专题11 几何中动点四大题型 2025-2026学年人教版八年级上册数学重难点培优专题【题型分类+知识梳理+能力提升】

人教版八上 重难点题型突破 培优专题 专题11 几何中动点四大题型目录 A · 重难点题型分类 题型1：三角形中的动点问题…………………………………………………… 1 题型2：全等三角形中的动点问题……………………………………………… 7 题型3：轴对称中的动点问题…………………………………………………… 15 题型4：动点存在性问题………………………………………………………… 20 B · 能力提升 ………………………………………………………………………… 28 重难点题型分类 【题型1：三角形中的动点问题】 【例1】综合与探究 提出问题： 小冉在学习中遇到这样一个问题：如图1，在中，的平分线与外角的平分线交于点．试猜想与之间的数量关系． 解决问题： （1）小冉阅读后没有任何思路，同桌小卓提醒小冉，可以尝试先代入的特殊角度，然后根据结果猜想与之间的数量关系． ①若，则________；若，则________； ②通过上面的计算，请猜测与之间的数量关系，并说明理由； 应用拓展： （2）如图2，将改成四边形，的平分线及一个外角的平分线相交于点F．若，求的度数； 深入探究： （3）如图3，在中，的平分线与外角的平分线交于点．若E是延长线上一动点，连接，与的平分线交于点Q，在点E移动的过程中，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1）①30，45；②，见解析；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义： （1）①根据角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质得到，，由此即可解答；②由①即可解答； （2）根据角平分线的定义，根据三角形外角的性质得到，利用四边形内角和定理得到，则，由此即可求出； （3）同理可得，，利用三角形内角和定理得到，再由三角形外角的性质得到，即可得到，由此即可得到结论． 【详解】解：（1）①∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 若，则； 若，则； 故答案为：，； ②由①得； 故答案为：； （2）的平分线及一个外角的平分线相交于点， ，． ， ． ， ． ， ． ． ； （3），理由如下： 同（1）可得， ∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式1-1】如图，已知，点在射线上运动，点在射线上运动．和的角平分线交于点，、分别为、上的点，和的角平分线交于点．若点A、B在运动过程中，存在中有一个角是另一个角的2倍，则的度数为 ． 【答案】或，， 【分析】根据三角形的外角与角平分线求出的度数，同理可得的度数，根据中有一个角是另一个角的2倍，分情况讨论． 【详解】，， ， 平分，平分， ， ， ， 同理可得． 中有一个角是另一个角的2倍，分情况讨论： ①若， 则的内角和为， 这与三角形的内角和定理矛盾，故． ②若，则 ， 又， ． ③若，则 ， 又， ． ④若， 则的内角和为， 这与三角形的内角和定理矛盾，故． ⑤若，则 ， ， 平分， ，此时点C与点E重合，符合题意， ∴． ⑥若，则 ， ， 平分， ，此时点D与点E重合，符合题意， ∴． 综上所述：或． 故答案为：或，， 【点睛】本题考查三角形的内角、外角，角平分线，分类讨论思想，其中分类讨论是解题的关键． 【变式1-2】直线与相互垂直，垂足为点O，点A在射线上运动，点B在射线上运动，点A、点B均不与点O重合 (1)如图①，平分，平分，若，求的度数 (2)如图②，平分，平分，的反向延长线交于点D． ①若，则 度（直接写出结果，不需说理） ②点，在运动过程中，是否发生变化，若不变，试求的度数；若变化，请说明变化规律 【答案】(1) (2)①；②不变， 【分析】（1）由垂线的定义得出，由三角形内角和定理求出，由角平分线的定义得出，，最后再由三角形内角和定理计算即可得解； （2）①由垂线的定义得出，由三角形外角的定义及性质得出，由角平分线的定义得出，，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解；②由垂线的定义得出，由角平分线的定义得出，，由三角形外角的定义得出，最后再由三角形外角的定义及性质计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； ②不变， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了垂线的定义、三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【题型2：全等三角形中的动点问题】 【例1】题目：“如图，已知，，，动点以的速度从点出发沿边向终点移动，动点以的速度从点出发沿边向终点匀速移动，动点从点出发沿对角线向终点移动，三点同时出发，当其中一点到达终点时，其余两点也停止运动．连接，求动点的速度为多少时，存在某个时刻，使得以为顶点的三角形与全等（点与点是对应点）．”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（      ）    A．甲、乙的答案合在一起才完整 B．乙、丙的答案合在一起才完整 C．只有乙的答案正确 D．三人的答案合在一起才完整 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的应用，由题意可得，，，即得，又由可得，然后分和两种情况根据全等三角形的性质解答即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∵， ∴， 当时，则，， ∴，， ∴， ∴此时点的速度为； 当时，则，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴此时点的速度为； 综上，动点的速度为或， 故选：． 【变式1-1】如图，在中，，，，点C在直线l上．点P从点A出发，在三角形边上沿的路径向终点B运动；点Q从B点出发，在三角形边上沿的路径向终点A运动．点P和Q分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过P和Q作于点E，于点F，则点P的运动时间等于 秒时，与全等． 【答案】4或或16 【分析】本题考查了全等三角形的综合问题，分情况讨论是解题的关键．分类讨论，分四种情况分析，①点P在上，点Q在上；②点P、Q都在上；③点P到上，点Q在上；④当点Q到A点，点P在上，根据全等三角形的性质分别求解即可． 【详解】解：∵与全等， ∴斜边=斜边， 分四种情况： 当点P在上，点Q在上，如图： ∵， ∴, ∴， 当点P、Q都在上时，此时P、Q重合，如图： ∵， ∴， ∴， 当点P到上，点Q在上时，如图： ∵， ∴， ∴，不符合题意， 当点Q到A点，点P在上时，如图： ∵， ∴， ∴， 综上所述：点P的运动时间等于4或或16秒时，与全等， 故答案为：4或或16． 【变式1-2】如图，在中，，，，，，，动点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t． (1)求； (2)求证：在运动过程中，无论t取何值，都有； (3)当t取何值时，与全等． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，以及全等三角形的判定与性质，需熟练掌握分类讨论思想，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定定理． （1）根据角平分线的性质可得，在由三角形面积公式计算即可； （2）根据三角形面积公式得到，再根据点E和点G的运动速度可表示，，由此可证明； （3）先证明，在分类讨论点M在线段上，点M在线段延长线上两种情况由此求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵动点E以的速度从A点向F点运动， 且动点G以的速度从C点向A点运动， 又∵当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动， ∴，． ∴， ∴， ∴在运动过程中，不管t取何值，都有； （3）解：∵在与中， ， ∴， ∴， ∵点E以的速度从A点向F点运动， 且动点G以的速度从C点向A点运动， 又∵当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，运动时间为t， ∴，． ∴， ∴， ①当M在线段上时，， 当时，与全等， ∴， 解得； ②当M在线段延长线上时，， 当时，与全等， ∴， 解得：， ∴当或时，与全等． 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于，交轴于，且、满足：． (1) ， ； (2)点为轴负半轴上一点，于，交于． ①如图1，求证； ②如图2，若，连接，求的大小； (3)如图3，若点为的中点，点为轴负半轴上一动点，连接，过点作交轴于点，设，试问：当点在运动过程中，的值是否发生改变？若改变，求出变化范围；若不改变，求的值． 【答案】(1)1,1 (2) (3)y的值不发生改变．理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、三角形外角性质等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，得出，，即可求出； （2）①根据，可得，于是证明； ②作于，于，证，可得到为的平分线 ，利用外角即可求得； （3）连接，先求证，再根据，于是求出的面积为定值，因此得出y的值不发生改变． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，； 故答案为：，， （2）解：①如图所示： ∵，，，， ∴， ∵， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ②作于，于 ∵在和中， ， ∴， ∴， 为的平分线 ， ， ， ， ； （3）解：y的值不发生改变，理由如下： 连接，如图所示： ，，， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴， ， 故y的值不发生改变． 【题型3：轴对称中的动点问题】 【例1】如图，已知是等边三角形中边上一点，将沿直线翻折得到，连接并延长交直线于点． (1)若，则　 　． (2)若，　 　；　 　； (3)当点在运动过程中，设，求． 【答案】(1)； (2)，； (3)． 【分析】本题考查了翻折的性质，等边对等角，等边三角形的性质，掌握这些性质是解题的关键． （）根据等边三角形的性质得，然后通过折叠性质可得，从而求解； （）根据等边三角形的性质得，则有，又，则，再由三角形的外角定理求解； （）同（）理求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1-1】已知在直角三角形中，，，．动点在边上运动，过点作，垂足为点．则在点的运动过程中，的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，轴对称的性质；作点关于的对称点，过点作于点，交于点，连接，根据轴对称的性质以及垂线段最短可得的最小值为，进而根据等面积法，即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，过点作于点，交于点，连接， ∴， ∴当和重合时，， ∵ ∴的最小值为 ∵，，． ∴ ∵ ∴， 故选：B． 【变式1-2】小星学习了等腰三角形相关知识后，对等腰三角形有关性质作如下探究． 【问题解决】 （1）如图，在中，，若，则______度； 【问题探究】 （2）如图，在中，点在边上，，线段与线段关于直线对称，点的对应点为点，连接，猜想，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图，在中，，，点在上，，点，分别是，边上的动点，连接，，，当点，在运动过程中，的周长最小时，求的度数． 【答案】（）；（），理由见解析；（）的周长最小时，的度数为． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，轴对称的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解； （）由，则，又线段与线段关于直线对称，故有，从而得，然后通过角度和差即可求解； （）分别作关于直线的对称点，连接，交于点，连接，，，由的周长为，则当点共线时，的周长最小，即与重合，与重合，由对称性可知，，由，则，所以，由（）得：，又，故有，从而得，根据平角定义可得 【详解】解：（）∵，， ∴， 故答案为：； （），理由如下， ∵， ∴， ∵线段与线段关于直线对称， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （）如图，分别作关于直线的对称点，连接，交于点，连接，，， ∴，， ∵的周长为， ∴当点共线时，的周长最小，即与重合，与重合，如图， 由对称性可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由（）得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长最小时，的度数为． 【题型4：动点存在性问题】 【例1】如图（1），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； (2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)与全等，线段，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用及分类讨论的思想是解题的关键． （）由速度和时间求得，进而可得，再利用两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即可证明，由全等的性质求得，进而可得， 即； （）分两种情况讨论： 时， ， 和 时，，利用对应边相等的关系建立方程组求解即可； 【详解】（1）解：与全等，线段，理由： 当时，，， 由题意得， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：若， ∴，， ， 解得； 若， ∴，， ， 解得， 综上所述，存在或使得与全等． 【变式1-1】如图，在中，高线相交于点O，． (1)求线段的长； (2)若点F是直线上的一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t秒，则是否存在t值，使得以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的t值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，当秒或2秒时，以点B，O，P为顶点的三角形与以点F，C，Q为顶点的三角形全等． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质，适当的添加辅助线． （1）根据三角形的高得，根据角之间的关系得，用即可证明，根据边之间的关系得，即可得求出的长度，根据全等三角形的性质得，即可得； （2）由题意得，，，，分情况讨论：时，，得，进行计算即可得，时，，得，进行计算即可得． 【详解】（1）证明：∵是的高， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）存在，理由如下： 解：由题意得，，，，， 如图所示， 当时，， ∴， 解得：； 如图所示， 当时，， ∴， 解得：， 综上所述，存在，当秒或2秒时，以点B，O，P为顶点的三角形与以点F，C，Q为顶点的三角形全等． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，长方形的点坐标为，边在轴上，边在轴上，点从运动，速度为1单位长度/秒，到达点停止运动． (1)当在上运动时，直线能否将长方形的面积分为两部分，若能，求点的坐标，若不能，请说明理由； (2)经过多长时间，的面积等于长方形面积的？并求此时点的坐标． (3)是否存在点，使以点、点、点O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点D坐标为 (2) (3)存在，，或 【分析】本题主要考查长方形的性质、三角形面积计算以及等腰三角形的存在性问题，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据题意得，，求得长方形的面积为24，根据直线能否将长方形的面积分为两部分，分别求出两部分的面积分别为8和16，设，根据三角形面积公式列式求出的面积为8和16，即可解答问题； （2）分点在上、上和上三种情况结合的面积讨论求解即可； （3）分点在上、上和上三种情况结合等腰三角形的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形，且， ∴，， ∴长方形的面积为， 若直线将长方形面积分为两部分，则两部分面积分别为8和16． 设，则的面积为． 当的面积为8时，， 解得， 此时 当的面积为16时，， 解得（舍去）， 所以直线能将长方形面积分为两部分，点D坐标为； （2）解：当D在上时，的面积， 此时没有这样的； 当D在上时，设D运动的路程为t，则，则： 的底为，高为， 所以，面积为． 令， 解得， 所以，； 当D在上时，的面积为0，不符合要求． 综上，点D的坐标为； （3）解：∵， ∴； ①当时，，则，因为D在长方形边上，所以； ②当时，，，则． ③当时，则点在边的中点，即, 综上，点的坐标分别为，或． 【变式1-3】如图，直线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度运动；已知，设动点，的运动时间为． (1)当点在射线上运动时满足：：，试求点，的运动时间的值； (2)当动点在直线上运动，在射线运动过程中，是否存在某个时间，使得与全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由． 【答案】(1)当或时，满足：： (2)满足条件的的值为或 【分析】（1）作于，于，由角平分线性质得到，分两种情况：当在线段上时；当点运动到延长线上；根据：：在不同情况下列式求解即可得到结论； （2）存在，由，，分两种情况：当点在射线上时，在线段上，可知当时， ，列式求解即可；当点在射线的反向延长线上时，在线段的延长线上，当时， ，列式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示： 作于，于， 平分， ， 当在线段上时， ：：，，， ：：， ； 当点运动到延长线上， ：：：， ， 综上，当或时，满足：：； （2）解：存在． 直线，平分， ， ， ， ，， 当点在射线上时，在线段上， 由得，知， 当时， ， ， ； 当点在射线的反向延长线上时，在线段的延长线上， 由得，， 当时， ， ， ． 综上所述，满足条件的的值为或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积及角平分线的定义与性质等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题． 能力提升 一、填空题 1．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）如图，在中，，P、Q分别为边AB、AC上两个动点，在运动过程中始终保持，连结和，当值达到最小时，的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质：过点B作，且，在上截取，连接，由可证，可得，由“”可证，可得，则，即当点C，点E，点H三点共线时，有最小值，由“”可证，可得，即可求解，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 【详解】解：如图：过点B作，且，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当点C，点E，点H三点共线时，有最小值， 此时，∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点H是的中点， ∴， ∴点P与点H重合， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在等边中，E，D分别为边，上两动点，且，连接，交于点G，点F为线段上一动点，且，在运动过程中，当时，的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质．先证明，推出，，证明是等边三角形，求得，取的中点，连接，证明是等边三角形，求得，求得，推出，据此求解即可． 【详解】解：∵等边， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 取的中点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 3．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，，分别为边上两个动点，在运动过程中始终保持，连接和，当的值达到最小时，的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质：过点B作，且，在上截取，连接，由可证，可得，由“”可证，可得，则，即当点C，点E，点H三点共线时，有最小值，由“”可证，可得，即可求解，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 【详解】解：如图：过点B作，且，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当点C，点E，点H三点共线时，有最小值， 此时，∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点H是的中点， ∴， ∴点P与点H重合， ∴， ∴， 故答案为：1． 二、解答题 4．（25-26八年级上·吉林松原·阶段练习）（1）如图①，在中，已知点是内角、的平分线的交点．若，请求出的度数． （2）如图②，在中，已知点是外角、的平分线的交点．若，请直接写出的度数______． （3）如图③，在中，已知点是内角、外角的平分线的交点．请求出的与的数量关系． （4）如图④，点B在y轴负半轴向下运动，点C，D（D始终在C的右侧）在x轴右侧向右运动，是、平分线的反向延长线的交点，在运动过程中，的大小是否发生变化?如果变化直接写出角度变化范围；如果不变直接写出度数． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）不变， 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角定理，角平分线的定义，准确识图，熟练掌握三角形的内角和定理，三角形的外角定理是解决问题的关键． （1）由角平分线的定义及三角形的内角和定理得，再根据即可得出答案； （2）由角平分线的定义及邻补角定义得，再根据即可得出答案； （3）设，，由角平分线的定义得，，，由三角形的外角定理得，， 即，，据此可得出的度数与的关系式； （4）设，，由角平分线的定义得，，，，由余角和平角的定义得，，进而可得，再由外角的定义得，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵点是内角、的平分线的交点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵平分，平分， ∴，， ∵ ，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∵， ∴； （3）的度数与的关系式：，理由如下： 设，， ∵平分，平分， ∴，，， ∵，， 即，， 由，得：， 将代入，得：， 整理得：； （4）设，， ∵是、平分线的反向延长线的交点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 整理得， ∵， ∴， ∴的大小不会发生变化，． 5．（24-25七年级下·山东济南·期末）（1）【问题初探】 某兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型． 已知，，，请在图1和图2中选择一个模型证明． （2）【内化迁移】 在中，，，点D为射线上一动点（点D不与点B重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，． ①如图3，当点D在线段上时，过点E作于F，求的长度； ②如图4，连接，交直线于点M，点D在运动过程中，若，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）①；②或18 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，证明三角形全等、分类讨论是解题的关键． （1）由，得，利用即可证明； （2）①证明，则； ②过点E作交的延长线于点F，由①得，有；由面积关系得，设；分两种情况：当点M在线段上时；当点M在线段反向延长线上时；证明，则，从而利用建立关于x的方程，即可求解． 【详解】（1）证明：选择图1： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； 选择图2：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， （2）①∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； ②过点E作交的延长线于点F，如图； 由①得， ∴； ∴， ∴， ∴； 设； 当点M在线段上时，如图， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∴， ∴，， ∵，， ∴， 解得：， ∴； 当点M在线段反向延长线上时，如图， 同理得：， ∴； ∴，， ； ∵，， ∴， 解得：， ∴， 当点D在线段上的情况不存在． 综上，或18． 6．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图1，点O是直线上一点，射线从开始以每秒的速度绕点O顺时针转动，射线从开始以每秒的速度绕点O逆时针转动，当、相遇时，停止运动；将、分别沿、翻折，得到、，设运动的时间为t（单位：秒）． (1)如图2，当、重合时，； (2)当时，，当时，； (3)如图3，射线在直线的上方，且，在运动过程中，当射线、、其中一条射线是另外两条射线组成角的平分线时，求出t的值． 【答案】(1)90 (2)20，12 (3)t的值为10或或． 【分析】（1）利用折叠性质得，，再利用邻补角即可求解； （2）利用折叠性质得求出、、、的度数，即可得解； （3）根据角平分线的不同，分是的角平分线、是的角平分线、是的角平分线三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵将、分别沿、翻折，得到、， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：90； （2）解：当时， ，， ∴， 当时，如下图，，， ∴， 故答案为：20，12； （3）解：当是的角平分线时，则，如图， 由折叠可知，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 解得； 当是的角平分线时，则，如下图， 由折叠可知，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 解得； 当是的角平分线时，则，如下图， 由折叠可知，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 解得； 综上，的值为或或． 【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，邻补角的性质，折叠的性质，一元一次方程的应用，根据题意正确分类讨论是解题的关键． 7．（24-25七年级下·山东·期末）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；动点Q同时从点B出发，沿方向匀速运动，速度为．过点P作，交于点D，点D关于的对称点为E，连接，，．设运动时间为（）． 解答下列问题： (1)的长为______；（用含t的代数式表示） (2)当点B在线段的垂直平分线上时，求t的值； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由； (4)设点P到的距离为，求y与t之间的关系式． 【答案】(1) (2) (3)存在， (4) 【分析】（1）根据线段的和差列式即可； （2）根据线段垂直平分线的性质，列方程即可得到结论； （3）根据平行线的性质得到 ，根据线段垂直平分线的性质得到 ，根据全等三角形的性质即可得到结论； （4）连接，过点C作，垂足为F，根据三角的面积即可得到结论. 【详解】（1）解：∵， ， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意得，， ∵点B在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，， ∵点D，E关于对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：连接，过点C作，垂足为F， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题几何变换综合题，考查了轴对称的性质，一元一次方程，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键. 8．（24-25六年级下·山东济南·阶段练习）如图，在中，D为的中点，，．动点P从点B出发，沿方向以每秒的速度向点C运动；同时动点Q从点C出发，沿方向以每秒的速度向点A运动，运动时间是． (1)在运动过程中，当点C位于线段的垂直平分线上时，求出t的值； (2)在运动过程中，当时，求出t的值； (3)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，一元一次方程的应用，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，据此列出方程求解即可； （2）根据时，，建立方程求解即可； （3）根据时，，，建立方程求解即可说明． 【详解】（1）解：由题意得，则， 当点C位于线段的垂直平分线上时，， ∴，解得， 则当时，点C位于线段的垂直平分线上； （2）解：∵D为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， ∴当时，； （3）解：不存在，理由如下： ∵， ∴，， 则，， 解得，，， ∵， ∴不存在某一时刻t，使． 9．（24-25八年级下·四川成都·期末）已知，在等边中，点为射线上一点（点与点不重合），连接，以为边在上方作等边，连接． (1)如图，当点是边中点时，求的度数； (2)求证：； (3)如图，当动点在的延长线上时，以为边在其下方作等边，连接，求线段，，之间的等量关系式． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键． （）由是等边三角形，则，又点是边中点，可求，通过等边三角形性质可得，最后利用角度和差即可求解； （）分当点在上时（点与点不重合），当点在的延长线上时两种情况证明即可； （）证明，则，由（）知，，然后通过线段和差即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵点是边中点， ∴， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， ∴； （2）证明：当点在上时（点与点不重合）， ∵是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，即， 在和， ， ∴， ∴； 当点在的延长线上时，如图， 同理可证， ∴， 综上，； （3）解：∵是等边三角形，是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由（）知，， ∴， ∴． 10．（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）教材呈现：以下是新教材北师大版七年级下册第页《问题解决策略：转化》的部分内容．课本提到：数学的学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题．转化是解决问题的一种重要策略． 【模型一】两定一动异侧求线段和最小 如图1，在直线的两侧分别有两点，在直线上确定一个点，使得最短． 问题解决： 小明的思考过程如下：如图1，连接两点，交直线于点，此时共线，即． 在直线上另取任一点，连接，在中可知， 综上所述：．故，当共线时，即 【模型二】两定一动同侧求线段和最小 如图2，在直线的同侧分别有两点，在直线上确定一个点，使得最短． （问题转化）小颖认为：可以借助轴对称，将同侧问题转化为异侧问题．如图2，作点关于直线轴对称点，连接，交于点，由轴对称可知，则 【应用】 （1）如图3，在等边中，，是的中点，是上的一点，求的最小值； 【拓展】两动一定三角形周长最小 （2）如图4，在四边形，，在上分别找一点、，当周长最小时，求的值． 【答案】（1）6；（2） 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，轴对称最短路径问题，等边对等角，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）连接，可证明垂直平分，得到，则当三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，根据题意可得都是等边的高，则，据此可得答案； （2）分别作点A关于的对称点G、H，连接，由轴对称的性质可得，则；可证明当G、M、N、H四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，求出，则，进而可得． 【详解】解：（1）如图所示，连接， ∵是等边三角形，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，且垂线段最短， ∴当三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∵，， ∴都是等边的高， ∴， ∴的最小值为6； （2）如图所示，分别作点A关于的对称点G、H，连接， 由轴对称的性质可得， ∴； ∵的周长， ∴当G、M、N、H四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $人教版八上 重难点题型突破 培优专题 专题11 几何中动点四大题型目录 A · 重难点题型分类 题型1：三角形中的动点问题…………………………………………………… 1 题型2：全等三角形中的动点问题……………………………………………… 3 题型3：轴对称中的动点问题…………………………………………………… 5 题型4：动点存在性问题………………………………………………………… 7 B · 能力提升 ………………………………………………………………………… 10 重难点题型分类 【题型1：三角形中的动点问题】 【例1】综合与探究 提出问题： 小冉在学习中遇到这样一个问题：如图1，在中，的平分线与外角的平分线交于点．试猜想与之间的数量关系． 解决问题： （1）小冉阅读后没有任何思路，同桌小卓提醒小冉，可以尝试先代入的特殊角度，然后根据结果猜想与之间的数量关系． ①若，则________；若，则________； ②通过上面的计算，请猜测与之间的数量关系，并说明理由； 应用拓展： （2）如图2，将改成四边形，的平分线及一个外角的平分线相交于点F．若，求的度数； 深入探究： （3）如图3，在中，的平分线与外角的平分线交于点．若E是延长线上一动点，连接，与的平分线交于点Q，在点E移动的过程中，请直接写出与之间的数量关系． 【变式1-1】如图，已知，点在射线上运动，点在射线上运动．和的角平分线交于点，、分别为、上的点，和的角平分线交于点．若点A、B在运动过程中，存在中有一个角是另一个角的2倍，则的度数为 ． 【变式1-2】直线与相互垂直，垂足为点O，点A在射线上运动，点B在射线上运动，点A、点B均不与点O重合 (1)如图①，平分，平分，若，求的度数 (2)如图②，平分，平分，的反向延长线交于点D． ①若，则 度（直接写出结果，不需说理） ②点，在运动过程中，是否发生变化，若不变，试求的度数；若变化，请说明变化规律 【题型2：全等三角形中的动点问题】 【例1】题目：“如图，已知，，，动点以的速度从点出发沿边向终点移动，动点以的速度从点出发沿边向终点匀速移动，动点从点出发沿对角线向终点移动，三点同时出发，当其中一点到达终点时，其余两点也停止运动．连接，求动点的速度为多少时，存在某个时刻，使得以为顶点的三角形与全等（点与点是对应点）．”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（      ）    A．甲、乙的答案合在一起才完整 B．乙、丙的答案合在一起才完整 C．只有乙的答案正确 D．三人的答案合在一起才完整 【变式1-1】如图，在中，，，，点C在直线l上．点P从点A出发，在三角形边上沿的路径向终点B运动；点Q从B点出发，在三角形边上沿的路径向终点A运动．点P和Q分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过P和Q作于点E，于点F，则点P的运动时间等于 秒时，与全等． 【变式1-2】如图，在中，，，，，，，动点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t． (1)求； (2)求证：在运动过程中，无论t取何值，都有； (3)当t取何值时，与全等． 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于，交轴于，且、满足：． (1) ， ； (2)点为轴负半轴上一点，于，交于． ①如图1，求证； ②如图2，若，连接，求的大小； (3)如图3，若点为的中点，点为轴负半轴上一动点，连接，过点作交轴于点，设，试问：当点在运动过程中，的值是否发生改变？若改变，求出变化范围；若不改变，求的值． 【题型3：轴对称中的动点问题】 【例1】如图，已知是等边三角形中边上一点，将沿直线翻折得到，连接并延长交直线于点． (1)若，则　 　． (2)若，　 　；　 　； (3)当点在运动过程中，设，求． 【变式1-1】已知在直角三角形中，，，．动点在边上运动，过点作，垂足为点．则在点的运动过程中，的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】小星学习了等腰三角形相关知识后，对等腰三角形有关性质作如下探究． 【问题解决】 （1）如图，在中，，若，则______度； 【问题探究】 （2）如图，在中，点在边上，，线段与线段关于直线对称，点的对应点为点，连接，猜想，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图，在中，，，点在上，，点，分别是，边上的动点，连接，，，当点，在运动过程中，的周长最小时，求的度数． 【题型4：动点存在性问题】 【例1】如图（1），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； (2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【变式1-1】如图，在中，高线相交于点O，． (1)求线段的长； (2)若点F是直线上的一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t秒，则是否存在t值，使得以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的t值，若不存在，请说明理由． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，长方形的点坐标为，边在轴上，边在轴上，点从运动，速度为1单位长度/秒，到达点停止运动． (1)当在上运动时，直线能否将长方形的面积分为两部分，若能，求点的坐标，若不能，请说明理由； (2)经过多长时间，的面积等于长方形面积的？并求此时点的坐标． (3)是否存在点，使以点、点、点O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-3】如图，直线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度运动；已知，设动点，的运动时间为． (1)当点在射线上运动时满足：：，试求点，的运动时间的值； (2)当动点在直线上运动，在射线运动过程中，是否存在某个时间，使得与全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由． 能力提升 一、填空题 1．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）如图，在中，，P、Q分别为边AB、AC上两个动点，在运动过程中始终保持，连结和，当值达到最小时，的值为 ． 2．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在等边中，E，D分别为边，上两动点，且，连接，交于点G，点F为线段上一动点，且，在运动过程中，当时，的值为 ． 3．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，，分别为边上两个动点，在运动过程中始终保持，连接和，当的值达到最小时，的值为 ． 二、解答题 4．（25-26八年级上·吉林松原·阶段练习）（1）如图①，在中，已知点是内角、的平分线的交点．若，请求出的度数． （2）如图②，在中，已知点是外角、的平分线的交点．若，请直接写出的度数______． （3）如图③，在中，已知点是内角、外角的平分线的交点．请求出的与的数量关系． （4）如图④，点B在y轴负半轴向下运动，点C，D（D始终在C的右侧）在x轴右侧向右运动，是、平分线的反向延长线的交点，在运动过程中，的大小是否发生变化?如果变化直接写出角度变化范围；如果不变直接写出度数． 5．（24-25七年级下·山东济南·期末）（1）【问题初探】 某兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型． 已知，，，请在图1和图2中选择一个模型证明． （2）【内化迁移】 在中，，，点D为射线上一动点（点D不与点B重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，． ①如图3，当点D在线段上时，过点E作于F，求的长度； ②如图4，连接，交直线于点M，点D在运动过程中，若，请直接写出的长． 6．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图1，点O是直线上一点，射线从开始以每秒的速度绕点O顺时针转动，射线从开始以每秒的速度绕点O逆时针转动，当、相遇时，停止运动；将、分别沿、翻折，得到、，设运动的时间为t（单位：秒）． (1)如图2，当、重合时，； (2)当时，，当时，； (3)如图3，射线在直线的上方，且，在运动过程中，当射线、、其中一条射线是另外两条射线组成角的平分线时，求出t的值． 7．（24-25七年级下·山东·期末）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；动点Q同时从点B出发，沿方向匀速运动，速度为．过点P作，交于点D，点D关于的对称点为E，连接，，．设运动时间为（）． 解答下列问题： (1)的长为______；（用含t的代数式表示） (2)当点B在线段的垂直平分线上时，求t的值； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由； (4)设点P到的距离为，求y与t之间的关系式． 8．（24-25六年级下·山东济南·阶段练习）如图，在中，D为的中点，，．动点P从点B出发，沿方向以每秒的速度向点C运动；同时动点Q从点C出发，沿方向以每秒的速度向点A运动，运动时间是． (1)在运动过程中，当点C位于线段的垂直平分线上时，求出t的值； (2)在运动过程中，当时，求出t的值； (3)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 9．（24-25八年级下·四川成都·期末）已知，在等边中，点为射线上一点（点与点不重合），连接，以为边在上方作等边，连接． (1)如图，当点是边中点时，求的度数； (2)求证：； (3)如图，当动点在的延长线上时，以为边在其下方作等边，连接，求线段，，之间的等量关系式． 10．（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）教材呈现：以下是新教材北师大版七年级下册第页《问题解决策略：转化》的部分内容．课本提到：数学的学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题．转化是解决问题的一种重要策略． 【模型一】两定一动异侧求线段和最小 如图1，在直线的两侧分别有两点，在直线上确定一个点，使得最短． 问题解决： 小明的思考过程如下：如图1，连接两点，交直线于点，此时共线，即． 在直线上另取任一点，连接，在中可知， 综上所述：．故，当共线时，即 【模型二】两定一动同侧求线段和最小 如图2，在直线的同侧分别有两点，在直线上确定一个点，使得最短． （问题转化）小颖认为：可以借助轴对称，将同侧问题转化为异侧问题．如图2，作点关于直线轴对称点，连接，交于点，由轴对称可知，则 【应用】 （1）如图3，在等边中，，是的中点，是上的一点，求的最小值； 【拓展】两动一定三角形周长最小 （2）如图4，在四边形，，在上分别找一点、，当周长最小时，求的值． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $