，且最小值为，则椭圆的离心率是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用基本不等式及椭圆的定义，进行代换，得到答案. 【详解】由基本不等式及椭圆的定义可知， 所以当且仅当 由题意知，解得 所以，所以, 故答案为： 四、解答题 15. 已知． （1）若，求实数k的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知向量垂直有，应用空间向量数量积的坐标表示列方程，求的值. （2）由题设得，应用空间向量夹角的坐标表示求即可 【小问1详解】 ， ， 由，即， ∴，解得:； 小问2详解】 由已知得：，， . 16. 四边形的四个顶点坐标分别为. （1）求边的垂直平分线的方程； （2）若四边形为平行四边形，求顶点的坐标及四边形的面积. 【答案】（1） （2），13 【解析】 【分析】（1）由坐标求出BC的中点为，又由BC的斜率即可求出与BC垂直的直线的斜率，最后由直线的点斜式即可求解； （2）由四边形为平行四边形可得，联立方程组即可求得顶点的坐标，由点到直线的距离公式即可求得点到直线BC的距离，根据面积公式即可求解. 【小问1详解】 因为，所以边BC的中点为， 又因为边BC的斜率为， 所以边BC的垂直平分线的斜率为， 所以边BC的垂直平分线的方程为， 化简得； 【小问2详解】 因为四边形为平行四边形，顶点， 所以，且， 联立，解得， 所以顶点. 因为边BC的斜率为， 所以直线BC的方程为， 化简得， 所以点到直线BC的距离为， 又， 所以平行四边形的面积为 17. 如图，在正四棱柱中，底面边长为2，高为4. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明，，再利用面面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解直线与平面所成角的正弦值即可. 【小问1详解】 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，， 因为，，所以，，即，， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面； 【小问2详解】 由（1）得，， 设平面的一个法向量为，则 取，， 设直线与平面所成角为，则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 平面直角坐标系中，已知． （1）求过三点的圆的方程； （2）已知为坐标原点，点，请问（1）中圆上是否存在点满足？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）不存在，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）设出圆的一般方程，利用待定系数法可求圆的方程； （2）求出点的轨迹方程，根据圆心距与半径差的关系可判断两圆内含. 【小问1详解】 设过三点的圆方程为， 则，解得，满足， 所以所求圆的方程为. 【小问2详解】 设，MH ，得， 整理得，即，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 而过三点的圆的圆心，半径， 又，因此圆与圆内含，无公共点， 所以不存在点满足. 19. 已知椭圆的左、右顶点分别为，且，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）设是椭圆上不同于的一点，直线，与直线分别交于点.试判断以为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1） （2）以为直径的圆过定点，. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的标准方程和离心率列方程组求解即可； （2）设，由题意可得，，设定点为，利用即可得到结论. 【小问1详解】 由题意可知，解得， 所以求椭圆的方程为. 【小问2详解】 设，由（1）可知， 斜率存在且不为0， 依题意可知的直线方程为， 的直线方程为， 令，可得，， 假设以为直径的圆过定点，不妨设定点为， 依题意可知，，所以， ， 因为， 所以. 因为， 所以， 令，可得，解得，， 所以以为直径的圆过定点，. 【点睛】判断以为直径的圆过定点时，常用向量法，根据向量数量积为0，代入相关点的坐标化简后即可得到结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省潮州市松昌中学2025-2026学年高二上学期阶段教学检测数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的. 1. 已知点和点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若直线：​与直线：平行，则​的值为 （ ） A. 或 B. ​ C. ​或 D. 3. 已知双曲线C：的一条渐近线的斜率为，且与椭圆有相等的焦距，则C的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点和点，则以为直径圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 6. 经过两条直线与的交点，且垂直于直线的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行六面体中，，，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知点和圆，下列说法正确的是（ ） A. 圆心，半径为 B. 点在圆外 C. 过点且与圆相切的直线有且只有一条 D. 设点是圆上住意一点，则的最小值为 10. 已知椭圆左、右焦点分别是，，点是上一点，是等腰三角形，则的面积可能是（ ） A. B. C. 7 D. 11. 已知正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ） A. 点到直线的距离为 B. 点到平面距离为 C. 若点在直线上，则 D. 若点在平面内，则 三、填空题：本题共:3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，，若三个向量共面，则______． 13. 过点与圆相切的直线方程为_______. 14. 椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任一点，且最小值为，则椭圆的离心率是__________. 四、解答题 15. 已知． （1）若，求实数k的值； （2）若，求的值． 16. 四边形的四个顶点坐标分别为. （1）求边的垂直平分线的方程； （2）若四边形为平行四边形，求顶点坐标及四边形的面积. 17. 如图，在正四棱柱中，底面边长为2，高为4. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 平面直角坐标系中，已知． （1）求过三点的圆的方程； （2）已知为坐标原点，点，请问（1）中圆上是否存在点满足？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 已知椭圆的左、右顶点分别为，且，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）设是椭圆上不同于的一点，直线，与直线分别交于点.试判断以为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $