2025-2026学年 人教版九年级数学上册期末模拟四（ 第21章--第27章，含答案）

2025-2026上学年初中九年级数学期末模拟四 （人教，第21章--第27章，含答案） （时间：100分钟，满分120分） 一、单选题(共10题；共30分) 1．（3分）（2025九上·邯郸月考）对于抛物线，下列结论正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 2．（3分） 已知⊙O的直径为6 cm，点 O到直线l 的距离为 4 cm，则l与⊙O的位置关系是(　　) A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 3．（3分）（2025·坪山模拟）“科技点亮未来，创新成就梦想”，在坪山区某九年一贯制学校2025年的科技节活动中，水火箭这一汇聚了物理智慧与巧妙构思的科技作品，闪耀着耀眼的光芒．水火箭从地面竖直向上弹出，其初始速度为20米／秒．水火箭在空中的高度（米）与时间（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（　　） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 4．（3分）（2024八下·上城期末）用反证法证明：等腰中，，，则，第一步应假设（ ） A． B． C． D． 5．（3分）在平面直角坐标系中，将点绕点旋转，其对应点的坐标是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）（2024·长春模拟）凸透镜成像的原理如图所示，.若物体H到焦点F的距离与焦点F到凸透镜中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的（　　） A． B． C． D． （第6题） （第7题） 7．（3分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点的横坐标为1，点的横坐标为-2.当时，的取值范围是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 8．（3分）（2024九上·道县期中）反比例函数和一次函数在同一坐标系中的图像大致是(　　) A． B． C． D． 9．（3分）（2024·宁波期中）如图，∠APB＝30°，点O在射线PA上，⊙O的半径为2，当⊙O与PB相切时，OP的长度为（　　） A．3 B．4 C． D． （第9题） （第10题） 10．（3分）（2025九上·嵊州期中）如图，二次函数(a≠0)的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线x=1，点B坐标为(－1，0)．则下面的四个结论：①2a+b=0；②4a－2b+c＜0；③ac＞0；④当y＜0时，x＜－1或x＞3．其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题(共5题；共15分) 11．（3分）（2024·浙江模拟）某校计划组织研学活动，现有三个地点可供选择：博物馆、影视城、动物园．若从中随机选择一个地点，则选择动物园的概率为　 　· 12．（3分）笔筒中有10支型号、颜色完全相同的铅笔，将它们逐一标上1-10的号码，若从笔筒中任意抽出一支铅笔，则抽到编号分别是2的倍数、3的倍数、5的倍数的铅笔事件中，可能性最大的事件是　 　 13．（3分）（2025·连云港）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=45°.若⊙O的半径为2，则劣弧的长为　 　. （第13题） （第15题） 14．（3分）（2023九下·沭阳月考）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子一次，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，观察向上的一面，点数为6的事件的概率是　 　. 15．（3分）（2024·濠江模拟）已知正方形和正六边形边长均为1，把正方形放在正六边形外边，使边与边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形外绕点B顺时针旋转，使边与边重合，完成第一次旅转；再绕点C顺时针旋转，使边与边重合，完成第二次旋转；…在这样连续的旋转过程中，第6次点M在图中直角坐标系中的坐标是　 　． 三、解答题(共8题；共75分) 16．（10分）（2024九上·威宁期末）解方程． （1）（5分） （2）（5分） 17．（9分）在超市促销抽奖活动中，抽奖箱里有7个除颜色外毫无差别的乒乓球，其中3个是白色乒乓球，4个是黄色乒乓球． （1）（4分）摇匀后，从中随机取出1个球是黄色乒乓球的概率是多少？ （2）（5分）若往抽奖箱里放入若干数量的白色乒乓球，调整后摇匀，随机摸出一个球是白色乒乓球的概率为．问放入了多少个白色乒乓球？ 18．（9分）某政府大力扶持大学生创业，李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可看作一次函数y=-10x+n．已知当销售单价x定为25元时，李明每月获得的利润w为1250元． （1）（4分）求n的值． （2）（5分）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润?最大利润是多少? (注：利润=(销售单价一进价)×销售量) 19．（9分）（2024九上·南昌期末）如图，在由边长为1的小正方形构成的5×6的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹井标注相关字母． （1）（4分）如图1，在内寻找格点，使得． （2）（5分）如图2，在线段上找一点，使得． 20．（9分）如图所示，直线与轴负半轴、轴正半轴分别交于、两点． （1）（4分）若，求直线的解析式； （2）（5分）当取不同的值时，点在轴正半轴上运动，以为旋转中心，将线段顺时针旋转得线段，将线段逆时针旋转得线段，连接交轴于点，求证：的长为定值． 21．（9分）（2024九上·六盘水期中）如图，在平行四边形中，点为边上一点，连接，点为线段上一点，且．求证：． 22．（9分）阅读材料，回答下列问题： 阿尔·花拉子米（约780约850），著名阿拉伯数学家、天文学家、地理学家，是代数与算术的整理者，被誉为“代数之父”．他利用正方形图形巧妙解出了一元二次方程的一个解． 将边长为x的正方形和边长为1的正方形，外加两个长方形，长为x，宽为1，拼合在一起面积就是，即，而由原方程变形得，即边长为的正方形面积为36．所以，则． （1）上述求解过程中所用的方法与下列哪种方法是一致的__________． A.直接开平方法 B.公式法 C.配方法 D.因式分解法 （2）所用的数学思想方法是_______． A.分类讨论思想 B.数形结合思想 C.转化思想 （3）山西特产专卖店销售的某品牌枣夹核桃，进价为每袋20元，现在按每袋30元出售时，平均每天售出200袋，由于货源紧缺，现要涨价销售，经过市场调查发现，单价每上涨1元，则平均每天的销售会减少10袋，若该专卖店销售这种枣夹核桃每天的利润为y元，售价为x元，请求出y与x的函数解析式，再利用（1）的方法求出x是多少时，y最大，最大是多少？ 23．（11分）（2023九上·光明期中）综合与实践 某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察刹车距离． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间x 0 1 2 3 刹车后行驶的距离y 0 27 48 63 发现：①开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶的时间x（单位：s）之间成二次函数关系； ②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间x的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）（3分）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）（4分）当汽车刹车后，4s共行驶了多长距离； （3）（4分）若汽车司机发现正前方80m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：， 故开口向下，选项A错误； 对称轴为直线，选项B错误； 顶点坐标为，选项C正确； 当时，随的增大而减小，选项D错误． 故选C． 【分析】根据二次函数图象和性质，对选项逐个判断求解即可． 2．【答案】A 【解析】【解答】解：∵☉O半径为3cm，点O到直线l的距离为4cm， ∴d>r ∴l与☉O的位置关系相离. 故答案为：A. 【分析】根据直线与圆的位置关系判定方法，假设圆心到直线的距离为d，当d>r，直线与圆相离，当d=r，直线与圆相切，当d<r，直线与圆相交，由☉O的半径为3cm，点O到直线l的距离为4cm，得出d>r，进而l与☉O的位置关系. 3．【答案】B 【解析】【解答】解：函数关系式 ， 当t=时，h为最大值20×2-5×22=20米。 故答案为：B. 【分析】本题主要考查抛物线函数的最值问题。函数关系式，因为a=-5＜0，因此该函数开口向下，所以在对称轴处，该函数取得最大值。因此可以直接利用公式x=进行计算，其中a=-5，b=20，代入计算即可。 4．【答案】D 【解析】【解答】解：用反证法证明：等腰中，，，则，第一步应假设，故答案为：D． 【分析】的反面是，所以 第一步应假设。 5．【答案】D 【解析】【解答】解：由题意，点绕点O旋转， 根据中心对称的性质，可得对应点的坐标是. 故选：D． 【分析】根据题意，利用中心对称的性质，即可求得对应点的坐标，得到答案. 6．【答案】C 【解析】【解答】解：∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴物体被缩小到原来的． 故答案为：C 【分析】先根据矩形的判定与性质得到，进而根据相似三角形的判定与性质证明即可求解。 7．【答案】B 【解析】【解答】解：根据函数图象可知：当或时，函数的图象在函数的图象的下面， ∴ 当时，的取值范围是或， 故答案为：B. 【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可. 8．【答案】B 【解析】【解答】解： A． 选项中一次函数与y轴交于正半轴，则，即；反比例函数图象在一、三象限，；一次函数和反比例函数判断出k的符号是不一致，故不符合题意； B．选项中一次函数与y轴交于正半轴，则，即；反比例函数图象在二、四象限，；一次函数和反比例函数判断出k的符号是一致，故符合题意； C．选项中一次函数与y轴交于正半轴，则，即；反比例函数图象在一、三象限，；一次函数和反比例函数判断出k的符号是不一致，故不符合题意； D． 选项中一次函数与y轴交于负半轴，则，即；反比例函数图象在二、四象限，；一次函数和反比例函数判断出k的符号是不一致，故不符合题意； 故选：B． 【分析】 本题主要考查了一次函数、反比例函数图象共存问题，反比例函数（k的符号决定象限，k>0一三象限，k<0二四象限），一次函数（k，b共同决定图像），分别分析两个函数的图象所在象限，逐一匹配选项. 9．【答案】B 【解析】【解答】解：设⊙O与PB相切于点C， 连接OC， 如图所示： ∵⊙O与PB相切于点C， 2， 故答案为：B. 【分析】设⊙O与PB相切于点C，连接OC，由切线的性质得出 由直角三角形的性质得出 即可. 10．【答案】C 【解析】【解答】解：∵对称轴为x＝1， ∴， ∴﹣b＝2a， ∴①2a+b＝0，故此选项正确； ∵点B坐标为（﹣1，0）， ∴当x＝﹣2时，4a﹣2b+c＜0，故②此选项正确； ∵图象开口向下，∴a＜0， ∵图象与y轴交于正半轴上， ∴c＞0， ∴ac＜0，故③ac＞0错误； ∵对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0）， ∴A点坐标为：（3，0）， ∴当y＜0时，x＜﹣1或x＞3． 故④正确； 故选：C． 【分析】根据对称轴为x＝1可判断出2a+b＝0正确，当x＝﹣2时，4a﹣2b+c＜0，根据开口方向，以及与y轴交点可得ac＜0，再求出A点坐标，可得当y＜0时，x＜﹣1或x＞3． 11．【答案】 【解析】【解答】解：随机选择一个地点，结果有3种：博物院、影视城和动物园，其中选择动物园的结果只有一种，所以，概率==. 故答案为：. 【分析】根据概率公式=，即可求得. 12．【答案】抽到编号是2的倍数的铅笔 【解析】【解答】解：∵编号为2的倍数有2，4，6，8，10，共5种；编号为3的倍数有3，6，9，共3种；编号为5的倍数有5，10，共2种， ∴抽到编号为2的倍数的概率为；抽到编号为3的倍数的概率为；抽到编号为5的倍数的概率为； ∴可能性最大的事件是抽到编号是2的倍数的铅笔， 故答案为：抽到编号是2的倍数的铅笔. 【分析】先利用概率公式分别求出抽到编号为2的倍数的概率为；抽到编号为3的倍数的概率为；抽到编号为5的倍数的概率为；再比较大小即可. 13．【答案】π 【解析】【解答】解：如图，连接OB、OC， ∵， ∴∠BOC=2∠BAC=2×45°=90°， ∴ 劣弧的长为 故答案为：π. 【分析】连接OB、OC，利用圆周角定理求出∠BOC的度数，再利用弧长公式进行计算. 14．【答案】 【解析】【解答】解：根据概率公式P（向上一面点数是6）＝. 故答案为：. 【分析】直接根据概率公式进行计算. 15．【答案】 【解析】【解答】解：将正方形在正六边形外绕点B顺时针旋转， 完成第6次旋转时，点M落在原图中点B的位置，过点B作BH⊥x轴，则∠BCH=60°，∠CBH=30°， 在Rt△BCH中，BC=1，∠CBH=30°， ∴CH=BC=，BH=CH=， ∴FH=CF-CH=2-=， ∴B（，）， ∴第6次点M在图中直角坐标系中的坐标是（，）. 故答案为：（，）. 【分析】将正方形在正六边形外绕点B顺时针旋转， 完成第6次旋转时，点M落在原图中点B的位置，求出图中点B的坐标即得第6次点M在图中直角坐标系中的坐标. 16．【答案】（1）解：∵，∴， 则或，解得或．（或用公式法解） （2）解：∵，∴， 则，或，解得或． 【解析】【分析】（1）利用十字相乘法的计算方法求解一元二次方程即可。 （2）利用因式分解法的计算方法求解一元二次方程即可。 17．【答案】（1）解：从抽奖箱里随机取出一个球有7种等可能结果，其中是黄色乒乓球的有4种结果， 所以从中随机取出1个球是黄色乒乓球的概率是 （2）解：设放入x个白色乒乓球， 由题意得： 解得：x=5. 经检验x=5符合题意， 答：放入了5个白色乒乓球. 【解析】【分析】(1)根据概率公式计算即可得解； (2)设放入x个白色乒乓球，根据随机摸出一个球是白色乒乓球的概率为· 列方程即可得解. 18．【答案】（1）解：由题意可得，(25-20)(-10×25+n)=1250， 解得n=500， 故n的值是500． （2）解：w=(x-20)(-10x+500)=-10x2+700x-10000=-10(x-35)2+2250， ∴当x=35时，w取得最大值，此时w=2250，即当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润，最大利润是2250元． 【解析】【分析】（1）根据题意列出方程，进而解方程即可求解； （2）根据题意即可列出二次函数解析式，进而根据二次函数的最值即可求解。 19．【答案】（1）解：如图2，分别作线段、的垂直平分线，相交于点，连接、，则点、、在以点为圆心，的长为半径的圆上， ， 则点即为所求． （2）解：如图1，分别取格点，，使，且，连接，交于点， 则， ， 则点即为所求； 【解析】【分析】（1）作两个边的垂直平分线，交点即为三角形的外心；． （2）取格点，，连接，交于点，根据相似三角形的对应边成比例解答即可. 20．【答案】（1）解：∵交x轴于点B，交y轴于点， ． ， ， ∴ 直线的解析式． （2）解：由（1）得：A，B， 过点M作轴于点，如图所示： ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ． 设直线的解析式为， 则 解得： ∴直线MN的解析式为： ∵直线交轴于点， ． 长为定值． 【解析】【分析】（1）分别令x=0，和y=0，可求出点A和点B的坐标，再根据OA=OB，可得关于k的方程，求解即可得到结论. （2）先由（1）得到点A和B的坐标，作轴于点，利用AAS证明，即可求出，然后利用待定系数法求出直线的解析式，得到点的坐标，再计算AP，即可得到结论． （1）解：由交两轴于、两点 ． ， ，即 直线的解析式． （2）解：当时，；当时，，解得， ∴点A的坐标为，点A的坐标为， 作轴于点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ． 设直线为，则 为 ． 长为定值． 21．【答案】证明：在平行四边形中，，， ∴，， ∵， ∴ ∴． 【解析】【分析】根据平行四边形性质可得，，再根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理即可求出答案. 22．【答案】（1）C （2）B （3）利润为y元，售价为x元，根据题意得， 当时，y有最大值，最大值为2250， 即售价为35元时，获得最大利润为2250元． 答：解析式为：，当时，y有最大值，最大值为2250． 【解析】【解答】解：（1）由阅读材料可知其方法为配方法， 故答案为：C （2）结合图形得到，所以是数形结合， 故答案为：B 【分析】（1）通过阅读材料所给方法即可求出答案. （2）结合图象信息即可求出答案. （3）由总利润=每千克利润每天销售量可列出函数解析式，结合二次函数性质即可求出答案. 23．【答案】（1）解：∵ y是t的二次函数， ∴设y关于t的函数解析式为y=at 2+bt+c， 由表格得(0，0)，(1，27)，(2，48)在函数图象上， 代入得 解得： ∴y关于t的函数解析式为y=-3t2+30t. （2）解：由(1)得y关于t的函数解析式为y=-3t2+30t， 把t=4代入解析式得， y=-3×42+30×4=72， ∴汽车刹车4s后，行驶了72米. （3）解： 由(1)得y关于t的函数解析式为y=-3t2+30t， y=-3t2+30t=-3(t-5)2+75， ∴当t=5时，汽车行驶的距离最远为75米， ∵当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止， ∴当t=5时，汽车停下，行驶了75米， ∵75＜80， ∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车. 【解析】【分析】(1)利用待定系数法根据表格中的数据即可求出y关于t的函数解析式. (2)将t=4代入(1)中求出的解析式，即可求解. (3)求出(1)中函数的最大值，与80m比较，即可求解. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $