专题08 二次函数（知识必备+11大重难题型+过关验收）（期末复习讲义）九年级数学上学期北师大版

该初中数学二次函数期末复习讲义通过表格系统梳理核心考点，按“基础概念-性质图象-解析式-应用拓展”分层构建知识体系，用对比表格呈现不同形式二次函数的图象性质，思维导图串联平移变换与对称规律，突出数形结合思想和重难点内在联系。 讲义亮点在于“题型+思想”双轨练习设计，如最值问题结合利润、面积实际情境培养模型意识，综合题融入动态几何发展推理能力。分层设置基础通关、重难突破、综合拓展练习，适配不同学生需求，助力教师实施精准分层教学提升复习效率。

专题08 二次函数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 基础概念与性质 掌握二次函数的核心定义，明晰二次函数的图像与性质，结合图像快速判断开口方向、对称轴、顶点等特征；能通过图像分析函数的增减性。 必考点，多以选择、填空题形式出现，考查内容包括二次函数的定义判断、解析式形式辨析、开口方向与大小、对称轴与顶点坐标的计算、增减性判断等。 解析式 熟练掌握三种解析式形式及转化，能根据已知条件灵活转化三种形式，实现“知式求点”“知点求式”。 高频中档考点，可出现在填空、解答题中，核心是根据已知条件选择合适的解析式形式求解。 图像变换 掌握二次函数图像的变换规律，要求能根据原函数解析式和变换方式求新函数解析式，或描述原函数到新函数的变换路径。 高频重点，多以选择题或填空题形式出现，考查对“平移、翻折”变换规律的理解。重点是“左加右减、上加下减”的平移规律应用。 最值问题 能从实际问题中抽象出二次函数模型，解决利润最值、面积最值等。 核心考点，可单独出解答题，也可融入综合题中，分为代数最值和实际应用最值两类。 一元二次方程关系 理清二次函数与一元二次方程的关系，能通过函数图像求一元二次方程的近似解。 常结合图象出现，考查抛物线与x轴的交点个数判断、根据交点坐标求解析式、通过函数图像求一元二次方程的近似解等，侧重数形结合思想的应用。 综合应用 能综合运用二次函数的性质、图像变换、与一元二次方程的关系等知识解决综合性问题，能通过观察、归纳、推理发现函数规律，提升数形结合、转化与化归的数学思想运用能力。 高频难点，多以压轴解答题形式出现，分值较高，考查多个知识点的综合运用。 知识点01 二次函数的概念 一般地，形如y=ax²+bx+c (其中a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中，x是自变量，a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项。 知识点02 二次函数的图象与性质 1.二次函数的图象与性质 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，当x=时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，当x=时 时y有最大值. 增 减 性 a>0 在对称轴x=的左边y随x的增大而减小，在对称轴x=的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴x=的左边y随x的增大而增大，在对称轴x=的右边y随x的增大而减小. 2.二次函数的图象变换 （1）二次函数的平移变换 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 （2）二次函数图象的翻折与旋转 变换前 变换方式 变换后 口诀 y=a(x-h)²+k 绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变 绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号 沿x轴翻折 y= -a(x-h)²-k a、k变号，h不变 沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、h不变，h变号 （3）二次函数的对称性问题 1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=的差的绝对值相等； 2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称； 3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图象于x轴对称. 3.二次函数与a，b，c之间的关系 关系 符号 图象特征 a决定抛物线的开口方向 a>0 开口向上 |a|越大，抛物线的开口小． a<0 开口向下 a、b共同决定抛物线对称轴的位置 b=0 对称轴是y轴 ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异 ab<0((a，b异号)) 对称轴在y轴右侧 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c=0 抛物线经过原点 c>0 抛物线与y轴交于正半轴 c<0 抛物线与y轴交于负半轴 由b²-4ac 确 定抛物线与x轴交点的个数 b²-4ac>0 抛物线与x轴有两个交点 b²-4ac=0 抛物线与x轴有一个交点 b²-4ac＜0 抛物线与x轴没有交点 知识点03二次函数解析式的确定 名称 解析式 适用范围 一般式 y=ax²+bx+c (a≠0) 已知抛物线上的无规律的三个点的坐标 顶点式 y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k） 已知抛物线的顶点坐标或对称轴、最值 交点式 y＝a（x–x1）（x–x2） (a≠0) 已知抛物线与x 轴两交点坐标 相互联系 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法. 知识点04 二次函数的应用 一、用二次函数解决实际问题的一般步骤 1.审：仔细审题，理清题意； 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 二、方法技巧总结 1.利用二次函数解决面积最值：利用图形面积公式构造关于x的二次函数,利用二次函数图象的顶点坐标求出最值，注意解题时必须结合自变量的取值范围和函数的增减性确定最值 2.抛物线形问题：将实际问题转化为数学问题,建立函数模型,利用二次函数的性质解决问题 3.销售利润问题：根据“利润=(售价-进价)×销量列出函数解析式,利用二次函数的性质求最值 4.利用二次函数解决动点问题：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算． 5.利用二次函数解决存在性问题：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该 知识点05 二次函数与一元二次方程 1.二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的解就是二次函数y=ax2＋bx＋c=0图象与 x 轴交点的横坐标. b2-4ac与 0的关系 二次函数与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0根的情况 b2-4ac>0 2个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac=0 1个交点 有一个不相等的实数根 b2-4ac<0 0个交点 没有实数根 2.二次函数与不等式的关系（以a大于0为例） 不等式以a大于0为例 图象 观察方法 解集 ax2＋bx＋c>0 的解集情况 函数y=ax²+bx+c的 图象位于x轴上方时 对应的自变量的取值 范围 x<x1或x>x2 ax2＋bx＋c<0 的解集情况 函数y=ax²+bx+c的 图象位于x轴下方时 对应的自变量的取值 范围 x1<x<x2 题型一 二次函数的概念 【典例1-1】（24-25九年级上·山西晋中·期末）下列函数关系式中，一定是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的概念，掌握相关知识是解题的关键．形如的函数即为二次函数，据此进行判断即可． 【详解】解：A、中当时．y是x的一次函数，则A不符合题意； B、不是二次函数，则B不符合题意； C、是二次函数，则C符合题意； D、是一次函数，则D不符合题意； 故选：C． 【典例1-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）若关于的函数是二次函数，则的值为（    ） A．0 B．2 C．或2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义得出且，求出即可． 【详解】解：关于的函数是二次函数， 且， 解得：， 故选：B． 【典例1-3】（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则y与x的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解题关键．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则与墙平行的一边长为，即可得到解析式． 【详解】解：设矩形与墙垂直的一边长为，面积为， 则y与x的函数关系式是， 故选：D． 【变式1-1】（24-25九年级上·安徽亳州·期末）已知是二次函数，则（   ） A．0 B．1 C． D．1或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义可得且，从而可得答案． 【详解】解：∵是二次函数， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式1-2】（24-25九年级上·天津河西·期末）一矩形绿地的长和宽分别为和，如果长和宽各增加了，则扩充后绿地的面积与之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的实际应用问题．根据题意列出y与x的关系式可得答案． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 【变式1-3】（24-25九年级上·广东肇庆·期末）二次函数的常数项为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据常数项是指不含字母的项，即可解答． 【详解】解：二次函数的常数项为， 故答案为：． 题型二 二次函数的图象与性质 【典例2-1】（24-25九年级上·安徽池州·期末）抛物线的对称轴是（　　） A．直线 B．直线 C．轴 D．直线 【答案】C 【分析】本题考查了一般式中抛物线的对称轴公式，熟知对称轴公式是解题的关键．根据对称轴公式为即可获解． 【详解】解：根据对称轴公式，又，可得对称轴为直线，即对称轴为轴． 故选：． 【典例2-2】（25-26九年级上·浙江温州·期末）抛物线经过，，三点，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据三个点的横坐标分别计算出它们所对应的纵坐标，根据计算结果比较大小． 【详解】解： 抛物线， 对于点 ， 有； 对于点 ， 有； 对于点 ， 有； ， ， 即 ． 故选：D． 【典例2-3】（25-26九年级上·浙江温州·期末）已知抛物线，当时，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解． 【详解】解：∵，， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴函数最大值为3， 将代入得， 将代入得， ∴当时，， 故答案为：． 【变式2-1】（24-25九年级上·江苏徐州·期末）二次函数的图象的开口向 ． 【答案】下 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解题关键是掌握二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线开口向上；当时，抛物线向下开口．由即可判断开口方向． 【详解】解：二次函数，， 则图象的开口向下， 故答案为：下 【变式2-2】（24-25九年级上·吉林松原·期末）抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据的顶点坐标为，进行作答即可． 【详解】解：依题意，的顶点坐标是， 故答案为： 【变式2-3】（25-26九年级上·内蒙古通辽·期末）若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比较二次函数的函数值大小，先确定二次函数的开口方向和对称轴，然后计算各点与对称轴的距离，根据开口向下时距离对称轴越远函数值越大的性质，判断函数值的大小关系． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵点，，都在二次函数的图象上， ∵，， ∴， 故答案为：． 题型三 根据二次函数的图象判断式子符号 【典例3-1】（25-26九年级上·河南安阳·期末）二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握函数各项系数对图像的影响是解题的关键． 根据二次函数图像的开口方向，对称轴位置，与y轴交点，以及时的函数值，判断的符号和的符号． 【详解】解：函数开口向下， ， 函数对称轴为直线， ， 函数图像与y轴交于负半轴， 当时，， ， 根据图像可知当时，． 故选：C． 【典例3-2】（25-26九年级上·湖北·期末）已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：：：若为任意实数，则有：点在抛物线上时，方程的两根为，则，其中正确的结论的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题考查了根据二次函数的图象判断式子符号，二次函数的图象性质，二次函数图象与各项系数符号，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据对称轴为直线，得， 结合函数图象，得当时，，且，得，当时，取得最小值，即，得二次函数与直线的一个交点为，即，，则，即可作答． 【详解】解：观察函数图象，得抛物线开口向上， ， 二次函数图象的对称轴为直线，即， ，故符合题意； 观察函数图象，当时，， ， 而， ， ， ，故符合题意； 时，取得最小值， （为任意实数）， ， 即，故符合题意； 点在抛物线上时，方程的两根为， 二次函数与直线的一个交点为， 二次函数图象的对称轴为直线， 二次函数与直线的一个交点为， 即，， ，故符合题意； 故选：D． 【典例3-3】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，抛物线的对称轴为直线．下列说法：①；②；③当时，y随x的增大而减小；④（t为任意实数）．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题考查的是二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数性质是解题关键，①分别判断a、b、c的符号，再判断的符号；②由对称轴为直线，可知a与b的数量关系，消去b可得仅含a、c的解析式，找特定点可判断的符号；③利用二次函数的性质即可判断；④用a与b的数量关系，可将原式化简得到关于t的不等式，再用函数的性质（t为全体实数）判断． 【详解】解：①因图象开口向下，可知：； 又∵对称轴为直线， ∴，整理得：，即a、b同号． 由图象可知，当时，， 又∵对称轴为直线，可知：当时，； 即； ∴，故①正确． ②由①得：． 代入原解析式得：； 由图知，当时，，即， ∴，故②正确． ③∵抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而减小． ∴当时，y随x的增大而减小，故③正确． ④设，则， ∴两边加c得到， ∴不等式左侧为时的函数值为最大值，右侧为时的函数值，则不成立，故④错误． 综上，①②③正确，共3个． 故选：C． 【变式3-1】（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，；则下列结论错误的是（    ） A． B．若点，在抛物线上，则 C． D．对任意实数m，均成立 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，根据抛物线与轴相交于点，，求出其对称轴，再由抛物线的开口方向，结合二次函数的性质即可判断得解． 【详解】解：抛物线与轴相交于点，， 对称轴是直线． ． ． 又图象可得，，， ． ，故A正确，不符合题意； 抛物线开口向上， 抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． 又， ，故B错误，符合题意； ∵函数图象与x轴有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴，故C正确，不符合题意； 对称轴是直线，且抛物线开口向上， 当时，取最小值为． 对于任意的，当时，函数值． ，故D正确，不符合题意； 故选：B． 【变式3-2】（24-25九年级上·广东茂名·期末）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：由图象可知，，， ∴， ∴，故①正确； 根据抛物线与x轴有两个交点， ∴，故②正确； 根据图象知对称轴为直线，则 ∴ ∴故③正确； ∵对称轴为直线 ∴当和时，函数值相等 根据函数图象可得当时，， ∴当时， ∴即，故④错误； ∴当时，故⑤不正确． 故选：B． 【变式3-3】（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图是二次函数图象的一部分，图象过点，与y轴交于点C，对称轴为．给出五个结论：①；②；③；④当时，；⑤若，点P是抛物线对称轴上一点，则周长的最小值为，其中正确结论的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、用勾股定理解三角形 【分析】本题可根据二次函数的图象与性质，分别对五个结论进行分析判断．本题主要考查了二次函数的图象与性质，勾股定理，熟练掌握二次函数的对称轴、与轴交点个数与判别式的关系以及最短路径问题是解题的关键． 【详解】解：抛物线与轴有两个交点 ，即，故①正确 对称轴为 ，即，，故②错误 当时， ，故③错误 抛物线开口向下， 当时， ，， 又， 无法确定与的大小关系，故④错误 抛物线的对称轴为， 点关于对称轴的对称点为 的周长为 的周长的最小值为 ， 的周长的最小值为，故⑤正确 综上，正确的结论有①⑤，共个 故选：A． 题型四 二次函数图象与一次函数图象、反比例函数图象综合判断 【典例4-1】（24-25九年级上·河南安阳·期末）若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则二次函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象，熟练掌握一次函数与二次函数的图象特征是解题关键．先根据一次函数的图象可得，再得出二次函数的图象的开口向下，与轴的交点位于与轴的负半轴上，由此即可得． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴二次函数的图象的开口向下，与轴的交点的纵坐标为，即与轴的交点位于与轴的负半轴上， 观察四个选项可知，只有选项A符合， 故选：A． 【典例4-2】（24-25九年级下·山东潍坊·期末）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A．B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断、反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，首先根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案． 【详解】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故， 则反比例函数的图象在第二、四象限， 一次函数经过第一、三、四象限， 故选：A． 【典例4-3】（24-25九年级上·广东·期末）抛物线与双曲线的图象如图所示，当时，x的取值范围是 ． 【答案】或 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题主要考查了反比例函数与二次函数综合，根据函数图象找到二次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可得当时，x的取值范围是或， 故答案为：或． 【变式4-1】（24-25九年级上·山东潍坊·期末）已知一次函数图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了一次函数，二次函数图象的综合．根据一次函数图象，得到，，判定二次函数图象即可． 【详解】解：观察一次函数图象可知：，， 则， ∴二次函数的图象开口向下，且与y轴的交点在y轴正半轴，对称轴在y轴的左侧． 只有选项A符合题意， 故选：A． 【变式4-2】（24-25九年级上·广西百色·期末）如图，已知二次函数的图象与正比例函数的图象在第一象限交于点．当时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了二次函数和正比例函数的性质，解题的关键是注意利用数形结合的思想． 利用已知函数图像得出在下方时，x的取值范围即可． 【详解】如图所示：若，则二次函数图像在一次函数图像的下面， 此时x的取值范围是：． 故选：A． 【变式4-3】（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）二次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查抛物线、反比例函数的图象性质，利用数形结合思想求解是解题的关键． 可先由二次函数的图象开口与对称得到字母系数的正负，得到的正负，再与反比例函数的图象所在象限得到的正负相比较是否一致，即可求解． 【详解】解：A、由抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，可得，，所以，则，由反比例函数图象在第一、三象限，则，故此选项不符合题意； B、由抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，可得，，所以，则，由反比例函数图象在第一、三象限，则，故此选项不符合题意； C、由抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，可得，，所以，则，由反比例函数图象在第二、四象限，则，故此选项不符合题意； D、由抛物线开口向下，对称轴在y轴左侧，可得，，所以，则，由反比例函数图象在第一、三象限，则，故此选项符合题意； 故选：D． 题型五 二次函数的平移、对称问题 【典例5-1】（24-25九年级上·北京通州·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)求此二次函数图象的对称轴； (2)若二次函数的图象上存在两点，，其中，，且，求m的取值范围． 【答案】(1)此二次函数图象的对称轴是直线 (2) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，较难的是题（2），正确设二次函数的顶点式是解题关键． （1）先求出二次函数经过点和，再根据二次函数的对称性求出对称轴即可得； （2）先根据（1）设二次函数的解析式为，再求出，判断出，，从而可得，据此建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】（1）解：对于二次函数， 当时，， ∴这个二次函数的图象经过点， 又∵这个二次函数的图象经过点， ∴此二次函数图象的对称轴是直线． （2）解：由（1）可设二次函数的解析式为， ∵这个二次函数的图象上存在两点，， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【典例5-2】（24-25九年级上·山东临沂·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线顶点坐标； (2)在（1）的条件下，把二次函数的图象向左平移1个单位，得到新的二次函数图象，当时，求新的二次函数的最大值与最小值； (3)已知和是抛物线上两点，若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)或 【知识点】二次函数图象的平移、y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题考查二次根式的图象和性质，二次函数图象的平移，熟练运用数形结合和分类讨论思想是解题的关键． （1）将代入解析式，再将解析式变形为顶点式，即可得出顶点坐标； （2）根据平移方式求出平移后的解析式，求出对称轴，根据x的取值范围可得y的最值； （3）先求出对称轴为：直线，再分和两种情况，根据抛物线的增减性分别求解即可． 【详解】（1）解：当时，抛物线的解析式为， ， 该抛物线的顶点为； （2）解：由题意知，抛物线的解析式， 当抛物线向左平移1个单位，抛物线的解析式为， 即， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时， 时，二次函数有最大值，最大值为：， 时二次函数有最小值，最大值为：； （3）解：抛物线的对称轴为：直线， 当时，抛物线开口向上，对称轴右侧，y随x的增大而增大， 若对于，，都有， 则， ∴， ∴； 当时，抛物线开口向下，对称轴右侧，y随x的增大而减小， 对称轴为：直线， ∴在抛物线上的对称点为， 若对于，，都有， 则， 的取值范围为：或． 【变式5-1】（23-24九年级上·广东湛江·期末）已知二次函数的图象如图所示． (1)用配方法求该函数图象的顶点坐标和对称轴． (2)结合函数图象，直接写出当时的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标为，对称轴为直线； (2)或． 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、图象法解一元二次不等式 【分析】（）利用配方法把二次函数解析式转化为顶点式即可求解； （）利用对称性求出抛物线与轴的另外一个交点坐标，再观察函数图象即可求解； 本题考查了二次函数的顶点式，二次函数与不等式，运用配方法把二次函数解析式转化为顶点式是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； （2）解：根据函数的对称性，抛物线和轴的另外一个交点坐标为， 观察函数图象知，当时，的取值范围为或． 【变式5-2】（24-25九年级上·福建莆田·期末）已知抛物线过点，顶点为．抛物线 ． (1)求的值和点的坐标． (2)求证：无论为何值，将的顶点向左平移2个单位长度后一定落在上． 【答案】(1)， (2)见解析 【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、坐标的平移，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可得出，从而得出抛物线的解析式，再化为顶点式即可得解； （2）求出平移后的坐标为，再求出当时，的值，即可得证． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴抛物线， ∴； （2）证明：将向左平移个单位长度得到对应点的坐标为， 当时，， ∴在抛物线上． 【变式5-3】（24-25九年级上·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数且）． (1)若，求抛物线的顶点坐标； (2)已知和两点在抛物线上，且，当时，都有，求的取值范围． (3)已知二次函数，当时，的取值范围为，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的对称性求函数值、利用不等式求自变量或函数值的范围 【分析】本题考查二次函数的性质，待定系数法求解析式； （1）先求出二次函数的解析式为，再配方求顶点坐标即可； （2）由可得，得到抛物线的解析式为，对称轴为，当根据时， 和都在右侧， 当时， 在对称轴左侧，在对称轴右侧，最后利用增减性求解即可； （3）设过和，且，则方程有解，得到，当时，当时，的取值范围为，得到，，对称轴为直线，整理得， 代入得解不等式即可； 当时，开口向下，当时，的取值范围为或，与矛盾，不合题意． 【详解】（1）解：若，，则二次函数的解析式为， 配方得：， 抛物线的顶点坐标为； （2）解：， ， 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为，与轴交点为，， 当时，开口向上，时随的增大而增大， ∵，在抛物线上， ∴， ∴和都在右侧， ∵当时，都有， ∴， 解得， 此时； 当时，开口向下，时随的增大而减小， ∴， ∴在对称轴左侧，在对称轴右侧， ∵关于对称轴的对称点为， ∵当时，都有， ∴， 解得， 此时； 综上所述，或； （3）解：设过和，且， ∴方程有解， ∴， 当时，开口向上， ∴当时，的取值范围为， ∵当时，的取值范围为， ∴，， 即过和， ∴对称轴为直线， 整理得， 把代入得，解得或； 此时； 当时，开口向下， ∴当时，的取值范围为或， ∵当时，的取值范围为， ∴不合题意， 综上所述，． 题型六 二次函数的最值问题 【典例6】（24-25九年级上·安徽安庆·期末）如图，已知抛物线经过点． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)当时，求y的最小值． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为； (2)当时，y的最小值是． 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数解析式，二次函数的顶点式，函数最值问题，熟练掌握二次函数解析式，二次函数的顶点式是解题的关键． （1）将代入即可求得m的值，再将抛物线的一般式化为顶点式，即可得出抛物线的顶点坐标； （2）二次函数的顶点式得抛物线开口向下，分别计算端点值和对称轴出的值，然后比较即可． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）∵， ∴抛物线开口向下，有最大值， 当时，， ∵当时，， 当时，， ∵， ∴当时，y的最小值是． 【变式6-1】（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知二次函数（为常数，且）． (1)当时， ①求函数图象的顶点坐标； ②当时，求的取值范围； (2)当时，． ①若，求的最小值； ②若，求的最大值． 【答案】(1)①；② (2)①的最小值为；②的最大值为1 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）①依据题意，将代入二次函数解析式，即可判断得解； ②依据题意，结合①中的解析式，然后再结合二次函数的图象与性质进行求解即可； （2）①根据，以及开口方向向下进而可以判断得解； ②根据得出抛物线的开口方向向上，再结合抛物线的性质进行计算即可． 【详解】（1）解：当时， ∴． ①∵， ∴函数图象的顶点坐标为； ②由①得抛物线的对称轴为直线，且开口向上， 又∵， ∴当时，，当时，， ∴此时y的取值范围是：； （2）解：由得， 抛物线与x轴的交点坐标为和． ∴对称轴是直线． ∴当时，； 当时，；当时，， ①当时，抛物线开口向下． 又当时，则， ∴此时二次函数在顶点处取得最大值为． ∴，则． 当时，则， ∴， ∴． ∴若，a的最小值为； ②当时，抛物线开口向上， ∴． ∵当时，， ∴． ∴． ∴若，a的最大值为1． 【变式6-2】（24-25九年级上·江苏南通·期末）已知平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于点． (1)若将点向右平移4个单位，再次落在该函数的图象上，则的值为____________； (2)在（1）的条件下，若点，均在该函数的图象上，且，求的取值范围； (3)当时，这个二次函数的最小值为3，求的值． 【答案】(1)2 (2) (3)或5 【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题主要考查了二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化——平移，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由二次函数的图象交轴于点，可得，又将点向右平移4个单位得到，故此时在二次函数上，从而计算得解； （2）依据题意，由点，在二次函数的图象上，从而，，结合，故，进而计算可以得解； （3）依据题意，分当、和进行分类讨论，进而计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意，二次函数的图象交轴于点， ， 将点向右平移4个单位得到， 又此时在二次函数上， ， ， 故答案为：2； （2）解：∵点，在二次函数的图象上， ，         ，         ， ，         ． （3）解：①当时， 二次函数在的范围内随的增大而增大， 当时，的最小值为3． ， 解得，（舍去）；         ②当时， 二次函数的最小值为，不合题意，舍去；         ③当时， 二次函数在的范围内随的增大而减小， 当时，的最小值为3． ， 解得（舍去），． 综上可知，的值为或5． 【变式6-3】（24-25九年级上·浙江台州·期末）已知，一次函数的图象上有一点，反比例函数经过A点． (1)当时， ①若，求反比例函数的解析式； ②求k的最大值． (2)当时，k随着m的增大而减少，求此时a的范围． 【答案】(1)①；② (2) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，二次函数的最值问题，二次函数图象的性质： （1）①利用一次函数解析式求出点A的坐标，再利用待定系数法求解即可；②利用一次函数解析式求出点A的坐标，再利用待定系数法用m表示出k，进而利用二次函数的性质求解即可； （2）仿照（1）②用含a、m的式子表示出k，再利用二次函数的性质讨论求解即可． 【详解】（1）解：①当时，一次函数解析式为， 当时，点A的坐标为， 在中，当时，， ∴点A的坐标为， 把代入到中得，解得， ∴反比例函数解析式为； ②当时，一次函数解析式为， ∴， ∴ 把代入到中得， ∴， ∵， ∴当，即时，k有最大值，最大值为； （2）解：∵一次函数的图象上有一点， ∴， ∴ 把代入到中得， ∴， 当时，则当时，k随着m的增大而减少， ∵当时，k随着m的增大而减少， ∴， ∴，此时不符合题意； 当时，则当时，k随着m的增大而减少， ∵当时，k随着m的增大而减少， ∴， ∴； 综上所述，． 题型七 待定系数法求二次函数解析式 【典例7-1】（24-25九年级上·福建泉州·月考）如图，已知二次函数的图象经过三点．求二次函数的表达式． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．由图象可得，，代入得到三元一次方程组，求解方程组得出a、b、c的值即可解答． 【详解】解：由图象可得，， 把分别代入二次函数表达式，得， 解得， 二次函数的表达式为． 【典例7-2】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）已知二次函数的图象的顶点坐标为，且经过点，求该二次函数的解析式． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，由顶点设二次函数的解析式为，再把代入计算即可． 【详解】解：设该二次函数的解析式为． 该二次函数的图象经过点， ， ， 该二次函数的解析式为． 【变式7-1】（24-25九年级上·黑龙江七台河·期末）已知抛物线（是常数，）． (1)若此抛物线的图象经过点和，求此抛物线的解析式； (2)若，当时，函数随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了求二次函数解析式，二次函数的性质； （1）将和代入函数表达式即可； （2）根据解析式得出抛物线的对称轴为直线，进而根据二次函数性质即可求解． 【详解】（1）解：将和代入函数中， 得： ， 解得 ， 故函数表达式为：； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线 ∵当时，函数随x的增大而增大 ∴，且 ∴a的取值范围为 【变式7-2】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数图象的顶点坐标为，且经过点． (1)求该二次函数表达式； (2)直接写出y随x的增大而减小时x的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】主要考查的是二次函数的性质，求二次函数解析式． （1）把代入中求出a即可得到抛物线解析式； （2）根据抛物线的对称轴即可得到结论； 【详解】（1）解：∵二次函数图象的顶点坐标为， ∴设二次函数表达式为， 把代入， 得， 解得， 所以二次函数表达式为； （2）∵，抛物线的开口向下， 抛物线的对称轴为， ∴当y随x的增大而减小时x的取值范围． 【变式7-3】（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为，与轴其中一个交点坐标为． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，请结合图象直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题主要考查了求二次函数解析、二次函数的性质、确定x的取值范围等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）先根据二次函数图像得求得抛物线与x轴的交点坐标，然后结合函数图象即可确定的取值范围． 【详解】（1）解：该抛物线的顶点坐标为， 设该二次函数表达式为 将，代入得：；即 将代入得：． （2）解：∵二次函数的解析式， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵与轴其中一个交点坐标为． ∴与轴其中一个交点坐标为． 由函数图象可得当时，的取值范围为． 题型八 二次函数与一元二次方程、不等式 【典例8-1】（24-25九年级上·广东中山·期末）【阅读材料】解一元二次不等式： ． 解：设 ，解得：，，则抛物线 与x轴的交点坐标为和 ． 画出二次函数 的大致图象 （如图所示）， 由图象可知：当或时函数图象位于x轴上方，此时，即 ，所以一元二次不等式． 的解集为：或． 通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题： 【数学理解】（1） 请直接写出一元二次不等式． 的解集； 【拓展探索】（2） 用类似的方法解一元二次不等式： ． 【答案】（1）；（2）或 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式组的关系、二次函数的图象、抛物线与x轴的交点坐标、一元二次方程的解法等知识点，理解二次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据题干提供的思路求出一元二次不等式的解集即可； （2）先求出的解，根据a的值确定抛物线的开口向上，再找出抛物线与x轴相交的两点，大致画出画出抛物线，根据确定一元二次不等式的解集即可． 【详解】解：（1）一元二次方程的解为，， 由图象可知：当时函数图象位于x轴下方，此时，即 ， ∴一元二次不等式的解集为：． （2）设 ， 解得：，， 则抛物线与x轴的交点坐标为和 ， 画出二次函数 的大致图象，如图所示： 由图象可知：当或时函数图象位于x轴上方，此时，即 ， ∴一元二次不等式的解集为：或． 【典例8-2】（24-25九年级上·北京昌平·期末）如图，现有8m长篱笆和一段墙，围成区域为等腰时面积为，围成区域为矩形时面积为，其中，统计数据如下表所示： … 0.5 1 2 3 4 4.5 5 7 7.5 … … 0.998 1.984 3.873 5.562 6.928 7.441 7.806 6.778 5.220 … … 1.875 3.5 6 7.5 8 7.875 7.5 1.875 … (1)表格中______； (2)在平面直角坐标系中，已经绘制的图象和图象上的部分点，补全的图象； (3)根据图象，完成下列填空： ①当______时，； ②当______时，． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；② 【知识点】画y=ax²+bx+c的图象、图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】（1）当时，计算出矩形的宽，进而可得矩形的面积； （2）描点、连线即可； （3）①观察两个函数图象的交点，看横坐标的取值即可： ②)结合（1）得到的结论及函数图象，可得当x约为多少时， 【详解】（1）解:(1)当时，， ∴. 故答案为：； （2） （3）（3）①观察两个函数图象的交点，此时两个图形的面积相等，所对应的x的值约为4.7 故答案为：4.7； ②结合（1）得到的结论及函数图象，可得当x约为7.1m时，， 故答案为：； 【变式8-1】（24-25九年级上·重庆长寿·期末）某班的“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请你帮他们补充完整． (1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： … 0 1 2 3 4 … … 0 0 0 … 其中，______； (2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点、连线，画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分； (3)探究与应用： ①若关于的方程有四个实数根，则的取值范围是______； ②结合图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；②或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）直接将代入函数解析式中求解即可； （2）根据表格数据描点、连线即可画出函数另一部分图象； （3）①根据函数图象与x轴的交点个数以及最小值，得到函数的图象与直线有4个交点时的取值范围可得答案； ②在同一直角坐标系中画直线，根据图象，求得函数的图象位于直线的下方的点的横坐标的取值范围即可． 【详解】（1）解：当时，，即； 故答案为：； （2）解：描点、连线，如图： （3）解：①由图象知，函数有最小值，且与x轴有3个交点， ∴当函数的图象与直线有4个交点时，， 则方程有4个实数根时，的取值范围是； 故答案为：； ②当时，由得或， 直线与函数有两个交点和， 同一直角坐标系中画直线，如图， 由图可知，当时，由得或， 直线与函数有两个交点和， 故当或时，函数的图象位于直线的下方， ∴不等式的解集是或． 【变式8-2】（24-25九年级上·江苏镇江·期末）已知和是关于x的一元二次方程的两个实数根，二次函数图像与y轴交点的纵坐标为6． (1)求该二次函数的表达式及顶点坐标； (2)若点M、N是二次函数图像上的两点，请比较p与q的大小； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题主要考查了求二次函数的关系式，二次函数图像与性质， （1）先设二次函数的交点式，再将点B坐标代入即可得出答案； （2）根据两个点的横坐标与对称轴的的大小关系，即可判断答案； （3）求出时x的值，再根据二次函数的增减性得出答案． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式是， ∵抛物线与y轴的交点的纵坐标为6， ∴抛物线经过点， 即， 解得：， ∴抛物线的解析式是， 则，顶点坐标为； （2）解：∵， ∴抛物线开口向下，有最大值，离对称轴越远函数值越小. ∵，， ∴， ∴； （3）解：当时，， 解得． 当时，． 题型九 二次函数与x轴交点问题 【典例9-1】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）抛物线的顶点坐标为，且图像经过点． (1)求函数解析式． (2)求抛物线与坐标轴交点坐标． 【答案】(1) (2)与y轴的交点坐标为，与x轴无交点 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了待定系数法求抛物线解析式． （1）设顶点式，然后把代入求出即可得到抛物线解析式； （2）通过解方程得抛物线与轴的交点坐标；计算自变量为0时的函数值得到抛物线与轴的交点坐标． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 把代入得，解得， 所以抛物线解析式为； （2）解：当时，， 整理：，无实数解， 故抛物线与轴无交点， 当时，，则抛物线与轴的交点坐标为． 【典例9-2】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求二次函数的解析式； (2)求二次函数图象与轴，轴的交点坐标． 【答案】(1) (2)和； 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）根据解析式求二次函数图象与轴，轴的交点坐标． 本题考查了待定系数法，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点和点． ∴， 解得， ∴． （2）解：由， 当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为； 当时，， 解得， ∴抛物线与x轴的交点坐标为和． 【变式9-1】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知二次函数（，，是常数，且）． (1)若，函数图象过点． ①用含的代数式表达； ②求证：不论为何值，该函数图象与轴一定有两个交点． (2)若，点和在抛物线上，对称轴为直线，，求的取值范围． 【答案】(1)①；②见详解； (2) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． (1) ①将代入，得，即可得； ②令，可得，即一元二次方程有两个不相等的实数根，进而可得结论． (2)由题意可得，求出h的取值范围即可． 【详解】（1）解∶①， ， 将代入， 得， ； ②证明∶令， ， ， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 不论b为何值，该函数图象与轴一定有两个交点； （2）解∶，点和在抛物线上， 对称轴为直线，， ， 解得， 的取值范围为． 【变式9-2】（24-25九年级上·山东德州·期末）设二次函数（，是常数）． (1)判断该二次函数图象与轴的交点的个数，说明理由； (2)若该二次函数图象的对称轴是直线，求这个函数图象与轴交点的坐标； (3)若，在这个函数的图象上，且．这个二次函数图象与轴的一个交点的横坐标，求的取值范围． 【答案】(1)二次函数图象与轴的交点的个数有两个或一个，见解析 (2)， (3)或且 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，二次函数的图像和性质等知识． （1）根据函数的交点与一元二次方程的关系，利用一元二次方程根的判别式求解即可． （2）由对称轴得出，代入函数解析式即可求出次函数为，然后求出当时，必的值即可得到函数图象与x轴交点的坐标； （3）由已知可知二次函数与x轴交点为、，根据一元二次方程根与系数的关系可得，结合．得，在分类讨论，即可得出结论． 【详解】（1）解：设  ∴， ∵ ∴方程有两个不相等实数根或两个相等实根． ∴二次函数图象与轴的交点的个数有两个或一个． （2）解：∵二次函数图象的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴二次函数为， 令，则， 解得，， ∴这个函数图象与轴交点的坐标为， （3）解：∵，在这个函数的图象上，且． ∴，即， 当时，，得二次函数与轴交点为、， ∴ 当时，由，得，即，即． 当时，由，得，即，即． ∴或且． 题型十 二次函数的实际应用 【典例10-1】（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）如图，某中学为培养学生的综合实践能力，准备在学校围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长度为的篱笆围成．如图，墙长为，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为．请列出方程并解答． (1)若苗圃园的面积为，求x的值； (2)当x为多少时，苗圃园的面积最大，最大面积是多少． 【答案】(1)x的值为9； (2)当时，苗圃园的面积S取最大值，最大值为 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）根据苗圃园的面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合墙长为，即可确定结论； （2）依据题意，结合（1）可得，苗圃园的面积，又，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：根据题意得：， ， ， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：x的值为9； （2）解：由题意，结合（1）可得，苗圃园的面积 墙长为 ． ． 又， 当时，苗圃园的面积S取最大值，最大值为． 【典例10-2】（24-25九年级上·广东汕头·期末）如图，在中，，，点是的中点，将直角三角板的直角顶点绕点旋转，三角板的两条直角边与、分别交于点、（不与端点重合），连接． (1)判断在旋转过程中与的数量关系？并说明理由； (2)求动态线段的最小值． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数)、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质求解、等腰三角形的定义 【分析】（1）连接，由于，设，根据等腰直角三角形的性质得，再根据为的中点得到，，根据旋转的性质得，于是可根据判断，所以， （2）设，则，利用勾股定理得到，从而确定出的最小值． 【详解】（1）解：，理由如下：如图，连接，    设， ， ， 点为的中点， ，， 设将直角三角板的直角顶点绕点旋转，三角板的两条直角边分别与、分别交于点、（不与端点重合）， ， 在和中， ， ， ， （2）设，则， 在中，， ∴当时，有最小值为， 【典例10-3】（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）为庆祝元旦，某公园在门口搭建了一个抛物线形的装饰拱门，已知该拱门接触地面的跨度为，拱门顶端最高处的高度为，小青以拱门的左边缘O为原点，地面为x轴建立平面直角坐标系，如图所示． (1)求拱门所在抛物线的函数表达式； (2)为了使拱门更加牢固，要在拱门内左右两边各垂直于地面竖立一根高为的支柱，支柱的顶端恰好在抛物线上，求这两根支柱之间的距离． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用； （1）由题意可知抛物线的顶点坐标为，设抛物线的表达式为，再进一步求解即可； （2）令，可得，再解方程，并进一步求解即可； 【详解】（1）解：由题意可知抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， 将代入，得， 解得， ∴拱门所在抛物线的函数表达式为或． （2）解：令，可得， 解得，， （m）， ∴这两根支柱之间的距离为m． 【典例10-4】（24-25九年级上·山西长治·期末）中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》将以“巳巳如意，生生不息”为主题，“巳巳如意”是对每个人新年万事如意的祝愿，而“生生不息”则象征着文化的传承与生命力的延续，某服装零售市场购进一批印有“巳巳如意”图案的拜年套装出售，成本价为每套100元，当售价为每套180元时，平均每周能售出500套．为尽快回拢资金，市场决定降价销售，经调研发现，若该套装的销售单价每降低5元，每周就能多售出50套． (1)若该市场希望每周出售该套装获得利润36000元，则该套装的销售单价应该定为多少元？ (2)当该套装的销售单价定为多少元时，该市场每周出售该套装可获得最大利润？最大利润为多少元？ 【答案】(1)该套装的销售单价应该定为140元 (2)当该套装的销售单价定为165元时，该市场每周出售该套装可获得最大利润，最大利润为42250元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、y=ax²+bx+c的最值、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用，理解题意，正确列出方程，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． （1）设该套装的售价降低元，根据总利润=（销售单价-成本价）×销售数量，列方程求解，求解即可； （2）依据题意，每周出售该套装所获利润，再结合，从而当时，每周出售该套装所获利润最大，最大利润为42250元； 【详解】（1）解：设该套装的销售单价降低元，则销售单价为元，每周能销售套， 根据题意，得， ， 解得或（舍去）， ∴（元）， 答：该市场希望每周出售该套装获得利润36000元，则该套装的销售单价应该定为140元； （2）解：设每周的利润为y元，销售单价降低了元，则： ， ， 当时，每周的利润最大，最大利润为42250元， 此时销售单价为元， 答：当该套装的销售单价定为165元时，该市场每周出售该套装可获得最大利润，最大利润为42250元． 【典例10-5】（25-26九年级上·浙江温州·期末）根据以下材料，探究完成问题： 小瑞去研学旅游时看到图1所示的是一种古代远程攻击武器——投石车．经了解：①它平地发射射程距离为200米，发射高度最高可达25米．发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分．②攻城时将投石车置于处，以点为原点，水平方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，处是一座城池的城墙，其竖直截面为，与轴平行，墙宽米，垂直距离米． 问题解决： (1)在图2的平面直角坐标系中，求石块飞行轨迹所在抛物线的函数表达式； (2)若外墙到投石车的距离约为170米，攻城时用投石车将火球发射出去，问火球是否会落在城墙内，请说明理由． 【答案】(1) (2)火球不会落在城墙内 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练根据已知条件列出二次函数表达式是解题的关键． （1）根据题意得到抛物线的顶点坐标为，设出顶点式，将原点坐标代入表达式，求出的值，进而得出抛物线的函数表达式； （2）根据题意可得石块发射距离的范围为，分别求出当和时，对应的值，与进行比较，确定火球是否落在城墙内即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线方程为， 由于抛物线过原点， 则， 解得， 因此，石块飞行轨迹所在抛物线的函数表达式为； （2）解：火球不会落在城墙内，理由如下： 城墙其竖直截面为，与轴平行，墙宽米，垂直距离米， 则石块发射距离的范围为， 当时，， 当时，， 由于石块高度均高于城墙， 因此，火球不会落在城墙内． 【典例10-6】（24-25九年级上·山西长治·期末）综合与实践 【问题情境】如图1是某景区的音乐喷泉，其水流的形状可近似地看成抛物线的一部分．某校九年级数学兴趣小组欲测量该抛物线水流的最高点与地面的距离． 【方案设计】如图2，该抛物线水流与地面的交点分别记为A，B，且的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点即为抛物线水流的最高点与地面的距离．小组成员设计的方案如下：拿一根长的竹竿，竖直地放在线段上当水流刚好经过竹竿顶部点时，测得竹竿底部点到点的距离为． 【问题解决】 (1)在图2中画出平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式和的长． (2)如果该小组成员想在喷泉下方拍照留念，恰好他们的身高都是，请问他们最多能站多宽才不会被水淋到该小组成员站在线段上拍照．，结果保留整数 【答案】(1)图象见解析，， (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+k的图象和性质、喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系；利用待定系数法求出抛物线解析式，从而得出P点坐标及； （2）把代入函数解析式，求解x，然后计算宽度即可． 本题考查二次函数的应用，解题的关键是用待定系数法求解和熟练运用二次函数的图象性质． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如下： ，抛物线顶点在y轴， ∴设抛物线解析式为， 的垂直平分线与抛物线交于点P，与交于点O， 由题可知 将A，C代入抛物线解析式，得， 解得， 函数解析式为： ∴顶点为 故； （2）解：当时，代入抛物线表达式 解得 最大宽度为 他们能站的最大宽度为才不会被水淋到． 【典例10-7】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）我们常见的炒菜锅是抛物线面，锅盖是圆弧面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的圆弧记为． (1)求的解析式和所在圆的半径； (2)如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 【答案】(1)；5 (2)将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖不能正常盖上，理由见解析． 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数)、已知两点坐标求两点距离、圆的基本概念辨析 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，勾股定理，圆的基本性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法可求出对应的函数解析式；设所在圆的圆心为T，连接，则，证明垂直平分，则点T在直线上，由勾股定理得，解方程即可得到答案； （2）在中，当时，；设直线与交于，则，解得或（舍去），再证明，据此可得结论． 【详解】（1）解：设解析式为， 把代入中得，， ∴， ∴解析式为； 设所在圆的圆心为T，连接，则， ∵， ∴ ∵， ∴垂直平分， ∴点T在直线上， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴所在圆的半径为5； （2）解；将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能正常盖上，理由如下： 在中，当时，； 设直线与交于， 由（1）可得，的半径为5， ∴， ∴或（舍去） ∴， ∵， ∴，即 ∴将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖不能正常盖上． 【变式10-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，这是一个正在修建中的高速公路隧道，该高速公路隧道的横断面为抛物线，抛物线的最高点离地面的距离为米，宽度为米． (1)以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求该抛物线的表达式． (2)该隧道下方的公路是双向行车道（正中间有一条宽为米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽米、高米的车辆？请通过计算说明． 【答案】(1)该抛物线的表达式为，自变量的取值范围是； (2)其中的一条行车道能行驶宽米、高米的车辆． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据题意得出，，，设该抛物线的表达式为，再用待定系数法即可求解； （2）根据抛物线解析式求出，当时，自变量的值，即可得出在什么范围内能通过题中的车辆，根据题意得出车道需要的宽度，比较即可得解． 【详解】（1）解：依题得：，，， 设该抛物线的表达式为， 将代入得， 该抛物线的表达式为，其中自变量的取值范围是； （2）解：由（1）得，抛物线的表达式为， 则当时，， 解得， 其中，， 即在范围内，可通过高米的车辆， 要使双向行车道（正中间有一条宽为米的隔离带）其中的一条行车道能行驶宽米、高米的车辆， 则能通过高米的车辆的宽度至少需为， ， 其中的一条行车道能行驶宽米、高米的车辆． 【变式10-2】（24-25九年级上·河南开封·期末）掷实心球是中招体育考试素质类选考项目中的一项．体育模拟测试时，小亮同学掷实心球，实心球离地面的高度满足关系式，其中是实心球离手的时间，是实心球被投掷时竖直方向上的速度．已知实心球离手时与抛出时高度一致． (1)求出的值． (2)实心球离手多长时间时，离地面的高度最大，最大高度为多少？ 【答案】(1) (2)实心球离手时，离地面的高度最大，最大高度为 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确地求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据实心球离手时与抛出时高度一致，得到和时的函数值相同，进而得到对称轴为直线，利用对称轴公式求出的值即可； （2）求出时的函数值，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵已知实心球离手时与抛出时高度一致， ∴和时的函数值相同， ∴抛物线的对称轴为直线， 解得：； （2）由（1）可知：， ∴当时，的值最大为； 答：实心球离手时，离地面的高度最大，最大高度为． 【变式10-3】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）野兔善于奔跑跳跃，野兔跳跃时的空中运动路线可以近似看作如图所示的抛物线的一部分，通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：）与竖直高度y（单位：）进行的测量，得到以下数据： 水平距离x/ 0 1 2 竖直高度y/ 0 0 (1)根据上述数据，求抛物线的表达式； (2)若在野兔起跳点（原点O）前方处有一个高为的篱笆，则野兔此次跳跃能否跃过篱笆？请说明理由． 【答案】(1)； (2)野兔此次跳跃不能跃过篱笆． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求二次函数解析式． （1）用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）代入计算出函数值，比较即可判断． 【详解】（1）解：由题意可知，当和时，， ∴对称轴为直线， 由表格知，抛物线经过， 设野兔某次跳跃的抛物线为， 把代入可得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：当时，， ∵， ∴野兔此次跳跃不能跃过篱笆． 【变式10-4】（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图，在中，，，点P从点A开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为． (1)填空：______，_______；（用含t的式表示） (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)当t为何值时，的面积最大？ 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】列代数式、动态几何问题(一元二次方程的应用)、图形运动问题(实际问题与二次函数)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了行程问题的运用，一元二次方程的解法，勾股定理的运用，二次函数的性质，三角形面积公式的运用，在解答时要注意所求的解使实际问题有意义． （1）根据路程速度时间就可以表示出，．再用就可以求出的值； （2）在中由（1）结论根据勾股定理就可以求出其值； （3）利用（1）的结论，根据三角形的面积公式建立关系式，利用二次函数的性质即可求出的值． 【详解】（1）解：由题意，得，． 故答案为：，； （2）解：在中，由勾股定理，得， 解得：(舍去)，； （3）解：由（1）知，， ， ， 的面积等于， ， 当时，的面积最大． 【变式10-5】（24-25九年级上·安徽宿州·期末）电商平台销售一种T恤衫，每件进价为100元．经市场调查发现：每周销售量（件）与销售单价（元/件）满足一次函数关系（其中x为整数，且）部分数据如下表所示： 销售单价（元/件） 120 130 135 销售量（件） 80 60 50 根据以上信息，解答下列问题： (1)求y与x的函数关系式； (2)求每周销售这种T恤衫获得的利润（元）的最大值； (3)电商平台希望每周获得1000元的利润，且尽可能让利于顾客，请计算销售单价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)W最大值（元） (3)销售单价为110元 【知识点】求一次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了一次函数及二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）设y与x的函数关系式为，用待定系数法求解即可； （2）根据利润W元等于单个利润乘以销售量，可列出W关于x的二次函数，根据二次函数的性质可得答案； （3）若获得等于1000元周利润，则，解方程并根据二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系可得答案． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为，把和分别代入， 得， 解得， ； （2）依题意，， ， 时，W有最大值， W最大值元； （3）依题意，当时，， 解得，， ，尽可能让利于顾客， 销售单价为110元． 题型十一 二次函数的综合应用 【典例11-1】（24-25九年级上·河南周口·期末）如图1，抛物线与坐标轴交于O，B两点，直线与抛物线交于A，B两点，已知点B的坐标为． (1)求抛物线和一次函数的表达式． (2)如图2，P为抛物线上位于上方的一点，过点P作x轴的垂线交于点C，求的最大值． 【答案】(1)，； (2)． 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】此题考查了二次函数和一次函数的交点问题，二次函数的图象和性质，正确求出函数表达式是关键． （1）把分别代入抛物线和一次函数解析式，求出，，即可得到答案； （2）设点的坐标为，则，得到，根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入，得：， 解得：， ∴二次函数解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴一次函数解析式为； （2）设点的坐标为，则， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为． 【典例11-2】（25-26九年级上·河南安阳·期末）已知二次函数（为非零常数）经过点． (1)求的值； (2)若原二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，求的值； (3)当时，求的最大值与最小值的差． 【答案】(1) (2)15 (3)16 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了求二次函数与轴的交点坐标，二次函数的性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）将代入函数解析式即可求解； （2）先求出原解析式，令和，求出的值和点C的坐标，进而计算即可得出答案； （3）先将函数变为顶点式，再根据顶点式的性质求解即可． 【详解】（1）解：将代入 ， 得：， 解得； （2）解：当时，， 令，则或， 可得， 将代入，得， 故点坐标为， ； （3）解：由题意得， ∴对称轴为直线，且， ∴抛物线开口向上， 当时，有最小值为， ，且直线比直线距离对称轴较远， 将代入可得的最大值为7， 当时，的最大值与最小值的差为：． 【典例11-3】（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，其顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿抛物线的对称轴向下运动，连接，，设运动时间为t秒，在点M的运动过程中，当时，求t的值． 【答案】(1) (2)当时， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、用勾股定理解三角形、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）将点A，B的坐标代入抛物线可求出a，b的值即可. （2）先求出顶点D的坐标，设，，分别用含m的代数式表示出，，的值，利用勾股定理可求出m的值，即可得t的值． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点， ， ， 抛物线解析式为. （2）解：如图，由（1）， 顶点 一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿抛物线的对称轴向下运动，连接，，   设，， ，，， ， ， ， （舍），， ， ， ， 当时，． 【变式11-1】（24-25九年级上·重庆·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的表达式； (2)设关于原点对称的抛物线为，的顶点为，对称轴为．若点在上，点在上，连接、．若为等腰直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出新的抛物线的解析式，分分别为直角顶点，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：把点，代入函数解析式，得： ，解得：， ∴； （2）解：∵， ∴顶点坐标为， 则：关于原点对称的点为， ∵，关于原点对称，抛物线的开口大小不变，方向相反， ∴的解析式为：， ∴，对称轴为直线， 设，， 当点为直角顶点时，则，此时不存在点在抛物线上，不符合题意， 当点为直角顶点时，则，且，点在点下方： ∴轴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）或， 当或时，， ∴， 当点为直角顶点时，过点作于点，则：， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：或（舍去）或， 当或时，， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴， 综上：点的坐标为或． 【变式11-2】（25-26九年级上·全国·期末）综合运用：如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点C，二次函数的图象经过A，C两点，并与x轴交于点．点是线段上一个动点（不与点O，A重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点E和点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)用含m的代数式表示，； (3)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、已知两点坐标求两点距离、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题考查待定系数法求解析式，两点间距离公式，菱形的性质，综合运用相关知识是解题的关键． （1）分别把，代入一次函数，求出点C，点A的坐标，将点A，C的坐标代入抛物线，求出b，c的值，即可解答； （2）由题意可得点M，E，D的横坐标相同，因此得到点，点，根据两点间距离公式即可解答； （3）根据菱形的邻边相等分三种情况：①；②；③求解即可． 【详解】（1）解：将代入一次函数，得， 点C的坐标为， 将代入一次函数，得，解得， 点A的坐标为， 将点A，C的坐标代入抛物线， 得，解得， 这个二次函数的解析式为． （2）解：∵过点作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点E和点， 点，点， ， （3）存在．如图，以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形时，分以下三种情况： 由（）可得，点，，， ， ， ， ①当时，， 解得，（舍去），（舍去）， 此时点M的坐标为； ②当时，， 解得，舍去， 此时点M的坐标为； ③当时，， 解得，（舍去），（舍去）， 此时点M的坐标为． 综上所述，存在满足题意的点F，此时点M的坐标为或或． 【变式11-3】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，P是第二象限内抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图 1，设对称轴交线段于点N，点Q在对称轴上，且在点N的下方，是否存在以P，Q，N为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图 2，连接，交于点E，交y轴于点F，令，求k的最大值． 【答案】(1) (2)存在，P的坐标为 (3)的最大值为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、利用相似三角形的性质求解、面积问题(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了函数的解析式的求法、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）将点和点代入求得a、b的值即可解答； （2）以点P、Q、N为顶点的三角形与相似，则为等腰直角三角形，，故当和为直角时，点Q和点A重合，不符合题意；当为直角时，则，即，解方程即可求解； （3）先求得直线的表达式为易得，再根据计算，然后根据二次函数的性质求最值即可。 【详解】（1）解：将点和点代入可得： ，解得：， 故抛物线的表达式为． （2）解：∵抛物线的表达式为， ∴当时，，即 ∴，即为等腰直角三角形， ∵以点P、Q、N为顶点的三角形与相似， ∴为等腰直角三角形， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的表达式为， ∵抛物线解析式为， ∴该抛物线的对称轴为：， 当时，，即点， ∵， 故当和为直角时，点P和点A重合，不符合题意； 当为直角时，则， 当时，解得：或（舍去）， ∴点． （3）解：如图：连接，设点， 设直线的表达式为， 则有，解得：， ∴直线的表达式为， ∴， ∴， ∴， ． ∴的最大值为． 【变式11-4】（24-25九年级上·吉林松原·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，与轴正半轴交于另一点，点在抛物线上，点是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴． (1)求抛物线的解析式； (2)当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出的取值范围； (3)当矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求的值； (4)当点在对称轴左侧时，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)且 (3)或或 (4)存在，或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、特殊三角形问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）抛物线的对称轴为直线，则点B关于抛物线对称轴的对称点为，当M在的左侧时，抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升，即可求解； （3）点，矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4，当点M的纵坐标为时，，解得；当点M的纵坐标为时，，即可求解； （4）当点在点B的上方时，证明，得到，即可求解；当点在点B的下方时，同理可解． 【详解】（1）解：抛物线经过原点， 抛物线的表达式为， 将点代入上式得，， 解得， 抛物线的解析式为； （2）由（1）中抛物线的解析式可知，抛物线的对称轴为直线，则点B关于抛物线对称轴的对称点为， 当M在的左侧时，抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升， 即， 点B、M不重合， 故， 即且； （3）点，矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4， 当点M的纵坐标为时，， 解得； 当点M的纵坐标为时，， 解得：或， 综上，m的值为1或或； （4）存在，或，理由如下： 当点在点B的上方时，如图，设点， 过点B、M分别作抛物线对称轴的垂线，垂足分别为H、G， 是以为斜边的等腰直角三角形， 则， ， ， ， ， ， 则点， 将点M的坐标代入抛物线表达式得，   解得（舍去）或， 则； 当点在点B的下方时， 同理可得，点， 将点M的坐标代入抛物线表达式得，， 解得：（不合题意的值已舍去）， 则， 综上，或． 期末基础通关练（测试时间：5分钟） 1．（24-25九年级上·浙江金华·期中）二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．2，0， B．2，2， C．2，2，1 D．2，0，1 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的一般式，掌握二次函数的一般式是解题的关键． 根据二次函数的一般式（，为常数）即可求解． 【详解】解：二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，0，， 答案：A． 2．（24-25九年级上·北京海淀·期末）将抛物线向下平移1个单位，所得新抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握平移的规律是解题的关键； 根据二次函数图象平移规律：“上加下减，左加右减”，据此求解即可． 【详解】∵将抛物线向下平移1个单位， ∴所得新抛物线的解析式为：． 故选：A． 3．（25-26九年级上·北京·期末）抛物线的顶点坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了的图象和性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 对于二次函，其顶点坐标为，据此及可求解． 【详解】解：对于二次函，其顶点坐标为， ∴抛物线的顶点坐标是． 故选：A． 4．（24-25九年级上·湖南永州·期末）抛物线的开口方向是向 （填“上”或“下”） ． 【答案】上 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 对于二次函数，当时，二次函数开口向上，当时，二次函数开口向下，据此求解即可． 【详解】解：∵抛物线中， ∴该抛物线开口向上， 故答案为：上． 5．（24-25九年级上·河南周口·期末）将二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得到的新抛物线的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．先确定原二次函数的顶点坐标，再根据平移规律求出平移后的顶点坐标． 【详解】解：原二次函数的顶点坐标为． 根据平移规律“左加右减，上加下减”，向左平移个单位长度，横坐标变为；再向下平移个单位长度，纵坐标变为． 所以新抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）在校园足球社团课上同学们一起踢足球，球射向球门的路线呈抛物线形，小罗同学从球门正前方的处射门，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面，球门高为． (1)请建立适当平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式； (2)小罗此次射门能否射入球门内？请通过计算说明理由． 【答案】(1)该抛物线对应的函数表达式为； (2)小罗此次射门不能射入球门内，理由见解析． 【分析】本题考查的知识点是二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，解题关键是根据题意正确求出二次函数解析式． （1）先根据题意建立平面直角坐标系，得到顶点坐标和点坐标，设抛物线解析式为，将点代入即可求解； （2）当时，，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示：以为原点，为轴，建立平面直角坐标系， ， 抛物线顶点为，经过点， 设抛物线解析式为， 将点代入得， 解得， 该抛物线对应的函数表达式为； （2）解：由题意得，当时，， 小罗此次射门不能射入球门内． 期末重难突破练（测试时间：15分钟） 1．（24-25九年级上·陕西西安·期末）已知在二次函数的图象上，则的大小关系是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数函数值的计算与比较，解题的关键是根据二次函数解析式，通过直接代入点的横坐标求出对应函数值来比较大小． 直接将三点的横坐标、、分别代入二次函数的解析式，计算出、、的具体数值，再对数值进行大小比较，即可得出三者关系；也可先求对称轴判断增减性，但本题代入求值更直接高效． 【详解】解：分别将、、代入二次函数： 当时，； 当时，； 当时，； ∵， ∴ 故选：B． 2．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是( ) A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点问题，根据对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，利用图象法求出x的取值范围即可． 【详解】解：由图象知，抛物线与轴交于，对称轴为， 抛物线与轴的另一交点坐标为， 时，函数的图象位于轴的下方， 且当时函数图象位于轴的下方， 当时，． 故选：． 3．（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图所示，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，当时，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数与一次函数的图象及性质是解题的关键；因此此题可根据图象直接进行求解． 【详解】解：由图象可知：当时，自变量的取值范围是； 故答案为． 4．（24-25九年级上·安徽池州·期末）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 10 5 2 1 2 则当时，x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的对称性．掌握二次函数的图像关于对称轴对称是解题的关键． 根据二次函数的对称性及已知数据可知该二次函数的对称轴为，结合表格中所给数据可得出答案． 【详解】解：由表中数据知，二次函数上的点和对称， 对称轴为， ∴点的对称点为， ∴当时，x的取值范围是． 故答案为：． 5．（24-25九年级上·河北张家口·期末）用总长为米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为米，窗框的面积为米，关于的函数图象如图2，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质，理解顶点的意义是解题的关键． 根据函数图象，可知当时，窗框的面积最大，最大值为，设窗框的长为，则根据矩形的面积公式，可知，进而根据总长为，即可求得的值． 【详解】解：设窗框的长为， 根据函数图象，可知当时，窗框的面积最大，最大值为， 即 故答案为：． 6．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图，抛物线经过点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式及点坐标； (2)是抛物线上一点，且当时，的最大值为，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（）利用待定系数法求出函数解析式，再根据解析式求出点坐标即可； （）把代入函数解析式求出的所有值，进而根据二次函数的图象和性质得出符合题意的值即可； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象与坐标轴的交点，二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数解析式为， 当时，， ∴； （2）解：把代入得，， 解得，， ∴或， ∵， ∴二次函数的顶点坐标为，函数的最大值为， ∵当时，的最大值为， ∴． 7．（24-25九年级上·安徽池州·期末）如图，在中，，边上的高，矩形的顶点、分别在边、上，顶点、在边上，若设，． (1)求出与之间的函数表达式； (2)直接写出当取何值时，矩形面积最大． 【答案】(1) (2)当时，矩形面积最大 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的图像和性质及应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）先证，再利用相似三角形对应高的比等于相似比即可求解； （2）根据（1）的结论，再根据矩形的面积及二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）是的高， ， 四边形是矩形， ， ， 是的高， ，，，， ， ， （2）， ， 当时，矩形面积的最大值为． 8．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，连接． (1)求此抛物线的解析式． (2)在下方的抛物线上有一点N，过点N作轴，交于点M，交x轴于点D，当点N的坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？ 【答案】(1) (2)当点的坐标为时，有最大值，最大值为 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数的解析式，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可． （2）利用待定系数法求出的解析式，设，则，可得出，最后利用二次函数的性质即可求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过、两点，且， ，， 将，代入抛物线解析式，得， 解得， 故此抛物线的函数解析式为：； （2）设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 设， ∵轴， ∴， ， ， 当时，， 把代入抛物线，得点的坐标为， 当点的坐标为时，有最大值，最大值为 期末综合拓展练（测试时间：20分钟） 1．（23-24九年级上·天津滨海新·期末）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中． 有下列结论： ①x的取值范围为； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的面积，构造二次函数求最值．根据题意，列出方程，构造二次函数计算即可． 【详解】解：∵，则，依题意，得： ， ∵ ∴， 解得，故①错误； 当时， 即， 解得：，， 当时，不在范围中，舍去， 当时，成立．故②错误； ， ∴当时，S有最大值为．故③正确， 故选：B． 2．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，在正方形中，点，的坐标分别为，，点在抛物线的图象上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，二次函数图象上点的坐标特征，过点C作轴，过点B作于M，过点D作于N，利用三角形全等的性质，即可得出C点坐标，代入即可得出b的值． 【详解】解：过点C作轴，过点B作于M，过点D作于N， ∴， 由条件可知， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， 解得：， ∴， ∵点C在抛物线的图象上， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·浙江温州·期末）已知二次函数的解析式为． (1)若， ①直接写出二次函数的顶点坐标______； ②点，都在该二次函数的图象上，且，求的取值范围； (2)当时，函数最大值与最小值的差为8，求的值． 【答案】(1)①；② (2)5 【分析】本题主要考查了二次函数的图象、二次函数的性质、二次函数最值等知识点，熟练掌握分类讨论是解答本题的关键． （1）①将m的值代入为，转化为顶点式为，由此求解即可； ②先求出，再根据可得，由此求解即可； （2）将二次函数转化为顶点式为，对对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，当时，函数在区间上单调递减，最大值为，最小值为，根据题意列方程求解，当时，再分和两种情况讨论最小值，由此求解即可． 【详解】（1）解：①若，则， 则二次函数的顶点坐标为； 故答案为：； ②， ， ，， ， ， 即； （2）， 抛物线的对称轴为直线， 在中 ①当时， 时，最大值为， 时，最小值为， ， ，（舍去）， ②当时，即时， 时，最大值为， 时，最小值为， 此时，不符合题意； ③当时， 时，最大值为， 时，最小值为， ， （舍去），（舍去）， 综上所述，． 4．（24-25九年级上·湖北恩施·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且关于直线对称． (1)求线段的长； (2)当时，求的取值范围； (3)如图，点为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，试证明：为定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（）根据对称性求出点的坐标，即可求出的长； （）利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出函数的最大值及最小值即可求解； （）分别过作直线的垂线，垂足为，可证，得到，，即得，又可得，即得到，可得，即可求证； 本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，对称轴为直线， ∴, ∴， 即线段的长为； （2）解：由题意得，， 解得， ∴抛物线， ∵， ∴当时，取最大值，， 又∵当时，， ∴当时，的取值范围为； （3）证明：如图，分别过作直线的垂线，垂足为， 则， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 即为定值． 5．（25-26九年级上·天津·期末）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接，点P为线段上一个动点（不与点C，B重合），过点P作轴交抛物线于点Q． (1)求抛物线的表达式和对称轴； (2)设P的横坐标为t，请用含t的式子表示线段的长，并求出线段的最大值； (3)已知点M是抛物线对称轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点M，N，使得四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为，对称轴为直线 (2)，4 (3)存在，M的坐标是或 【分析】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的交点式，求一次函数的解析式，二次函数的图象与性质，菱形的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质及菱形的性质是解题的关键． （1）设抛物线的表达式为，根据抛物线与x轴交点可得交点式，化简即可求解； （2）求出直线的表达式，再设点，求出，最后利用二次函数的性质即可求出的最大值； （3）当四边形是菱形时，，设点，可列方程，求出m的值，即得答案． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， 因为抛物线与x轴交于点，， 所以， 则抛物线的对称轴为直线； （2）解：设直线的表达式为， 将点B的坐标代入上式得， 解得， 故直线的表达式为， 设点，则点， 则， ， ∴有最大值， 当时，的最大值为4； （3）解：存在，理由： 当时，点， 设点，而点； ∵四边形是菱形， ∴， 即， 解得：， 即点M的坐标为或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 二次函数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 基础概念与性质 掌握二次函数的核心定义，明晰二次函数的图像与性质，结合图像快速判断开口方向、对称轴、顶点等特征；能通过图像分析函数的增减性。 必考点，多以选择、填空题形式出现，考查内容包括二次函数的定义判断、解析式形式辨析、开口方向与大小、对称轴与顶点坐标的计算、增减性判断等。 解析式 熟练掌握三种解析式形式及转化，能根据已知条件灵活转化三种形式，实现“知式求点”“知点求式”。 高频中档考点，可出现在填空、解答题中，核心是根据已知条件选择合适的解析式形式求解。 图像变换 掌握二次函数图像的变换规律，要求能根据原函数解析式和变换方式求新函数解析式，或描述原函数到新函数的变换路径。 高频重点，多以选择题或填空题形式出现，考查对“平移、翻折”变换规律的理解。重点是“左加右减、上加下减”的平移规律应用。 最值问题 能从实际问题中抽象出二次函数模型，解决利润最值、面积最值等。 核心考点，可单独出解答题，也可融入综合题中，分为代数最值和实际应用最值两类。 一元二次方程关系 理清二次函数与一元二次方程的关系，能通过函数图像求一元二次方程的近似解。 常结合图象出现，考查抛物线与x轴的交点个数判断、根据交点坐标求解析式、通过函数图像求一元二次方程的近似解等，侧重数形结合思想的应用。 综合应用 能综合运用二次函数的性质、图像变换、与一元二次方程的关系等知识解决综合性问题，能通过观察、归纳、推理发现函数规律，提升数形结合、转化与化归的数学思想运用能力。 高频难点，多以压轴解答题形式出现，分值较高，考查多个知识点的综合运用。 知识点01 二次函数的概念 一般地，形如y=ax²+bx+c (其中a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中，x是自变量，a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项。 知识点02 二次函数的图象与性质 1.二次函数的图象与性质 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，当x=时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，当x=时 时y有最大值. 增 减 性 a>0 在对称轴x=的左边y随x的增大而减小，在对称轴x=的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴x=的左边y随x的增大而增大，在对称轴x=的右边y随x的增大而减小. 2.