第二章 一元二次方程 期末单元复习卷 -2025-2026学年北师大版（2012）数学九年级上册

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 北师大版九年级数学 第二章 一元二次方程 期末复习卷 考试时间:120分钟 满分150分 班级：________________ 姓名：________________ 考号：________________ 卷I（选择题） 一、选择题（本题共计 10 小题 ，每题 4分 ，共计40分） 1.下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是”；“二次项的系数不等于”；“整式方程”．熟练掌握一元二次方程的定义判断是解题的关键． 【解答】解：、该方程中含有两个未知数，故本选项不符合题意； 、该方程是分式方程，不是整式方程，故本选项不符合题意； 、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； 、当时，该方程中未知数的最高次数不是，故本选项不符合题意． 故选： 2.若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查了一元二次方程的根，将根代入方程中求解，即可解题． 【解答】解：关于的一元二次方程的一个根为， ， 解得， 故选：． 3.根据关于的一元二次方程，可列表如下：则方程的正数解满足（    ） A.解的整数部分是，十分位是 B.解的整数部分是，十分位是 C.解的整数部分是，十分位是 D.解的整数部分是，十分位是 【答案】C 【解析】通过观察表格可得时，，即可求解． 【解答】解：由表格可知， 当时，， 当时，， 时，， 解的整数部分是，十分位是， 故选：． 4.若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法是解题的关键；由题意易得，然后可得，然后问题可求解． 【解答】解：由题意得：， 方程要有实数根， ， 解得：； 故选． 5.古算趣题：“愚人持竿欲入门，怎奈门框把竹阻，横余五尺竖余三，焦急无措泪潸潸．有位邻居智慧高，教其斜竿对两角，愚人依言行一试，不多不少正合适，试问竿长是几何，能解此题我点赞．”大意是：“一人拿着一根竹竿进屋内，竹竿比门宽多尺，比门高多尺，如果竹竿斜着进门，恰好通过．若设竹竿的长为尺，则可列方程为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题主要考查了一元二次方程的应用（与图形有关的问题），勾股定理等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程是解题的关键．若设竹竿的长为尺，则由题意得，门宽为尺，门高为尺，然后根据勾股定理即可得出答案． 【解答】解：因为设竹竿长为尺，由题意可知门宽为尺，门高为尺． 可列方程为：． 故选：． 6.关于的一元二次方程的根的情况是（      ） A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.实数根的个数与实数的取值有关 【答案】C 【解析】此题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 【解答】解：，关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故正确． 故此题答案为． 7.一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是（      ） A. B. C. D.或 【答案】C 【解析】利用因式分解法求出的值，再根据等腰三角形的性质分情况讨论求解 【解答】解：，， 则或， 解得或， 当是腰时，三角形的三边分别为、、，不能组成三角形； 当是腰时，三角形的三边分别为、、，能组成三角形，周长为． 故选：． 8.已知是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解， 根据一元二次方程的解以及根与系数的关系可得出，将其代入中，即可求出结论． 【解答】解：是一元二次方程的两个不相等的实数根， ， ． 故选：． 9.若当时，代数式有最小值，则当时，的值为（ ） A.或 B.或 C.或 D.或 【答案】D 【解析】由题意求得，代入得出关于的一元二次方程，解方程即可． 【解答】解：令代数式的值为，则， ∵ 时，则，有最小值， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 解得或， 故选． 10.对于一元二次方程，下列说法： ①若，则方程必有一根为；②若方程有两个不相等的实根，则方程无实根；③若方程两根为，且满足，则方程，必有实根，；④若是一元二次方程的根，则其中正确的（    ） A.①② B.①④ C.②③④ D.①③④ 【答案】D 【解析】根据一元二次方程根的判别式及根的定义以及求根公式逐个判断排除． 【解答】解：①若，则是方程的解，故①正确； ②方程有两个不相等的实根， ， 则方程的判别式， 方程必有两个不相等的实根， 故②错误； ③方程两根为，且满足， ， 令，， 方程有两个实数根，令两根分别为， ， ， 方程，必有实根，， 故③正确； ④若是一元二次方程的根， 则由求根公式可得：， ， ， 故④正确． 故正确的有①③④， 故选：． 卷II（非选择题） 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ） 11.已知关于的一元二次方程，若一次项系数与常数项相等，则的值为___1________． 【答案】 【解析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：，，是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．据此解答即可． 【解答】解：关于的一元二次方程，一次项系数与常数项相等， ， 解得：， 故答案为：． 12.若方程能配方成的形式，则直线不经过第____二_____象限． 【答案】二 【解析】此题暂无解析 【解答】由配方，得，即， ，， 的解析式为， 图象不经过第二象限． 13.若等腰三角形的一边长为，另两边的长是关于的一元二次方程的两个根，则的值为_____或________． 【答案】或 【解析】分为等腰三角形的腰长和为等腰三角形的底边长两种情况，再利用一元二次方程根的定义、根的判别式求解即可得．其中，每种情况下都要根据三角形三边关系定理（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）检验三边长是否满足三角形的三边关系． 【解答】解：由题意，分以下两种情况： 当为等腰三角形的腰长时，则 关于 的方程 的一个根 代入方程得， 解得 则方程为 解方程，得另一个根为 等腰三角形的三边长分别为 ，，，经检验满足三角形的三边关系定理； 当为等腰三角形的底边长时，则 关于的方程 有两个相等的实数根 根的判别式 解得， 则方程为 解方程，得 等腰三角形的三边长分别为，，，经检验满足三角形的三边关系定理． 综上，的值为或16 故答案为：或16 14.如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动，同时点从点出发沿以的速度向点运动，点到达终点后，、两点同时停止运动，则_____或_______秒时，的面积是． 【答案】或 【解析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设运动时间为 秒，则，，利用三角形的面积计算公式，结合的面积是，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设运动时间为 秒，则，， ， ， 整理得：， 解得：，， 或秒时，的面积是． 故答案为：或3 15.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、，且，则的值为____________． 【答案】 【解析】先利用根与系数关系，得到关于的一元二次方程求解，再根据根的判别式，求得的范围，从而可确定的值． 【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、， ，， ， ， ， 解得：，， 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，解得：， 不符合条件， ， 故答案为：． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ） 16.(9分) 解方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】， ， ， 【解析】（1）将方程两边同除以，再利用配方法求解即可； （2）首先将原方程整理为，再用公式法求解即可； （3）先移项，再根据因式分解法求解即可． 【解答】（1）解：， ， ，即， ，即， ，； （2）解：， 整理可得 ， ， ， ， ，； （3）解： ， ， 或， ． 17.（6分）观察下表，确定一元二次方程的一个近似根． 【答案】解： 由二次函数的增减性，得 时，，时，， 时，． 【解析】根据二次函数的增减性，可得答案． 【解答】解： 由二次函数的增减性，得 时，，时，， 时，． 18.（7分）先化简，再求值：，其中是方程的根． 【答案】 【解析】先将括号内的进行通分，再将除法转换成乘法，从而进一步将含的式子进行化简，最后整体代入求值即可 【解答】原式 又因为为的根 所以 所以 所以原式 19.(7分) 如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数． （1）当时，请直接写出的值； （2）当时，求的值． 【答案】或 或 【解析】（1）根据题意可得：，然后求解一元二次方程即可； （2）根据题中计算图可得：，由，代入化简可得：，求解方程，然后代入即可得． 【解答】（1）由题意可得：， ， 则或， 解得或； （2）由题意得：， ， ， 整理得：， ， 则或， 解得或， 或． 20.(8分) 对于任意实数，方程＝总有一个根是 （1）求实数，； （2）求另一个根的范围． 【答案】由题意得对于任意实数，均有＝， 即＝对于任意实数恒成立， ∴ ＝，即＝， 则＝； 由（1）知方程为＝， 即＝， 所以方程的另一个实数根为， 当时，∵ ，∴ ，； 当时，∵ ，， ∴ ＝，； 所以方程的另一个根的范围是． 【解析】（1）将＝代入方程有＝，根据题意知＝对于任意实数恒成立，据此可得＝、＝； （2）将、的值代入方程，并将方程变形为＝，据此可得方程的另一个根为，再结合的取值范围可得答案． 【解答】（1）由题意得对于任意实数，均有＝， 即＝对于任意实数恒成立， ∴ ＝，即＝， 则＝； （2）由（1）知方程为＝， 即＝， 所以方程的另一个实数根为， 当时，∵ ，∴ ，； 当时，∵ ，， ∴ ＝，； 所以方程的另一个根的范围是． 21.(10分) 已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． （1）已知是方程的根，求证：是等腰三角形； （2）如果是直角三角形，其中，请你判断方程的根的情况，并说明理由． 【答案】见解答 方程有两个相等的实数根，理由见解析 【解析】（1）将代入原方程，可得出，进而可证出是等腰三角形； （2）利用勾股定理，可得出，结合，可得出，进而可得出原方程有两个相等的实数根． 【解答】（1）解：证明：是一元二次方程的根， ． ． 是等腰三角形； （2）解：方程有两个相等的实数根，理由如下： 是直角三角形，其中， ． ， 方程有两个相等的实数根 22.(10分) 如图，中，，，，一动点从出发沿着方向以的速度运动，另一点从出发沿方向以的速度运动，两点同时出发，运动时间为． （1）当为秒___2___时，的面积是平方厘米． （2）的面积能否为面积的？若能，求出的值；若不能，说明理由． 【答案】； 不能，理由见解答． 【解析】（1）根据题意，列出方程即可求解； 根据题意，列出方程即可求解； 本题考查了一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式，根据题意正确列出一元二次方程是解题的关键． 【解答】（1）解：由题意得，，， ， 当的面积是平方厘米时，， 即， 解得， 故答案为：； （2）解：不能，理由如下： 由题意得，， 方程整理得，， ， 方程无解， 的面积不能为面积的． 23.(10分) 解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，， 当时，，，； 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解答下列问题： （1）； （2）． 【答案】， ， 【解析】（1）先把要求的式子变形为，再进行因式分解，求出符合条件的值，从而得出的值； （2）根据已知条件设求出的值，即可获得答案． 【解答】（1）解：， 设，则原方程化为， ， 或（舍去）， 即， ，； （2）解：， 设，则原方程化为， ， 或， 当时，可有，解得，， 当时，可有， ， 该方程无解， 原方程的解为，． 24.(11分) 某车间生产两种笔： 型：每支成本元，定价为元； 型：每支成本元，定价为元． 根据车间实际情况，两种笔每季度生产总量仅为万支，为了将生产的笔全部售出，两种笔的定价会相互影响．根据调查：型笔的销量万支与定价元的关系如下： 定价（元） … … 销量（万支） … … 型笔的定价为元时，销量为万支，售价每提高元，销量减少万支． （1）求型笔的销量万支与售价元的关系式； （2）当型笔的定价为元时，型笔的定价为__22____元；该厂家将生产的两种笔型出售后所获得的利润为____340__万元； （3）若型笔每支利润率不超过，求该厂家如何定价，将生产的所有笔都出售后所获得的利润是万元？ 【答案】 ， 厂家应将型笔每支定价元，型笔每支定价元，可获利万元 【解析】（1）由表得出定价为元时，销量为万支，根据型笔的定价与销量的关系，列出对应的函数关系式； （2）根据型笔的定价求出型笔的销量，型笔的销量，再根据型笔的定价与销量的关系求出型笔的定价，计算利润； （3）根据总利润得到关于、的方程，再根据总产量为万支再次得到关于、的方程，解出即可． 【解答】（1）解：由题意可知，型笔的定价为元时，销量为万支，型笔的定价每增加元，销量降低万支， ， 答：型笔的销量万支与售价元的关系式为． （2）解：型笔的定价为元时，型笔的销量为万支， 此时型笔销量为（万支）， 由于型笔的定价为元时，销量为万支，售价每提高元，销量减少万支， （元）， 此时，每支型笔的利润为（元），每支型笔的利润为（元） 则总利润为（万元）， 故答案为：，； （3）解：由题意知，， 由于总产量为万支，则，得， ， 解得，， 由于型笔每支的利润率不超过， 则，解得， （不符题意）， （元）， 答：厂家应将型笔每支定价元，型笔每支定价元，可获利万元． 25.(12分) 阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料：若一元二次方程的两个根为，则 材料：已知实数，满足，且，则 ， 是方程的两个不相等的实数根． （1）材料理解：一元二次方程 两个根为 ，则_____2__，_______． （2）应用探究：已知两实数，满足，则的值为？ （3）思维拓展：已知实数，分别满足，且，求的值． 【答案】， 【解析】（1）直接根据一元二次方程根与系数的关系可得答案； （2）由题意得出、可看作方程的两根，据此，，将所求代数式变形为，代入计算可得； （3）把，两边同时除以得，据此可得实数和可看作方程的根，代入计算可得． 【解答】（1）解： 一元二次方程 两个根为，， ， 故答案为：，； （2）解：由题意、是方程的两个根， 该方程的判别式， 方程有两个不相等的实数根，即， 则，， ； （3）解：把，两边同时除以得： ， 实数和可看作方程的根， ，， ． 第3页 共16页 ◎ 第4页 共16页 第1页 共16页 ◎ 第2页 共16页 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ 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B. C. D. 2.若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（    ） A. B. C. D. 3.根据关于的一元二次方程，可列表如下：则方程的正数解满足（    ） A.解的整数部分是，十分位是 B.解的整数部分是，十分位是 C.解的整数部分是，十分位是 D.解的整数部分是，十分位是 4.若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是（   ） A. B. C. D. 5.古算趣题：“愚人持竿欲入门，怎奈门框把竹阻，横余五尺竖余三，焦急无措泪潸潸．有位邻居智慧高，教其斜竿对两角，愚人依言行一试，不多不少正合适，试问竿长是几何，能解此题我点赞．”大意是：“一人拿着一根竹竿进屋内，竹竿比门宽多尺，比门高多尺，如果竹竿斜着进门，恰好通过．若设竹竿的长为尺，则可列方程为 A. B. C. D. 6.关于的一元二次方程的根的情况是（      ） A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.实数根的个数与实数的取值有关 7.一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是（      ） A. B. C. D.或 8.已知是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为（   ） A. B. C. D. 9.若当时，代数式有最小值，则当时，的值为（ ） A.或 B.或 C.或 D.或 10.对于一元二次方程，下列说法： ①若，则方程必有一根为；②若方程有两个不相等的实根，则方程无实根；③若方程两根为，且满足，则方程，必有实根，；④若是一元二次方程的根，则其中正确的（    ） A.①② B.①④ C.②③④ D.①③④ 卷II（非选择题） 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ） 11.已知关于的一元二次方程，若一次项系数与常数项相等，则的值为________． 12.若方程能配方成的形式，则直线不经过第_________象限． 13.若等腰三角形的一边长为，另两边的长是关于的一元二次方程的两个根，则的值为____________． 14.如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动，同时点从点出发沿以的速度向点运动，点到达终点后，、两点同时停止运动，则_________秒时，的面积是． 15.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、，且，则的值为__________． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ） 16.(9分) 解方程： （1）； （2）； （3）． 17.（6分）观察下表，确定一元二次方程的一个近似根． 18.（7分）先化简，再求值：，其中是方程的根． 19.(7分) 如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数． （1）当时，请直接写出的值； （2）当时，求的值． 20.(8分) 对于任意实数，方程＝总有一个根是 （1）求实数，； （2）求另一个根的范围． 21.(10分) 已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． （1）已知是方程的根，求证：是等腰三角形； （2）如果是直角三角形，其中，请你判断方程的根的情况，并说明理由． 22.(10分) 如图，中，，，，一动点从出发沿着方向以的速度运动，另一点从出发沿方向以的速度运动，两点同时出发，运动时间为． （1）当为秒_____时，的面积是平方厘米． （2）的面积能否为面积的？若能，求出的值；若不能，说明理由． 23.(10分) 解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，， 当时，，，； 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解答下列问题： （1）； （2）． 24.(11分) 某车间生产两种笔： 型：每支成本元，定价为元； 型：每支成本元，定价为元． 根据车间实际情况，两种笔每季度生产总量仅为万支，为了将生产的笔全部售出，两种笔的定价会相互影响．根据调查：型笔的销量万支与定价元的关系如下： 定价（元） … … 销量（万支） … … 型笔的定价为元时，销量为万支，售价每提高元，销量减少万支． （1）求型笔的销量万支与售价元的关系式； （2）当型笔的定价为元时，型笔的定价为______元；该厂家将生产的两种笔型出售后所获得的利润为_____万元； （3）若型笔每支利润率不超过，求该厂家如何定价，将生产的所有笔都出售后所获得的利润是万元？ 25.(12分) 阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料：若一元二次方程的两个根为，则 材料：已知实数，满足，且，则 ， 是方程的两个不相等的实数根． （1）材料理解：一元二次方程 两个根为 ，则_____2__，_______． （2）应用探究：已知两实数，满足，则的值为？ （3）思维拓展：已知实数，分别满足，且，求的值． 第3页 共16页 ◎ 第4页 共16页 第1页 共16页 ◎ 第2页 共16页 学科网（北京）股份有限公司 $