专题07 相似三角形中的基本模型之十字架模型（几何模型讲义）数学人教版九年级下册

该初中数学讲义通过分类梳理矩形、等边三角形、直角三角形中的十字架模型，用模型框架图呈现各图形中垂直线段的条件、结论及证明过程，系统构建相似三角形性质应用的知识脉络，突出辅助线构造与几何变换的重难点。 讲义以真题为驱动，如山东青岛自主招生题引入模型探究，例题涵盖折叠问题、动态几何题，培养学生几何直观与推理能力。每个模型从特殊到一般提炼方法，分层练习适配不同学生，助力教师实施精准复习教学，提升学生模型意识与解题效率。

专题07 相似三角形中的基本模型之十字架模型 几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中几何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。 本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生更好地理解和掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 7 模型1.矩形中的十字架模型（相似模型） 7 模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 12 模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 15 19 ‌ 十字模型在初中数学教学中被系统化总结为“十字架模型”，成为解决中考压轴题的核心方法之一。其名称来源于图形中垂直相交的线段形似“十字架”，而实际应用中常通过作辅助线（如垂线、连接对角线）构造全等或相似三角形。十字架模型从规则图形中的特殊结构出发，通过几何变换和相似性质逐步抽象为通用方法，成为几何证明与计算的重要工具‌。该模型被系统化纳入初中数学教学，用于培养空间推理能力，尤其在解决折叠问题、动态几何题时具有高效性。‌ （24-25九年级下·山东青岛·自主招生）【问题发现】矩形里的有趣“十字架” 某校九年级三班数学探究小组在研究矩形时发现矩形里有一个有趣的“十字架”：如图①，在矩形中，，，E、F、G、H分别是边、、、上的点，连接、交于点O，当时，总是会有 ． 【模型建立】如何证明这个猜想呢？ 在同学们陷入深思时，组长小林提议道：“我们可以先找一种特殊情况探究它，然后再将探究方法推广到一般情况呀！”于是，在他的提议下，同学们一致认为可以先将F、G分别移动到顶点A、D处，如图②所示． （1）在图②所示的情况下，你能帮小组成员们证明一下他们的猜想吗？ （2）你能在图①中添加辅助线，并对辅助线进行描述，以方便小组成员继续证明一般性的规律吗？ 【模型应用】（3）如图③，在正方形中，，E、F分别在边、上，连接、，若，，则 ．（直接写出结果）． 【拓广延伸】（4）如图④，在直角梯形中，，，点M、N分别是边上的动点，连接交梯形对角线于点O，若，则的长度为 ．（直接写出结果） 【答案】（1）能，过程见详解（2）见详解（3）1（4） 【详解】解：（1）能，过程如下：如图所示：∵四边形是矩形，∴∴ ∵，∴∴，∴，∴，∵，，∴， （2）分别过作，如图所示：∵四边形是矩形，∴ ∵∴∴四边形是矩形，∴， ∵四边形是矩形，∴∵，∴ ∴四边形是矩形，∴，，∴，， ∴，∴，∵，∴ ∴，∴，∴，∴， ∵，，∴； （3）如图所示：∵四边形是正方形，∴，，∴， ∵，∴∴，∴，∴， ∵，∴，在中，， ∴，故答案为：1 （4）过点C作，延长，与交于一点，如图所示： ∵在直角梯形中，，∴， ∵，∴，∴四边形是矩形， ∴，，∴， 过点N作，∴，∴四边形是矩形，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，即，在中，， ∴．故答案为： 1）矩形中的十字架模型 条件：如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，结论：. 证明：四边形为矩形，，； DE⊥AC，，，，，. 条件：如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，结论：. 证明：如图，过点F作于点G，则； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ；EF⊥AC，，； ，，，易证：DC=AB，FG=BC，. 条件：如图3，矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EF⊥MN，结论：. 证明：如图：过点N、F作、垂直，； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ∵EF⊥MN，，∴； 又∵（对顶角相等），∴； ∴，，易证：NH=AB，FG=BC，. 2）等边三角形中的斜十字模型 条件：如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE）， 结论：①AD=BE，②AD和BE夹角为60°，③。 