二次函数的图象变换 （1）二次函数的平移变换 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 （2）二次函数图象的翻折与旋转 变换前 变换方式 变换后 口诀 y=a(x-h)²+k 绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变 绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号 沿x轴翻折 y= -a(x-h)²-k a、k变号，h不变 沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、h不变，h变号 （3）二次函数的对称性问题 1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=的差的绝对值相等； 2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称； 3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图象于x轴对称. 3.二次函数与a，b，c之间的关系 关系 符号 图象特征 a决定抛物线的开口方向 a>0 开口向上 |a|越大，抛物线的开口小． a<0 开口向下 a、b共同决定抛物线对称轴的位置 b=0 对称轴是y轴 ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异 ab<0((a，b异号)) 对称轴在y轴右侧 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c=0 抛物线经过原点 c>0 抛物线与y轴交于正半轴 c<0 抛物线与y轴交于负半轴 由b²-4ac 确 定抛物线与x轴交点的个数 b²-4ac>0 抛物线与x轴有两个交点 b²-4ac=0 抛物线与x轴有一个交点 b²-4ac＜0 抛物线与x轴没有交点 知识点03二次函数解析式的确定 名称 解析式 适用范围 一般式 y=ax²+bx+c (a≠0) 已知抛物线上的无规律的三个点的坐标 顶点式 y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k） 已知抛物线的顶点坐标或对称轴、最值 交点式 y＝a（x–x1）（x–x2） (a≠0) 已知抛物线与x 轴两交点坐标 相互联系 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法. 知识点04 二次函数的应用 一、用二次函数解决实际问题的一般步骤 1.审：仔细审题，理清题意； 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 二、方法技巧总结 1.利用二次函数解决面积最值：利用图形面积公式构造关于x的二次函数,利用二次函数图象的顶点坐标求出最值，注意解题时必须结合自变量的取值范围和函数的增减性确定最值 2.抛物线形问题：将实际问题转化为数学问题,建立函数模型,利用二次函数的性质解决问题 3.销售利润问题：根据“利润=(售价-进价)×销量列出函数解析式,利用二次函数的性质求最值 4.利用二次函数解决动点问题：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算． 5.利用二次函数解决存在性问题：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该 知识点05 二次函数与一元二次方程 1.二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的解就是二次函数y=ax2＋bx＋c=0图象与 x 轴交点的横坐标. b2-4ac与 0的关系 二次函数与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0根的情况 b2-4ac>0 2个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac=0 1个交点 有一个不相等的实数根 b2-4ac<0 0个交点 没有实数根 2.二次函数与不等式的关系（以a大于0为例） 不等式以a大于0为例 图象 观察方法 解集 ax2＋bx＋c>0 的解集情况 函数y=ax²+bx+c的 图象位于x轴上方时 对应的自变量的取值 范围 x<x1或x>x2 ax2＋bx＋c<0 的解集情况 函数y=ax²+bx+c的 图象位于x轴下方时 对应的自变量的取值 范围 x1<x<x2 题型一 二次函数的概念 【典例1-1】（24-25九年级上·山西晋中·期末）下列函数关系式中，一定是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）若关于的函数是二次函数，则的值为（    ） A．0 B．2 C．或2 D． 【典例1-3】（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则y与x的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25九年级上·安徽亳州·期末）已知是二次函数，则（   ） A．0 B．1 C． D．1或 【变式1-2】（24-25九年级上·天津河西·期末）一矩形绿地的长和宽分别为和，如果长和宽各增加了，则扩充后绿地的面积与之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25九年级上·广东肇庆·期末）二次函数的常数项为 ． 题型二 二次函数的图象与性质 【典例2-1】（24-25九年级上·安徽池州·期末）抛物线的对称轴是（　　） A．直线 B．直线 C．轴 D．直线 【典例2-2】（25-26九年级上·浙江温州·期末）抛物线经过，，三点，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例2-3】（25-26九年级上·浙江温州·期末）已知抛物线，当时，的取值范围为 ． 【变式2-1】（24-25九年级上·江苏徐州·期末）二次函数的图象的开口向 ． 【变式2-2】（24-25九年级上·吉林松原·期末）抛物线的顶点坐标是 ． 【变式2-3】（25-26九年级上·内蒙古通辽·期末）若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 ． 题型三 根据二次函数的图象判断式子符号 【典例3-1】（25-26九年级上·河南安阳·期末）二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例3-2】（25-26九年级上·湖北·期末）已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：：：若为任意实数，则有：点在抛物线上时，方程的两根为，则，其中正确的结论的个数为（ ） A． B． C． D． 【典例3-3】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，抛物线的对称轴为直线．下列说法：①；②；③当时，y随x的增大而减小；④（t为任意实数）．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-1】（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，；则下列结论错误的是（    ） A． B．若点，在抛物线上，则 C． D．对任意实数m，均成立 【变式3-2】（24-25九年级上·广东茂名·期末）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3-3】（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图是二次函数图象的一部分，图象过点，与y轴交于点C，对称轴为．给出五个结论：①；②；③；④当时，；⑤若，点P是抛物线对称轴上一点，则周长的最小值为，其中正确结论的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型四 二次函数图象与一次函数图象、反比例函数图象综合判断 【典例4-1】（24-25九年级上·河南安阳·期末）若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则二次函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【典例4-2】（24-25九年级下·山东潍坊·期末）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A．B． C． D． 【典例4-3】（24-25九年级上·广东·期末）抛物线与双曲线的图象如图所示，当时，x的取值范围是 ． 【变式4-1】（24-25九年级上·山东潍坊·期末）已知一次函数图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25九年级上·广西百色·期末）如图，已知二次函数的图象与正比例函数的图象在第一象限交于点．当时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）二次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（   ） A． B． C． D． 题型五 二次函数的平移、对称问题 【典例5-1】（24-25九年级上·北京通州·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)求此二次函数图象的对称轴； (2)若二次函数的图象上存在两点，，其中，，且，求m的取值范围． 【典例5-2】（24-25九年级上·山东临沂·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线顶点坐标； (2)在（1）的条件下，把二次函数的图象向左平移1个单位，得到新的二次函数图象，当时，求新的二次函数的最大值与最小值； (3)已知和是抛物线上两点，若对于，，都有，求的取值范围． 【变式5-1】（23-24九年级上·广东湛江·期末）已知二次函数的图象如图所示． (1)用配方法求该函数图象的顶点坐标和对称轴． (2)结合函数图象，直接写出当时的取值范围． 【变式5-2】（24-25九年级上·福建莆田·期末）已知抛物线过点，顶点为．抛物线 ． (1)求的值和点的坐标． (2)求证：无论为何值，将的顶点向左平移2个单位长度后一定落在上． 【变式5-3】（24-25九年级上·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数且）． (1)若，求抛物线的顶点坐标； (2)已知和两点在抛物线上，且，当时，都有，求的取值范围． (3)已知二次函数，当时，的取值范围为，求的取值范围． 题型六 二次函数的最值问题 【典例6】（24-25九年级上·安徽安庆·期末）如图，已知抛物线经过点． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)当时，求y的最小值． 【变式6-1】（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知二次函数（为常数，且）． (1)当时， ①求函数图象的顶点坐标； ②当时，求的取值范围； (2)当时，． ①若，求的最小值； ②若，求的最大值． 【变式6-2】（24-25九年级上·江苏南通·期末）已知平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于点． (1)若将点向右平移4个单位，再次落在该函数的图象上，则的值为____________； (2)在（1）的条件下，若点，均在该函数的图象上，且，求的取值范围； (3)当时，这个二次函数的最小值为3，求的值． 【变式6-3】（24-25九年级上·浙江台州·期末）已知，一次函数的图象上有一点，反比例函数经过A点． (1)当时， ①若，求反比例函数的解析式； ②求k的最大值． (2)当时，k随着m的增大而减少，求此时a的范围． 题型七 待定系数法求二次函数解析式 【典例7-1】（24-25九年级上·福建泉州·月考）如图，已知二次函数的图象经过三点．求二次函数的表达式． 【典例7-2】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）已知二次函数的图象的顶点坐标为，且经过点，求该二次函数的解析式． 【变式7-1】（24-25九年级上·黑龙江七台河·期末）已知抛物线（是常数，）． (1)若此抛物线的图象经过点和，求此抛物线的解析式； (2)若，当时，函数随的增大而增大，求的取值范围． 【变式7-2】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数图象的顶点坐标为，且经过点． (1)求该二次函数表达式； (2)直接写出y随x的增大而减小时x的取值范围． 【变式7-3】（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为，与轴其中一个交点坐标为． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，请结合图象直接写出的取值范围． 题型八 二次函数与一元二次方程、不等式 【典例8-1】（24-25九年级上·广东中山·期末）【阅读材料】解一元二次不等式： ． 解：设 ，解得：，，则抛物线 与x轴的交点坐标为和 ． 画出二次函数 的大致图象 （如图所示）， 由图象可知：当或时函数图象位于x轴上方，此时，即 ，所以一元二次不等式． 的解集为：或． 通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题： 【数学理解】（1） 请直接写出一元二次不等式． 的解集； 【拓展探索】（2） 用类似的方法解一元二次不等式： ． 【典例8-2】（24-25九年级上·北京昌平·期末）如图，现有8m长篱笆和一段墙，围成区域为等腰时面积为，围成区域为矩形时面积为，其中，统计数据如下表所示： … 0.5 1 2 3 4 4.5 5 7 7.5 … … 0.998 1.984 3.873 5.562 6.928 7.441 7.806 6.778 5.220 … … 1.875 3.5 6 7.5 8 7.875 7.5 1.875 … (1)表格中______； (2)在平面直角坐标系中，已经绘制的图象和图象上的部分点，补全的图象； (3)根据图象，完成下列填空： ①当______时，； ②当______时，． 【变式8-1】（24-25九年级上·重庆长寿·期末）某班的“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请你帮他们补充完整． (1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： … 0 1 2 3 4 … … 0 0 0 … 其中，______； (2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点、连线，画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分； (3)探究与应用： ①若关于的方程有四个实数根，则的取值范围是______； ②结合图象，直接写出关于的不等式的解集． 【变式8-2】（24-25九年级上·江苏镇江·期末）已知和是关于x的一元二次方程的两个实数根，二次函数图像与y轴交点的纵坐标为6． (1)求该二次函数的表达式及顶点坐标； (2)若点M、N是二次函数图像上的两点，请比较p与q的大小； (3)直接写出不等式的解集． 题型九 二次函数与x轴交点问题 【典例9-1】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）抛物线的顶点坐标为，且图像经过点． (1)求函数解析式． (2)求抛物线与坐标轴交点坐标． 【典例9-2】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求二次函数的解析式； (2)求二次函数图象与轴，轴的交点坐标． 【变式9-1】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知二次函数（，，是常数，且）． (1)若，函数图象过点． ①用含的代数式表达； ②求证：不论为何值，该函数图象与轴一定有两个交点． (2)若，点和在抛物线上，对称轴为直线，，求的取值范围． 【变式9-2】（24-25九年级上·山东德州·期末）设二次函数（，是常数）． (1)判断该二次函数图象与轴的交点的个数，说明理由； (2)若该二次函数图象的对称轴是直线，求这个函数图象与轴交点的坐标； (3)若，在这个函数的图象上，且．这个二次函数图象与轴的一个交点的横坐标，求的取值范围． 题型十 二次函数的实际应用 【典例10-1】（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）如图，某中学为培养学生的综合实践能力，准备在学校围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长度为的篱笆围成．如图，墙长为，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为．请列出方程并解答． (1)若苗圃园的面积为，求x的值； (2)当x为多少时，苗圃园的面积最大，最大面积是多少． 【典例10-2】（24-25九年级上·广东汕头·期末）如图，在中，，，点是的中点，将直角三角板的直角顶点绕点旋转，三角板的两条直角边与、分别交于点、（不与端点重合），连接． (1)判断在旋转过程中与的数量关系？并说明理由； (2)求动态线段的最小值． 【典例10-3】（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）为庆祝元旦，某公园在门口搭建了一个抛物线形的装饰拱门，已知该拱门接触地面的跨度为，拱门顶端最高处的高度为，小青以拱门的左边缘O为原点，地面为x轴建立平面直角坐标系，如图所示． (1)求拱门所在抛物线的函数表达式； (2)为了使拱门更加牢固，要在拱门内左右两边各垂直于地面竖立一根高为的支柱，支柱的顶端恰好在抛物线上，求这两根支柱之间的距离． 【典例10-4】（24-25九年级上·山西长治·期末）中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》将以“巳巳如意，生生不息”为主题，“巳巳如意”是对每个人新年万事如意的祝愿，而“生生不息”则象征着文化的传承与生命力的延续，某服装零售市场购进一批印有“巳巳如意”图案的拜年套装出售，成本价为每套100元，当售价为每套180元时，平均每周能售出500套．为尽快回拢资金，市场决定降价销售，经调研发现，若该套装的销售单价每降低5元，每周就能多售出50套． (1)若该市场希望每周出售该套装获得利润36000元，则该套装的销售单价应该定为多少元？ (2)当该套装的销售单价定为多少元时，该市场每周出售该套装可获得最大利润？最大利润为多少元？ 【典例10-5】（25-26九年级上·浙江温州·期末）根据以下材料，探究完成问题： 小瑞去研学旅游时看到图1所示的是一种古代远程攻击武器——投石车．经了解：①它平地发射射程距离为200米，发射高度最高可达25米．发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分．②攻城时将投石车置于处，以点为原点，水平方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，处是一座城池的城墙，其竖直截面为，与轴平行，墙宽米，垂直距离米． 问题解决： (1)在图2的平面直角坐标系中，求石块飞行轨迹所在抛物线的函数表达式； (2)若外墙到投石车的距离约为170米，攻城时用投石车将火球发射出去，问火球是否会落在城墙内，请说明理由． 【典例10-6】（24-25九年级上·山西长治·期末）综合与实践 【问题情境】如图1是某景区的音乐喷泉，其水流的形状可近似地看成抛物线的一部分．某校九年级数学兴趣小组欲测量该抛物线水流的最高点与地面的距离． 【方案设计】如图2，该抛物线水流与地面的交点分别记为A，B，且的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点即为抛物线水流的最高点与地面的距离．小组成员设计的方案如下：拿一根长的竹竿，竖直地放在线段上当水流刚好经过竹竿顶部点时，测得竹竿底部点到点的距离为． 【问题解决】 (1)在图2中画出平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式和的长． (2)如果该小组成员想在喷泉下方拍照留念，恰好他们的身高都是，请问他们最多能站多宽才不会被水淋到该小组成员站在线段上拍照．，结果保留整数 【典例10-7】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）我们常见的炒菜锅是抛物线面，锅盖是圆弧面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的圆弧记为． (1)求的解析式和所在圆的半径； (2)如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 【变式10-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，这是一个正在修建中的高速公路隧道，该高速公路隧道的横断面为抛物线，抛物线的最高点离地面的距离为米，宽度为米． (1)以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求该抛物线的表达式． (2)该隧道下方的公路是双向行车道（正中间有一条宽为米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽米、高米的车辆？请通过计算说明． 【变式10-2】（24-25九年级上·河南开封·期末）掷实心球是中招体育考试素质类选考项目中的一项．体育模拟测试时，小亮同学掷实心球，实心球离地面的高度满足关系式，其中是实心球离手的时间，是实心球被投掷时竖直方向上的速度．已知实心球离手时与抛出时高度一致． (1)求出的值． (2)实心球离手多长时间时，离地面的高度最大，最大高度为多少？ 【变式10-3】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）野兔善于奔跑跳跃，野兔跳跃时的空中运动路线可以近似看作如图所示的抛物线的一部分，通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：）与竖直高度y（单位：）进行的测量，得到以下数据： 水平距离x/ 0 1 2 竖直高度y/ 0 0 (1)根据上述数据，求抛物线的表达式； (2)若在野兔起跳点（原点O）前方处有一个高为的篱笆，则野兔此次跳跃能否跃过篱笆？请说明理由． 【变式10-4】（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图，在中，，，点P从点A开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为． (1)填空：______，_______；（用含t的式表示） (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)当t为何值时，的面积最大？ 【变式10-5】（24-25九年级上·安徽宿州·期末）电商平台销售一种T恤衫，每件进价为100元．经市场调查发现：每周销售量（件）与销售单价（元/件）满足一次函数关系（其中x为整数，且）部分数据如下表所示： 销售单价（元/件） 120 130 135 销售量（件） 80 60 50 根据以上信息，解答下列问题： (1)求y与x的函数关系式； (2)求每周销售这种T恤衫获得的利润（元）的最大值； (3)电商平台希望每周获得1000元的利润，且尽可能让利于顾客，请计算销售单价应定为多少元？ 题型十一 二次函数的综合应用 【典例11-1】（24-25九年级上·河南周口·期末）如图1，抛物线与坐标轴交于O，B两点，直线与抛物线交于A，B两点，已知点B的坐标为． (1)求抛物线和一次函数的表达式． (2)如图2，P为抛物线上位于上方的一点，过点P作x轴的垂线交于点C，求的最大值． 【典例11-2】（25-26九年级上·河南安阳·期末）已知二次函数（为非零常数）经过点． (1)求的值； (2)若原二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，求的值； (3)当时，求的最大值与最小值的差． 【典例11-3】（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，其顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿抛物线的对称轴向下运动，连接，，设运动时间为t秒，在点M的运动过程中，当时，求t的值． 【变式11-1】（24-25九年级上·重庆·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的表达式； (2)设关于原点对称的抛物线为，的顶点为，对称轴为．若点在上，点在上，连接、．若为等腰直角三角形，求点的坐标． 【变式11-2】（25-26九年级上·全国·期末）综合运用：如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点C，二次函数的图象经过A，C两点，并与x轴交于点．点是线段上一个动点（不与点O，A重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点E和点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)用含m的代数式表示，； (3)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式11-3】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，P是第二象限内抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图 1，设对称轴交线段于点N，点Q在对称轴上，且在点N的下方，是否存在以P，Q，N为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图 2，连接，交于点E，交y轴于点F，令，求k的最大值． 【变式11-4】（24-25九年级上·吉林松原·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，与轴正半轴交于另一点，点在抛物线上，点是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴． (1)求抛物线的解析式； (2)当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出的取值范围； (3)当矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求的值； (4)当点在对称轴左侧时，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 期末基础通关练（测试时间：5分钟） 1．（24-25九年级上·浙江金华·期中）二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．2，0， B．2，2， C．2，2，1 D．2，0，1 2．（24-25九年级上·北京海淀·期末）将抛物线向下平移1个单位，所得新抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·北京·期末）抛物线的顶点坐标是（ ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·湖南永州·期末）抛物线的开口方向是向 （填“上”或“下”） ． 5．（24-25九年级上·河南周口·期末）将二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得到的新抛物线的顶点坐标为 ． 6．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）在校园足球社团课上同学们一起踢足球，球射向球门的路线呈抛物线形，小罗同学从球门正前方的处射门，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面，球门高为． (1)请建立适当平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式； (2)小罗此次射门能否射入球门内？请通过计算说明理由． 期末重难突破练（测试时间：15分钟） 1．（24-25九年级上·陕西西安·期末）已知在二次函数的图象上，则的大小关系是(   ) A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是( ) A． B． C．或 D．或 3．（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图所示，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，当时，自变量的取值范围是 ． 4．（24-25九年级上·安徽池州·期末）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 10 5 2 1 2 则当时，x的取值范围是 ． 5．（24-25九年级上·河北张家口·期末）用总长为米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为米，窗框的面积为米，关于的函数图象如图2，则的值是 ． 6．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图，抛物线经过点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式及点坐标； (2)是抛物线上一点，且当时，的最大值为，求的值． 7．（24-25九年级上·安徽池州·期末）如图，在中，，边上的高，矩形的顶点、分别在边、上，顶点、在边上，若设，． (1)求出与之间的函数表达式； (2)直接写出当取何值时，矩形面积最大． 8．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，连接． (1)求此抛物线的解析式． (2)在下方的抛物线上有一点N，过点N作轴，交于点M，交x轴于点D，当点N的坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？ 期末综合拓展练（测试时间：20分钟） 1．（23-24九年级上·天津滨海新·期末）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中． 有下列结论： ①x的取值范围为； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，在正方形中，点，的坐标分别为，，点在抛物线的图象上，则的值为 ． 3．（25-26九年级上·浙江温州·期末）已知二次函数的解析式为． (1)若， ①直接写出二次函数的顶点坐标______； ②点，都在该二次函数的图象上，且，求的取值范围； (2)当时，函数最大值与最小值的差为8，求的值． 4．（24-25九年级上·湖北恩施·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且关于直线对称． (1)求线段的长； (2)当时，求的取值范围； (3)如图，点为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，试证明：为定值． 5．（25-26九年级上·天津·期末）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接，点P为线段上一个动点（不与点C，B重合），过点P作轴交抛物线于点Q． (1)求抛物线的表达式和对称轴； (2)设P的横坐标为t，请用含t的式子表示线段的长，并求出线段的最大值； (3)已知点M是抛物线对称轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点M，N，使得四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $