（易错复习讲义）常考易错知识点专题突破（七大专题39个易错点）-2025-2026学年五年级上册数学期末复习（北师大版）

该小学数学讲义通过七大专题39个易错点系统构建五年级上册知识体系，以目录为框架梳理小数除法、多边形面积等核心内容，按专题呈现易错点分布，突出重难点内在联系，帮助学生形成知识脉络。 讲义亮点在于“易错点+专项专练”设计，如小数除法中“商的小数点位置”配多层竖式练习，培养运算能力；轴对称图形补全练习发展空间观念。分层题目满足不同学生需求，助力教师精准教学，提升复习效率。

常考易错知识点专题突破 2025-2026学年五年级上册数学 （七大专题39个易错点） 目录 专题一小数除法 3 易错点1：计算小数除法时,忘记在商中点上小数点 3 易错点2：计算小数除以整数时,哪一位不够除,没有在那一位上商0占位 6 易错点3：计算小数除以小数时,被除数和除数没有扩大相同的倍数 10 易错点4：循环小数的表示错误或判断是否是循环小数错误 13 易错点5：不理解小数混合运算的顺序，在列综合算式时，容易忘了加小括号 15 专题二轴对称和平移 18 易错点1：轴对称图形对称轴数量判断错误。 18 易错点2：对称轴画法不规范​ 21 易错点3：误把平移格数当作图形间相距的格数了。 22 易错点4：补全轴对称图形的另一半错误（对称点位置找错或画错）。 26 易错点5：图案设计漏掉对称或平移元素。 28 专题三倍数与因数 32 易错点1：混淆“倍数”与“因数”的概念。 32 易错点2：找一个数的因数时，遗漏或重复。 33 易错点3：找一个数的倍数时，忽略它本身或无限性。 35 易错点4：没有理解奇偶数的意义。 37 易错点5：受2，5的倍数的特征的影响，误以为3的倍数也看个位上的数。 38 易错点6：混淆“质数”与“合数”的概念。 40 专题四多边形的面积 42 易错点1：方格中的图形的面积的比较错误。 42 易错点2：运用平行四边形的面积公式计算时,高与底没有对应。 46 易错点3：三角形面积和平行四边形的面积的关系运用错误。 48 易错点4：误认为梯形的面积=(上底+下底)×高,而忘记除以2。 49 易错点5：误认为平行四边形的形状变了,周长也会改变。（以及三角形及梯形面 53 积变化问题） 53 易错点6：面积公式混淆或记错。 54 易错点7：解决实际问题时关键词理解错误。 58 专题五分数的意义 60 易错点1：求一个数是另一个数的几分之几错误。 60 易错点2：真假分数认识错误。 63 易错点3：假分数与带分数的互化错误。 64 易错点4：分数基本性质应用不当。 67 易错点5：找几个数的公因数容易漏掉1或误将两数的乘积当成最小公倍数。 69 易错点6：约分或通分错误。 72 易错点7：运用比较分数的大小解决实际问题时,误认为用时多,效率就高。 75 专题六组合图形的面积 76 易错点1：将平方千米、平方米间的进率与公顷、平方米间的进率相混淆。 76 易错点2：分割或添补方法不当，导致无法计算或计算错误。 78 易错点3：估算面积时，未能正确算出格子数量。 85 易错点4：计算过程粗心，单位不统一 88 易错点5：实际问题未去除非面积部分。 91 专题七可能性 95 易错点1：未验证“等可能性”，错误计算概率。 95 易错点2：对“放回”与“不放回”的连续抽取问题混淆。 98 易错点3：没有进行多次摸球就确定两种球的多少情况。 100 易错点4：设计游戏时,出现情况的可能性不相同。 102 专题一小数除法 易错点1：计算小数除法时,忘记在商中点上小数点 【易错专练1】用竖式计算。 15.5÷2   18.3÷5   15÷4   36÷8 【答案】7.75；3.66；3.75；4.5 【分析】除数是整数的小数除法，按照整数除法进行计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐，被除数的数用完时，在被除数的末尾添“0”继续除。 【解答】 15.5÷2＝7.75         18.3÷5＝3.66             15÷4＝3.75         36÷8＝4.5                    【易错专练2】用竖式计算。 12.5÷5      25.2÷6      40.6÷7      32.2÷14 【答案】2.5；4.2；5.8；2.3 【分析】除数是整数的小数除法，按照整数除法进行计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐，被除数的数用完时，在被除数的末尾添“0”继续除。 【解答】 12.5÷5＝2.5      25.2÷6＝4.2      40.6÷7＝5.8      32.2÷14＝2.3            【易错专练3】列竖式计算。 25.5÷5＝                40.5÷5＝ 39.6÷11＝                79.26÷6＝ 【答案】5.1；8.1； 3.6；13.21 【分析】除数是整数的小数除法，按照整数除法的法则进行计算，商的小数点要和被除数的小数点对齐，如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0再继续除；据此解答。 【解答】25.5÷5＝5.1                40.5÷5＝8.1             39.6÷11＝3.6               79.26÷6＝13.21            【易错专练4】竖式计算。 7.2÷4＝            5.5÷5＝            3.9÷3＝ 2.15÷5＝           72.4÷4＝           7.86÷3＝ 【答案】1.8；1.1；1.3 0.43；18.1；2.62 【分析】根据除数是整数的小数除法的计算方法：按照整数除法计算，商的小数点和被除数的小数点对齐即可； 【解答】7.2÷4＝1.8      5.5÷5＝1.1       3.9÷3＝1.3                   2.15÷5＝0.43       72.4÷4＝18.1     7.86÷3＝2.62             【易错专练5】竖式计算。 8.01÷3＝           0.24÷3＝           23.4÷3＝ 4.2÷3＝            6.9÷3＝            2.1÷7＝ 【答案】2.67；0.08；7.8   1.4；2.3；0.3 【分析】小数除以整数，按照整数除法的方法去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐，整数不够除时，先商0，点上小数点，再继续除；除到被除数的末尾仍有余数时，就在余数后面添0，再继续除。据此计算。 【解答】8.01÷3＝2.67           0.24÷3＝0.08           23.4÷3＝7.8                             4.2÷3＝1.4            6.9÷3＝2.3            2.1÷7＝0.3                           易错点2：计算小数除以整数时,哪一位不够除,没有在那一位上商0占位 【易错专练1】列竖式计算。 18÷40＝                    0.714÷21＝ 6.27÷19＝                    0.24÷15＝ 【答案】0.45；0.034 0.33；0.016 【分析】除数是整数的除法：先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”，再继续除。 【解答】 18÷40＝0.45           0.714÷21＝0.034          6.27÷19＝0.33                0.24÷15＝0.016               【易错专练2】用竖式计算。 2.08÷4＝        8÷25＝        86.7÷85＝        28.7÷14＝ 【答案】0.52；0.32；1.02；2.05 【分析】小数除以整数，从被除数的最高位除起，除到哪一位就把商写在那一位的上面，商的小数点要和被除数的小数点对齐，除到被除数的末尾仍有余数时，就在余数的后面添0继续除。 【解答】 2.08÷4＝0.52                      8÷25＝0.32                  86.7÷85＝1.02                    28.7÷14＝2.05              【易错专练3】用竖式计算。 24.9÷6＝               10÷4＝ 38.5÷35＝             78.6÷12＝ 【答案】4.15；2.5 1.1；6.55 【分析】整数除法：先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位，如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面，除到被除数的哪一位不够商1，就对着这一位商0，除的过程中每一步的余数必须小于除数；除数是整数的小数除法：先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐，如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数的后面添0再继续除。 【解答】                                             【易错专练4】用竖式计算。 14.49÷7      2.16÷12      2.1÷14      49.92÷24 【答案】2.07；0.18；0.15；2.08； 【分析】除数是整数的除法：先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”，再继续除。 【解答】 14.49÷7＝2.07        2.16÷12＝0.18        2.1÷14＝0.15        49.92÷24＝2.08             【易错专练5】竖式计算。 126÷28＝         54.88÷32＝        64.8÷16＝ 36.6÷12＝         1.62÷27＝        19.57÷19＝ 【答案】4.5；1.715；4.05； 3.05；0.06；1.03 【分析】根据除数是整数的小数除法的运算法则，除数是整数的小数除法，按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0再继续除，据此解答。 【解答】126÷28＝4.5                   54.88÷32＝1.715              64.8÷16＝4.05                   36.6÷12＝3.05                   1.62÷27＝0.06             19.57÷19＝1.03                         易错点3：计算小数除以小数时,被除数和除数没有扩大相同的倍数 【易错专练1】用竖式计算。（带※的要验算）                       ※ 【答案】15.2；1.4；1.02 【分析】小数除法法则：先移动除数的小数点，使它变成整数。除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法进行计算。 根据商×除数＝被除数，进行验算。 【解答】15.2         1.4             ※1.02       验算： 【易错专练2】用竖式计算，带△的要验算。 91.7÷0.14        43.4÷0.35        12.6÷0.09        △4.75÷2.5 【答案】655；124；140；1.9 【分析】小数除法法则：先移动除数的小数点，使它变成整数。除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法进行计算。 根据商×除数＝被除数，进行验算。 【解答】91.7÷0.14＝655        43.4÷0.35＝124        12.6÷0.09＝140      △4.75÷2.5＝1.9 验算： 【易错专练3】用竖式计算，并验算。 7.5÷1.5        1.83÷0.03        13.6÷1.7        3.24÷0.54 【答案】5；61；8；6 【分析】除数是小数时，要把小数转化成整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位，先用被除数的整数部分除以除数，如果不够除，商0，商的小数点与被除数的小数点对齐；小数除法的验算方法：被除数÷商＝除数，除数×商＝被除数。 【解答】7.5÷1.5＝5                1.83÷0.03＝61 验算：       验算： 13.6÷1.7＝8                        3.24÷0.54＝6 验算：       验算： 【易错专练4】用竖式计算。 10.4÷0.8      11.5÷2.3      13.6÷0.08      34.5÷0.69 【答案】13；5；170；50 【分析】除数是小数的小数除法，先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用0补足）；然后按除数是整数的小数除法进行计算。 【解答】 10.4÷0.8＝13        11.5÷2.3＝5          13.6÷0.08＝170          34.5÷0.69＝50            【易错专练5】用竖式计算，并验算。 0.12÷0.25               6.3÷0.42             41.6÷26 1.68÷2.1                0.6÷0.12             7÷0.35 【答案】0.48；15；1.6 0.8；5；20 【分析】除数是整数的小数除法，按照整数除法进行计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐，被除数的数用完时，在被除数的末尾添“0”继续除。 除数是小数的小数除法，先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用0补足）；然后按除数是整数的小数除法进行计算。 【解答】0.12÷0.25＝0.48                                       6.3÷0.42＝15 验算：  验算： 41.6÷26＝1.6                                          1.68÷2.1＝0.8 验算：           验算： 0.6÷0.12＝5                                        7÷0.35＝20 验算：     验算： 易错点4：循环小数的表示错误或判断是否是循环小数错误 【易错专练1】5÷6的商用循环小数表示是（ ），精确到百分位约是（ ）。 【答案】 0.83 【分析】循环小数的简便写法：写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点；精确到百分位就看十分位，依据“四舍五入”保留近似数。 【解答】5÷6＝，精确到百分位是0.83。 即5÷6的商用循环小数表示是，精确到百分位约是0.83。 【易错专练2】3.971971971…这个循环小数还可以记作（ ），保留两位小数，近似值是（ ）。 【答案】 3.97 【分析】循环小数记数时，在第一个循环节的第一个数字和最末一个数字上分别记上一个圆点（循环节只有一个数字的只记一个圆点）“· ”，表示这个循环小数的这几个（或一个）数字重复出现。 保留两位小数看千分位，小于5直接舍去，大于或等于5向前一位进一。 【解答】3.971971971…＝≈3.97 3.971971971…这个循环小数还可以记作，保留两位小数，近似值是3.97。 【易错专练3】计算2÷1.1的商用循环小数表示为（ ），精确到千分位是（ ）。 【答案】 1.818 【分析】根据小数除法的计算规则，2÷1.1＝1.818181…，在这个商中，小数部分“81”是不断重复出现的，这就是循环节，循环小数的表示方法是在循环节的首位和末位数字上面各记一个小圆点，表示循环节“81”无限循环下去；将商精确到千分位，即保留小数点后三位数字，需要看小数点后第四位数字，再根据“四舍五入”法进行取舍。 【解答】2÷1.1＝1.818181…循环节是81，在上面点上小圆点，即2÷1.1＝； 由2÷1.1＝1.818181…，其小数点后第四位数字是1，因为1＜5，则把千分位后面的数都舍去，所以1.818181…精确到千分位是1.818。 【易错专练4】78.6÷2.2的商用循环小数表示是（ ），保留三位小数是（ ），小数点后面第15位的数字是（ ）。 【答案】 35.727 7 【分析】先根据除数是小数的小数除法算出78.6÷2.2的商，商的小数部分以7272…依次不断重复出现，所以商是循环小数，先用循环小数表示商，再保留三位小数，看小数点后面第4位的数字，根据“四舍五入”法取近似数。 商是循环小数，循环节是72，每2个数字一循环，求小数点后面第15位的数字就是求15里面有几个2，用除法计算；然后根据余数的情况，判断出小数点后面第15位的数字。 【解答】78.6÷2.2＝35.7272…＝ 78.6÷2.2≈35.727 15÷2＝7……1 余数是1表示是一个循环里的第一个数，即7。 78.6÷2.2的商用循环小数表示是，保留三位小数是35.727，小数点后面第15位的数字是7。 【易错专练5】的商用循环小数表示是（ ），保留三位小数是（ ）。 【答案】 6.533 【分析】计算除数是小数的除法，先移动除数的小数点，使它变成整数。除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法进行计算。循环小数的简便写法是找出循环节，在循环节的头尾点上循环点。 保留三位小数，即精确到千分位上，要看万分位上的数。根据四舍五入法的原则，若万分位上的数字大于等于5，就向千分位进1；若万分位上的数字小于5，就舍去万分位及其后面数位上的数。 【解答】9.8÷1.5＝6.5333…，则的商用循环小数表示是，保留三位小数是6.533。 易错点5：不理解小数混合运算的顺序，在列综合算式时，容易忘了加小括号 【易错专练1】一辆汽车从甲地开往乙地，1.5时行驶了90千米，此时距离乙地还有78千米。照这样的速度行驶，这辆汽车到达乙地还需要几时？ 【答案】1.3小时 【分析】根据速度＝路程÷时间，用90÷1.5，求出汽车的速度，再根据时间＝路程÷速度，用距离乙地的路程÷汽车的速度，即可解答。 【解答】78÷（90÷1.5） ＝78÷60 ＝1.3（小时） 答：这辆汽车到达乙地还需要1.3小时。 【易错专练2】服装厂新购进了360米的新布料，做女士上衣一共用了308.8米布料，剩下的做儿童连衣裙，每件儿童连衣裙用布料1.6米，可以做多少件儿童连衣裙？（不计损耗） 【答案】32件 【分析】分析题目，先用布料的总长度减去做女士上衣用去的布料即可得到剩下的布料，再用剩下的布料除以做一件儿童连衣裙用的布料即可解答。 【解答】（360－308.8）÷1.6 ＝51.2÷1.6 ＝32（件） 答：可以做32件儿童连衣裙。 【易错专练3】妈妈带笑笑到公园玩，出来后按停车收费标准交停车费8.5元，你知道她们在公园玩了多久吗？ 收费标准：（1）1小时内（包括一小时）收费2.5元。 （2）超过1小时，超过的部分每0.5小时收费1.5元。 【答案】3小时 【分析】超过1小时，超过的部分每0.5小时收费1.5元，因此超出1小时后每小时收费（1.5×2）元，用交的停车费－1小时内的费用，先求出超出1小时的停车费，除以超出1小时后每小时的收费，求出超出1小时的时间，再加上1小时即可。 【解答】（8.5－2.5）÷（1.5×2）＋1 ＝6÷3＋1 ＝2＋1 ＝3（小时） 答：她们在公园玩了3小时。 【易错专练4】棋盘山山腰上曾有一巨石棋盘，传说仙人吕洞宾和铁拐李曾在此对弈，这便是棋盘山山名的由来。乐乐家住在山脚下，他家到山顶的距离是2.85千米。周末乐乐一家去爬山，他们从家到山顶用了2.6小时，原路返回用了1.4小时，他们往返的平均速度是多少？ 【答案】1.425千米/时 【分析】将他家到山顶的距离乘2，求出总路程。将爬山时间加上下山时间，求出总时间。平均速度＝总路程÷总时间，据此解题。 【解答】2.85×2÷（2.6＋1.4） ＝5.7÷4 ＝1.425（千米/时） 答：他们往返的平均速度是1.425千米/时。 【易错专练5】代驾是指当车主不能自行开车到达目的地时，由专业驾驶人员驾驶车主的车将其送至指定地点并收取一定费用的行为，让一些不方便的人群多一点安全。某滴平台代驾收费标准如下： 行驶里程 8千米及以内 超过8千米部分 06：00－21：59 35元 每千米3.5元 22：00－22：59 50元 23：00－23：59 65元 00：00－05：59 85元 （说明：行驶里程不足1千米，按1千米计算。） （1）王叔叔周六晚上喝喜酒8：30结束，在该平台预约了代驾，从酒店到家共行驶了10.7千米，需要支付多少元？ （2）李医生凌晨1：30下班，预约了代驾，服务结束支付了95.5元，这次代驾行驶里程最多是多少千米？ 【答案】（1）45.5元 （2）11千米 【分析】（1）王叔叔晚上8：30预约代驾，则应按照06：00－21：59收费标准进行计费，即8千米及以内35元，超过8千米部分每千米 3.5元；因行驶里程不足1千米按1千米计算，所以王叔叔行驶的路程10.7千米约为11千米；先用11千米减8千米，得到超过部分3千米，再用超过部分3千米乘每千米3.5元，即得到超过部分的费用，最后加上8千米的费用35元，即得到需要支付的费用。据此解答。 （2）李医生凌晨1：30下班预约了代驾，则应按照00：00－05：59收费标准进行计费，即8千米及以内85元，超过8千米部分每千米3.5元；李医生服务结束支付了95.5元，其中包含8千米及以内的费用和超过8千米部分的费用；先用95.5元减8千米及以内的费用85元，得到超过8千米部分的费用，再用超过8千米的费用除以每千米3.5元，得到超过8千米的最多千米数，最后加上8千米即得到最多的行驶里程。据此解答。 【解答】（1）（11－8）×3.5＋35 ＝3×3.5＋35 ＝10.5＋35 ＝45.5（元） 答：需要支付45.5元。 （2）（95.5－85）÷3.5＋8 ＝10.5÷3.5＋8 ＝3＋8 ＝11（千米） 答：这次代驾行驶里程最多是11千米。 专题二轴对称和平移 易错点1：轴对称图形对称轴数量判断错误。 【易错专练1】在常见的平面图形中，圆形有（ ）条对称轴，等腰三角形有（ ）条对称轴。 【答案】无数 1 【分析】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线就是对称轴，圆形有无数条对称轴；等腰三角形两条腰相等，有一条对称轴，据此填空即可。 【解答】如图： 在常见的平面图形中，圆形有无数条对称轴，等腰三角形有1条对称轴。 【易错专练2】下列图形，能画几条对称轴？ （ ）条（ ）条（ ）条（ ）条 【答案】无数 1 3 5 【分析】根据对称轴的定义可知，如果沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴；由此可以确定上图中对称轴的条数。 【解答】据分析作图如下：     （无数）条          （ 1 ）条        （ 3 ）条       （ 5 ）条 【易错专练3】如图所示，每个图形各有几条对称轴？填在下面的括号里。 （ ）条  （ ）条   （ ）条     （ ）条 【答案】4 4 2 4 【分析】把一个图形沿着一条直线折叠，这条直线两边的图形能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，折痕所在的直线叫做它的对称轴，据此解答。 【解答】如图所示： 第一个图形有4条对称轴；第二个图形有4条对称轴；第三个图形有2条对称轴；第四个图形有4条对称轴。 【易错专练4】填空。 （1）只有一条对称轴的图形有（ ）； （2）共有两条对称轴的图形有（ ）； （3）共有四条对称轴的图形有（ ）。 【答案】（1）③、⑤ （2）①、④ （3）② 【分析】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线就是对称轴。 【解答】（1）只有一条对称轴的图形有③、⑤； （2）共有两条对称轴的图形有①、④； （3）共有四条对称轴的图形有②。 【易错专练5】观察下面各图形，再按照要求填序号。 （1）只有一条对称轴的图形是 。 （2）只有2条对称轴的图形是 。 （3）有超过2条对称轴的图形是 。 （4）不是轴对称图形的是 。 （5）有无数条对称轴的图形是 。 【答案】（1）① （2）④⑤ （3）②⑥⑦⑧ （4）③ （5）⑧ 【分析】一个图形如果沿某条直线折叠后，两侧图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线称为它的对称轴。据此判断各图形的对称轴数量即可。 ①有1条对称轴；②有3条对称轴；③不是轴对称图形；④有2条对称轴；⑤有2条对称轴；⑥有6条对称轴；⑦有4条对称轴；⑧有无数条对称轴。 【解答】（1）只有一条对称轴的图形是①。 （2）只有2条对称轴的图形是④⑤。 （3）有超过2条对称轴的图形是②⑥⑦⑧。 （4）不是轴对称图形的是③。 （5）有无数条对称轴的图形是⑧。 易错点2：对称轴画法不规范​ 【易错专练1】画出下面图形的对称轴。 【答案】见详解 【分析】一个图形如果沿某条直线折叠后，两侧图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线称为对称轴。据此画出对称轴。 【解答】         【易错专练2】下面的图形各有几条对称轴？请你画一画，并填在括号里。      （    ）条         （    ）条         （    ）条       （    ）条 【答案】2；1；6；1；画图见详解 【分析】一个图形如果沿某条直线折叠后，两侧图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线称为对称轴。据此画出对称轴。 【解答】 【易错专练3】两个大小不同的圆可以组成以下五种图形，请找出每个图形的对称轴。 【答案】见详解 【分析】轴对称图形定义为平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。直线叫做对称轴，并且对称轴用点画线表示；这时，这个图形关于这条直线对称。 穿过两个圆的圆心就是五种图形的对称轴。其中最后一幅图的对称轴不止一条，只要通过圆心的直线都是这个图形的对称轴，即有无数条。 【解答】 【易错专练4】画出下面图形的所有对称轴。 【答案】见详解 【分析】一个图形沿一条直线对折后，折痕两旁的部分能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴。 【解答】如图： 易错点3：误把平移格数当作图形间相距的格数了。 【易错专练1】画一画，将图（一）向右平移6格，将图（二）向上平移3格。 【答案】见详解 【分析】根据图形平移的性质，图形平移后，图形的形状和大小不变，只是图形的位置发生了变化； 将图（一）各顶点分别向右平移6格，再依次连接，画出平移后图形； 将图（一）各顶点分别向上平移3格，再依次连接，画出平移后图形； 【解答】如下图： 【易错专练2】画出方格纸中的图形先向上平移1格，再向右平移9格后的图形。 【答案】图见详解 【分析】先确定平移的方向，然后根据平移的格数确定对应点的位置，然后画出平移后的图形。注意平移对应点之间的格数就是平移的格数。 【解答】作图如下： 【易错专练3】画一画。 （1）将向左平移8个格。 （2）将向下平移5个格。 【答案】见详解 【分析】（1）把平行四边形的四个顶点分别向左平移8格，再依次连接起来即可得出平移后的平行四边形； （2）把图形的六个顶点分别向下平移5格，再依次连接起来即可得出平移后的图形。 【解答】作图如下： 【易错专练4】如果把苹果先向东平移4格，再向北平移3格，接着向西平移6格，最后向南平移1格，你知道现在苹果的位置在哪吗？在图中画出来。 【答案】见详解 【分析】由“上北下南，左西右东”可知，把苹果先向东平移4格，再向北平移3格，接着向西平移6格，最后向南平移1格，也就是先把苹果先向右平移4格，再向上平移3格，接着向左平移6格，最后向下平移1格，据此作图即可。 【解答】如下图： 【易错专练5】按要求完成下面各题。 （1）把图A向（    ）平移（    ）格可以得到图B。 （2）把图B向（    ）平移（    ）格可以得到图C。 （3）在方格中画出图C向上平移4格后得到的图D。 【答案】（1）下；7 （2）右；14 （3）见详解 【分析】（1）根据题意，仔细观图形，把图A向下平移7格可以得到图B。 （2）根据题意，仔细观图形，把图B向右平移14格可以得到图C。   （3）要求把C向上平移4格并在方格纸上画出相应图形即可。 【解答】根据分析可知： （1）把图A向下平移7格可以得到图B。 （2）把图B向右平移14格可以得到图C。   （3）在方格中画出图C向上平移4格后得到的图D如下： 易错点4：补全轴对称图形的另一半错误（对称点位置找错或画错）。 【易错专练1】画出如图的另一半，使它成为一个轴对称图形。 【答案】见详解 【分析】平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形。根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，找到图形的各顶点关于对称轴的对称点后，依次连接各点得到轴对称图形。 【解答】如图： 【易错专练2】以直线L为对称轴，画出下图中点A和点B的对称点。 【答案】见详解 【分析】在对称图形中，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴。据此先分别画出从点A和点B到直线L的垂直线段，测量垂直线段的长度，再延长垂直线段相同长度到直线L的另一边，从而确定点A和点B的对称点的位置。 【解答】 【易错专练3】画出下图中A与B的轴对称图形。 【答案】见详解 【分析】补全轴对称图形的方法：找出图形的关键点，依据对称轴画出关键点的对称点，再依据图形的形状顺次连接各点，画出最终的轴对称图形。据此解答。 【解答】 【易错专练4】在方格纸上画出轴对称图形。 【答案】见详解 【分析】依据补全轴对称图形的画法：找出图形的关键点，依据对称轴画出关键点的对称点，再依据图形的形状顺次连接各点，画出最终的轴对称图形。 【解答】 易错点5：图案设计漏掉对称或平移元素。 【易错专练1】将平移，在方框里设计一幅自己喜欢的图案。      【答案】见详解 【分析】平移只改变图形的位置，不改变图形的大小和形状，也不改变图形的方向，据此结合给出的图形设计自己喜欢的图案即可。 【解答】作图如下： （答案不唯一） 【易错专练2】照样子继续画下去，形成一幅美丽的图案。 【答案】见详解 【分析】通过平移的方式照样子继续画下去，图一这个图形依次向右移动两格，得到一个图形，再向右移动两格，得到一个图形，图二这个图形依次向右移动四格，得到一个图形，再向右移动四格，得到一个图形，据此画图。 在方格纸上画已知图形平移后的图形的方法是先找出所给图形的关键点（或关键线段），再按要求平移相应的格数并描出各对应点（或对应线段），最后把这些对应，点（或对应线段）按所给图形的形状依次连接起来。 【解答】如图所示： 【易错专练3】照样子继续画下去，并涂上你喜欢的颜色，形成一幅美丽的图案。 【答案】见详解 【分析】观察图形可知，由1个三角形和一个梯形组成的一个图形，然后这个图形依次向右移动两格，得到一个图形，再向右移动两格，得到一个图形。据此解答即可。 【解答】如图： 【易错专练4】请用轴对称或平移的知识，为自己的班级设计班徽。与同伴说一说你的设计意图。 【答案】见详解 【分析】如果一个图形沿某条直线对折后两边能完全重合，那么这个图形是轴对称图形；平移：把一个图形整体沿某一直线方向移动一定距离；据此设计即可。（答案不唯一，合理即可） 【解答】设计如下： （答案不唯一） 【易错专练5】下图是几名同学设计的班徽。 请你用轴对称或平移的知识，为自己的班级设计班徽。 【答案】见详解（答案不唯一） 【分析】如果一个图形沿某条直线对折后两边能完全重合，那么这个图形是轴对称图形；平移是把一个图形整体沿某一直线方向移动一定距离。据此可以先画一个平行四边形，然后以它的一条边为对称轴画出它的另一半，这是一本书的样子，代表求知；下面同样先画一片叶子，再画出轴对称图形的另一半，形成一棵幼苗，代表同学们。据此解答。 【解答】 专题三倍数与因数 易错点1：混淆“倍数”与“因数”的概念。 【易错专练1】如果a÷b＝25（a、b均为非零的自然数），那么b是a的因数。（ ） 【答案】√ 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。 【解答】如果a÷b＝25（a、b均为非零的自然数），那么b是a的因数。 原题说法正确。 故答案为：√ 【易错专练2】在2、7、42这三个自然数中，42是倍数，2和7是因数。（ ） 【答案】× 【分析】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单独存在。 【解答】在2、7、42这三个自然数中，42是2和7的倍数，2和7是42的因数，原题说法错误。 故答案为：× 【易错专练3】因为，所以6是1.2和5的倍数，1.2和5是6的因数。（ ） 【答案】× 【分析】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。“倍”的概念比“倍数”要广，“倍”可以适用于小数，分数，整数；而倍数相对因数而言，只能适用于不为0的自然数。据此解答。 【解答】根据分析可得： 因数和倍数只能适用不为0的自然数，不能是小数。那么在中，可以说6是1.2的5倍，6是5的1.2倍，但不能说6是1.2和5的倍数，1.2和5是6的因数。原说法错误。 故答案为：× 【易错专练4】24÷2＝12，所以24是倍数，2和12是因数。（ ） 【答案】× 【分析】a÷b＝c（a、b、c均为正整数），那么a是b和c的倍数，b和c是a的因数。因数和倍数是两个数之间的一种关系，不能单独说一个数是因数或者倍数。据此判断。 【解答】24÷2＝12，所以24是2和12的倍数，2和12是24的因数。 故答案为：× 【易错专练5】9×4＝36，36是4和9的倍数，9和4是36的因数。（ ） 【答案】√ 【分析】根据倍数和因数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；据此判断即可。 【解答】因为9×4＝36，则：36÷4＝9，36是4和9的倍数，4和9是36的因数；原题说法正确。 故答案为：√ 易错点2：找一个数的因数时，遗漏或重复。 【易错专练1】4的因数有（ ），8的因数有（ ）个。 【答案】1、2、4 4 【分析】如果a×b＝c（a、b、c都是非0的自然数）那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。列出相乘分别等于4和8的算式，即可找出4和8的因数分别有哪些，据此解答。 【解答】4＝1×4＝2×2 8＝1×8＝2×4 4的因数有1、2、4；8的因数有1、2、4、8，共4个。 【易错专练2】一个数的最大因数是18，这个数是（ ），它的因数有（ ）。 【答案】18 1、2、3、6、9、18 【分析】一个数的最大因数是其本身，因此一个数的最大因数是18，这个数是18，1×18＝18，2×9＝18，3×6＝18，因此它的因数有1、2、3、6、9、18。 【解答】根据分析可知，一个数的最大因数是18，这个数是18，它的因数有1、2、3、6、9、18。 【易错专练3】校运会开始了，王叔叔为运动员们买了96瓶饮料，选用第（ ）号包装正好能把饮料装完，选择这种包装方式需要（ ）个包装盒。 【答案】② 12 【分析】先列举出96的所有因数，再看7、8、10是不是96的因数，如果是96的因数，就可以用这种包装正好把饮料装完，反之，就不能正好把饮料装完。 再用饮料的总瓶数除以每个包装盒装饮料的瓶数，即可求出选择这种包装方式需要包装盒的个数。 【解答】96的因数有：1，2，3，4，6，8，12，16，24，32，48，96； 7和10不是96的因数，8是96的因数，所以用装8瓶的包装盒正好能把饮料装完。 96÷8＝12（个） 选用第②号包装正好能把饮料装完，选择这种包装方式需要12个包装盒。 【易错专练4】笑笑在猜数游戏中提出：一个数的最小倍数和它的最小因数的和是45，这个数是（ ），它共有（ ）个因数。 【答案】44 6 【分析】一个数的最小因数是1，最小倍数是它自己本身，据此可得出这个数。再根据分解因数法可得出因数。 【解答】一个数的最小倍数和它的最小因数的和是45，这个数是44，它的因数有：1、2、4、11、22、44，共有6个因数。 【易错专练5】在括号里写出下面各数的所有因数。 12（ ）        16（ ） 18（ ）        50（ ） 【答案】1、2、3、4、6、12 1、2、4、8、16 1、2、3、6、9、18 1、2、5、10、25、50 【分析】整数A能被整数B整除，B叫做A的因数。可以先列出乘法算式中以12、16、18、20为积的乘法算式，再从小到大一次写出。 【解答】1×12＝12，2×6＝12，3×4＝12 则12的因数：1、2、3、4、6、12； 1×16＝16、2×8＝16、4×4＝16 则16的因数：1、2、4、8、16； 1×18＝18、2×9＝18、3×6＝18 则18的因数：1、2、3、6、9、18； 1×50＝18、2×25＝50、5×10＝50 则18的因数：1、2、5、10、25、50； 易错点3：找一个数的倍数时，忽略它本身或无限性。 【易错专练1】一个数比20小，它是2的倍数，又是7的倍数，这个数是（ ）。 【答案】14 【分析】先分别找出2的倍数和7的倍数，从中找出满足是2的倍数又是7的倍数的数，且这个数要比20小，据此解答。 【解答】2的倍数有：2，4，6，8，10，12，14，16，18，20，… 7的倍数有：7，14，21，… 比20小，且是2的倍数，又是7的倍数的数是14。 因此一个数比20小，它是2的倍数，又是7的倍数，这个数是14。 【易错专练2】为了培养学生的节约意识，锻炼社会实践能力，学校举办了“跳蚤市场”活动。同学们把家里闲置的旧书和旧玩具等用品带来售卖。 【答案】42 【分析】列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。 据此求出50以内14的倍数，50以内最大的倍数就是女孩收入的钱数。 【解答】14×1＝14（元） 14×2＝28（元） 14×3＝42（元） 14×4＝56（元） 50以内14的倍数有：14、28、42 女孩收入的钱数是42元。 【易错专练3】一个数的最大因数和最小倍数都是26，这个数是（ ）。 【答案】26 【分析】一个数因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是这个数本身，一个数倍数的个数是无限的，最小的倍数是这个数本身，没有最大的倍数，即一个数的最大因数和最小倍数都是这个数本身，据此解答。 【解答】分析可知，一个数的最大因数和最小倍数都是26，这个数是26。 【易错专练4】12的因数有（ ），50以内9的倍数有（ ）。 【答案】1，2，3，4，6，12 9，18，27，36，45 【分析】因数和倍数：如果a×b＝c（a、b、c是不为0的自然数），那么a、b是c的因数，c是a、b的倍数。如：4×9＝36，4和9是36的因数，36是4和9的倍数；据此求出12的因数及50以内9的倍数即可。 【解答】12＝1×12＝2×6＝3×4 1×9＝9 2×9＝18 3×9＝27 4×9＝36 5×9＝45 12的因数有（1，2，3，4，6，12）；50以内9的倍数有（9，18，27，36，45）。 【易错专练5】有一把玩具密码锁，密码是一个两位数，它既是9的倍数，又是18的因数，这把密码锁的密码是（ ）。 【答案】18 【分析】根据求一个数倍数的方法，先找出9的几个倍数；再根据求一个数因数的方法，找出18的所有因数；进而确定符合题意的数得解。 【解答】9×1＝9、9×2＝18、9×9＝27、9×4＝36，所以9的倍数有：9、18、27、36、… 1×18＝18、2×9＝18、3×6＝18，所以18的因数有：1、2、3、6、9、18。 所以一个数既是9的倍数，又是18的因数的两位数是18。 易错点4：没有理解奇偶数的意义。 【易错专练1】50名同学分成两组，一组人数是奇数，另一组人数是（ ）数。 【答案】奇 【分析】偶数是能被2整除的数，奇数是不能被2整除的数。已知一共有50名同学，50÷2＝25，能被2整除，所以50是偶数。一组人数是奇数，根据：奇数＋奇数＝偶数，所以另一组人数一定是奇数。 【解答】50÷2＝25 50是偶数。 奇数＋奇数＝偶数 所以另一组人数一定是奇数。 【易错专练2】用9、0、4这三个数字组成三位数，组成的奇数是（ ），组成的偶数有（ ）。 【答案】409 940、490、904 【分析】奇数：不能被2整除的整数，其个位数字通常是1、3、5、7、9。 偶数：能被2整除的整数，其个位数字通常是0、2、4、6、8。 给定数字为9、0、4，共3个数字，可组成两位数或三位数（0不能作为最高位）。组成奇数时，个位必须是9（因为只有9是这三个数字中符合奇数个位要求的数字）。组成偶数时，个位可以是0或4（这两个数字符合偶数个位的要求）。 【解答】组成的奇数：个位必须是9，剩下的数字是0和4，可组成的数为：409。 组成的偶数：当个位是0时，剩下的数字是9和4，可组成：940、490；当个位是4时，剩下的数字是9和0（0不能在百位），可组成：904。 用9、0、4这三个数字组成三位数，组成的奇数是409，组成的偶数有940、490、904。 【易错专练3】一张扑克牌正面朝上放在桌子上，翻动1次反面朝上，翻动2次正面朝上，如此翻动99次后，（ ）面朝上，翻动500次后，（ ）面朝上。 【答案】反 正 【分析】一张扑克牌正面朝上放在桌上，翻动1次反面朝上，翻动2次正面朝上，翻动3次反面朝上，翻动4次正面朝上……也就是扑克牌翻动1次、3次……反面朝上，翻动2次、4次……正面朝上，即翻动奇数次后，扑克牌的反面朝上，翻动偶数次后，扑克牌的正面朝上；结合奇数和偶数的定义：整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数；判断99和500分别是奇数还是偶数，即可判断扑克牌是哪个面朝上。 【解答】由分析可得：99是奇数，因此翻动99次后，扑克牌的反面朝上；500是偶数，因此翻动500次后，扑克牌的正面朝上。 【易错专练4】学校舞蹈、车模、书法这三个社团的人数正好是三个连续的奇数，已知三个社团共有87人，这三个社团中最少的是（ ）人，最多的是（ ）人。 【答案】27 31 【分析】相邻的奇数之间相差2，总人数÷3＝中间奇数，中间奇数－2＝较小奇数，中间奇数＋2＝较大奇数，据此分析。 【解答】87÷3＝29（人） 29－2＝27（人） 29＋2＝31（人） 这三个社团中最少的是27人，最多的是31人。 【易错专练5】欢欢、乐乐、天天三人的年龄正好是三个连续的偶数，他们的年龄总和是36岁，他们三人中最小的是（ ）岁，最大的是（ ）岁。 【答案】10 14 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 连续偶数的特点，两个相邻的偶数相差2。 已知三人的年龄正好是三个连续的偶数，他们的年龄总和是36岁，用三人的年龄总和除以3，求出平均数，即是中间的年龄，再用中间的年龄分别减2、加2，求出三人中最小的年龄和最大的年龄。 【解答】36÷3＝12（岁） 12－2＝10（岁） 12＋2＝14（岁） 他们三人中最小的是10岁，最大的是14岁。 易错点5：受2，5的倍数的特征的影响，误以为3的倍数也看个位上的数。 【易错专练1】所有的奇数都是3的倍数。（ ） 【答案】× 【分析】一个数各个数位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，可以进行举例说明，再进行判断。 【解答】3是奇数， 3÷3＝1，3是3的倍数； 5是奇数， 5÷3＝1.666…，5不是3的倍数； 所以奇数不一定是3的倍数，原题说法错误。 故答案为：× 【易错专练2】3个连续自然数组成的数一定都是3的倍数。（ ） 【答案】√ 【分析】3的倍数特征：一个数各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；据此判断。 【解答】设这3个连续自然数分别是a－1，a，a＋1； a－1＋a＋a＋1＝3a 3a是3的倍数，所以3个连续自然数组成的数一定都是3的倍数。 原题说法正确。 故答案为：√ 【易错专练3】14508是3的倍数。（ ） 【答案】√ 【分析】3的倍数特征：一个数各个数位上的数相加的和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数。据此解答。 【解答】1＋4＋5＋0＋8＝18 18÷3＝6 所以14508是3的倍数。 原题说法正确。 故答案为：√ 【易错专练4】要使4□6是3的倍数，□的最大可以填8。（ ） 【答案】√ 【分析】根据3的倍数的特征，一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数一定是3的倍数。据此判断。 【解答】4＋6＝10 12、15、18是3的倍数， 12－10＝2 15－10＝5 18－10＝8 所以□里可以填2、5、8，最大填8，原题说法正确。 故答案为：√ 【易错专练5】从写有数字1、0、8、5的四张卡片中选出3张组成一个三位数，在3的倍数中，最大的是810。（ ） 【答案】√ 【分析】3的倍数特征：各个数位上的数字相加，和要能被3整除。 先计算出哪三张卡片的和是3的倍数，再看组成的三位数，哪个数最大即可。 【解答】三张卡片的数字之和能被3整除的有： 1＋0＋5＝6 1＋0＋8＝9 可以组成的3的倍数的三位数有：105、501、510、108、801、810； 其中最大的三位数是810。 原题说法正确。 故答案为：√ 【点评】掌握3的倍数特征是解题的关键。 易错点6：混淆“质数”与“合数”的概念。 【易错专练1】在0、1、2、3、4、11、27中，奇数有（ ）个，质数有（ ）个，合数有（ ）个。 【答案】4 3 2 【分析】整数中，不是2的倍数的数叫作奇数；一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数，最小的质数是2；一个数，除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数，最小的合数是4，据此判断。 【解答】在0、1、2、3、4、11、27中，1、3、11、27不是2的倍数，所以奇数有1、3、11、27，共4个； 其中2、3、11都只有1和它本身两个因数，所以质数有3个； 其中4的因数有1、2、4，27的因数有1、3、9、27，所以合数有4和27共2个。 【易错专练2】一个三位数49，当它是3的倍数时，里最大填（ ）。一个两位数1，当它是质数时，里最小填（ ）。 【答案】8 1 【分析】 3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数，先计算出4与9的和是13，而13加9得22，22不是3的倍数，13加8得21，21是3的倍数，所以里最大填8。一个数若只有1与它本身2个因数，那么这个数就是质数，那么这个两位数的个位数字最小是1时，它是质数。 【解答】4＋9＝13 13＋8＝21 一个三位数49，当它是3的倍数时，里最大填8。一个两位数1，当它是质数时，里最小填1。 【易错专练3】两位数中，最大的质数是（ ）、合数是（ ）。 【答案】97 99 【分析】一个数除了1和它本身再没有其他因数，这个数就叫质数；一个数除了有1和它本身外，还有其他因数，这个数叫合数。根据在两位数10~99这个范围中找出来填空即可。 【解答】据分析可知，两位数中，最大的质数是97、合数是99。 【易错专练4】写出50的所有因数：（ ），这些因数中质数有（ ）个，合数有（ ）个。 【答案】1，2，5，10，25，50 2 3 【分析】找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 【解答】50＝1×50＝2×25＝5×10 50的因数：1，2，5，10，25，50； 其中质数是：2，5，有2个； 合数是：10，25，50，有3个； 填空如下： 写出50的所有因数：（1，2，5，10，25，50），这些因数中质数有（2）个，合数有（3）个。 【易错专练5】天天去帮妈妈取快递，妈妈告诉天天，快递取件码是一个没有零的四位数，最高位上的数既是偶数又是质数，百位上的数既是奇数又是合数，十位上的数比最小的合数大1，个位上的数既不是质数也不是合数。快递取件码是（ ）。 【答案】2951 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 【解答】最高位上的数既是偶数又是质数，即2； 百位上的数既是奇数又是合数，即9； 十位上的数比最小的合数大1，最小的合数是4，4＋1＝5，即十位上的数是5； 个位上的数既不是质数也不是合数，即1； 快递取件码是2951。 专题四多边形的面积 易错点1：方格中的图形的面积的比较错误。 【易错专练1】如图所示图形中，面积最大的是（    ）。 A．A B．B C．C D．D 【答案】D 【分析】假设每个小方格面积为1，分别数数各个图形包含小方格的数量和半个的数量，每个图形小方格的数量＝小方格数量＋半格的数量÷2，求出每个图形方格的数量即可比较图形的大小。 【解答】A．图形A的面积是：10＋4÷2＝12 B．图形B的面积是：6＋10÷2＝11 C．图形C的面积是：7＋7÷2＝10.5 D．图形D的面积是：12＋4÷2＝14 14＞12＞11＞10.5 面积最大的是D。 故答案为：D 【易错专练2】下面图形中，（    ）的面积与其它两个的面积不相等。（图中每个小方格的边长表示lcm） A．A B．B C．C 【答案】A 【分析】图形A是三角形，因三角形面积＝底×高÷2，将数据代入可求得三角形面积。 图形B和C可用数格子的方法数出有多少个格子，从而知道它们的面积。据此解答。 【解答】每个格子的面积：1×1＝1（） 图形A面积：6×3÷2 ＝18÷2 ＝9（） 图形B面积：13 图形C面积：13 故答案为：A 【点评】对规则图形，可用公式求得面积，对不规则的图形，本题可用数格子的方法求得面积。 【易错专练3】下图中每个小方格代表1平方厘米，下面三个图形面积大小排列顺序正确的是（    ）。 A．③＞②＞① B．②＞①＞③ C．③＞①＞② D．①＞③＞② 【答案】C 【分析】因为每个小方格的面积是1平方厘米，数一数阴影部分由多少个方格组成，不足一格按半个计算；用方格的个数乘1平方厘米即可。图形①由16个整格组成；图形②由14个整格组成；图形③由16个整格，4个半格，组成2个整格，共有16＋2＝18（个）整格组成；分别求出它们的面积，再比较解答。 【解答】根据分析可得： 图①的面积是：16×1＝16（平方厘米） 图②的面积是：14×1＝14（平方厘米） 图③的面积是：18×1＝18（平方厘米） 18平方厘米＞16平方厘米＞14平方厘米， 所以上面三个图形面积大小排列顺序正确的是③＞①＞②。 故答案为：C 【点评】此题考查的目的是理解掌握利用数方格计算图形面积的方法，弄清楚阴影部分有多少个方格组成，是解答本题的关键。 【易错专练4】如图中每个小方格代表1平方厘米，涂色部分的面积是（    ）平方厘米。 A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】2个半格拼成一个满格，4个半格就拼成4÷2＝2（个）满格，再加4个满格，合起来就是4＋2＝6（个）满格，1个方格是1平方厘米，6个方格就是1×6＝6（平方厘米），据此即可解答。 【解答】4÷2＋4 ＝2＋4 ＝6（个） 1×6＝6（平方厘米） 涂色部分的面积是6平方厘米。 故答案为：C 【易错专练5】比一比下面两个图形的面积。结果是（    ）。 A．①＞② B．①＜② C．①＝② D．无法比较 【答案】C 【分析】分别数出两个图形所占小方格的数量，数量多的面积就大；由此解答即可。 【解答】图①占4个小方格，图②占4个小方格， 所以两个图形的面积：①＝②。 故答案为：C 易错点2：运用平行四边形的面积公式计算时,高与底没有对应。 【易错专练1】乐思用12厘米和7厘米长的木条各2根，钉成了一个长方形。然后将它拉成一个平行四边形。这个平行四边形的底是12厘米，它的高可能是（    ）。（接口处忽略不计） A．8厘米 B．12厘米 C．7厘米 D．5厘米 【答案】D 【分析】用12厘米和7厘米长的木条各2根钉成的长方形，长是12厘米，宽是7厘米。把长方形拉成平行四边形后，底的长度不变（这里底是12厘米），但是高会变小，因为平行四边形的高是从一边向对边作的垂线段，拉的过程中倾斜程度变大，高小于原来长方形的宽（7厘米）。 【解答】A．8厘米＞7厘米，不符合高小于7厘米的要求，该选项错误。 B．12厘米＞7厘米，不符合高小于7厘米的要求，该选项错误。 C．7厘米等于原来长方形的宽，拉成平行四边形后高应小于7厘米，该选项错误。 D．5厘米＜7厘米，符合高小于7厘米的要求，该选项正确。 所以平行四边形的高可能是5厘米。 故答案为：D 【易错专练2】为了缓解停车位紧张的状况，社区管理员规划了一块平行四边形的场地，用于停车（如图所示），高10米所对应的底边长是（    ）。 A．10米 B．12米 C．15米 D．18米 【答案】D 【分析】根据平行四边形的特征：对边平行且相等；由图可知，高10米对应的底边长是18米，高15米对应的底边是12米，据此解答。 【解答】根据分析，上、下两条底边平行且相等，都是18米；所以高10米所对应的底边长是18米。 故答案为：D 【易错专练3】如图中，计算平行四边形面积的正确算式是（    ）。 A．10×12 B．14×12 C．14×10 D．以上都不对 【答案】C 【分析】平行四边形对边平行且相等，底边14对应的高为10，利用平行四边形的面积＝底×高，求出平行四边形的面积，据此解答。 【解答】10×14＝140 平行四边形面积是140。 故答案为：C 【易错专练4】在图中，以10厘米长的边为底，高为（    ）。    A．10厘米 B．6厘米 C．8厘米 D．7.5厘米 【答案】B 【分析】在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。据此判断即可。 【解答】在图中，以10厘米长的边为底，高为6厘米。 故答案为：B 【易错专练5】一个平行四边形相邻两条边长度分别是4厘米和8厘米，其中4厘米底边上的高是6厘米，这个平行四边形的面积是（    ）。 A．24平方厘米 B．48平方厘米 C．32平方厘米 D．不会判断 【答案】A 【分析】平行四边形的面积公式：底×高，底和高要对应，据此求解即可。 【解答】4×6＝24（平方厘米） 故答案为：A 【点评】本题考查平行四边形的面积公式，要注意底和高对应。 易错点3：三角形面积和平行四边形的面积的关系运用错误。 【易错专练1】一个三角形的面积比与它等底等高的平行四边形的面积少12.5平方分米，这个三角形的面积是（ ）平方分米，平行四边形的面积是（ ）平方分米。 【答案】12.5 25 【分析】三角形面积是与其等底等高平行四边形面积的一半，设三角形面积是1份，平行四边形面积是2份，则三角形面积比平行四边形面积少2－1＝1份；已知一个三角形的面积比与它等底等高的平行四边形的面积少12.5平方分米，则1份对应12.5平方分米，即三角形的面积；用三角形面积乘2即可求出平行四边形的面积。 【解答】12.5÷（2－1） ＝12.5×1 ＝12.5（平方分米） 12.5×2＝25（平方分米） 所以一个三角形的面积比与它等底等高的平行四边形的面积少12.5平方分米，这个三角形的面积是12.5平方分米，平行四边形的面积是25平方分米。 【易错专练2】一个平行四边形的底是6分米，高是3.2分米，与它等底等高的三角形的面积是（ ）平方分米。 【答案】9.6 【分析】由题意可知，三角形的底是6分米，高是3.2分米，利用“三角形的面积＝底×高÷2”求出三角形的面积，据此解答。 【解答】6×3.2÷2 ＝19.2÷2 ＝9.6（平方分米） 所以，与它等底等高的三角形的面积是9.6平方分米。 【易错专练3】一个平行四边形相邻两边的长度分别是30和20，其中一条边上的高是26，这个平行四边形的面积是（ ），和这个平行四边形等底等高的三角形的面积是（ ）。 【答案】520 260 【分析】平行四边形相邻两边的长度分别是30和20，平行线间垂直线段最短，因此高应该比不是对应底的边短，据此确定对应的一组底和高，根据平行四边形面积＝底×高，求出面积；等底等高的平行四边形和三角形，平行四边形面积是三角形面积的2倍，直接用平行四边形面积÷2，即可求出三角形面积。 【解答】20×26＝520（） 520÷2＝260（） 这个平行四边形的面积是520，和这个平行四边形等底等高的三角形的面积是260。 【易错专练4】一个三角形和一个平行四边形的底都是10分米，面积也相等。如果三角形的高是8分米，那么平行四边形的高是（ ）分米。 【答案】4 【分析】先利用三角形面积公式算出面积，由于三角形和平行四边形面积、底均相等，再依据平行四边形面积公式，用三角形面积除以平行四边形的底，得到平行四边形的高。涉及三角形面积公式（S＝a×h÷2，S表面积，a表底，h表高）和平行四边形面积公式（S＝a×h ）。 【解答】算三角形面积：10×8÷2＝40（平方分米） 求平行四边形的高：因为平行四边形面积也是40平方分米，底10分米， 根据平行四边形面积公式，高＝面积÷底，即40÷10＝4（分米） 那么平行四边形的高是4分米。 【易错专练5】一个三角形菜地和一个平行四边形花圃的底相等，面积也相等。这个三角形菜地的高是5.6m，平行四边形花圃的高是（ ）m。 【答案】2.8 【分析】根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，平行四边形面积公式：面积＝底×高；三角形菜地面积＝平行四边形花圃面积，三角形菜地的底和平行四边形花圃的底相等；即三角形的高÷2＝平行四边形的高，据此求出平行四边形花圃的高。 【解答】5.6÷2＝2.8（m） 一个三角形菜地和一个平行四边形花圃的底相等，面积也相等。这个三角形菜地的高是5.6m，平行四边形花圃的高是2.8m。 易错点4：误认为梯形的面积=(上底+下底)×高,而忘记除以2。 【易错专练1】有一堆大小、形状一样的圆木，最上面的一层是4根，每相邻两层相差一根，最下面一层是12根，这堆圆木共有（ ）层，一共有（ ）根。 【答案】9 72 【分析】把最上面一层圆木数量看作梯形的上底，最下面一层圆木数量看作梯形的下底，相邻两层相差1根，那么层数就相当于梯形的高，梯形的高＝下底－上底＋1，即12－4＋1＝9层；然后根据“梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2”计算出这堆圆木的总根数。 【解答】12－4＋1 ＝8＋1 ＝9（层） （4＋12）×9÷2 ＝16×9÷2 ＝144÷2 ＝72（根） 所以这堆圆木共有9层，一共有72根。 【易错专练2】一个直角梯形的上底是9厘米，下底是11厘米，高是8厘米，梯形的面积是（ ）平方厘米，在这个梯形内剪下一个最大的正方形，正方形的面积是（ ）平方厘米。 【答案】80 64 【分析】已知一个直角梯形的上底是9厘米，下底是11厘米，高是8厘米，根据“梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2”计算出梯形的面积；要在这个直角梯形内剪下一个最大的正方形，因为梯形的高是8厘米，且是直角梯形，所以正方形的边长最大只能等于梯形的高，即正方形的边长为8厘米，根据“正方形面积＝边长×边长”计算出最大正方形的面积。 【解答】（9＋11）×8÷2 ＝20×8÷2 ＝160÷2 ＝80（平方厘米） 所以一个直角梯形的上底是9厘米，下底是11厘米，高是8厘米，梯形的面积是80平方厘米。 8×8＝64（平方厘米） 所以在这个梯形内剪下一个最大的正方形，正方形的面积是64平方厘米。 【易错专练3】如图，将一张长方形纸折叠形成一个梯形。这个梯形的面积是（ ）cm2。 【答案】104 【分析】根据题意可知，这个直角梯形的上底是（16－6）cm，下底是16cm，高是8cm，根据梯形的面积公式：S＝（a＋b）×h÷2，把数据代入公式解答。 【解答】（16－6＋16）×8÷2 ＝26×8÷2 ＝104（平方厘米） 因此，这个梯形的面积是104cm2。 【易错专练4】一个直角三角形的三条边分别长6cm，10cm，8cm，它的面积是（ ）；一个直角梯形的上底、下底和高分别是6dm，10dm，8dm，它的面积是（ ）。 【答案】24 64 【分析】在直角三角形中，斜边最长，其它两条是直角边，两条直角边对应三角形的底和高，根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，据此代入数值进行计算即可； 【解答】6×8÷2 ＝48÷2 ＝24（cm2） （6＋10）×8÷2 ＝16×8÷2 ＝128÷2 ＝64（dm2） 一个直角三角形的三条边分别长6cm，10cm，8cm，它的面积是24；一个直角梯形的上底、下底和高分别是6dm，10dm，8dm，它的面积是64。 【易错专练5】如图，如果把这个梯形的上底增加3cm，下底减少3cm，得到的新梯形的面积是（ ）；如果把这个梯形的上底减少2cm，下底增加2cm，得到的新梯形的面积是（ ）。你的发现是（ ）。 【答案】45 45 上底增加或减少的数量、下底减少或增加的数量相同，则梯形的面积不变 【分析】上底增加3cm，下底减少3cm，新梯形的上底是5＋3＝8cm，下底是10－3＝7cm，根据梯形面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据，求出新梯形的面积； 上底减少2cm，下底增加2cm，新梯形的上底是5－2＝3cm，下底是10＋2＝12cm；代入梯形面积公式，求出新梯形的面积；再根据新梯形面积和原来梯形面积进行比较，进而说出发现。 【解答】上底增加3cm，下底减少3cm的梯形面积： [（5＋3）＋（10－3）]×6÷2 ＝[8＋7]×6÷2 ＝15×6÷2 ＝90÷2 ＝45（cm2） 上底减少2cm，下底增加2cm的梯形面积： [（5－2）＋（10＋2）]×6÷2 ＝[3＋12]×6÷2 ＝15×6÷2 ＝90÷2 ＝45（cm2） 原梯形面积： （5＋10）×6÷2 ＝15×6÷2 ＝90÷2 ＝45（cm2） 45cm2＝45cm2＝45cm2；由此可知，上底增加或减少的数量、下底减少或增加的数量相同，则梯形的面积不变。 易错点5：误认为平行四边形的形状变了,周长也会改变。（以及三角形及梯形面 积变化问题） 【易错专练1】把一个长方形拉成一个平行四边形，它的面积不变。（ ） 【答案】× 【分析】平行四边形的面积是由底和高决定的，平行四边形面积＝底×高。把一个长方形框架拉成一个平行四边形，它的底不变，高变短，所以平行四边形面积变小。 【解答】根据分析可得，平行四边形的底不变，高变短，所以面积变小。 故答案为：× 【易错专练2】一个三角形的底不变，要使面积扩大到原来的2倍，则底边对应的高就要扩大到原来的4倍。（ ） 【答案】× 【分析】根据“三角形的面积＝底×高÷2”，以及积的变化规律“一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘（或除以）几”，据此判断。 【解答】根据三角形的面积公式以及积的变化规律可知，一个三角形的底不变，要使面积扩大到原来的2倍，则底边对应的高就要扩大到原来的2倍。 原题说法错误。 故答案为：× 【易错专练3】梯形的上底增加3厘米，下底减小3厘米，高不变，则得到的新梯形的面积与原梯形的面积相等。（ ） 【答案】√ 【分析】梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，梯形的上底增加3厘米，下底减少3厘米，则梯形上底、下底的和不变；再根据高不变，所以梯形的面积不变。 【解答】上底＋3厘米＋下底－3厘米＝上底＋下底，高不变，根据梯形的面积计算公式可知，得到的新梯形的面积与原梯形的面积相等。原题说法正确。 故答案为：√ 【易错专练4】一个三角形和一个平行四边形的面积相等，底也相等，那么平行四边形的高是三角形高的2倍。（ ） 【答案】× 【分析】根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，平行四边形的面积公式：S＝ah，据此假设三角形和平行四边形的面积为24，底为4，然后求出三角形和平行四边形的高，进而进行判断即可。 【解答】假设三角形和平行四边形的面积为24，底为4 平行四边形的高为：24÷4＝6 三角形的高为：24×2÷4 ＝48÷4 ＝12 12÷6＝2 则一个三角形和一个平行四边形的面积相等，底也相等，那么三角形的高是平行四边形的高的2倍。原说法错误。 故答案为：× 【易错专练5】一个梯形的上底和下底分别扩大到原来的2倍，它的面积就扩大到原来的4倍。（ ） 【答案】× 【分析】根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，采用赋值法举例说明即可。 【解答】假设梯形的上底2厘米，下底4厘米，高3厘米。 （2＋4）×3÷2 ＝6×3÷2 ＝9（平方厘米） （2×2＋4×2）×3÷2 ＝（4＋8）×3÷2 ＝12×3÷2 ＝18（平方厘米） 18÷9＝2 一个梯形的上底和下底分别扩大到原来的2倍，它的面积就扩大到原来的2倍，所以原题说法错误。 故答案为：× 易错点6：面积公式混淆或记错。 【易错专练1】计算下面图形的面积。 【答案】18cm2；96cm2；36.4cm2 【分析】梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，平行四边形面积＝底×高，三角形面积＝底×高÷2。将数据分别代入公式，求出梯形、平行四边形和三角形的面积即可。 【解答】（4＋5）×4÷2 ＝9×4÷2 ＝36÷2 ＝18（cm2） 梯形的面积为18cm2； 16×6＝96（cm2） 平行四边形的面积为：96cm2； 10.4×7÷2 ＝72.8÷2 ＝36.4（cm2） 三角形的面积为：36.4cm2。 【易错专练2】计算下面各图形的面积。（单位：米） 【答案】80平方米；55平方米；152平方米 【分析】（1）根据“三角形的面积＝底×高÷2”代入数据求出这个三角形的面积； （2）根据“梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2”代入数据求出这个梯形的面积； （3）根据“平行四边形的面积＝底×高”代入数据求出这个平行四边形的面积，据此解答。 【解答】（1）16×10÷2 ＝160÷2 ＝80（平方米） 所以，三角形的面积是80平方米。 （2）（9＋13）×5÷2 ＝22×5÷2 ＝110÷2 ＝55（平方米） 所以，梯形的面积是55平方米。 （3）19×8＝152（平方米） 所以，平行四边形的面积是152平方米。 【易错专练3】计算下面各图形的面积。（单位：m） （1）    （2）    （3） 【答案】（1）80m2；（2）55m2；（3）152m2 【分析】（1）根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算，求出这个三角形的面积； （2）根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2代入数据计算，求出这个梯形的面积； （3）根据平行四边形的面积＝底×高，代入数据计算，求出这个平行四边形的面积。 【解答】（1）16×10÷2 ＝160÷2 ＝80（m2） 三角形的面积是80m2。 （2）（9＋13）×5÷2 ＝22×5÷2 ＝110÷2 ＝55（m2） 梯形的面积是55m2。 （3）19×8＝152（m2） 平行四边形的面积是152m2。 【易错专练4】求下面图形的面积。 【答案】92m2；27cm2；22cm2 【分析】（1）根据平行四边形的面积＝底×高，代入数据计算求解。 （2）根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算求解。 （3）根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算求解。 【解答】（1）11.5×8＝92（m2） 平行四边形的面积是92m2。 （2）18×3÷2＝27（cm2） 三角形的面积是27cm2。 （3）（3.5＋7.5）×4÷2 ＝11×4÷2 ＝22（cm2） 梯形的面积是22cm2。 【易错专练5】计算下面图形的面积。 【答案】20.8cm2；36cm2；12cm2；22.2cm2 【分析】根据公式：平行四边形的面积＝底×高，观察发现图中平行四边形的底和高分别为5.2cm和4cm；三角形的面积＝底×高÷2，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算，即可解答。 【解答】（1）平行四边形的面积： 4×5.2＝20.8（cm2） （2）三角形的面积： 9×8÷2＝36（cm2） （3）梯形的面积： （2＋6）×3÷2 ＝8×3÷2 ＝12（cm2） （4）直角梯形的面积： （4.5＋6.6）×4÷2 ＝11.1×4÷2 ＝22.2（cm2） 易错点7：解决实际问题时关键词理解错误。 【易错专练1】如图，把一块面积是48平方米的平行四边形的菜地，分为直角三角形和直角梯形两块地。一共收721.5千克白菜，平均每平方米能收多少千克白菜？ 【答案】18.5千克 【分析】根据平行四边形面积公式：面积＝底×高；底＝面积÷高，代入数据，求出平行四边形菜地的底；再根据梯形面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据，求出梯形菜地的面积，再用收白菜的重量÷梯形菜地的面积，即可解答。 【解答】48÷6＝8（米） （5＋8）×6÷2 ＝13×6÷2 ＝78÷2 ＝39（平方米） 721.5÷39＝18.5（千克） 答：平均每平方米能收18.5千克白菜。 【易错专练2】一块近似平行四边形的麦地如下图，为了方便浇灌，中间留了一条小路，如果平均每平方米麦地收获小麦0.9千克，这块麦地大约可以收获小麦多少千克？ 【答案】153.9千克 【分析】将两边麦地向中间平移，可得底为20－1＝19（米），高为9米的平行四边形麦地，再根据平行四边形面积＝底×高，求出麦地的面积，再用每平方米麦地收获小麦的重量×麦地的面积；列式解答。 【解答】0.9×[（20－1）×9] ＝0.9×[19×9] ＝0.9×171 ＝153.9（千克） 答：这块麦地大约可以收获小麦153.9千克。 【易错专练3】植物是制造氧气的“工厂”。根据测算1平方米的草坪平均每天能够释放120克氧气。阳光小区有一块梯形草坪（如下图），中间有一条1米宽的平行四边形小路。这块草坪100天能释放氧气多少千克？ 【答案】1620千克 【分析】通过平移，纯草坪部分可以拼成一个梯形，原来梯形的上底和下底分别减去1米是纯草坪部分的上底和下底，根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，计算出纯草坪面积，纯草坪面积×1平方米的草坪平均每天能够释放的氧气质量×天数＝相应天数释放的氧气质量，根据1千克＝1000克，统一单位即可。 【解答】12－1＝11（米） 20－1＝19（米） （11＋19）×9÷2 ＝30×9÷2 ＝135（平方米） 135×120×100＝1620000（克）＝1620（千克） 答：这块草坪100天能释放氧气1620千克。 【易错专练4】一块三角形广告牌，底长10米，高3.4米。如果要用油漆刷这块广告牌，每平方米用油漆0.75千克，这块广告牌至少要用油漆多少千克？（得数保留整千克） 【答案】13千克 【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2，用10×3.4÷2求出广告牌的总面积，每平方米的用漆量已知，进而用每平方米的用漆量乘用的千克数，可以求出总用漆量。 【解答】10×3.4÷2×0.75 ＝17×0.75 ≈13（千克） 答：这块广告牌至少要用油漆13千克。 【易错专练5】一个自选商店门口的装饰牌是三角形它的底边是22米，高3米，油漆这块装饰牌，每平方米需要用油漆0.6千克，需要多少千克油漆？ 【答案】19.8千克 【分析】根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据，求出这个装饰牌的面积，再乘0.6，即可求出需要油漆的数量，据此解答。 【解答】22×3÷2×0.6 ＝66÷2×0.6 ＝33×0.6 ＝19.8（千克） 答：需要19.8千克油漆。 专题五分数的意义 易错点1：求一个数是另一个数的几分之几错误。 【易错专练1】下图中，△的个数是◯的，◯的个数是两种图形总数的。 △△△△ ○○○○○○○ 【答案】； 【分析】将◯的个数看作单位“1”，△的个数÷◯的个数＝△的个数是◯的几分之几；将图形总数看作单位“1”，◯的个数÷图形总数＝◯的个数是两种图形总数的几分之几。 【解答】 △的个数是◯的，◯的个数是两种图形总数的。 【易错专练2】如图，图中阴影部分的面积占整个图形面积的（ ）。 【答案】 【分析】设图中每个小正方形的边长为1，则三角形（阴影部分）的底为2，高为1；大长方形（整个图形）的长为4，宽为1。根据三角形的面积＝底×高÷2，用2×1÷2可求出阴影部分的面积是1；根据长方形的面积＝长×宽，用4×1可求出整个图形的面积是4；求一个数是另一个数（0除外）的几分之几的解题方法：一个数÷另一个数＝。据此求阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几，列式为1÷4。 【解答】假设图中每个小正方形的边长为1。 阴影部分的面积：2×1÷2 ＝2÷2 ＝1 整个图形的面积：4×1＝4 1÷4＝ 所以，图中阴影部分的面积占整个图形面积的。 【易错专练3】为支援西南抗旱，军军全家每天节约5瓶水，军军每天节约1瓶水，军军节约水比全家人节约少（ ）。（填分数） 【答案】 【分析】求一个数比另一个数少几分之几的解题方法：两数差量÷单位“1”的量。由题意可知：全家人节约水的瓶数是单位“1”，军军比全家人少节约5－1＝4（瓶）水，求军军节约水比全家人节约少几分之几，列式为4÷5。 【解答】（5－1）÷5 ＝4÷5 ＝ 所以军军节约水比全家人节约少。 【点评】在解答有关“甲比乙多或少几分之几”的简单实际问题时，要找准单位“1”，以单位“1”为标准，列式时以单位“1”的量作除数。 【易错专练4】五（1）班有47名同学，女生23人，男生人数是女生的（ ）。 【答案】 【分析】用全班人数减去女生人数，可得五（1）班男生人数，把女生人数看作单位“1”，根据分数除法的意义，用男生人数除以女生人数可求出男生人数是女生的几分之几。 【解答】由分析可得： （47－23）÷23 ＝24÷23 ＝ 综上所述：五（1）班有47名同学，女生23人，男生人数是女生的。 【点评】本题考查了分数除法应用题，找准单位“1”，求一个数是另外一个数的几分之几用除法。 【易错专练5】一根电线总长100米，用去30米，用去了这根电线的（ ），还剩下这根电线的（ ）。 【答案】 【分析】用去了这根电线的多少，就是利用用去的长度÷电线的总长度，结果用分数表示即可；由于还剩下100－30＝70米，用剩下的电线长度÷电线的总长度，结果用分数表示即可。 【解答】30÷100＝ 100－30＝70（米） 70÷100＝ 一根电线总长100米，用去30米，用去了这根电线的，还剩下这根电线的。 【点评】本题主要考查一个数是另一个数的几分之几，熟练掌握它的求法是解题的关键。 易错点2：真假分数认识错误。 【易错专练1】分数，那么（ ）；当（ ）时，是最大的真分数。 【答案】0 11 【分析】当时，根据分数的性质，分数值为0时，分子为0（分母不能为0）。所以a＝0。 真分数是指分子小于分母的分数，且真分数小于1。要使是真分数，则a＞10。又因为要使是最大的真分数，那么a应取比10大1的数，10＋1＝11，即a＝11。 【解答】当时，分子为0，所以a＝0。 当是最大的真分数时，a应取比10大1的数，10＋1＝11，即a＝11。 所以分数，那么0；当11时，是最大的真分数。 【易错专练2】分数单位是的最大真分数是（ ），最小带分数是（ ）。 【答案】 【分析】根据真分数、假分数、带分数的意义，分子小于分母的分数叫做真分数，分子等于或大于分母的分数叫做假分数，有一个自然数和一个真分数合成的数叫做带分数。据此解答即可。 【解答】由分析可得：分数单位是的最大真分数是，最小带分数是。 【易错专练3】以7为分母，写出3个真分数：（ ）、（ ）、（ ）；再写出3个假分数：（ ）、（ ）、（ ）。 【答案】 【分析】真分数的分子比分母小；假分数的分子和分母相等或分子比分母大；据此解答。 【解答】由真分数、假分数的意义可知：以7为分母的3个真分数有：、、 （答案不唯一） ；以7为分母的3个假分数有：、、。（答案不唯一） 【易错专练4】已知A，B均为非0自然数，若是真分数，A最小是（ ）；若是假分数，B最大是（ ）。 【答案】1 4 【分析】分子比分母小的分数叫真分数，分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫假分数，据此分析。 【解答】已知A，B均为非0自然数，若是真分数，A＜5，A最小是1；若是假分数，4≥B，B最大是4。 【易错专练5】在中，是整数。当是（ ）时，它是假分数；当是（ ）时，它是真分数；当是（ ）时，它无意义。 【答案】2或3 0或1 4 【分析】分子大于或等于分母的分数叫作假分数，假分数大于或等于1；真分数：分子比分母小的分数叫作真分数，真分数小于1；当分母等于0时，分数无意义。 【解答】0＜12－3a≤6时，即当12＞3a≥6时，4＞a≥2，即当a＝2或3时，是假分数； 当6＜12－3a时，即0＜6－3a，3a＜6，此时a＜2，所以a＝0或1时，是真分数； 当12－3a＝0时，即3a＝12，a＝4时，无意义。 易错点3：假分数与带分数的互化错误。 【易错专练1】把下列假分数化成带分数或整数，把带分数化成假分数。              【答案】；；4 【分析】把带分数化成假分数的方法：用“带分数的整数部分×分母＋分子”得到假分数的分子，分母不变。 把假分数化成带分数的方法：用分子除以分母，得到的商和余数；商是带分数的整数部分，余数是带分数的分子，分母不变。当假分数的分子为分母的倍数时，能化成整数。 【解答】＝＝，所以＝； 23÷10＝2……3，所以＝； ＝24÷6＝4，所以＝4。 【易错专练2】把下面的假分数化成带分数或整数，把带分数化成假分数。              【答案】；1；；3 【分析】假分数化成带分数：用分子÷分母＝商……余数；商就是带分数的整数部分，余数就是带分数的分子，分母不变。假分数化成整数，用假分数的分子除以分母，如果没有余数，商就是所要化成的整数。 带分数化假分数：用整数部分与分母相乘，再加上分子做假分数的分子，分母不变，据此解答。 【解答】＝31÷7＝4……3 ＝ ＝99÷99＝1 ＝＝ ＝24÷8＝3 【易错专练3】把下列假分数化成带分数或整数，把带分数化成假分数。          【答案】＝3；＝；＝ 【分析】假分数化带分数：用分子除以分母。当分子是分母的整数倍时，能化成整数，商就是这个整数。当分子不是分母的整数倍时，能化成带分数，商是带分数的整数部分，余数是分数部分的分子，分母不变。 带分数化假分数：分母不变，用分数部分的分母作分母，用分母和整数相乘的积再加上分数的分子的和作为新分子。 【解答】24÷8＝3、＝3 37÷5＝7……2、＝ 1×9＋7＝9＋7＝16、＝ 【易错专练4】把下列假分数化成带分数或整数，把带分数化成假分数。          【答案】；；2 【分析】假分数化带分数：用分子除以分母。当分子是分母的整数倍时，能化成整数，商就是这个整数。当分子不是分母的整数倍时，能化成带分数，商是带分数的整数部分，余数是分数部分的分子，分母不变。 带分数化假分数：分母不变，用分数部分的分母作分母，用分母和整数相乘的积再加上分数的分子的和作为新分子。 【解答】4×5＋3 ＝20＋3 ＝23 ＝ 7÷2＝3……1，＝ 18÷9＝2，＝2 【易错专练5】把下列假分数化成带分数或整数，把带分数化成假分数。              【答案】；4；； 【分析】假分数化成带分数或整数：用分子除以分母，得到的商是整数部分，分母不变，余数是分子；如果没有余数，则得到的商就是假分数化成整数的结果； 带分数化成假分数：分母不变，用整数部分乘分母加分子，得到的结果就是新的分子。 【解答】＝ ＝4 ＝ ＝ 易错点4：分数基本性质应用不当。 【易错专练1】的分子增加6，要使分数大小不变，分母应该（ ）。 【答案】增加27 【分析】根据分数的基本性质，分数的分子分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，本题中，要将分子增加6转化成分子乘以几，再确定分母的变化。 【解答】2＋6＝8 8÷2＝4 4×9－9 ＝36－9 ＝27 所以分母应增加27（或乘4）。 【易错专练2】把的分母加上15，要使分数的大小不变，分子应该扩大到原来的（ ）倍。 【答案】4 【分析】根据分数的基本性质：分数的分子分母同时乘或除以一个不为0的数，分数的大小不变；用分子＋15，再除以5，求出分母扩大到原来的几倍，则分子也扩大到原来的几倍，据此解答。 【解答】（5＋15）÷5 ＝20÷5 ＝4 把的分母加上15，要使分数的大小不变，分子应该扩大到原来的4倍。 【易错专练3】请你写出一个与相等，分母是12的分数（ ）；再写出一个与相等，分子是12的分数（ ）。 【答案】 【分析】根据分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以同一个不为0的数，分数大小不变，由于分母是12，相当于扩大到原来的3倍，那么分子也应该扩大到原来的3倍即可；如果分子是12，那么从3到12相当于扩大到原来的4倍，分母也应该扩大到原来的4倍。 【解答】12÷4＝3；3×3＝9 12÷3＝4；4×4＝16 与相等，分母是12的分数；再写出一个与相等，分子是12的分数。 【易错专练4】的分母增加12，要使分数的大小不变，分子要（ ）。 【答案】增加9 【分析】根据分数的基本性质，分子和分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变，据此确定分母扩大的倍数，进而求出分子的值，最后求出分子应乘或加上多少。 【解答】（12＋4）÷4 ＝16÷4 ＝4 3×4＝12 12－3＝9 的分母增加12，要使分数的大小不变，分子要增加9或乘4。 【易错专练5】分数的分子乘3，要使分数的大小不变，分母应当加上（ ）。 【答案】10 【分析】把的分子乘3，根据分数的基本性质，分数的分子、分母同时乘或除以同一个不为0的数，分数的大小不变；所以要使分数的大小不变，分母也应该乘3，这时分母变为5×3＝15，再减去原来的数5，即可得到分母应增加的数。 【解答】5×3－5 ＝15－5 ＝10 分母应当加上10。 易错点5：找几个数的公因数容易漏掉1或误将两数的乘积当成最小公倍数。 【易错专练1】写出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 25和40         28和70         24，36和42 【答案】最大公因数是5，最小公倍数是200； 最大公因数是14，最小公倍数是140； 最大公因数是6，最小公倍数是504。 【分析】对于一般的两个数来说，这两个数的公有质因数连乘积是最大公因数，两个数的公有质因数与每个数特有质因数的连乘积是最小公倍数。 【解答】， 25和40的最大公因数是5，最小公倍数是； ， 28和70的最大公因数是，最小公倍数是； ，， 24，36和42的最大公因数是，最小公倍数是。 【易错专练2】找出每组数的最大公因数和最小公倍数。 12和5    24和30    14和56 【答案】12和5的最大公因数是1，最小公倍数是60； 24和30的最大公因数是6，最小公倍数是120； 14和56的最大公因数是14，最小公倍数是56 【分析】12与5互质，所以12和5的最大公因数是1，最小公倍数是它们的积； 24和30 、14和56可用短除法计算，短除法左边的因数的积就是它们的最大公因数，左边的因数与下边的因数的积就是它们的最小公倍数。 【解答】5×12＝60 12和5的最大公因数是1，最小公倍数是60。 2×3＝6 2×3×4×5＝120 24和30的最大公因数是6，最小公倍数是120。 2×7＝14 2×7×1×4＝56 14和56的最大公因数是14，最小公倍数是56。 【易错专练3】求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 15和20        30和24        11和33        13和9 【答案】15和20的最大公因数是5，最小公倍数是60； 30和24的最大公因数是6，最小公倍数是120； 11和33的最大公因数是11，最小公倍数是33； 13和9的最大公因数是1，最小公倍数是117。 【分析】先把每组数分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数，把它们公有的质因数和独有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数；两个数为倍数关系，则最大公因数是较小的数，最小公倍数为较大的数；两个数互质，则最大公因数是1，最小公倍数就是这两个数的乘积。 【解答】15＝3×5 20＝2×2×5 所以15和20的最大公因数是5，最小公倍数是2×2×5×3＝60； 30＝2×3×5 24＝2×2×2×3 所以30和24的最大公因数是2×3＝6，最小公倍数是2×3×5×2×2＝120； 33是11的3倍，所以11和33的最大公因数是11，最小公倍数是33； 13和9互质，所以13和9的最大公因数是1，最小公倍数是13×9＝117。 【易错专练4】求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 7和11               24和96              12和18 【答案】7和11最大公因数是1；最小公倍数是77； 24和96的最大公因数是24；最小公倍数是96； 12和18的最大公因数是6；最小公倍数是36。 【分析】求两数的最小公倍数，就看两个数之间的关系，两个数互质，则最大公因数是1，最小公倍数就是这两个数的乘积；两个数为倍数关系，则最大公因数是较小的数，最小公倍数为较大的数；先把要求的两个数分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数，把它们公有的质因数和独有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数。 【解答】7和11是互质数，所以7和11的最大公因数是1，最小公倍数是7×11＝77； 因为96是24的4倍，所以24和96的最大公因数是24，最小公倍数是96； 12＝2×2×3 18＝2×3×3 所以12和18的最大公因数是2×3＝6 最小公倍数是 2×2×3×3 ＝4×3×3 ＝12×3 ＝36 【易错专练5】求下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 2和5             4和6             7和49 【答案】最大公因数：1；2；7 最小公倍数：10；12；49 【分析】当两个数是互质数时，最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积； 当两个数是倍数关系时，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大数； 除了以上两种情况外，可以用分解质因数或短除法去找两个数的最大公因数和最小公倍数。 【解答】由分析可得： 2和5是互质数，最大公因数是1，最小公倍数是2×5＝10； 4和6： 4＝2×2 6＝2×3 4和6的最大公因数为：2，最小公倍数是： 2×2×3 ＝4×3 ＝12 7和49是倍数关系，最大公因数是7，最小公倍数是49。 综上所述：2和5最大公因数是1，最小公倍数是10； 4和6最大公因数是2，最小公倍数是12； 7和49最大公因数是7，最小公倍数是49。 易错点6：约分或通分错误。 【易错专练1】约分。        【答案】；；； 【分析】把一个分数的分子、分母同时除以最大公因数，分数的值不变，这个过程叫约分，从而将这个分数化成最简分数。据此计算。 【解答】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 【易错专练2】圈出最简分数，并把其余的分数约分。          【答案】圈一圈见详解；； 【分析】分子和分母只有公因数1的分数叫作最简分数。把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比原来小的分数的过程是约分。约分根据分数的基本性质，即分数的分子和分母，同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 【解答】 【易错专练3】把下面各组中的分数通分。 和    和    和 【答案】，；，；， 【分析】把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫通分。通分时用原分母的公倍数作公分母（为了计算简便，通常选用最小公倍数作公分母），然后把每个分数都化成用这个公倍数作分母的分数。通分根据分数的基本性质，即分数的分子和分母，同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 【解答】， ， ， 【易错专练4】把下面各组数通分。 和         和 【答案】，；， 【分析】通分时用原分母的公倍数作公分母（为了计算简便，通常选用最小公倍数作公分母），然后把每个分数都化成用这个公倍数作分母的分数；根据题意，先求出分母的公分母，再利用分数的基本性质进行通分即可。 【解答】10和15的最小公倍数是30 ＝＝ ＝＝ 4和5的最小公倍数是20 ＝＝ ＝＝ 【易错专练5】通分并比较大小。   和           和           和 【答案】＜；＞；＞ 【分析】把异分母分数化成大小和原来相等的同分母分数叫做通分，同分母分数大小比较，分子大的分数就大。由此解答。 【解答】＝＝；＝＝；＜，因此＜； ＝ ＝ ；＝＝；＞，因此＞； ＝＝；＝＝；＞，因此＞。 易错点7：运用比较分数的大小解决实际问题时,误认为用时多,效率就高。 【易错专练1】加工同样的零件，甲6分加工5个，乙5分加工4个，丙7分加工9个，三人的工作效率谁最高？ 【答案】丙 【分析】根据工作效率＝工作总量÷工作时间，用加工的数量÷加工的时间即可求出效率，再根据分数和除法的关系，分子相当于被除数，分母相当于除数，把结果用分数表示出来，将这三个分数进行比较大小，据此找出工作效率最大的，也就是效率最高的。 【解答】甲：5÷6＝ 乙：4÷5＝ 丙：9÷7＝ ＞＞ 答：丙的工作效率最高。 【易错专练2】毛毛和豆豆参加了学校的“童墨飘香”书法兴趣班，坚持每天练习毛笔字，他俩谁写毛笔字的速度快？ 【答案】毛毛 【分析】先分别用写毛笔字的个数除以时间，算出毛毛和豆豆每分钟各写多少个字，然后进行比较。 异分母分数比较大小，先通分成分母相同的分数，再按照同分母分数的比较方法进行比较。 【解答】毛毛：（个） 豆豆：（个） ，，＜，所以。 答：毛毛写毛笔字的速度快。 【易错专练3】王、张、李三个师傅在同一车间工作，王师傅3时做10个零件，张师傅4时做12个零件，李师傅5时做16个零件。平均每人做一个零件各用多少时间？谁的工作效率最高？ 【答案】时；时；时；王师傅 【分析】分别用时间÷零件个数，求出三个师傅平均每人做一个零件用的时间；做一个零件用的时间越少效率越高，据此比较三人做一个零件用的时间即可，异分母分数比较大小，先通分再比较。 【解答】（时） （时） （时） 、、 答：王师傅做一个零件用时，张师傅做一个零件用时，李师傅做一个零件用时。王师傅的工作效率最高。 专题六组合图形的面积 易错点1：将平方千米、平方米间的进率与公顷、平方米间的进率相混淆。 【易错专练1】9平方千米＝（ ）公顷     5公顷＝（ ）平方米 72000000平方米＝（ ）公顷＝（ ）平方千米 【答案】900 50000 7200 72 【分析】根据1平方千米＝100公顷，1公顷＝10000平方米进行单位换算。 【解答】9平方千米里面有9个1平方千米，所以9平方千米＝900公顷      5公顷里面有5个1公顷，所以5公顷＝50000平方米 72000000平方米里面有7200个10000平方米，72000000平方米里面有72个1000000平方米，所以72000000平方米＝7200公顷＝72平方千米 【易错专练2】70000公顷＝（ ）平方千米 6000000平方米＝（ ）公顷＝（ ）平方千米 【答案】700 600 6 【分析】根据100公顷＝1平方千米进行单位换算； 根据10000平方米＝1公顷，100公顷＝1平方千米进行单位换算。 【解答】70000里有700个100，所以70000公顷＝700平方千米； 6000000里有600个10000，所以6000000平方米＝600公顷＝6平方千米。 【易错专练3】3公顷＝（ ）平方米        0.64平方千米＝（ ）公顷         0.39平方米＝（ ）平方分米 【答案】30000 64 39 【分析】根据1公顷＝10000平方米，1平方千米＝100公顷，1平方米＝100平方分米，进行换算即可。 【解答】3×10000＝30000（平方米）； 0.64×100＝64（公顷）； 0.39×100＝39（平方分米） 所以3公顷＝30000平方米；0.64平方千米＝64公顷；0.39平方米＝39平方分米。 【点评】关键是熟记面积单位间的进率，单位大变小乘进率。 【易错专练4】3000m2＝（ ）公顷              9km2＝（ ）公顷     0.23km2＝（ ）m2            4400000m2＝（ ）公顷＝（ ）km2     8000公顷＝（ ）平方千米 【答案】0.3 900 230000 440 4.4 80 【分析】1公顷＝10000平方米；1平方千米＝100公顷；1平方千米＝1000000平方米；由高级单位化低级单位乘进率，由低级单位化高级单位除以进率，据此解答即可。 【解答】3000÷10000＝0.3，3000m2＝0.3公顷                  9×100＝900；9km2＝900公顷     0.23×1000000＝230000，0.23km2＝230000m2             4400000÷10000＝440，4400000÷1000000＝4.4，4400000m2＝440公顷＝4.4km2     8000÷100＝80，8000公顷＝80平方千米 【点评】单位换算首先要弄清是由高级单位化低级单位还是由低级单位化高级单位，其次记住单位间的进率；由高级单位化低级单位乘进率，由低级单位化高级单位除以进率。 【易错专练5】45公顷＝（ ）平方米        900公顷＝（ ）平方千米 30平方千米＝（ ）平方米＝（ ）公顷    20000平方米＝（ ）公顷 【答案】450000 9 30000000 3000 2 【分析】1公顷＝10000平方米，1平方千米＝100公顷＝1000000平方米，据此进行单位换算。 【解答】45公顷里面有45个1公顷，即45个10000平方米，所以45公顷＝450000平方米。         900公顷里面有9个100公顷，即9个1平方千米，所以900公顷＝9平方千米。 30平方千米里面有30个1平方千米，即30个100公顷，30个100000平方米，所以30平方千米＝30000000平方米＝3000公顷。         20000平方米里面有2个10000平方米，即2个1公顷，所以20000平方米＝2公顷。 易错点2：分割或添补方法不当，导致无法计算或计算错误。 【易错专练1】计算组合图形的面积。 【答案】135.75cm2 【分析】组合图形由梯形和三角形组成，面积等于梯形面积减去三角形面积。 梯形面积公式为S＝（a＋b）h÷2（a、b是上、下底，h是高）。已知梯形的上底a＝8.5cm，下底b＝15cm，高h＝13cm。把数据代入公式可计算出梯形的面积。 三角形面积公式为S＝ah÷2（a是底，h是高）。已知三角形的底a＝8.5cm，高h＝4cm。把数据代入公式可计算出三角形的面积。 再用梯形的面积减去三角形的面积即可解答。 【解答】（8.5＋15）×13÷2 ＝23.5×13÷2 ＝305.5÷2 ＝152.75（cm2） 8.5×4÷2 ＝34÷2 ＝17（cm2） 152.75－17＝135.75（cm2） 组合图形的面积是135.75cm2。 【易错专练2】计算下面阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】26平方厘米 【分析】如图：阴影部分面积等于两个正方形的面积总和减去A、B两个空白三角形的面积。其中左边大正方形边长是8厘米，右边小正方形边长是6厘米，根据“正方形面积＝边长×边长”分别计算出两个正方形面积，再相加，即总面积；三角形A的底是8厘米、高是8厘米，三角形B的底是8＋6＝14厘米，高是6厘米，根据“三角形面积＝底×高÷2”分别计算出两个三角形的面积；最后用总面积减去两个三角形面积即可。 【解答】8×8＋6×6 ＝64＋36 ＝100（平方厘米） 8×8÷2 ＝64÷2 ＝32（平方厘米） （8＋6）×6÷2 ＝14×6÷2 ＝84÷2 ＝42（平方厘米） 100－32－42 ＝68－42 ＝26（平方厘米） 所以阴影部分的面积是26平方厘米。 【易错专练3】计算阴影部分的面积。 【答案】690m2 【分析】根据图可知，阴影部分面积＝边长是30m的正方形面积－上底是12m，下底是30m，高是10m的梯形面积，根据正方形面积公式：面积＝边长×边长；梯形面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据，即可解答。 【解答】30×30－（12＋30）×10÷2 ＝30×30－42×10÷2 ＝900－420÷2 ＝900－210 ＝690（m2） 阴影部分面积是690m2。 【易错专练4】求图形的面积。 如下图中三个正方形的边长分别为10厘米、20厘米、30厘米，那么图中阴影部分的面积是多少？ 【答案】600平方厘米 【分析】观察图形，可以把阴影部分的面积看作一个上底是10厘米，下底是30厘米，高是（10＋20＋30）厘米的梯形面积减去底是10厘米，高是（10＋20）厘米的三角形面积减去底是30厘米，高是30厘米的三角形面积；根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2；三角形面积＝底×高÷2，代入数据，即可解答。 【解答】（10＋30）×（10＋20＋30）÷2－10×（10＋20）÷2－30×30÷2 ＝40×60÷2－10×30÷2－30×30÷2 ＝1200－150－450 ＝600（平方厘米） 那么图中阴影部分的面积是600平方厘米。 【易错专练5】计算下面各组合图形的面积。（单位：分米） 【答案】1200平方分米；88平方分米 【分析】第一个组合图形的面积＝平行四边形面积＋三角形面积，平行四边形面积＝底×高，三角形面积＝底×高÷2； 如图，第二个组合图形的面积＝长方形面积＋三角形面积，长方形面积＝长×宽。 【解答】40×25＋40×10÷2 ＝1000＋200 ＝1200（平方分米） 10×8＋（14－10）×（8－4）÷2 ＝80＋4×4÷2 ＝80＋8 ＝88（平方分米） 两个组合图形的面积分别是1200平方分米、88平方分米。 【易错专练6】求组合图形的面积。（单位：dm） 【答案】220dm2；392dm2 【分析】第一个：可以看作一个上底是5dm，下底是15dm，高是6dm的梯形以及长是28dm，宽是5dm的长方形和底是5dm，高是8dm的三角形组成的图形，根据梯形的面积公式：（上底＋下底）×高÷2，三角形的面积：底×高÷2；长方形的面积：长×宽，把数代入求出三部分的面积，再相加即可。 第二个：可以看作一个三角形和一个梯形的面积和，三角形的两条直角边分别是8dm和10dm，梯形的上底是18dm，下底是26dm，高是16dm，根据三角形的面积公式：底×高÷2；梯形的面积公式：（上底＋下底）×高÷2，把数代入即可求解。 【解答】第一个： （5＋15）×6÷2＋5×28＋5×8÷2 ＝20×6÷2＋140＋20 ＝60＋140＋20 ＝220（dm2） 第二个：8×10÷2＋（18＋26）×16÷2 ＝40＋44×16÷2 ＝40＋352 ＝392（dm2） 【易错专练7】计算图形的面积。（单位：cm） 【答案】273cm2 【分析】组合图形的面积＝梯形面积＋三角形面积，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，三角形面积＝底×高÷2，据此列式计算。 【解答】（18＋30）×8÷2＋18×9÷2 ＝48×8÷2＋81 ＝192＋81 ＝273（cm2） 这个组合图形的面积是273cm2。 【易错专练8】求出下面图形阴影部分的面积。 【答案】60cm2 【分析】据图可知，阴影部分的面积等于一个上底是4cm下底是15cm高是8cm的梯形的面积减去一个底是4cm高是8cm的三角形的面积，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，三角形的面积＝底×高÷2，据此代入数据计算即可。 【解答】（4＋15）×8÷2－4×8÷2 ＝19×8÷2－32÷2 ＝152÷2－16 ＝76－16 ＝60（cm2） 【易错专练9】计算下面图形涂色部分的面积。（单位：cm） （1）        （2） 【答案】（1）48cm2；（2）20cm2 【分析】（1）根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，阴影部分是两个三角形的和，由于上边三角形的底＋下班三角形的底＝8cm，高是12cm，所以阴影部分面积＝8×12÷2，据此解答。 （2）如图：，阴影部分面积＝长是6cm，宽是2cm的长方形面积＋底是（2＋2）cm，高是（10－6）cm的三角形面积，根据长方形面积公式：面积＝长×宽，三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据，即可解答。 【解答】（1）8×12÷2 ＝96÷2 ＝48（cm2） 阴影部分面积是48cm2。 （2）6×2＋（2＋2）×（10－6）÷2 ＝12＋4×4÷2 ＝12＋16÷2 ＝12＋8 ＝20（cm2） 阴影部分面积是20cm2。 【易错专练10】求下面各组合图形的面积。（单位：cm） 【答案】460cm2；332cm2；290cm2 【分析】（1）组合图形的面积＝梯形的面积＋三角形的面积；根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算求解。 （2）组合图形的面积＝梯形的面积＋平行四边形的面积；根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，平行四边形的面积＝底×高，代入数据计算求解。 （3）组合图形的面积＝长方形的面积－梯形的面积；根据长方形的面积＝长×宽，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算求解。 【解答】（1）（10＋25）×20÷2＋22×10÷2 ＝35×20÷2＋220÷2 ＝350＋110 ＝460（cm2） 组合图形的面积是460cm2。 （2）（16＋12）×10÷2＋12×16 ＝28×10÷2＋192 ＝140＋192 ＝332（cm2） 组合图形的面积是332cm2。 （3）20×16－（3＋9）×5÷2 ＝320－12×5÷2 ＝320－30 ＝290（cm2） 组合图形的面积是290cm2。 易错点3：估算面积时，未能正确算出格子数量。 【易错专练1】估一估，下图中树叶的面积大约是（ ）。（每个小方格的边长是1cm） 【答案】20 【分析】数一数图中的树叶大概占几个小方格，占几个小方格，面积就是几cm2。数时，两个或三个不满一格的当作一格来数。 【解答】整格子大约是13个格子，不满整格子大约14个格子，即树叶大约占20个小方格，所以图中树叶的面积大约是20cm2。（答案不唯一） 【易错专练2】中央广播电视总台发布2025年春晚主题“巳（sì）巳如意，生生不息”和蛇年的吉祥物。请你估一估图中春晚吉祥物的面积大约是（ ）cm2。 【答案】24 【分析】观察春晚吉祥物的图形，可以把它看作一个长6cm、宽4cm的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，估出它的面积。 【解答】如图： 6×4＝24（cm2） 图中春晚吉祥物的面积大约是24cm2。 【易错专练3】估计下图面积。（每个小方格的边长是1cm） （ ） 【答案】16cm2 【分析】用数小方格的方法估算不规则图形的面积，通常是先数整格数，再数不足格数，整格数按一个面积单位计算，不足格的按半个面积单位计算，据此解答。 【解答】整格是8格，半格是16格。 1×1×（8＋16÷2） ＝1×（8＋8） ＝1×16 ＝16（cm2） 图形面积是16cm2。 【易错专练4】估计下列图形的面积，下图中每个小方格的边长是1cm，图1的面积大约是（ ）cm2，图2的面积大约是（ ）cm2。 【答案】72 24 【分析】图1格子比较多，可以把这个不规则图形看成面积近似的长方形来估算面积。如下图所示，这个长方形的长是9cm，宽是8cm，根据长方形的的面积＝长×宽，代入数据计算即可。 图2格子较少，可以借助方格图数格子估算面积，先分别数出整数格数和不完整格数，把不完整格按半格计算，再加上整数格，估算出面积。观察图2可以发现：图形整格有16格，半格有16格，据此估出格子的数量；根据正方形的面积＝边长×边长，求出1个格子的面积。用1个格子的面积乘格子的数量，即可估出图形的面积。 【解答】9×8＝72（cm2），图1的面积大约是72cm2； 16＋16÷2 ＝16＋8 ＝24（个） 1×1×24＝24（cm2） 则图2的面积大约是24cm2。 【易错专练5】估计下面图形的面积。（每个小方格的边长表示1dm） （ ）dm2               （ ）dm2               （ ）dm2 【答案】7 8 30 【分析】利用数方格的方法，先数整格，再数不满一格的，不满一格的按半格计算。据此解答。 【解答】14÷2＝7（dm2） 1＋14÷2 ＝1＋7 ＝8（dm2） 20＋20÷2 ＝20＋10 ＝30（dm2） 7dm2                  8dm2                    30dm2 易错点4：计算过程粗心，单位不统一 【易错专练1】聪聪在一张边长是1.7分米的正方形纸上设计了一个箭头标志（下图涂色部分）。算一算，这个箭头标志的面积是多少平方分米？ 【答案】0.72平方分米 【分析】 根据1分米＝10厘米，统一单位。如图，箭头标志的面积＝2个三角形的面积和，三角形的底都是8厘米，即0.8分米，高都是（1.7－0.8）分米，根据三角形面积＝底×高÷2，求出一个三角形面积，乘2即可。 【解答】8厘米＝0.8分米 0.8×（1.7－0.8）÷2×2 ＝0.8×0.9÷2×2 ＝0.72（平方分米） 答：这个箭头标志的面积是0.72平方分米。 【易错专练2】一个长方形果园的长是250米，宽是200米，这个果园的面积是多少公顷？多少个这样的果园占地是1平方千米？ 【答案】5公顷；20个 【分析】长方形面积公式：长×宽，据此把250与200相乘，即可求出这个果园的面积，再根据1公顷＝10000平方米，将其单位化为公顷，1平方千米＝100公顷，再用100除以这个果园的面积，即可求得几个这样的果园占地面积是1平方千米。 【解答】250×200＝50000（平方米） 50000平方米＝5公顷 1平方千米＝100公顷 100÷5＝20（个） 答：这个果园的面积是5公顷，20个这样的果园占地是1平方千米。 【易错专练3】如图，某公园管理员用一根200米长的篱笆靠墙围了一个梯形花园，这个花园的占地面积是多少平方米？合多少公顷？ 【答案】4200平方米；合0.42公顷 【分析】根据题意和图形可知，梯形花园的上底、下底和高是用200米长的篱笆围成，已知梯形的高是60米，用篱笆的全长减去梯形的高，求出梯形上底与下底的和；然后根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，即可求出这个花园的占地面积，最后根据进率“1公顷＝10000平方米”换算单位。 【解答】（200－60）×60÷2 ＝140×60÷2 ＝4200（平方米） 4200平方米＝0.42公顷 答：这个花园的占地面积是4200平方米，合0.42公顷。 【易错专练4】深圳大沙河公园原为建筑垃圾填埋场，如今在市政府改造后，公园绿树成荫、雀鸟成群、如诗如画。如果1公顷树林一天大约能释放750千克氧气，吸收950千克二氧化碳，那么公园内的一片长500米、宽400米的长方形树林，一天大约能释放多少吨氧气？吸收多少吨二氧化碳？ 【答案】15吨；19吨 【分析】先根据长方形的面积＝长×宽，用500×400求出长方形树林的面积是200000平方米，即20公顷；再根据乘法的意义，用750×20可求20公顷树林一天大约能释放15000千克氧气，即15吨；用950×20可求出20公顷树林一天大约能吸收19000千克二氧化碳，即19吨。 【解答】500×400＝200000（平方米） 200000平方米＝20公顷 750×20＝15000（千克） 15000千克＝15吨 950×20＝19000（千克） 19000千克＝19吨 答：一天大约能释放15吨氧气，吸收19吨二氧化碳。 【易错专练5】一块不规则的小麦试验田的形状如图所示。 （1）这块试验田的面积是多少平方米？合多少公顷？ （2）如果每公顷小麦的年产量是10吨，这块试验田一年能收小麦多少吨？ 【答案】（1）18700平方米； 1.87公顷 （2）18.7吨 【分析】（1）可以把这块试验田看成：长200米，宽110米的长方形面积减底是110米，高是60米的三角形面积，根据长方形的面积公式：长×宽；三角形的面积公式：底×高÷2，把数代入公式即可求解；1公顷＝10000平方米，之后再转换单位即可； （2）用试验田的面积乘10即可求出一年能收小麦多少吨。 【解答】（1）200×110－110×60÷2 ＝22000－3300 ＝18700（平方米） 18700平方米＝1.87公顷 答：这块试验田的面积18700平方米；合1.87公顷。 （2）1.87×10＝18.7（吨） 答：这块试验田一年能收小麦18.7吨。 【点评】本题主要考查组合图形的面积，把它分成基本图形面积再求解，熟练掌握基本图形的面积并灵活运用。 易错点5：实际问题未去除非面积部分。 【易错专练1】“鸟果”体育馆旁边有一块长方形地，中间有两条小路。其余地方铺草坪（图中阴影部分），如果铺1平方米的草坪需要23元，铺好这块草坪需要多少元？ 【答案】52440元 【分析】草坪的面积等于长方形的面积－两条平行四边形小路的面积，代入数据求出草坪的面积，再乘每平米草坪的面积即可。 【解答】（65×40－40×4×2）×23 ＝（2600－320）×23 ＝2280×23 ＝52440（元） 答：铺好这块草坪需要52440元。 【点评】本题主要考查阴影部分面积的求法，阴影部分的图形是组合图形，求面积时就是将组合图形看成是由几个基本图形组合而来的图形，通过基本图形的面积求法进行组合计算。 【易错专练2】智慧停车场通过建立一体化的停车场后台管理系统，能帮助车主快速找到停车位。某商场要在一个面积为1.2公顷的梯形空地上规划修建一个智慧停车场，规划图如图所示，停车区是一个平行四边形。停车区的占地面积是多少平方米？ 【答案】10500平方米 【分析】先把公顷化成平方米；1.2公顷＝12000平方米；根据梯形面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，上底＋下底＝面积×2÷高，代入数据，求出梯形上底与下底的和，再减去20米，减去30米，求出平行四边形停车区的2个底的和，再除以2，求出平行四边形停车区的底；再根据平行四边形面积公式：面积＝底×高，代入数据，求出停车区的面积。 【解答】1.2公顷＝12000平方米 12000×2÷60 ＝24000÷60 ＝400（米） （400－20－30）÷2 ＝（380－30）÷2 ＝350÷2 ＝175（米） 175×60＝10500（平方米） 答：停车区的占地面积是10500平方米。 【易错专练3】学校要给30扇教室门的正反面刷油漆（单位：米）。如果刷漆每平方米需要5元，那么刷漆共要花费多少元？ 【答案】504元 【分析】1扇门一面的刷漆面积＝大长方形面积（整扇门的面积）－小长方形面积（玻璃面积），长方形面积＝长×宽，正方形面积＝边长×边长，据此求出1扇门一面的面积，乘2是一扇门的刷油漆面积，再乘30，求出刷油漆总面积，刷油漆总面积×每平方米钱数即可。 【解答】2×0.9－0.4×0.3 ＝1.8－0.12 ＝1.68（平方米） 1.68×2×30×5 ＝100.8×5 ＝504（元） 答：刷漆共要花费504元。 【易错专练4】阳光小区有一块平行四边形草坪和一块三角形草坪（如下图）。两块草坪的面积一共是多少平方米？（单位：米） 【答案】48平方米 【分析】看图可知，草坪面积＝平行四边形面积＋三角形面积，平行四边形＝底×高，三角形面积＝底×高÷2，据此列式解答。 【解答】4×6＋8×6÷2 ＝24＋24 ＝48（平方米） 答：两块草坪的面积一共是48平方米。 【易错专练5】王伯伯在一片梯形果园里修了一条底为3米，高为12米的平行四边形小路（如下图）。阴影部分的果园种桃树，种桃树的面积是多少平方米？ 【答案】300平方米 【分析】根据题意可知，阴影部分的面积等于梯形的面积减去平行四边形的面积，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，用（22＋34）×12÷2即可求出梯形的面积，然后根据平行四边形的面积＝底×高，用3×12即可求出平行四边形的面积，然后用梯形的面积减去平行四边形的面积即可。 【解答】（22＋34）×12÷2－3×12 ＝56×12÷2－3×12 ＝336－36 ＝300（平方米） 答：种桃树的面积是300平方米。 专题七可能性 易错点1：未验证“等可能性”，错误计算概率。 【易错专练1】在1、2、3、4四张数字卡片中任取两张，其中组成的两位数是奇数的可能性用分数表示是，不是质数的可能性用分数表示是。 【答案】； 【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。据此先写出组成的两位数，数出奇数和合数的个数。将总个数看作单位“1”，奇数的个数÷总个数＝奇数的可能性；合数的个数÷总个数＝不是质数的可能性。 【解答】12、13、14、21、23、24、31、32、34、41、42、43，共12个。 奇数有13、21、23、31、41、43，共6个。 不是质数的有12、14、21、24、32、34、42，共7个。 6÷12＝＝ 7÷12＝ 组成的两位数是奇数的可能性用分数表示是，不是质数的可能性用分数表示是。 【易错专练2】从如图的扑克牌中任意摸出一张，摸到红桃A的可能性为（ ）。 【答案】 【分析】上面6张牌中有2张桃A、3张桃2、1张桃3，要求任意摸一张，摸到它们的可能性是多少，即求桃A的张数是总张数的几分之几，根据可能性的求法：即求一个数是另一个数的几分之几用除法解答即可。 【解答】2÷（2＋3＋1） ＝2÷6 ＝ 从如图的扑克牌中任意摸出一张，摸到红桃A的可能性为。 【易错专练3】盒子里有红、黄两种颜色的球，其中红球5个，黄球3个（这些球除颜色不同外，其它性质完全相同），从盒子里任意摸出一个球，是黄球的可能性为（ ）。 【答案】 【分析】根据简单事件发生的可能性：先找出所有可能结果有几种（如有b中可能），再找出所求事件发生的可能结果有几种（如有a中可能），那么该事件发生的可能性就是，据此解答。 【解答】3÷（5＋3） ＝3÷8 ＝ 盒子里有红、黄两种颜色的球，其中红球5个，黄球3个（这些球除颜色不同外，其它性质完全相同），从盒子里任意摸出一个球，是黄球的可能性为。 【易错专练4】正方体的各个面上分别写着1，2，3，4，5，6，抛掷这个正方体，看看哪一面朝上，有（ ）种可能出现的结果，每种结果出现的可能性（ ），出现其中任意一种结果的可能性是（ ）。 【答案】6 相同 【分析】由于有6个面，每个面的数字都不相同，所以每一个数字都有可能朝上，则有6种可能出现的结果，每个面的数字都不相同，所以每种出现的可能性都是相同的，出现任意一种结果的可能性是多少，由于任意一种数字都是1种可能，用1除以可能出现情况的次数，即1÷6，结果用分数表示即可。 【解答】由分析可知： 1÷6＝。 所以抛掷这个正方体，看看哪一面朝上，有6种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，出现其中任意一种结果的可能性是。 【点评】本题主要考查可能性的求法，熟练掌握可能性的求法是解题的关键。 【易错专练5】小明有三双颜色不同的鞋，分别为红、黄、白，随便穿一只左鞋在左脚，再随便找一只右鞋穿在右脚，正好是一双的可能性为（ ）。 【答案】 【分析】记红，黄，白三双鞋分别是红左，红右，黄左，黄右，白左，白右；则可能出现的所有情况为：红左红右；红左黄右；红左白右；黄作黄右；黄作红右；黄左白右；白左红右；白红黄右；白左白右。共有9种情况，正好是一双的情况有3种，用3除以9结果用分数表示即可。 【解答】由分析可知： 3÷9＝ 所以正好是一双的可能性为。 【点评】本题主要考查可能性的大小，关键是要清楚可能性的大小求具体数的时候用可能出现的情况除以所有情况。 【易错专练6】一副扑克牌共有54张，任抽一张，抽出是5的可能性是（ ）。如果去掉大小王，抽到黑桃5的可能性是（ ）。 【答案】 【分析】计算所求时间发生的可能性，用所求时间出现的可能结果个数÷所有可能发生的结果个数；第一个空用5的张数÷总张数；第二个空用黑桃5的张数÷去掉大小王的总张数。 【解答】有4种花色的5，4÷54＝ 只有1张黑桃5，1÷（54－2） ＝1÷52 ＝ 【点评】求可能结果的个数均等比例分配，而且只有在每个结果发生的可能性都相等的条件下才能进行均等比例分配。 易错点2：对“放回”与“不放回”的连续抽取问题混淆。 【易错专练1】不透明箱子里有仅颜色不一样的红、黄、蓝、白球若干，每次摸一个再放回。安安统计了前40次的结果，他认为第41次一定不会摸到红球。 红 黄 蓝 白 次数 0 1 3 36 你认为他的说法（ ）（填“对”或“不对”），理由是（ ）。 【答案】不对 箱子里有红球，虽然前40次没有摸到红球，但是第41次仍有摸到红球的可能 【分析】根据随机事件的可能性来判断说法的对错。每次摸球都是独立的随机事件，虽然前40次没摸到红球，但是第41次仍有摸到红球的可能。 【解答】他的说法不对； 理由是箱子里有红球，虽然前40次没有摸到红球，但是第41次仍有摸到红球的可能。 【易错专练2】一个盒子里放有规格相同的红球6个，蓝球3个，白球2个，如果每次摸出一个球，摸出后放回，一共有（ ）种可能，摸出（ ）球的可能性最大。 【答案】3 红 【分析】（1）盒子里有几种颜色的球，则每次摸出就有几种可能； （2）盒子里哪种颜色的球最多，则摸出这种颜色的球的可能性就最大。 【解答】盒子里有红球、蓝球、白球三种不同颜色的球，所以如果每次摸出一个球，摸出后放回，一共有3种可能； 因为6＞3＞2，所以摸出红球的可能性最大。 一个盒子里放有规格相同的红球6个，蓝球3个，白球2个，如果每次摸出一个球，摸出后放回，一共有3种可能，摸出红球的可能性最大。 【易错专练3】盒子里有黄球和白球共10个。淘气从盒子里摸球，每次摸一个，记录颜色后再放回摇匀。摸了30次，结果是20次黄球、10次白球。根据结果可以猜测盒子里（ ）色的球比较多。 【答案】黄 【分析】可能性大小的判断，球除颜色外都相同，从球的数量上分析。数量最多的，摸到的可能性最大，数量最少的，摸到的可能性最小，数量相等的，摸到的可能性一样。 【解答】根据分析可知，盒子里有黄球和白球共10个。淘气从盒子里摸球，每次摸一个，记录颜色后再放回摇匀。摸了30次，结果是20次黄球、10次白球。根据结果可以猜测盒子里黄色的球比较多。 【易错专练4】盒子里有大小、厚度相同的红色和绿色的卡片，明明摸了30次，每次摸完再放回。摸到红色卡片11次，绿色卡片19次，猜一猜，盒子里（ ）卡片可能多一些。 【答案】绿色 【分析】相对数量多的卡片被摸出的可能性大一点，相对数量少的卡片被摸出的可能性小一点，据此解答。 【解答】11＜19 所以盒子里绿色卡片可能多一些。 【易错专练5】一个不透明的盒子里放有三种不同颜色的球（球除颜色外完全相同）。小刚摸了40次，每次摸后放回摇匀，摸球的情况如下表。 颜色 红色 蓝色 绿色 次数 22 5 13 这个不透明的盒子里（ ）色的球可能最多，（ ）色的球可能最少。 【答案】红 蓝 【分析】根据题意，每次任意摸出一个球，红色球、蓝色球和绿色球都有被摸出的可能，数量多的被摸到的可能性要大，数量少的可能性就小，据此比较摸出的每种颜色球个数即可。 【解答】22＞13＞5 所以，这个不透明的盒子里红色的球可能最多，蓝色的球可能最少。 【点评】本题考查了可能性问题，两种球都有被摸到的可有性，数量多的，摸到的可能性较大，反之，较少。 【易错专练6】丁丁和冬冬玩摸球游戏。每次任意摸一个球，摸完后放回，每人摸20次，摸到白球丁丁得1分，摸到黑球冬冬得1分。在上面三个箱子中，在（ ）箱中摸球丁丁获胜的可能性大，在（ ）箱中摸球冬冬获胜的可能性大，如果要让游戏公平，应选择在（ ）箱中摸球。    【答案】③ ② ① 【分析】根据事件发生的可能性大小，哪种情况发生的数量最多，事件发生的可能性就最大；哪种情况发生的数量最少，事件发生的可能性就最小；哪种情况发生的数量一样多，事件发生的可能性就相等。 【解答】①箱中，白球有4个，黑球有4个，数量相等，则摸到白球和黑球的可能性一样大； ②箱中，白球有3个，黑球有5个，5＞3，黑球的数量多，则摸到黑球的可能性大； ③箱中，白球有5个，黑球有3个，5＞3，白球的数量多，则摸到白球的可能性大； 在上面三个箱子中，在③箱中摸球丁丁获胜的可能性大，在②箱中摸球冬冬获胜的可能性大，如果要让游戏公平，应选择在①箱中摸球。 【点评】本题考查可能性的大小，根据事件数量的多少判断可能性的大小。 易错点3：没有进行多次摸球就确定两种球的多少情况。 【易错专练1】小明连续抛一枚印有“黄鹤楼”图案的硬币15次，10次正面朝上，5次反面朝上，说明正面朝上的可能性更大。（ ） 【答案】× 【分析】抛硬币每次正面朝上和反面朝上的可能性是一样的，且每次的结果是独立的，据此可知将一枚硬币连续抛15次，不能根据这个结果推断正面朝上的可能性更大，据此解答。 【解答】根据分析可知，小明连续抛一枚印有“黄鹤楼”图案的硬币15次，10次正面朝上，5次反面朝上，正面朝上的可能性与朝下的可能性相同。 原题干说法错误。 故答案为：× 【易错专练2】盒子里有蓝、绿两种不同颜色的球，欢欢摸了20次，摸到蓝球18次，绿球2次。根据数据推测，盒子里可能是蓝球多。（ ） 【答案】√ 【分析】根据不确定事件发生的可能性的大小与事物的数量有关，数量越多，可能性越大，反之则越小；据此判断。 【解答】18＞2，因为摸到蓝球的次数多，所以根据数据推测盒子里蓝球可能多。 盒子里有蓝、绿两种不同颜色的球，欢欢摸了20次，摸到蓝球18次，绿球2次。根据数据推测，盒子里可能是蓝球多。 原题干说法正确。 故答案为：√ 【易错专练3】小明有3张1元的和7张5元的纸币，任意摸出1张，摸出5元的可能性大。（ ） 【答案】√ 【分析】可能性的大小和数量有关，数量越多，摸到的可能性越大，数量越少，摸到的可能性越小，据此即可判断。 【解答】7＞3 所以任意摸出一张，摸出5元的可能性大，原题说法正确。 故答案为：√ 【易错专练4】桌面上有6张扑克牌（如下图），随机抽取一张扑克牌，则抽到牌的可能性大。（ ） 【答案】× 【分析】哪种花色的牌数量多，抽到的可能性就大。据此解答。 【解答】通过分析可得： 图中有2张牌，4张牌，4＞2，则抽到牌的可能性大。原题说法错误。 故答案为：× 【易错专练5】小可，小雪、小军、小刚四个小朋友根据抽签来决定舞蹈表演顺序，四张卡片上分别写着1，2，3，4，小可第一个抽，她抽到的情况有3种可能。（ ） 【答案】× 【分析】总共有四张卡片，任意抽一张，则有四张可能，所以四张卡片她都可能抽到，据此判断。 【解答】小可第一个抽，她抽到的情况可能是1，2，3，4，一共有4种可能。 故答案为：× 易错点4：设计游戏时,出现情况的可能性不相同。 【易错专练1】强强和乐乐玩卡片游戏，三张卡片上分别标有5、6、7三个数字，用这三张卡片摆成不同的三位数。如果摆出的三位数是偶数，强强赢；如果摆出的三位数是奇数，乐乐赢。这个游戏规则公平吗？为什么？ 【答案】不公平；理由见详解 【分析】用5、6、7三个数字可以组成的三位数有：567、576、657、675、756、765。是2的倍数的数是偶数，有2个：576、756；不是2的倍数的数是奇数，有4个：567、657、675、765；因为2＜4，奇数与偶数的数量不同，可能性不同，所以游戏规则不公平。 【解答】这个游戏规则不公平。因为摆出的三位数有567、576、657、675、756、765，其中偶数有2个，奇数有4个，可能性不同，所以游戏规则不公平。 【易错专练2】下面是一个转盘，笑笑转动指针，乐乐猜指针会停在哪一个数上，如果乐乐猜错了，笑笑获胜。这个游戏规则对双方公平吗？若不公平，请你利用这个转盘再设计一个对双方都公平的游戏规则。 【答案】这个游戏规则不公平；要使游戏公平，则指针转到偶数，乐乐赢，指针转到奇数，笑笑赢 【分析】不确定事件发生的可能性的大小与事物的数量有关，数量越多，可能性越大，反之则越小。根据题意可知，笑笑选中的数字占10个数字的，所以乐乐猜中的可能性是，猜错的可能性就是，可能性大小不一样，这个游戏对乐乐不公平；设计的游戏使双方赢的可能性一样即可，例如：1~10中，偶数有5个，奇数有5个，数量一样，所以指到偶数和指到奇数的可能性一样；指针转到偶数，乐乐赢，指针转到奇数，笑笑赢。 【解答】1÷10＝ 9÷10＝ ＜ 这个游戏规则不公平；偶数有5个，奇数有5个，数量一样，所以指到偶数和指到奇数的可能性一样。 答：这个游戏规则不公平；要使游戏公平，则指针转到偶数，乐乐赢，指针转到奇数，笑笑赢。（答案不唯一） 【易错专练3】奇思和妙想玩国际象棋，掷骰子决定谁先走：掷到质数奇思先走，掷到合数妙想先走。 （1）你认为公平吗？请说明理由。 （2）请你再设计一种公平的方案。 【答案】（1）答：骰子有1、2、3、4、5、6，这6个面，在这六个数中，质数有2、3、5，合数有4、6，个数不相同，所以这个游戏规则不公平。 （2）答：因为这六个数中点数是奇数的有1、3、5，是偶数的有2、4、6，各3个，所以可以设计公平的方案：掷到奇数奇思先走，掷到偶数妙想先走。 【分析】（1）骰子有1、2、3、4、5、6，这6个面，1既不是质数也不是合数，质数有2、3、5，合数有4、6，个数不相同，这个游戏规则不公平； （2）点数是奇数的有1、3、5，是偶数的有2、4、6，各3个，游戏规则公平，可以设计这样的游戏规则。 【解答】（1）答：骰子有1、2、3、4、5、6，这6个面，在这六个数中，质数有2、3、5，合数有4、6，个数不相同，所以这个游戏规则不公平。 （2）答：因为这六个数中点数是奇数的有1、3、5，是偶数的有2、4、6，各3个，所以可以设计公平的方案：掷到奇数奇思先走，掷到偶数妙想先走。 【易错专练4】选出点数为1，2，3，4的扑克牌各1张，打乱后反扣在桌面上，小明和小华一起做下面的游戏。 （1）每次摸两张，然后放回去，另一个人再摸； （2）两张牌的点数和大于5，小明得1分；小于5，小华得1分。 这个游戏规则公平吗？ 【答案】这个游戏规则公平。 【分析】根据可能性的大小判断是否公平。分析两张牌的点数和大于5以及小于5的可能性是否相同。 【解答】两张牌的点数和有5种结果，1＋2＝3，1＋3＝4，1＋4＝5，2＋3＝5，2＋4＝6，3＋4＝7，和大于5的情况有2种，和小于5的情况也有2种，可能性相同，所以公平。 【易错专练5】有6张正面写有成语的卡片（如下图），反面朝上放在桌面上，奇思和妙想做摸卡片游戏，从卡片中任意摸出一张，摸到含有数字的成语卡片算奇思赢，摸到含有颜色的成语卡片算妙想赢。这个游戏公平吗？为什么？ 【答案】游戏公平；原因见详解 【分析】判断一个游戏规则是否公平的方法：先找出事件发生的所有可能性，再判断是否公平。如果事件发生的可能性相等，那么游戏规则公平；如果事件发生的可能性不相等，那么游戏规则不公平。 【解答】含有数字的成语：一石二鸟、七上八下、十全十美。 含有颜色的成语：姹紫嫣红、颠倒黑白、青红皂白。 两种情况发生的可能性相同，所以游戏公平。 【易错专练6】用三个数字4、5、6组成三位数，如果组成的数字是2的倍数就小红赢，否则就小新赢。 （1）这样公平吗？ （2）谁赢的可能性大？ （3）怎样做才能使游戏公平？ 【答案】（1）不公平 （2）小红赢的可能性大 （3）见详解 【分析】（1）先用三个数字4、5、6组成三位数，再根据2的倍数特征从中分别找出2的倍数与不是2的倍数的三位数的个数，如果个数相等，则赢的可能性相等，游戏公平，反之，游戏不公平。 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 （2）比较2的倍数与不是2的倍数的三位数的个数多少，个数多的，赢的可能性就大。 （3）根据4、5、6这三个数的特点可知，4和6是偶数（2的倍数），5是奇数（不是2的倍数），偶数比奇数多1个，所以可以去掉一个偶数，或增加一个奇数，这样组成的数中是2的倍数与不是2的倍数的数个数相等，则两人赢的可能性相等，游戏公平。 【解答】用三个数字4、5、6组成三位数有：456、465、546、564、645、654。 2的倍数有：456、546、564、654；共4个； 不是2的倍数有：465、645；共2个； （1）4＞2 赢的可能性不相等，不公平。 答：这样不公平。 （2）4＞2 是2的倍数的三位数多，小红赢的可能性大。 答：小红赢的可能性大。 （3）去掉数字6，用4、5组成一个两位数，如果组成的数字是2的倍数就小红赢，否则就小新赢。 组成的两位数是：45、54； 其中是2的倍数的是：54；共1个 不是2的倍数的是：45；共1个； 1＝1，小红和小新赢的可能性相等，游戏公平。 答：可去掉数字6，用4、5组成一个两位数，如果组成的数字是2的倍数就小红赢，否则就小新赢。 （答案不唯一） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 常考易错知识点专题突破 2025-2026学年五年级上册数学 （七大专题39个易错点） 目录 专题一小数除法 3 易错点1：计算小数除法时,忘记在商中点上小数点 3 易错点2：计算小数除以整数时,哪一位不够除,没有在那一位上商0占位 5 易错点3：计算小数除以小数时,被除数和除数没有扩大相同的倍数 6 易错点4：循环小数的表示错误或判断是否是循环小数错误 7 易错点5：不理解小数混合运算的顺序，在列综合算式时，容易忘了加小括号 8 专题二轴对称和平移 10 易错点1：轴对称图形对称轴数量判断错误。 10 易错点2：对称轴画法不规范​ 11 易错点3：误把平移格数当作图形间相距的格数了。 12 易错点4：补全轴对称图形的另一半错误（对称点位置找错或画错）。 14 易错点5：图案设计漏掉对称或平移元素。 16 专题三倍数与因数 18 易错点1：混淆“倍数”与“因数”的概念。 18 易错点2：找一个数的因数时，遗漏或重复。 18 易错点3：找一个数的倍数时，忽略它本身或无限性。 20 易错点4：没有理解奇偶数的意义。 20 易错点5：受2，5的倍数的特征的影响，误以为3的倍数也看个位上的数。 21 易错点6：混淆“质数”与“合数”的概念。 22 专题四多边形的面积 23 易错点1：方格中的图形的面积的比较错误。 23 易错点2：运用平行四边形的面积公式计算时,高与底没有对应。 25 易错点3：三角形面积和平行四边形的面积的关系运用错误。 26 易错点4：误认为梯形的面积=(上底+下底)×高,而忘记除以2。 27 易错点5：误认为平行四边形的形状变了,周长也会改变。（以及三角形及梯形面 29 积变化问题） 29 易错点6：面积公式混淆或记错。 29 易错点7：解决实际问题时关键词理解错误。 31 专题五分数的意义 32 易错点1：求一个数是另一个数的几分之几错误。 32 易错点2：真假分数认识错误。 33 易错点3：假分数与带分数的互化错误。 34 易错点4：分数基本性质应用不当。 35 易错点5：找几个数的公因数容易漏掉1或误将两数的乘积当成最小公倍数。 36 易错点6：约分或通分错误。 37 易错点7：运用比较分数的大小解决实际问题时,误认为用时多,效率就高。 38 专题六组合图形的面积 39 易错点1：将平方千米、平方米间的进率与公顷、平方米间的进率相混淆。 39 易错点2：分割或添补方法不当，导致无法计算或计算错误。 40 易错点3：估算面积时，未能正确算出格子数量。 43 易错点4：计算过程粗心，单位不统一 44 易错点5：实际问题未去除非面积部分。 46 专题七可能性 48 易错点1：未验证“等可能性”，错误计算概率。 48 易错点2：对“放回”与“不放回”的连续抽取问题混淆。 50 易错点3：没有进行多次摸球就确定两种球的多少情况。 52 易错点4：设计游戏时,出现情况的可能性不相同。 53 专题一小数除法 易错点1：计算小数除法时,忘记在商中点上小数点 【易错专练1】用竖式计算。 15.5÷2   18.3÷5   15÷4   36÷8 【易错专练2】用竖式计算。 12.5÷5      25.2÷6      40.6÷7      32.2÷14 【易错专练3】列竖式计算。 25.5÷5＝                40.5÷5＝ 39.6÷11＝                79.26÷6＝ 【易错专练4】竖式计算。 7.2÷4＝            5.5÷5＝            3.9÷3＝ 2.15÷5＝           72.4÷4＝           7.86÷3＝ 【易错专练5】竖式计算。 8.01÷3＝           0.24÷3＝           23.4÷3＝ 4.2÷3＝            6.9÷3＝            2.1÷7＝ 易错点2：计算小数除以整数时,哪一位不够除,没有在那一位上商0占位 【易错专练1】列竖式计算。 18÷40＝                    0.714÷21＝ 6.27÷19＝                    0.24÷15＝ 【易错专练2】用竖式计算。 2.08÷4＝        8÷25＝        86.7÷85＝        28.7÷14＝ 【易错专练3】用竖式计算。 24.9÷6＝               10÷4＝ 38.5÷35＝             78.6÷12＝ 【易错专练4】用竖式计算。 14.49÷7      2.16÷12      2.1÷14      49.92÷24 【易错专练5】竖式计算。 126÷28＝         54.88÷32＝        64.8÷16＝ 36.6÷12＝         1.62÷27＝        19.57÷19＝ 易错点3：计算小数除以小数时,被除数和除数没有扩大相同的倍数 【易错专练1】用竖式计算。（带※的要验算）                       ※ 【易错专练2】用竖式计算，带△的要验算。 91.7÷0.14        43.4÷0.35        12.6÷0.09        △4.75÷2.5 【易错专练3】用竖式计算，并验算。 7.5÷1.5        1.83÷0.03        13.6÷1.7        3.24÷0.54 【易错专练4】用竖式计算。 10.4÷0.8      11.5÷2.3      13.6÷0.08      34.5÷0.69 【易错专练5】用竖式计算，并验算。 0.12÷0.25               6.3÷0.42             41.6÷26 1.68÷2.1                0.6÷0.12             7÷0.35 易错点4：循环小数的表示错误或判断是否是循环小数错误 【易错专练1】5÷6的商用循环小数表示是（ ），精确到百分位约是（ ）。 【易错专练2】3.971971971…这个循环小数还可以记作（ ），保留两位小数，近似值是（ ）。 【易错专练3】计算2÷1.1的商用循环小数表示为（ ），精确到千分位是（ ）。 【易错专练4】78.6÷2.2的商用循环小数表示是（ ），保留三位小数是（ ），小数点后面第15位的数字是（ ）。 【易错专练5】的商用循环小数表示是（ ），保留三位小数是（ ）。 易错点5：不理解小数混合运算的顺序，在列综合算式时，容易忘了加小括号 【易错专练1】一辆汽车从甲地开往乙地，1.5时行驶了90千米，此时距离乙地还有78千米。照这样的速度行驶，这辆汽车到达乙地还需要几时？ 【易错专练2】服装厂新购进了360米的新布料，做女士上衣一共用了308.8米布料，剩下的做儿童连衣裙，每件儿童连衣裙用布料1.6米，可以做多少件儿童连衣裙？（不计损耗） 【易错专练3】妈妈带笑笑到公园玩，出来后按停车收费标准交停车费8.5元，你知道她们在公园玩了多久吗？ 收费标准：（1）1小时内（包括一小时）收费2.5元。 （2）超过1小时，超过的部分每0.5小时收费1.5元。 【易错专练4】棋盘山山腰上曾有一巨石棋盘，传说仙人吕洞宾和铁拐李曾在此对弈，这便是棋盘山山名的由来。乐乐家住在山脚下，他家到山顶的距离是2.85千米。周末乐乐一家去爬山，他们从家到山顶用了2.6小时，原路返回用了1.4小时，他们往返的平均速度是多少？ 【易错专练5】代驾是指当车主不能自行开车到达目的地时，由专业驾驶人员驾驶车主的车将其送至指定地点并收取一定费用的行为，让一些不方便的人群多一点安全。某滴平台代驾收费标准如下： 行驶里程 8千米及以内 超过8千米部分 06：00－21：59 35元 每千米3.5元 22：00－22：59 50元 23：00－23：59 65元 00：00－05：59 85元 （说明：行驶里程不足1千米，按1千米计算。） （1）王叔叔周六晚上喝喜酒8：30结束，在该平台预约了代驾，从酒店到家共行驶了10.7千米，需要支付多少元？ （2）李医生凌晨1：30下班，预约了代驾，服务结束支付了95.5元，这次代驾行驶里程最多是多少千米？ 专题二轴对称和平移 易错点1：轴对称图形对称轴数量判断错误。 【易错专练1】在常见的平面图形中，圆形有（ ）条对称轴，等腰三角形有（ ）条对称轴。 【易错专练2】下列图形，能画几条对称轴？ （ ）条（ ）条（ ）条（ ）条 【易错专练3】如图所示，每个图形各有几条对称轴？填在下面的括号里。 （ ）条  （ ）条   （ ）条     （ ）条 【易错专练4】填空。 （1）只有一条对称轴的图形有（ ）； （2）共有两条对称轴的图形有（ ）； （3）共有四条对称轴的图形有（ ）。 【易错专练5】观察下面各图形，再按照要求填序号。 （1）只有一条对称轴的图形是 。 （2）只有2条对称轴的图形是 。 （3）有超过2条对称轴的图形是 。 （4）不是轴对称图形的是 。 （5）有无数条对称轴的图形是 。 易错点2：对称轴画法不规范​ 【易错专练1】画出下面图形的对称轴。 【易错专练2】下面的图形各有几条对称轴？请你画一画，并填在括号里。      （    ）条         （    ）条         （    ）条       （    ）条 【易错专练3】两个大小不同的圆可以组成以下五种图形，请找出每个图形的对称轴。 【易错专练4】画出下面图形的所有对称轴。 易错点3：误把平移格数当作图形间相距的格数了。 【易错专练1】画一画，将图（一）向右平移6格，将图（二）向上平移3格。 【易错专练2】画出方格纸中的图形先向上平移1格，再向右平移9格后的图形。 【易错专练3】画一画。 （1）将向左平移8个格。 （2）将向下平移5个格。 【易错专练4】如果把苹果先向东平移4格，再向北平移3格，接着向西平移6格，最后向南平移1格，你知道现在苹果的位置在哪吗？在图中画出来。 【易错专练5】按要求完成下面各题。 （1）把图A向（    ）平移（    ）格可以得到图B。 （2）把图B向（    ）平移（    ）格可以得到图C。 （3）在方格中画出图C向上平移4格后得到的图D。 易错点4：补全轴对称图形的另一半错误（对称点位置找错或画错）。 【易错专练1】画出如图的另一半，使它成为一个轴对称图形。 【易错专练2】以直线L为对称轴，画出下图中点A和点B的对称点。 【易错专练3】画出下图中A与B的轴对称图形。 【易错专练4】在方格纸上画出轴对称图形。 易错点5：图案设计漏掉对称或平移元素。 【易错专练1】将平移，在方框里设计一幅自己喜欢的图案。      【易错专练2】照样子继续画下去，形成一幅美丽的图案。 【易错专练3】照样子继续画下去，并涂上你喜欢的颜色，形成一幅美丽的图案。 【易错专练4】请用轴对称或平移的知识，为自己的班级设计班徽。与同伴说一说你的设计意图。 【易错专练5】下图是几名同学设计的班徽。 请你用轴对称或平移的知识，为自己的班级设计班徽。 专题三倍数与因数 易错点1：混淆“倍数”与“因数”的概念。 【易错专练1】如果a÷b＝25（a、b均为非零的自然数），那么b是a的因数。（ ） 【易错专练2】在2、7、42这三个自然数中，42是倍数，2和7是因数。（ ） 【易错专练3】因为，所以6是1.2和5的倍数，1.2和5是6的因数。（ ） 【易错专练4】24÷2＝12，所以24是倍数，2和12是因数。（ ） 【易错专练5】9×4＝36，36是4和9的倍数，9和4是36的因数。（ ） 易错点2：找一个数的因数时，遗漏或重复。 【易错专练1】4的因数有（ ），8的因数有（ ）个。 【易错专练2】一个数的最大因数是18，这个数是（ ），它的因数有（ ）。 【易错专练3】校运会开始了，王叔叔为运动员们买了96瓶饮料，选用第（ ）号包装正好能把饮料装完，选择这种包装方式需要（ ）个包装盒。 【易错专练4】笑笑在猜数游戏中提出：一个数的最小倍数和它的最小因数的和是45，这个数是（ ），它共有（ ）个因数。 【易错专练5】在括号里写出下面各数的所有因数。 12（ ）        16（ ） 18（ ）        50（ ） 易错点3：找一个数的倍数时，忽略它本身或无限性。 【易错专练1】一个数比20小，它是2的倍数，又是7的倍数，这个数是（ ）。 【易错专练2】为了培养学生的节约意识，锻炼社会实践能力，学校举办了“跳蚤市场”活动。同学们把家里闲置的旧书和旧玩具等用品带来售卖。 【易错专练3】一个数的最大因数和最小倍数都是26，这个数是（ ）。 【易错专练4】12的因数有（ ），50以内9的倍数有（ ）。 【易错专练5】有一把玩具密码锁，密码是一个两位数，它既是9的倍数，又是18的因数，这把密码锁的密码是（ ）。 易错点4：没有理解奇偶数的意义。 【易错专练1】50名同学分成两组，一组人数是奇数，另一组人数是（ ）数。 【易错专练2】用9、0、4这三个数字组成三位数，组成的奇数是（ ），组成的偶数有（ ）。 【易错专练3】一张扑克牌正面朝上放在桌子上，翻动1次反面朝上，翻动2次正面朝上，如此翻动99次后，（ ）面朝上，翻动500次后，（ ）面朝上。 【易错专练4】学校舞蹈、车模、书法这三个社团的人数正好是三个连续的奇数，已知三个社团共有87人，这三个社团中最少的是（ ）人，最多的是（ ）人。 【易错专练5】欢欢、乐乐、天天三人的年龄正好是三个连续的偶数，他们的年龄总和是36岁，他们三人中最小的是（ ）岁，最大的是（ ）岁。 易错点5：受2，5的倍数的特征的影响，误以为3的倍数也看个位上的数。 【易错专练1】所有的奇数都是3的倍数。（ ） 【易错专练2】3个连续自然数组成的数一定都是3的倍数。（ ） 【易错专练3】14508是3的倍数。（ ） 【易错专练4】要使4□6是3的倍数，□的最大可以填8。（ ） 【易错专练5】从写有数字1、0、8、5的四张卡片中选出3张组成一个三位数，在3的倍数中，最大的是810。（ ） 易错点6：混淆“质数”与“合数”的概念。 【易错专练1】在0、1、2、3、4、11、27中，奇数有（ ）个，质数有（ ）个，合数有（ ）个。 【易错专练2】一个三位数49，当它是3的倍数时，里最大填（ ）。一个两位数1，当它是质数时，里最小填（ ）。 【易错专练3】两位数中，最大的质数是（ ）、合数是（ ）。 【易错专练4】写出50的所有因数：（ ），这些因数中质数有（ ）个，合数有（ ）个。 【易错专练5】天天去帮妈妈取快递，妈妈告诉天天，快递取件码是一个没有零的四位数，最高位上的数既是偶数又是质数，百位上的数既是奇数又是合数，十位上的数比最小的合数大1，个位上的数既不是质数也不是合数。快递取件码是（ ）。 专题四多边形的面积 易错点1：方格中的图形的面积的比较错误。 【易错专练1】如图所示图形中，面积最大的是（    ）。 A．A B．B C．C D．D 【易错专练2】下面图形中，（    ）的面积与其它两个的面积不相等。（图中每个小方格的边长表示lcm） A．A B．B C．C 【易错专练3】下图中每个小方格代表1平方厘米，下面三个图形面积大小排列顺序正确的是（    ）。 A．③＞②＞① B．②＞①＞③ C．③＞①＞② D．①＞③＞② 【易错专练4】如图中每个小方格代表1平方厘米，涂色部分的面积是（    ）平方厘米。 A．8 B．7 C．6 D．5 【易错专练5】比一比下面两个图形的面积。结果是（    ）。 A．①＞② B．①＜② C．①＝② D．无法比较 易错点2：运用平行四边形的面积公式计算时,高与底没有对应。 【易错专练1】乐思用12厘米和7厘米长的木条各2根，钉成了一个长方形。然后将它拉成一个平行四边形。这个平行四边形的底是12厘米，它的高可能是（    ）。（接口处忽略不计） A．8厘米 B．12厘米 C．7厘米 D．5厘米 【易错专练2】为了缓解停车位紧张的状况，社区管理员规划了一块平行四边形的场地，用于停车（如图所示），高10米所对应的底边长是（    ）。 A．10米 B．12米 C．15米 D．18米 【易错专练3】如图中，计算平行四边形面积的正确算式是（    ）。 A．10×12 B．14×12 C．14×10 D．以上都不对 【易错专练4】在图中，以10厘米长的边为底，高为（    ）。    A．10厘米 B．6厘米 C．8厘米 D．7.5厘米 【易错专练5】一个平行四边形相邻两条边长度分别是4厘米和8厘米，其中4厘米底边上的高是6厘米，这个平行四边形的面积是（    ）。 A．24平方厘米 B．48平方厘米 C．32平方厘米 D．不会判断 易错点3：三角形面积和平行四边形的面积的关系运用错误。 【易错专练1】一个三角形的面积比与它等底等高的平行四边形的面积少12.5平方分米，这个三角形的面积是（ ）平方分米，平行四边形的面积是（ ）平方分米。 【易错专练2】一个平行四边形的底是6分米，高是3.2分米，与它等底等高的三角形的面积是（ ）平方分米。 【易错专练3】一个平行四边形相邻两边的长度分别是30和20，其中一条边上的高是26，这个平行四边形的面积是（ ），和这个平行四边形等底等高的三角形的面积是（ ）。 【易错专练4】一个三角形和一个平行四边形的底都是10分米，面积也相等。如果三角形的高是8分米，那么平行四边形的高是（ ）分米。 【易错专练5】一个三角形菜地和一个平行四边形花圃的底相等，面积也相等。这个三角形菜地的高是5.6m，平行四边形花圃的高是（ ）m。 易错点4：误认为梯形的面积=(上底+下底)×高,而忘记除以2。 【易错专练1】有一堆大小、形状一样的圆木，最上面的一层是4根，每相邻两层相差一根，最下面一层是12根，这堆圆木共有（ ）层，一共有（ ）根。 【易错专练2】一个直角梯形的上底是9厘米，下底是11厘米，高是8厘米，梯形的面积是（ ）平方厘米，在这个梯形内剪下一个最大的正方形，正方形的面积是（ ）平方厘米。 【易错专练3】如图，将一张长方形纸折叠形成一个梯形。这个梯形的面积是（ ）cm2。 【易错专练4】一个直角三角形的三条边分别长6cm，10cm，8cm，它的面积是（ ）；一个直角梯形的上底、下底和高分别是6dm，10dm，8dm，它的面积是（ ）。 【易错专练5】如图，如果把这个梯形的上底增加3cm，下底减少3cm，得到的新梯形的面积是（ ）；如果把这个梯形的上底减少2cm，下底增加2cm，得到的新梯形的面积是（ ）。你的发现是（ ）。 易错点5：误认为平行四边形的形状变了,周长也会改变。（以及三角形及梯形面 积变化问题） 【易错专练1】把一个长方形拉成一个平行四边形，它的面积不变。（ ） 【易错专练2】一个三角形的底不变，要使面积扩大到原来的2倍，则底边对应的高就要扩大到原来的4倍。（ ） 【易错专练3】梯形的上底增加3厘米，下底减小3厘米，高不变，则得到的新梯形的面积与原梯形的面积相等。（ ） 【易错专练4】一个三角形和一个平行四边形的面积相等，底也相等，那么平行四边形的高是三角形高的2倍。（ ） 【易错专练5】一个梯形的上底和下底分别扩大到原来的2倍，它的面积就扩大到原来的4倍。（ ） 易错点6：面积公式混淆或记错。 【易错专练1】计算下面图形的面积。 【易错专练2】计算下面各图形的面积。（单位：米） 【易错专练3】计算下面各图形的面积。（单位：m） （1）    （2）    （3） 【易错专练4】求下面图形的面积。 【易错专练5】计算下面图形的面积。 易错点7：解决实际问题时关键词理解错误。 【易错专练1】如图，把一块面积是48平方米的平行四边形的菜地，分为直角三角形和直角梯形两块地。一共收721.5千克白菜，平均每平方米能收多少千克白菜？ 【易错专练2】一块近似平行四边形的麦地如下图，为了方便浇灌，中间留了一条小路，如果平均每平方米麦地收获小麦0.9千克，这块麦地大约可以收获小麦多少千克？ 【易错专练3】植物是制造氧气的“工厂”。根据测算1平方米的草坪平均每天能够释放120克氧气。阳光小区有一块梯形草坪（如下图），中间有一条1米宽的平行四边形小路。这块草坪100天能释放氧气多少千克？ 【易错专练4】一块三角形广告牌，底长10米，高3.4米。如果要用油漆刷这块广告牌，每平方米用油漆0.75千克，这块广告牌至少要用油漆多少千克？（得数保留整千克） 【易错专练5】一个自选商店门口的装饰牌是三角形它的底边是22米，高3米，油漆这块装饰牌，每平方米需要用油漆0.6千克，需要多少千克油漆？ 专题五分数的意义 易错点1：求一个数是另一个数的几分之几错误。 【易错专练1】下图中，△的个数是◯的，◯的个数是两种图形总数的。 △△△△ ○○○○○○○ 【易错专练2】如图，图中阴影部分的面积占整个图形面积的（ ）。 【易错专练3】为支援西南抗旱，军军全家每天节约5瓶水，军军每天节约1瓶水，军军节约水比全家人节约少（ ）。（填分数） 【易错专练4】五（1）班有47名同学，女生23人，男生人数是女生的（ ）。 【易错专练5】一根电线总长100米，用去30米，用去了这根电线的（ ），还剩下这根电线的（ ）。 易错点2：真假分数认识错误。 【易错专练1】分数，那么（ ）；当（ ）时，是最大的真分数。 【易错专练2】分数单位是的最大真分数是（ ），最小带分数是（ ）。 【易错专练3】以7为分母，写出3个真分数：（ ）、（ ）、（ ）；再写出3个假分数：（ ）、（ ）、（ ）。 【易错专练4】已知A，B均为非0自然数，若是真分数，A最小是（ ）；若是假分数，B最大是（ ）。 【易错专练5】在中，是整数。当是（ ）时，它是假分数；当是（ ）时，它是真分数；当是（ ）时，它无意义。 易错点3：假分数与带分数的互化错误。 【易错专练1】把下列假分数化成带分数或整数，把带分数化成假分数。              【易错专练2】把下面的假分数化成带分数或整数，把带分数化成假分数。              【易错专练3】把下列假分数化成带分数或整数，把带分数化成假分数。          【易错专练4】把下列假分数化成带分数或整数，把带分数化成假分数。          【易错专练5】把下列假分数化成带分数或整数，把带分数化成假分数。              易错点4：分数基本性质应用不当。 【易错专练1】的分子增加6，要使分数大小不变，分母应该（ ）。 【易错专练2】把的分母加上15，要使分数的大小不变，分子应该扩大到原来的（ ）倍。 【易错专练3】请你写出一个与相等，分母是12的分数（ ）；再写出一个与相等，分子是12的分数（ ）。 【易错专练4】的分母增加12，要使分数的大小不变，分子要（ ）。 【易错专练5】分数的分子乘3，要使分数的大小不变，分母应当加上（ ）。 易错点5：找几个数的公因数容易漏掉1或误将两数的乘积当成最小公倍数。 【易错专练1】写出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 25和40         28和70         24，36和42 【易错专练2】找出每组数的最大公因数和最小公倍数。 12和5    24和30    14和56 【易错专练3】求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 15和20        30和24        11和33        13和9 【易错专练4】求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 7和11               24和96              12和18 【易错专练5】求下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 2和5             4和6             7和49 易错点6：约分或通分错误。 【易错专练1】约分。        【易错专练2】圈出最简分数，并把其余的分数约分。          【易错专练3】把下面各组中的分数通分。 和    和    和 【易错专练4】把下面各组数通分。 和         和 【易错专练5】通分并比较大小。   和           和           和 易错点7：运用比较分数的大小解决实际问题时,误认为用时多,效率就高。 【易错专练1】加工同样的零件，甲6分加工5个，乙5分加工4个，丙7分加工9个，三人的工作效率谁最高？ 【易错专练2】毛毛和豆豆参加了学校的“童墨飘香”书法兴趣班，坚持每天练习毛笔字，他俩谁写毛笔字的速度快？ 【易错专练3】王、张、李三个师傅在同一车间工作，王师傅3时做10个零件，张师傅4时做12个零件，李师傅5时做16个零件。平均每人做一个零件各用多少时间？谁的工作效率最高？ 专题六组合图形的面积 易错点1：将平方千米、平方米间的进率与公顷、平方米间的进率相混淆。 【易错专练1】9平方千米＝（ ）公顷     5公顷＝（ ）平方米 72000000平方米＝（ ）公顷＝（ ）平方千米 【易错专练2】70000公顷＝（ ）平方千米 6000000平方米＝（ ）公顷＝（ ）平方千米 【易错专练3】3公顷＝（ ）平方米        0.64平方千米＝（ ）公顷         0.39平方米＝（ ）平方分米 【易错专练4】3000m2＝（ ）公顷              9km2＝（ ）公顷     0.23km2＝（ ）m2            4400000m2＝（ ）公顷＝（ ）km2     8000公顷＝（ ）平方千米 【易错专练5】45公顷＝（ ）平方米        900公顷＝（ ）平方千米 30平方千米＝（ ）平方米＝（ ）公顷    20000平方米＝（ ）公顷 易错点2：分割或添补方法不当，导致无法计算或计算错误。 【易错专练1】计算组合图形的面积。 【易错专练2】计算下面阴影部分的面积。（单位：厘米） 【易错专练3】计算阴影部分的面积。 【易错专练4】求图形的面积。 如下图中三个正方形的边长分别为10厘米、20厘米、30厘米，那么图中阴影部分的面积是多少？ 【易错专练5】计算下面各组合图形的面积。（单位：分米） 【易错专练6】求组合图形的面积。（单位：dm） 【易错专练7】计算图形的面积。（单位：cm） 【易错专练8】求出下面图形阴影部分的面积。 【易错专练9】计算下面图形涂色部分的面积。（单位：cm） （1）        （2） 【易错专练10】求下面各组合图形的面积。（单位：cm） 易错点3：估算面积时，未能正确算出格子数量。 【易错专练1】估一估，下图中树叶的面积大约是（ ）。（每个小方格的边长是1cm） 【易错专练2】中央广播电视总台发布2025年春晚主题“巳（sì）巳如意，生生不息”和蛇年的吉祥物。请你估一估图中春晚吉祥物的面积大约是（ ）cm2。 【易错专练3】估计下图面积。（每个小方格的边长是1cm） （ ） 【易错专练4】估计下列图形的面积，下图中每个小方格的边长是1cm，图1的面积大约是（ ）cm2，图2的面积大约是（ ）cm2。 【易错专练5】估计下面图形的面积。（每个小方格的边长表示1dm） （ ）dm2               （ ）dm2               （ ）dm2 易错点4：计算过程粗心，单位不统一 【易错专练1】聪聪在一张边长是1.7分米的正方形纸上设计了一个箭头标志（下图涂色部分）。算一算，这个箭头标志的面积是多少平方分米？ 【易错专练2】一个长方形果园的长是250米，宽是200米，这个果园的面积是多少公顷？多少个这样的果园占地是1平方千米？ 【易错专练3】如图，某公园管理员用一根200米长的篱笆靠墙围了一个梯形花园，这个花园的占地面积是多少平方米？合多少公顷？ 【易错专练4】深圳大沙河公园原为建筑垃圾填埋场，如今在市政府改造后，公园绿树成荫、雀鸟成群、如诗如画。如果1公顷树林一天大约能释放750千克氧气，吸收950千克二氧化碳，那么公园内的一片长500米、宽400米的长方形树林，一天大约能释放多少吨氧气？吸收多少吨二氧化碳？ 【易错专练5】一块不规则的小麦试验田的形状如图所示。 （1）这块试验田的面积是多少平方米？合多少公顷？ （2）如果每公顷小麦的年产量是10吨，这块试验田一年能收小麦多少吨？ 易错点5：实际问题未去除非面积部分。 【易错专练1】“鸟果”体育馆旁边有一块长方形地，中间有两条小路。其余地方铺草坪（图中阴影部分），如果铺1平方米的草坪需要23元，铺好这块草坪需要多少元？ 【易错专练2】智慧停车场通过建立一体化的停车场后台管理系统，能帮助车主快速找到停车位。某商场要在一个面积为1.2公顷的梯形空地上规划修建一个智慧停车场，规划图如图所示，停车区是一个平行四边形。停车区的占地面积是多少平方米？ 【易错专练3】学校要给30扇教室门的正反面刷油漆（单位：米）。如果刷漆每平方米需要5元，那么刷漆共要花费多少元？ 【易错专练4】阳光小区有一块平行四边形草坪和一块三角形草坪（如下图）。两块草坪的面积一共是多少平方米？（单位：米） 【易错专练5】王伯伯在一片梯形果园里修了一条底为3米，高为12米的平行四边形小路（如下图）。阴影部分的果园种桃树，种桃树的面积是多少平方米？ 专题七可能性 易错点1：未验证“等可能性”，错误计算概率。 【易错专练1】在1、2、3、4四张数字卡片中任取两张，其中组成的两位数是奇数的可能性用分数表示是，不是质数的可能性用分数表示是。 【易错专练2】从如图的扑克牌中任意摸出一张，摸到红桃A的可能性为（ ）。 【易错专练3】盒子里有红、黄两种颜色的球，其中红球5个，黄球3个（这些球除颜色不同外，其它性质完全相同），从盒子里任意摸出一个球，是黄球的可能性为（ ）。 【易错专练4】正方体的各个面上分别写着1，2，3，4，5，6，抛掷这个正方体，看看哪一面朝上，有（ ）种可能出现的结果，每种结果出现的可能性（ ），出现其中任意一种结果的可能性是（ ）。 【易错专练5】小明有三双颜色不同的鞋，分别为红、黄、白，随便穿一只左鞋在左脚，再随便找一只右鞋穿在右脚，正好是一双的可能性为（ ）。 【易错专练6】一副扑克牌共有54张，任抽一张，抽出是5的可能性是（ ）。如果去掉大小王，抽到黑桃5的可能性是（ ）。 易错点2：对“放回”与“不放回”的连续抽取问题混淆。 【易错专练1】不透明箱子里有仅颜色不一样的红、黄、蓝、白球若干，每次摸一个再放回。安安统计了前40次的结果，他认为第41次一定不会摸到红球。 红 黄 蓝 白 次数 0 1 3 36 你认为他的说法（ ）（填“对”或“不对”），理由是（ ）。 【易错专练2】一个盒子里放有规格相同的红球6个，蓝球3个，白球2个，如果每次摸出一个球，摸出后放回，一共有（ ）种可能，摸出（ ）球的可能性最大。 【易错专练3】盒子里有黄球和白球共10个。淘气从盒子里摸球，每次摸一个，记录颜色后再放回摇匀。摸了30次，结果是20次黄球、10次白球。根据结果可以猜测盒子里（ ）色的球比较多。 【易错专练4】盒子里有大小、厚度相同的红色和绿色的卡片，明明摸了30次，每次摸完再放回。摸到红色卡片11次，绿色卡片19次，猜一猜，盒子里（ ）卡片可能多一些。 【易错专练5】一个不透明的盒子里放有三种不同颜色的球（球除颜色外完全相同）。小刚摸了40次，每次摸后放回摇匀，摸球的情况如下表。 颜色 红色 蓝色 绿色 次数 22 5 13 这个不透明的盒子里（ ）色的球可能最多，（ ）色的球可能最少。 【易错专练6】丁丁和冬冬玩摸球游戏。每次任意摸一个球，摸完后放回，每人摸20次，摸到白球丁丁得1分，摸到黑球冬冬得1分。在上面三个箱子中，在（ ）箱中摸球丁丁获胜的可能性大，在（ ）箱中摸球冬冬获胜的可能性大，如果要让游戏公平，应选择在（ ）箱中摸球。    易错点3：没有进行多次摸球就确定两种球的多少情况。 【易错专练1】小明连续抛一枚印有“黄鹤楼”图案的硬币15次，10次正面朝上，5次反面朝上，说明正面朝上的可能性更大。（ ） 【易错专练2】盒子里有蓝、绿两种不同颜色的球，欢欢摸了20次，摸到蓝球18次，绿球2次。根据数据推测，盒子里可能是蓝球多。（ ） 【易错专练3】小明有3张1元的和7张5元的纸币，任意摸出1张，摸出5元的可能性大。（ ） 【易错专练4】桌面上有6张扑克牌（如下图），随机抽取一张扑克牌，则抽到牌的可能性大。（ ） 【易错专练5】小可，小雪、小军、小刚四个小朋友根据抽签来决定舞蹈表演顺序，四张卡片上分别写着1，2，3，4，小可第一个抽，她抽到的情况有3种可能。（ ） 易错点4：设计游戏时,出现情况的可能性不相同。 【易错专练1】强强和乐乐玩卡片游戏，三张卡片上分别标有5、6、7三个数字，用这三张卡片摆成不同的三位数。如果摆出的三位数是偶数，强强赢；如果摆出的三位数是奇数，乐乐赢。这个游戏规则公平吗？为什么？ 【易错专练2】下面是一个转盘，笑笑转动指针，乐乐猜指针会停在哪一个数上，如果乐乐猜错了，笑笑获胜。这个游戏规则对双方公平吗？若不公平，请你利用这个转盘再设计一个对双方都公平的游戏规则。 【易错专练3】奇思和妙想玩国际象棋，掷骰子决定谁先走：掷到质数奇思先走，掷到合数妙想先走。 （1）你认为公平吗？请说明理由。 （2）请你再设计一种公平的方案。 【易错专练4】选出点数为1，2，3，4的扑克牌各1张，打乱后反扣在桌面上，小明和小华一起做下面的游戏。 （1）每次摸两张，然后放回去，另一个人再摸； （2）两张牌的点数和大于5，小明得1分；小于5，小华得1分。 这个游戏规则公平吗？ 【易错专练5】有6张正面写有成语的卡片（如下图），反面朝上放在桌面上，奇思和妙想做摸卡片游戏，从卡片中任意摸出一张，摸到含有数字的成语卡片算奇思赢，摸到含有颜色的成语卡片算妙想赢。这个游戏公平吗？为什么？ 【易错专练6】用三个数字4、5、6组成三位数，如果组成的数字是2的倍数就小红赢，否则就小新赢。 （1）这样公平吗？ （2）谁赢的可能性大？ （3）怎样做才能使游戏公平？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 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