证明：如图，在等边中，，， 在与中，，，∴AD=BE，； ，∴AD和BE夹角为60°； ，，，同理： ， 3）直角三角形中的十字模型 1）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）： 条件：如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，结论：①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 如图1，过点C作BC的垂线交BF于点H，过点A作AG垂直于CH，∴∠BCH=90°，∴∠CBH+∠CHB=90° ∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠BCH=∠ABC=90°，∵BF⊥AD，∴∠CBH+∠ADB=90°，∴∠CHB=∠ADB， ∵AB=BC，∴，∴BD=CH，∵D为BC中点，∴BD=DC=CH，∴AB=2CH， 易证：四边形ABCG为正方形，即AB//CG，∴，∴AF：CF=BA：HC=2：1 ∵AB=BC，AB⊥BC，∴∠BCA=45°，∵∠BCH=90°，∴∠BCA=∠GCA=45°， ∵DC=CH，CF=CF，∴，∴∠CHF=∠CDF，∠CFH=∠CFD， ∴∠BDA=∠CDF，∵∠CFH=∠AFB，∴∠AFB=∠CFD， 如图2，过点C作CQ垂直于BF，∴∠BQC=90°， ∵AB⊥BC，∴∠ABD=∠BQC=90°，∴∠ABE+∠QBC=90°，∵AB=BC，∴， ∴CQ=BE，AE=BQ，∵BF⊥AD，CQ⊥BF，易证：，∴EA：QC=AF：CF=2：1。 ∴AE=BQ=BE+EQ=CQ+EQ，∴CQ=EQ，∴QEC为等腰直角三角形，∴∠QEC=45°， ∴∠AEC=135°，。 2）直角三角形中的十字模型： 如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：k2，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。（全等+相似） 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 由于该模型证明主要结合了前面矩形中的十字架模型和等腰直角三角形中的十字架模型，故此不再详细证明，有兴趣的同学可以自行证明即可。 模型1.矩形中的十字架模型（相似模型） 例1（24-25九年级上·广东·期末）如图，在矩形中，E 是边 的中点，连接交对角线于点 F，则的面积与四边形的面积的比值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵矩形中，E 是边 的中点， ∴，，∴， ∴，∴，∴，∴， ∴，∴，∴，故选：C． 例2（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）如图，已知矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折到矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上（不与两端点重合），过点作于点，连接；给出下列判断：①；②折痕的长度的取值范围为；③当四边形为正方形时，为的中点；④若，则折叠后重叠部分的面积为．其中正确的是 （写出所有正确判断的序号）． 【答案】③④ 【详解】解：如图，∵，∴， ∵四边形是矩形，∴，∴ ∴∴中没有任何内角为， ∴与不满足相似，故①错误．由折叠性质，得，，， ∵，∴ ∵∴ 假设与重合时，取得最小值，即为；假设与重合时，取得最大值， ∵∴∵，， ∴ ∵点在线段上（不与两端点重合）∴折痕的长度的取值范围为 故②结论错误； ∵四边形为正方形∴∴ ∵ ∴ 令，则， ∴∴∴，（不符合题意，舍去） ∴，即为的中点故③结论正确； ④∵，∴， ∴∴ ∵∴∴ ∵∴ ∴∴ ∴ ∵， ∴∴∴ ∴折叠后重叠部分的面积为： 故④结论正确；故答案为：②③④ 例3（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）四边形是平行四边形，连接，于点E，交边于点F． (1)如图1，，，求的长． (2)如图2，，，猜想线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，，．①求证：；②将沿直线翻折得到，连接交边于点P，连接，求的长． 【答案】(1)(2)，见解析(3)①见解析；② 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，， ，，， ∴，即，解得．，， ，； （2）解：．理由：四边形是平行四边形，， ，，，， 设，则．，． ，，， ，． ，，； （3）①证明：四边形是平行四边形，，， ，∴，，，，； ②解：如图，连接，由折叠得， ∵于点E，∴B，E，F，在一条直线上，过P作于H．由折叠得，， 四边形是平行四边形，，，． ，，，， ，． ，，， ，即，． 例4（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： 【初探猜想】如图1，在正方形中，点E，F分别是上的两点，连接，若，试判断线段与的大小关系，并说明理由； 【类比探究】如图2，在矩形中，，，点E、F分别是边上一点，点G、H分别是边上一点，连接，若，则_______； 【知识迁移】如图3，在四边形中，，点E、F分别在线段上，且，连接，若为等边三角形，求的值； 【拓展应用】如图4，在正方形中，E是的中点，F、G分别是边上的动点，且交于M，连接和，当时，求的最小值． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）；（4）． 【详解】解：（1），理由如下：如图1，，理由如下： 设，交于点，四边形是正方形，，，， ，，，，，； （2）如图2，作，交于，做，交于， 四边形是矩形，，，， 四边形和四边形是平行四边形，，， ，，同理（1）可得：， ，，，故答案为：； （3）如图3，作，交的延长线于点，作直线于点，， ，四边形是矩形，又，由（2）知：， 是等边三角形，，，， ，； （4）以、为邻边作平行四边形，连接，过点作于点， 四边形是正方形，，， 是的中点，，在中，，， 由勾股定理得，，， ，四边形是矩形，，， ，，，，， 在和中，，，， 四边形是平行四边形，，，， ，是等腰直角三角形，，， 当、、在一条直线上时最小，即最小，此时最小值是的长，为． 模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 例1（24-25九年级·四川·期末）如图，等边三角形的边长为6，在边上各取一点，连接相交于点，且．(1)求证：，并求的度数；(2)若，求的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵为等边三角形，                 ∴， 在和中，，    ∴，∴. 又∵，∴， （2）解：∵，∴， ∴，即，∴． 例2（24-25·南通·模拟预测）如图，已知是等边内的一点，且，延长，，分别交，于点D，E．若，，则的周长等于 ．    【答案】 【详解】解：如图，作于点F，∵在等边中，，∴，    由勾股定理得，，∵，∴，在中，， ∵P是等边内的一点，且，∴， ∵，∴，又∵，∴， ∴，即，解得，，∴， ∴的周长．故答案为：． 例3（2024·江西上饶·一模）课本再现：（1）如图1，分别是等边三角形的两边上的点，且．求证：．下面是小涵同学的证明过程： 证明：是等边三角形，． ，，． 小涵同学认为此题还可以得到另一个结论：的度数是______； 迁移应用：（2）如图2，将图1中的延长至点，使，连接．利用（1）中的结论完成下面的问题．①求证：；②若，试探究与之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）①见解析；② 【详解】（1）解：，， ，，故答案为：； （2）证明：①由（1）知，， 又，是等边三角形，， ，， 又，，， ，，，； ②，，，，， 又，，； 模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 例1（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，，点D为边上的中点，连接，过点B作于点E，延长交于点F．则的长为 ． 【答案】 【详解】解：以为邻边作正方形，延长交为，如下图： ，，， 在和中，，， ，，，即为的中点， ，， ，，， ，故答案为：． 例2（2025·广东深圳·三模）如图，在中，是角平分线，是中线，，且，垂足为F，G为的中点，连接，．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵是角平分线，∴，∵，∴， 又∵∴，故A选项正确，不符合题意； ∵，∴，∵，， ∴，∴，故B选项正确，不符合题意； ∵是中线，∴，∵G为的中点，∴， ∴是中位线，∴，，∴， 又∵，∴，∴，∴是的中位线， ∴，∴，∵，∴，故C选项正确，不符合题意； 在和中，为公共角，但和，和均不一定相等，相应边不成比例， 故和不相似，故D选项错误，符合题意，故选：D． 例3（24-25上·抚州·期末）如图①，在中，，，点D为边上的一点，连接，过点C作于点F，交于点E，连接． (1)求证：；(2)若，求证：； (3)如图②，若，，求的值． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）证明：∵∴． ∵∴∴ 因为∴ （2）证明：如图①，过点B作交的延长线于H ∵∴∴∴ 由（1）可知，∴ 在和中∴（AAS）∴∴ （3）解：在中，，，则， 设，则在中，则 ∵，∴ ∴，即解得：，（舍去） ∵，∴∴ 例4（24-25九年级上·山西吕梁·期末）综合与实践 问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程． 数学思考：（1）如图1．在矩形中，，，、分别是、上的两点，连接、，于点，则________． 深入探究：（2）如图2，在矩形中，，分别交、于点、，分别交、于点、．求证：． 拓展延伸：（3）如图3，在中，，点在边上，连接，过点作于点，且的延长线交边于点．若，，，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【详解】解：（1）∵，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴．故答案为：． （2）过点作于点，过点作于点，且交于点，如图， ∵四边形是矩形，∴，，∴， 同理，，，∴ ∵，，∴， ∵，∴，∴． （3）过点作，延长交于点，如图， 在中，，，，∴， ∵，∴∵，∴，， ∴，∴，∵，∴ 又∵，∴，∴， ∴，∴． 1．（2025·贵州遵义·模拟预测）在中，于，、为、中点，，平分．则选项中错误的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：、为、中点，是的中位线，，， ，，，， ，，， 平分，，，，， ，，，， ，是等边三角形，， ，，，， 在和中，，，，故A正确； ，，，故B正确； ，，，， 是的中位线，， ，，，故D正确； ，，，， ，故C错误；故选：C． 2．（2025·浙江湖州·模拟预测）如图，点、分别是等边三角形的两边、上两点， 、相交于点，连结．若 ，则下列结论错误的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，在等边中，，， 在与中，，；故B选项正确 ，， 即的度数是，故C选项正确， ，，故D选项正确， 无法判断，故A选项错误 故选：A． 3．（24·25内江·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D是线段AB上的一点，连接CD．过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF，给出以下三个结论：①；②若点D是AB的中点，则AF=AB； ③若，则S△ABC=6S△BDF；其中正确的结论的序号是（　　） A．①②③ B．①③ C．①② D．②③ 【答案】C 【详解】∵∠ABC=90°，∠GAD=90°，∴AG//BC，∴△AFG∽△CFB，∴， ∵AB=BC，∴，故①正确．∵∠BCD+∠EBC=∠EBC+∠ABG=90°，∴∠BCD=∠ABG， ∵AB=BC，∠CBD=∠BAG=90°，∴△CBD≌△BAG，∴AG=BD， ∵BD=AB，∴，∴，∴，∵AC=AB，∴AF=AB，故②正确； ∵AG=BD，， ∴，∴， ∵，∴，∴AF=AC，∴S△ABF=S△ABC； ∵S△BDF=S△ABF，∴S△BDF=S△ABC，即S△ABC=12S△BDF，故③错误；故选C． 4．（24-25九年级下·安徽安庆·阶段练习）如图，点，分别是等边的边，上的点，且，，连接，相交于点．（1） °．（2）若等边的边长为6，则的长为 ． 【答案】 ； ． 【详解】解：∵是等边三角形，∴， ∵点，分别是等边的边，上的点，且，，∴， 在和中∴，∴， ∴如图示，作交于点 ∵是等边三角形，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，∴， 又∵∴∴即有故答案是：，． 5．（2024·山西·三模）如图，在矩形中，E、F分别是边的中点，与相交于点O，过点O作交于点M，若，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：过点O作交于点H、N，如图所示： ∵，E、F分别是边的中点， ∴，，∴， 设，则，∴，∵，∴， ∴，∴即，解得：，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴，故答案为：． 6．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）如图，在等边中，是的中点，在上，且，连接，相交于点，则为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图所示，取的中点G，连接 ∵∴设，则∴ ∵是等边三角形∴ ∵是的中点，∴，∴ ∵点G是中点∴是中位线∴， ∴∴ ∵∴ ∴．故答案为：． 7．（24·25下·重庆·九年级期中）如图，在中，，，点为边上的中点，连接，过点作于点，延长交于点，求的值． 【答案】2 【详解】解：如解图，过点作的平行线，过点作的平行线相交于点，延长交于点． ∵，，∴四边形为正方形， ∴，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴，∴． 又∵，∴． 8．（24·25下·湖南·九年级期中）如图，把边长为，的矩形对折，使点和重合，求折痕的长． 【答案】 【详解】解：如图，过点作，垂足为，连接，在中，，， ∴，由折叠得，，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴，∴； 9．（24·25上·莆田·阶段练习）如图，等边的边长是6，点E，F分别在边上，，连接，相交于点P． (1)求的度数；(2)若，求的值． 【答案】(1)(2)12 【详解】（1）解：∵是等边三角形，∴， 又∵，∴，∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，∴ ∴，∴． 10．（24-25下·深圳·一模）如图①，在Rt中，，，点D为边上的一点，连接，过点C作于点F，交于点E，连接． (1)若，求证：；(2)如图②，若，，求的值． 【答案】(1)答案见详解(2) 【详解】（1）证明：如图，过点B作，交的延长线于H， ，，，，，， ，，，， ,，，，． （2）解：，，，， 由（1）可知，， ，，，， ，，， ，，，， 设，则，，,， 解得（舍去），，， 又，． 11．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】（1）如图①，在正方形中，点E，F分别是上的两点，连接，，求证：． 【类比探究】（2）如图②，在矩形中，，点E是边上一点，连接，且，求的值． 【拓展延伸】（3）如图③，在中，，点D在边上，连结，过点C作于点E，的延长线交边于点F．若，，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）． 【详解】解：（1）证明：如图1，设与的交点为G， ∵四边形是正方形，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， 在和中，，∴； （2）如图2，设与交于点G，∵四边形是矩形，∴， ∵，∴，∴， ，∴， ∵，∴，∴； （3）如图，过点A作，延长交于点G， 在中，，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴， 又∵，∴，∴， ∴，∴． 12．（24·25上·衢州·期末）如图，在等边ABC的AC，BC边上各取一点E，D，使AE＝CD，AD，BE相交于点O．（1）求证：AD＝BE；（2）若BO＝6OE，求CD的长． （3）在（2）的条件下，动点P在CE上从点C向终点E匀速运动，点Q在BC上，连结OP，PQ，满足∠OPQ＝60°，记PC为x，DQ的长为y，求y关于x的函数表达式． 【答案】（1）见解析；（2）2；（3） 【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°， 又∵AE=CD，∴△BAE≌△ACD（SAS），∴AD=BE； （2）由（1）得△BAE≌△ACD，∴∠ABO=∠CAD，AD=BE ∴∠BAO+∠ABO=∠AOE=∠EAO+∠BAO=∠BAC=∠C=60°， 又∵∠CAD=∠OAE，∴△CAD∽△OAE，∴， ∵，∴，∴， ∵CD=AE，∴，∴CD=2； （3）如图所示，过点E作EF⊥AB于F，过点O作OG∥AB交AC于G， ∵∠FAG=60°，∠AEF=30°，∴，∴， ∴，∴， ∵OG∥AB，∴△OGE∽△BAE，∠OGE=∠BAC=60° ∴，∴，，∴， ∵∠AOE=60°，∴∠OEP=∠AOE+∠OAE=60°+∠OAE， ∵∠EPQ=∠C+∠PQC=∠OPQ+∠OPE，∠C=∠OPQ=60°， ∴∠OPE=∠CQP，∴△PQC∽△OPG，∴， ∵， ∴，∴，∵，∴． 13．（24·25下·湖北·九年级期中）在矩形纸片中，，点、在矩形的边上，连接，将纸片沿折叠，点的对应点为点．（1）如图①，若点在边上，当点与点重合时，则______°，当点与点重合时，则______°．（2）如图②，若点在边上，且点、分别在、边上，则线段的取值范围是______；（3）如图③，若点与点重合，点在上，线段、交于点，且，求线段的长度．        【答案】（1）90，45；（2）；（3） 【详解】（1）当点P与点A重合时，如图4，是AD的中垂线，．       当点E与点A重合时，如图5， 此时，故答案为：；． （2）如图6所示，连接，则是的中垂线，∴， 在中，，即，当点与点重合时，； 当与重合时，的值最小，连接，由折叠的性质得：， 在中，由勾股定理得，∴， ∴线段的取值范围是．故答案为：．       （3）如图7所示，连接，设． 由折叠知：，，， ∵，∴，在和中， ，∴，∴， ∴，， 在中，，∴，解得．∴． 14．（24-25乐山九年级校考期末）解答 (1)如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H．求证：；(2)如图2，在满足（1）的条件下，点M，N分别在边BC，CD上，若，求的值；(3)如图3四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，，求的值． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【详解】（1）解：过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图1， ∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC． ∴四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形，∴AP＝EF，GH＝BQ． 又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，∴∠QAT+∠AQT＝90°． ∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠D＝90°，∴∠DAP+∠DPA＝90°， ∴∠AQT＝∠DPA．∴△PDA∽△QAB，∴，∴； （2）如图2，∵EF⊥GH，AM⊥BN， ∴由（1）中的结论可得，，∴． （3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3， 则四边形ABSR是平行四边形．∵∠ABC＝90°，∴▱ABSR是矩形， ∴∠R＝∠S＝90°，RS＝AB＝10，AR＝BS． ∵AM⊥DN，∴由（1）中的结论可得． 设SC＝x，DS＝y，则AR＝BS＝5+x，RD＝10﹣y，∴在Rt△CSD中，x2+y2＝25①， 在Rt△ARD中，（5+x）2+（10﹣y）2＝100②，由②﹣①得x＝2y﹣5③， 解方程组，得，（舍去），或， ∴AR＝5+x＝8，∴． 15．（2025·江西景德镇·模拟预测）马超同学在学习完《图形的相似》后结合前面所学习的矩形，对矩形中的动点问题展开了以下探究：如图1，在矩形中，，，点为边上的一个动点，连接，并交于点；（1）若，则_____；若，则_____； 如图2，在矩形中，，，点为对角线（不与点A，重合）上一动点，过点作，交边，于点，，过点作交于点； （2）判断点在移动过程中，线段的长度是否会发生变化，若变化，请求出线段长度的变化范围，若不变化，求出线段长度的大小； （3）若，求出此时的面积；如图3，矩形中，，，点为矩形内部一动点，连接且满足，点在线段上且，连接． （4）请直接写出的最小值． 【答案】（１）；；（２）；（３）；（４） 【详解】解：（1）∵矩形中，，， ∴，∴，∴； 当时，，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴；故答案为：2；； （2）不变．作交于G，∵，∴， ∵，∴四边形是平行四边形，∴， 由（1）知，，∴，∴,不变； （3）当时 ，，∵，∴， ∴，∴，∴， ∵，， ∴，∴，∵，∴； （4）在上取，连接， ∵，∴，∴， ∵，∴的最小值为， ∵，，∴，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴的最小值为． 16．（24-25下·衢州·二模）在矩形中，E是边的中点，连接，过点B作于点F，射线与直线交于点P，设． (1)如图①，若，求证：；(2)如图②，当点P恰好与点D重合时，试确定m的值； (3)作点B关于直线的对称点，当以点P，D，为顶点的三角形是等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)见解析(2)(3)或2或 【详解】（1）如图，∵ =1，四边形ABCD是矩形， ∴AD=AB，∴四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠BCP=90°， ∵ ，∴∠BAE=∠CBP，∴△ABE≌△BCP，∴AE=BP． （2）∵ 矩形中，E是边的中点，∴设BE=EC=x，则BC=AD=2x，∠BAD=90°． ∵ ，∠ADF=∠BDA，∴△ADF∽△BDA，∴， ∵ 四边形是矩形，∴AD∥BC，∴△ADF∽△EBF， ∴，∴， 解得，（舍去），∴BD=DF+EF=3EF=， ∴，∴． （3）当时，∵ 四边形是矩形， ∴AB=DC，AD=BC，∠ADC=∠ABC=∠BCP=90°， ∵ E是边的中点， ，∴ AD=BC=2BE，∠PFE=90°， ∵P，D，为顶点的三角形是等腰三角形， ∴，∴，∴， ∴∠AED=∠ADE，∴AD=AE，∴sin∠BAE=，∴∠BAE=30°， 根据（1）证明，得∠BAE=∠CBP=30°， ∴tan∠BAE=tan30°=，tan∠CBP=tan30°=， ∴，，∴=． 如图，当点P在CD的延长线上时，此时落在AD上， 根据题意，得∠BAF=∠AF=45°，∴∠PD=∠PD=45°，∴， ∵∠BAF=45°，∴∠BEA=45°，∴四边形ABE是正方形，故是AD的中点， ∴=CD，∴=．如图，∵ ，设AB=x，则AD=mx，BE=， ∵∠ABG=90°-∠FBE，∠AEB=90°-∠FBE，∴∠ABG=∠AEB，∴tan∠ABG= tan∠AEB， ∴，∴，解得AG=，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴， ∴，∴，∴，∴． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 相似三角形中的基本模型之十字架模型 几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中几何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。 本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生更好地理解和掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 7 模型1.矩形中的十字架模型（相似模型） 7 模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 12 模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 15 19 ‌ 十字模型在初中数学教学中被系统化总结为“十字架模型”，成为解决中考压轴题的核心方法之一。其名称来源于图形中垂直相交的线段形似“十字架”，而实际应用中常通过作辅助线（如垂线、连接对角线）构造全等或相似三角形。十字架模型从规则图形中的特殊结构出发，通过几何变换和相似性质逐步抽象为通用方法，成为几何证明与计算的重要工具‌。该模型被系统化纳入初中数学教学，用于培养空间推理能力，尤其在解决折叠问题、动态几何题时具有高效性。‌ （24-25九年级下·山东青岛·自主招生）【问题发现】矩形里的有趣“十字架” 某校九年级三班数学探究小组在研究矩形时发现矩形里有一个有趣的“十字架”：如图①，在矩形中，，，E、F、G、H分别是边、、、上的点，连接、交于点O，当时，总是会有 ． 【模型建立】如何证明这个猜想呢？ 在同学们陷入深思时，组长小林提议道：“我们可以先找一种特殊情况探究它，然后再将探究方法推广到一般情况呀！”于是，在他的提议下，同学们一致认为可以先将F、G分别移动到顶点A、D处，如图②所示． （1）在图②所示的情况下，你能帮小组成员们证明一下他们的猜想吗？ （2）你能在图①中添加辅助线，并对辅助线进行描述，以方便小组成员继续证明一般性的规律吗？ 【模型应用】（3）如图③，在正方形中，，E、F分别在边、上，连接、，若，，则 ．（直接写出结果）． 【拓广延伸】（4）如图④，在直角梯形中，，，点M、N分别是边上的动点，连接交梯形对角线于点O，若，则的长度为 ．（直接写出结果） 1）矩形中的十字架模型 条件：如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，结论：. 证明：四边形为矩形，，； DE⊥AC，，，，，. 条件：如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，结论：. 证明：如图，过点F作于点G，则； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ；EF⊥AC，，； ，，，易证：DC=AB，FG=BC，. 条件：如图3，矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EF⊥MN，结论：. 证明：如图：过点N、F作、垂直，； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ∵EF⊥MN，，∴； 又∵（对顶角相等），∴； ∴，，易证：NH=AB，FG=BC，. 2）等边三角形中的斜十字模型 条件：如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE）， 结论：①AD=BE，②AD和BE夹角为60°，③。 证明：如图，在等边中，，， 在与中，，，∴AD=BE，； ，∴AD和BE夹角为60°； ，，，同理： ， 3）直角三角形中的十字模型 1）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）： 条件：如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，结论：①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 如图1，过点C作BC的垂线交BF于点H，过点A作AG垂直于CH，∴∠BCH=90°，∴∠CBH+∠CHB=90° ∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠BCH=∠ABC=90°，∵BF⊥AD，∴∠CBH+∠ADB=90°，∴∠CHB=∠ADB， ∵AB=BC，∴，∴BD=CH，∵D为BC中点，∴BD=DC=CH，∴AB=2CH， 易证：四边形ABCG为正方形，即AB//CG，∴，∴AF：CF=BA：HC=2：1 ∵AB=BC，AB⊥BC，∴∠BCA=45°，∵∠BCH=90°，∴∠BCA=∠GCA=45°， ∵DC=CH，CF=CF，∴，∴∠CHF=∠CDF，∠CFH=∠CFD， ∴∠BDA=∠CDF，∵∠CFH=∠AFB，∴∠AFB=∠CFD， 如图2，过点C作CQ垂直于BF，∴∠BQC=90°， ∵AB⊥BC，∴∠ABD=∠BQC=90°，∴∠ABE+∠QBC=90°，∵AB=BC，∴， ∴CQ=BE，AE=BQ，∵BF⊥AD，CQ⊥BF，易证：，∴EA：QC=AF：CF=2：1。 ∴AE=BQ=BE+EQ=CQ+EQ，∴CQ=EQ，∴QEC为等腰直角三角形，∴∠QEC=45°， ∴∠AEC=135°，。 2）直角三角形中的十字模型： 如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：k2，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。（全等+相似） 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 由于该模型证明主要结合了前面矩形中的十字架模型和等腰直角三角形中的十字架模型，故此不再详细证明，有兴趣的同学可以自行证明即可。 模型1.矩形中的十字架模型（相似模型） 例1（24-25九年级上·广东·期末）如图，在矩形中，E 是边 的中点，连接交对角线于点 F，则的面积与四边形的面积的比值为（　　） A． B． C． D． 例2（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）如图，已知矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折到矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上（不与两端点重合），过点作于点，连接；给出下列判断：①；②折痕的长度的取值范围为；③当四边形为正方形时，为的中点；④若，则折叠后重叠部分的面积为．其中正确的是 （写出所有正确判断的序号）． 例3（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）四边形是平行四边形，连接，于点E，交边于点F．(1)如图1，，，求的长． (2)如图2，，，猜想线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，，．①求证：；②将沿直线翻折得到，连接交边于点P，连接，求的长． 例4（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： 【初探猜想】如图1，在正方形中，点E，F分别是上的两点，连接，若，试判断线段与的大小关系，并说明理由； 【类比探究】如图2，在矩形中，，，点E、F分别是边上一点，点G、H分别是边上一点，连接，若，则_______； 【知识迁移】如图3，在四边形中，，点E、F分别在线段上，且，连接，若为等边三角形，求的值； 【拓展应用】如图4，在正方形中，E是的中点，F、G分别是边上的动点，且交于M，连接和，当时，求的最小值． 模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 例1（24-25九年级·四川·期末）如图，等边三角形的边长为6，在边上各取一点，连接相交于点，且．(1)求证：，并求的度数；(2)若，求的值． 例2（24-25·南通·模拟预测）如图，已知是等边内的一点，且，延长，，分别交，于点D，E．若，，则的周长等于 ．    例3（2024·江西上饶·一模）课本再现：（1）如图1，分别是等边三角形的两边上的点，且．求证：．下面是小涵同学的证明过程： 证明：是等边三角形，． ，，． 小涵同学认为此题还可以得到另一个结论：的度数是______； 迁移应用：（2）如图2，将图1中的延长至点，使，连接．利用（1）中的结论完成下面的问题．①求证：；②若，试探究与之间的数量关系． 模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 例1（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，，点D为边上的中点，连接，过点B作于点E，延长交于点F．则的长为 ． 例2（2025·广东深圳·三模）如图，在中，是角平分线，是中线，，且，垂足为F，G为的中点，连接，．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 例3（24-25上·抚州·期末）如图①，在中，，，点D为边上的一点，连接，过点C作于点F，交于点E，连接． (1)求证：；(2)若，求证：； (3)如图②，若，，求的值． 例4（24-25九年级上·山西吕梁·期末）综合与实践 问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程． 数学思考：（1）如图1．在矩形中，，，、分别是、上的两点，连接、，于点，则________． 深入探究：（2）如图2，在矩形中，，分别交、于点、，分别交、于点、．求证：． 拓展延伸：（3）如图3，在中，，点在边上，连接，过点作于点，且的延长线交边于点．若，，，请直接写出的长． 1．（2025·贵州遵义·模拟预测）在中，于，、为、中点，，平分．则选项中错误的是（ ）． A． B． C． D． 2．（2025·浙江湖州·模拟预测）如图，点、分别是等边三角形的两边、上两点， 、相交于点，连结．若 ，则下列结论错误的是(   ) A． B． C． D． 3．（24·25内江·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D是线段AB上的一点，连接CD．过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF，给出以下三个结论：①；②若点D是AB的中点，则AF=AB； ③若，则S△ABC=6S△BDF；其中正确的结论的序号是（　　） A．①②③ B．①③ C．①② D．②③ 4．（24-25九年级下·安徽安庆·阶段练习）如图，点，分别是等边的边，上的点，且，，连接，相交于点．（1） °．（2）若等边的边长为6，则的长为 ． 5．（2024·山西·三模）如图，在矩形中，E、F分别是边的中点，与相交于点O，过点O作交于点M，若，则的长为 ． 6．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）如图，在等边中，是的中点，在上，且，连接，相交于点，则为 ． 7．（24·25下·重庆·九年级期中）如图，在中，，，点为边上的中点，连接，过点作于点，延长交于点，求的值． 8．（24·25下·湖南·九年级期中）如图，把边长为，的矩形对折，使点和重合，求折痕的长． 9．（24·25上·莆田·阶段练习）如图，等边的边长是6，点E，F分别在边上，，连接，相交于点P．(1)求的度数；(2)若，求的值． 10．（24-25下·深圳·一模）如图①，在Rt中，，，点D为边上的一点，连接，过点C作于点F，交于点E，连接． (1)若，求证：；(2)如图②，若，，求的值． 11．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】（1）如图①，在正方形中，点E，F分别是上的两点，连接，，求证：． 【类比探究】（2）如图②，在矩形中，，点E是边上一点，连接，且，求的值． 【拓展延伸】（3）如图③，在中，，点D在边上，连结，过点C作于点E，的延长线交边于点F．若，，求的值． 12．（24·25上·衢州·期末）如图，在等边ABC的AC，BC边上各取一点E，D，使AE＝CD，AD，BE相交于点O．（1）求证：AD＝BE；（2）若BO＝6OE，求CD的长． （3）在（2）的条件下，动点P在CE上从点C向终点E匀速运动，点Q在BC上，连结OP，PQ，满足∠OPQ＝60°，记PC为x，DQ的长为y，求y关于x的函数表达式． 13．（24·25下·湖北·九年级期中）在矩形纸片中，，点、在矩形的边上，连接，将纸片沿折叠，点的对应点为点．（1）如图①，若点在边上，当点与点重合时，则______°，当点与点重合时，则______°．（2）如图②，若点在边上，且点、分别在、边上，则线段的取值范围是______；（3）如图③，若点与点重合，点在上，线段、交于点，且，求线段的长度．        14．（24-25乐山九年级校考期末）解答 (1)如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H．求证：；(2)如图2，在满足（1）的条件下，点M，N分别在边BC，CD上，若，求的值；(3)如图3四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，，求的值． 15．（2025·江西景德镇·模拟预测）马超同学在学习完《图形的相似》后结合前面所学习的矩形，对矩形中的动点问题展开了以下探究：如图1，在矩形中，，，点为边上的一个动点，连接，并交于点；（1）若，则_____；若，则_____； 如图2，在矩形中，，，点为对角线（不与点A，重合）上一动点，过点作，交边，于点，，过点作交于点； （2）判断点在移动过程中，线段的长度是否会发生变化，若变化，请求出线段长度的变化范围，若不变化，求出线段长度的大小； （3）若，求出此时的面积；如图3，矩形中，，，点为矩形内部一动点，连接且满足，点在线段上且，连接． （4）请直接写出的最小值． 16．（24-25下·衢州·二模）在矩形中，E是边的中点，连接，过点B作于点F，射线与直线交于点P，设． (1)如图①，若，求证：；(2)如图②，当点P恰好与点D重合时，试确定m的值； (3)作点B关于直线的对称点，当以点P，D，为顶点的三角形是等腰三角形时，求的值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $