第03讲：等差数列的前n项和公式【十大考点+十大题型】讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列

本高中数学讲义聚焦等差数列前n项和公式这一核心知识点，系统梳理两种求和公式（首项末项项数、首项公差项数），递进讲解前n项和性质（片段和、奇偶项和等）及函数特征（二次函数形式与最值），构建从公式应用到深层理解的学习支架。 资料特色在于题型覆盖全面，从基础量计算到综合应用，结合小明购车分期付款等现实问题培养数学眼光，通过性质推导与函数分析发展推理意识。课中辅助分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升解题能力与数学思维。

第03讲：等差数列的前n项和公式 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一：等差数列的前n项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋d 知识点二：等差数列前n项和的性质 1．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为. 2．设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d. 3．若等差数列{an}的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝. 4．若等差数列{an}的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)·an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，＝. 知识点三：等差数列{an}的前n项和公式的函数特征 1．公式Sn＝na1＋可化成关于n的表达式：Sn＝n2＋n.当d≠0时，Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(n，Sn)在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线y＝x2＋x上横坐标为正整数的一系列孤立的点． 2．等差数列前n项和的最值 (1)在等差数列{an}中， 当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定； 当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定． (2)Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值．当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值． 【题型归纳】 题型一：等差数列前n项和的基本量计算 【例1】．（24-25高二下·全国·课堂例题）（1）在等差数列中，已知，，，求和； （2）在等差数列中，已知，，求； （3）在等差数列中，已知，求 （4）求等差数列1，5，9，…，401各项的和； 【答案】（1），；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）由等差数列求和公式、通项公式代入求解即可； （2）由等差数列通项公式求和首项，公差，即可求解； （3）由等差数列求和公式即可求解； （4）由等差数列求和公式即可求解； 【详解】（1）由题意得，解得． 又，∴，∴，． （2）设等差数列的公差为， ，， ，解得， 则． （3）因为，所以． （4）由题意可得等差数列1，5，9，，401的通项公式，共有101项， . 【变式1】．（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中： (1)已知，，，求及； (2)已知，，，求； (3)已知，求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据等差数列求和公式和通项公式相关概念直接计算； （2）根据等差数列求和公式和通项公式相关概念直接计算； （3）方法一：根据题意得到，结合等差数列通项公式进行计算；方法二：结合题意得到，利用等差数列的性质直接求解即可. 【详解】（1）在等差数列中，已知，，， 所以， 所以整理得，解得或（负值舍去）， 所以. （2）在等差数列中，已知，，， 所以，所以， 又因为，所以. （3）在等差数列中，， 方法一：由，即， 所以. 方法二：由，得， 所以. 【变式2】．（21-22高二·江苏·课后作业）在等差数列中， (1)已知，，求； (2)已知，求； (3)已知，，求； (4)已知，，，求． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【分析】（1）应用等差数列通项公式、前n项和公式求基本量，进而求； （2）应用等差数列下标和的性质有，进而求. （3）由等差数列前n项和公式及已知可得，再由通项公式求公差d，进而写出. （4）由，应用等差数列通项公式求基本量即可. 【详解】（1）设公差为d，则，解得， 所以. （2）由，而，所以. （3）由题设，，而，则，若公差为d， 则，可得， 所以. （4）由，又，， 所以，可得. 题型二：等差数列前n项和的最值问题 【例2】．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知等差数列的前项和为，若，，则当取得最小值时，（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】先利用与等差数列前项和公式分析项的符号，再利用分析项的符号，最后判断的最小值即可. 【详解】由等差数列前项和公式得：， 因为，所以，即， 因为，所以， 又因为，可得，即， 由，可知数列前6项为负，第7项开始为正， 因此当取得最小值时，. 故选：C. 【变式1】．（25-26高二上·甘肃平凉·月考）设为等差数列的前项和，且，若，则的最小值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．31 【答案】C 【分析】由等差数列的性质及前项和求解． 【详解】由，得，又，所以， 等差数列的公差， 即是递减数列，由，得， 所以时，， 由，得， 所以当时，的最小值为30. 故选：C. 【变式2】．（24-25高二下·重庆·期末）等差数列的公差为d，前n项和为，若，，则当取得最大值时，（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】先求出数列的通项公式，由，，知当取得最大值时有，然后求解即可. 【详解】， 解得，，所以， 所以当取得最大值时，，即，解得， 又，所以. 故选：C 题型三：等差数列片段和的性质 【例3】．（25-26高二上·宁夏银川·月考）已知等差数列前项和，则 . 【答案】 【分析】根据等差数列中，成等差数列，代数计算，即可得答案. 【详解】因为为等差数列，所以成等差数列， 所以，即， 解得. 故答案为： 【变式1】．（25-26高二上·吉林四平·月考）已知等差数列的前项和为，若，则 . 【答案】56 【分析】利用等差数列前项和的性质结合等差中项即可求解 【详解】因为是等差数列，所以成等差数列， 则，即，解得. 故答案为： 【变式2】．（24-25高二下·陕西榆林·月考）在等差数列中，为其前项和，若，，则的值为 ． 【答案】30 【分析】由等差数列前项和性质可得，，也是等差数列，运算即可． 【详解】由题意，得，，也是等差数列， 即， 又，，所以，解得． 故答案为：30 题型四：等差数列前n项和与n的比值问题 【例4】．（24-25高二下·四川乐山·期末）已知是等差数列的前项和，设为数列的前项和，若，，则 . 【答案】 【分析】根据等差数列性质，可得数列为等差数列，求出其公差和首项，利用等差数列前项和公式求解. 【详解】根据等差数列性质，数列为等差数列，设其公差为. 因为，， ，又，， . 故答案为：. 【变式1】．（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中，，其前n项和为，若，则 ． 【答案】 【分析】由等差数列前n项和的性质,知也为等差数列，由题意得其公差，，根据等差数列的通项公式可得，即可求解. 【详解】由等差数列前n项和的性质可知，数列也为等差数列， 设其公差为d，则由， 可得，即． 又， 所以， 所以． 故答案为：. 【变式2】．（2024高三·全国·专题练习）在等差数列中，，其前项和为，若，则 . 【答案】 【分析】根据题意，由条件可得是以为首项，为公差的等差数列，再由等差数列的通项公式即可得到结果. 【详解】设等差数列的前项和为，则，所以是等差数列． 因为，所以的公差为，又， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以. 故答案为： 题型五：两个等差数列前n项和的比值问题 【例5】．（25-26高三上·湖南·月考）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则 . 【答案】 【分析】由等差数列性质，可得，然后由等差数列前n项和性质可得 ，据此可得答案. 【详解】由等差数列性质，可得，， 则，，从而. 又，则. 故答案为： 【变式1】．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知数列和都是等差数列，且前项和分别为，，若，则 ． 【答案】 【分析】由题可设，，然后表示出即可求解. 【详解】数列、为等差数列，且 ， 可设，， 则， 所以. 故答案为：. 【变式2】．（24-25高二下·山西长治·期中）已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则 ． 【答案】 【分析】利用等差数列的性质得，又，利用即可求解. 【详解】由题意得， 所以，又， 所以， 故答案为：. 题型六：等差数列前n项和偶数项和奇数项 【例6】．（25-26高二上·全国·单元测试）已知一个项数为的等差数列，设其前项和为，其所有奇数项的和为480，所有偶数项的和为360，公差，则当为偶数时，此数列首尾两项之和为 ． 【答案】56 【分析】只需根据等差数列前项和性质求得的值，再结合等差数列性质即可求解. 【详解】当为偶数时，由题意可知， 所以，所以， 此时，解得， ，解得， 则． 故答案为：56. 【变式1】．（24-25高二·全国·课堂例题）若等差数列的项数为，则 ． 【答案】 【分析】根据，与联立求出，即可化简得到结果. 【详解】因 联立解得： 故. 故答案为：. 【变式2】．（22-23高二上·江苏苏州·月考）一个等差数列共有偶数项,偶数项之和为84,奇数项之和为51,最后一项与第一项之差为63,则该数列公差为 . 【答案】3 【分析】根据等差数列前项和公式,设出首相公差和项数，列出等式,计算出项数和公差即可. 【详解】解:由题知不妨设等差数列为,首项为,公差为,项数为, 故有 , 两式相减, 因为, 故, 故. 故答案为:3 题型七：等差数列前n项和绝对值问题 【例7】．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由与的关系即可求解； （2）结合数列项的正负特点对的范围进行分类讨论，然后结合等差数列的求和公式即可求解. 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以； （2）由可知当时，，当时，． 当时，， 当时，， 所以 【变式1】．（25-26高二上·重庆·期中）已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式. (2)记，数列的前项和为，求. 【答案】(1)，. (2)，. 【分析】（1）设公差为，利用条件等式计算，分类讨论的取值，验证再利用等差数列的通项公式计算即可； （2）利用（1）的结论，分类讨论的范围，结合等差数列求和公式计算即可. 【详解】（1）设的公差为，由，则或， 若，则，此时，， 满足条件等式； 若，则， 此时，， 不满足条件等式，舍去； 综上，. （2）由上可知， 所以当时， 此时， 当时， 此时 ， 综上，. 【变式2】．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知数列为公差为的等差数列，其前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)当公差不为0时， （i）求使成立的的取值； （ii）求数列的前项和. 【答案】(1)或 (2)（i）且  （ii） 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式，列式求解即可； （2）写出，解不等式即可；按照和两种情况结合等差数列的前项和公式求出即可. 【详解】（1）因为，， 则，解得或， 则数列的通项公式或. （2）（i）因为公差不为0，则，， 令，即，且， 所以的取值为且. （ii）由时，令，则， 当时，，此时， 则此时； 当时，，此时， 则 综上，. 题型八：等差数列的简单应用 【例8】．（24-25高二下·广东佛山·期中）小明从店购买了一辆价格为25万元的家用轿车，首付11万元，剩余的款项采用分期付款的方式还款，还款方式为：每年年底还固定款项2万元以及余款的当年利息，年利率为10%，直到全部还完为止．则购买这辆车小明最后实际共花（   ） A．28.5万元 B．30.6万元 C．31.8万元 D．32.2万元 【答案】B 【分析】设每次付款数组成数列，结合题意可得数列是首项3.4，公差为的等差数列，进而结合等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】首付11万元，余款14万元，按题意可知是分7次还清， 设每次付款数组成数列， 则（万元）， （万元）， （万元），， （万元）， 因而数列是首项3.4，公差为的等差数列， 则（万元）， 因此购车款最后实际共付万元. 故选：B. 【变式1】．（24-25高二下·四川眉山·期中）《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共出百钱，欲令高爵出少，以次渐多，问各几何？”意思是：“有大夫、不更、簪袅、上造、公士（爵位依次降低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增的等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若上造出27钱，则公士出钱数为（ ） A．31钱 B．32钱 C．33钱 D．34钱 【答案】D 【分析】根据给定条件，列式求出等差数列的公差，进而求出目标值. 【详解】设等差数列的公差为，为5人出钱数依次为， 依题意，，解得， 所以公士出钱数为34钱. 故选：D 【变式2】．（24-25高二下·安徽阜阳·月考）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”其意思是：现有一位善于步行的人，第一天行走了100里，以后每一天比前一天多走相同的里程数，九天他共行走了1260里，问每天增加的里程数是多少?关于该问题，有下述四个结论: ①从第二天起，每一天比前一天增加的里程数为10； ②此人第五天行走了150里； ③此人前六天共行走了750里； ④此人前八天共行走的里程是第九天行走里程的8倍. 所有正确结论的序号为（   ） A．①④ B．②③ C．②④ D．①③ 【答案】D 【分析】由题意可得出关于、方程组，解出的值，可判断①选项；利用等差数列的通项公式可判断②选项；利用等差数列的求和公式可判断③④选项. 【详解】设此人第天走里，则数列是公差为的等差数列， 记数列的前项和为， 对于①，由题意可得，解得，①结论正确； 对于②，，故②错误； 对于③，，故③正确； 对于④，，， 而，故④错误； 故选：D. 题型九：等差数列的最值求参数问题 【例9】．（24-25高二下·北京·期中）已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由数列通项可证明数列为等差数列，再由恒成立即可得，解不等式即可求得结果. 【详解】根据题意令， 显然为常数； 所以为等差数列，首项为， 由对任意的恒成立,可知数列为递减数列，且从第11项起开始小于等于0， 所以，即，解得， 故选：A 【变式1】．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等差数列满足，，且数列的前n项和有最大值，那么取最小正值时，n等于（    ） A．4045 B．4046 C．4035 D．4034 【答案】A 【分析】由题可知数列是递减的等差数列，再由前n项和公式和下角标和的性质即可求解. 【详解】因为数列的前n项和有最大值，所以数列是递减的等差数列， 又，，所以， 即数列的前2023项为正数，从第2024项开始为负数， 由等差数列求和公式和性质可知， ， ， 所以当取最小正值时，． 故选：A. 【变式2】．（23-24高二上·云南昆明·月考）等差数列的前n项和为，已知，若存在正整数k，使得对任意，都有恒成立，则k的值为（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】B 【分析】利用等差数列定义结合题意可得等差数列通项公式，再利用等差数列前n项和的性质结合等差数列通项公式计算即可得解. 【详解】设等差数列的公差为，则， 即有，则， 即， 令，解得，故当时，， 即恒成立，故k的值为20. 故选：B. 题型十:等差数列求和的综合问题 【例10】．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知等差数列的公差，其前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，且时，恒成立，试求实数的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列前n项和及通项公式基本量的运算求解即可； （2）先判断数列的单调性，然后利用单调性求解数列最大值即可求解. 【详解】（1）由，可得，解得． 所以． （2）因为，且时，恒成立，所以， 因为时，，所以， 所以时，数列单调递减， 所以，所以，即实数的最小值为． 【变式1】．（25-26高二上·广西贺州·月考）已知正项数列满足（且），. (1)求； (2)求的通项公式； (3)设的前项和为，若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用递推式逐项求解即可； （2）结合题意，将递推式变形为，然后利用等差数列的定义及通项公式求解即可； （3）先利用等差数列求和公式求得，然后参变分离得，进而利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为，（且）， 所以，又，所以，，又，所以，，又，所以； （2）因为，所以（且）， 即， 又因为，所以， 所以是以1为首项、1为公差的等差数列， 所以； （3）由（2）得. 所以即为， 又因为，所以该不等式等价于， 又因为（当且仅当时，）. 所以 【变式2】．（24-25高二下·江西上饶·期中）已知等差数列为递增数列，且满足． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和，并求最大值、最小值． 【答案】(1) (2)，最大值为，最小值为． 【分析】（1）根据等差数列的性质可得，求出后可求公差和首项，从而可求通项； （2）利用裂项相消法可求，结合不等式的性质及数列的单调性可求的最值. 【详解】（1）等差数列为递增数列，且满足，故， 即，解得，(不符合递增数列舍去)， 所以该数列的公差， 所以通项公式为． （2）由（1）可得， 又. 当为奇数时， 所以， 同理，当为偶数时， 故， 为奇数时，， 此时， 故的奇数项构成递减数列，故 为偶数时，， 此时， 故的偶数项构成递增数列，故 故的最大值为，最小值为． 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高三上·福建泉州·期中）设等差数列前项和为.若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据下标和的性质及等差数列求和公式计算可得. 【详解】在等差数列中， 又，即，解得. 故选：A 2．（25-26高二上·河北石家庄·月考）已知是等差数列的前项和，若，则使的最小整数（   ） A．22 B．23 C．24 D．25 【答案】C 【分析】根据条件得到，再利用等差数列的性质及前项和公式，即可求出结果. 【详解】等差数列的前项和为，由，且， 得，所以， 则数列的公差，所以数列是递增的等差数列， 且当时，，当时，， 又， 所以使成立的最小的为24， 故选：C． 3．（25-26高二上·江苏南京·月考）设等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A． B． C． D．与有关 【答案】C 【分析】根据等差数列的前项和性质可知：成等差数列，然后根据等差中项计算即可. 【详解】由题可知：成等差数列 所以， 又，所以 故选：C 4．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．10 B．19 C．21 D．29 【答案】B 【分析】设项数为，则，再利用等差中项的性质和等差数列的求和公式化简，然后计算可得. 【详解】设项数为， 则， . 此数列共有19项. 故选：B 5．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】设等差数列的公差为，利用等差数列的前项和公式求出，再计算即可. 【详解】设等差数列的公差为，则， 则，得， 则. 故选：C 6．（25-26高二上·河南·期末）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，则谷雨日影长为（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】C 【分析】根据给定条件，构造等差数列，结合等差数列通项及前n项和求解即得. 【详解】设冬至日、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种 这十二个节气的日影长分别为，前n项和， 由小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺， 得，解得， 所以谷雨日影长为（尺）. 故选：C 7．（25-26高二上·河北沧州·期中）已知等差数列，的前项和分别为和，若，则满足的正整数有（   ） A．1个 B．2个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】根据等差数列前项和的性质，由，从而可设（），，由通项与前项和的关系利用相减法可得通项，从而可得，结合分式与整式的性质即可得结论. 【详解】因为等差数列,的前n项和分别为和,， 所以可设（），， 所以时，， 又满足上式，所以（）， 时，， 又满足上式，所以,， 则， 因为，所以是63的正因数，63的正因数有1，3，7，9，21，63， 又，则，解得；，解得， 所以，15，即满足的正整数n有2个. 故选：B. 8．（25-26高二上·浙江宁波·期中）设等差数列的前项和为，若有最大值，且，则中最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差数列的性质可知，，依次分析选项即可得到的最大值. 【详解】因为等差数列的前项和为，且有最大值，所以公差， 由，可得，故有最大值为， 又，单调递减，且， 所以当时，,单调递减，单调递增，此时最大； 当时，，，则， ，则， 同理可得均大于0，则 综上，最大； 故选：B 9．（25-26高三上·河北邢台·期中）已知公差为的等差数列的前项和为，若，，则下列说法错误的是（   ） A． B． C．若，则的最大值为12 D．前100项中，被7除余3的有14项 【答案】D 【分析】由等差数列求和公式和通项公式基本量计算，得到首项和公差，进而逐项判断即可. 【详解】由题意及等差数列的前项和公式， ，， 即：即， 解得所以，故A，B正确． ，解不等式，，得， 所以的最大值为12，故C正确． 因为在自然数中，被7除余3的数可表示为，， ，解不等式，得，又，所以有15项，故D错误． 故选：D． 10．（25-26高二上·北京·期中）已知数列满足：，对于任意的，有，，则（    ） A．5050 B．50 C． D． 【答案】D 【分析】根据题设可推出，再根据求出其通项，最后分组求和即可. 【详解】，即， 则，且 则为首项为0的常数列， 则，则， 又因为，且，可知数列的项的符号正负交替， 则当为奇数时，， 当为偶数时，， 则. 故选：D. 二、多选题 11．（25-26高三上·江苏南通·期中）设等差数列的前n项的和为，若，，则（ ） A． B． C．当时，取最大值 D．数列是递减数列 【答案】ACD 【分析】根据等差数列性质可得，.对于A：根据通项公式可得，；对于B：根据等差数列性质可得，即可判断；对于C：分析数列的符号性，进而判断的最值；对于D：整理可得，结合数列单调性的定义分析判断. 【详解】因为，，则， 对于选项A：可得公差，，故A正确； 对于选项B：可得，故B错误； 对于选项C：因为等差数列为递减数列， 当时，；当时，； 所以当时，取最大值，故C正确； 对于选项D：因为， 则， 所以数列是递减数列，故D正确； 故选：ACD. 12．（25-26高二上·江苏泰州·月考）数列满足：，，则（    ） A． B． C．数列为等差数列 D．数列的前8项和为36 【答案】ACD 【分析】由已知，求出数列的通项，然后依次验证即可. 【详解】由， 所以，， ，又，满足， 所以，故B错误；则，故A正确； 由，所以数列为等差数列，故C正确； 数列的前8项和为，故D正确. 故选：ACD. 13．（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知等差数列的公差为，其前项和为，若，下列论断中正确的有（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．当或11时，取得最大值 【答案】AC 【分析】根据题意结合等差数列性质可得.对于A：分析可得，即可判断；对于B：分析可知，即可判断；对于C：整理可得，，即可判断；对于D：举反例说明即可. 【详解】因为，则，即. 对于选项A：因为，故A正确； 对于选项B：若，可知数列为递增数列，则， 所以，故B错误； 对于选项C：因为，， 若，即，则，即，故C正确； 对于选项D：例如，则， 因为的图象开口向上，对称轴为， 结合对称性可知当或11时，取得最小值，故D错误； 故选：AC. 14．（25-26高二上·宁夏银川·月考）在等差数列中，，，记数列的前项和为，下列选项正确的是（   ） A． B．数列是递增数列 C． D．数列的前10项和为50 【答案】ABD 【分析】通过等差数列项的关系求首项与公差，得通项后确定项的正负分界，计算的单调性及前项和，再分段计算的前10项和，验证各选项. 【详解】设等差数列的公差为， 由得，由得. 两式相减得，故. 代入，得. 数列通项为. 前项和， 故，数列随增大而增大，是递增数列. 计算，，， 故. 令，解得，即前5项为负，从第6项起为正. 的前10项和为， 代入得. 故选：ABD. 15．（25-26高二上·江苏常州·月考）设是等差数列的前项和，若，，则（    ） A． B．中最小值为 C．当取得最大值时， D．使成立的最大整数为15 【答案】ABC 【分析】根据题意，利用等差数列的求和公式和等差数列的性质，求得，且，，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由，可得， 又因为，可得，即，所以， 所以，所以A正确； 对于B，因为，且，所以且，所以B正确； 对于C，在等差数列中，由且， 则当时，可得；当时，可得， 所以当取得最大值时，，所以C正确； 对于D，由，且， 所以使得成立的最大整数为，所以D错误. 故选：ABC. 16．（25-26高二上·江苏常州·月考）设为不超过x的最大整数，为可能取到所有值的个数，是数列前n项的和，则下列结论正确的是（    ） A． B．189是数列中的项 C． D．当时，取最小值 【答案】ACD 【分析】根据题意，列举的值，归纳求得，可判定A正确，B不正确；由，结合裂项法求和，求得，可判定C正确；由，结合基本不等式和，可判定D正确. 【详解】当时，，所以，即； 当时，，所以，即； 当时，， 所以，即； 以此类推， 当时，， 所以可以取的个数为，即， 当时，也满足上式，所以， 对于A，由，所以A正确； 对于B，令，即，方程无整数解，所以B错误； 对于C，由， 所以， 所以，所以C正确； 对于D，由， 当且仅当时，即时，等号成立，可得， 因为，当时，；当时，， 又因为，所以当时，取最小值，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题 17．（2026高三·全国·专题练习）在公差不为零的等差数列中，，则 ． 【答案】16 【分析】根据等差数列前项和的性质及下标和性质求解. 【详解】因为，所以， 所以，得. 故答案为：16. 18．（24-25高二下·贵州遵义·月考）在等差数列中，，设，则 . 【答案】 【分析】首先求出等差数列的通项公式，判断出正负项，进而化简求值. 【详解】因为在等差数列中，，所以公差， 所以. 由一次函数的性质可知当时，；当时，， 设等差数列的前项和为，则. 所以. 故答案为：. 19．（2025高二上·山西临汾·专题练习）已知公差为的等差数列的前项和为，且，，则的取值范围是 【答案】 【分析】根据条件，利用等差数列的性质和前项和公式，得，，再利用等差数列的通项公式，即可求解. 【详解】因为，， 所以，，所以，， 又由，，得，即，解得 故答案为：. 20．（2025高二·全国·专题练习）已知递增数列的前项和满足，，设，若对任意，不等式恒成立，则的最小值为 . 【答案】4045 【分析】利用相减法由可得，从而得等差，利用裂项相消法得到，解得的范围，代入计算得到答案. 【详解】因为，当时，，， 当时，，， 相减得，又， 相减得，故是等差数列，则，， 所以， ，， . 故答案为：4045. 四、解答题 21．（2025高二上·江苏南京·专题练习）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用作差法求出的值，进而得到的通项. （2）由（1）的结论求出，再按分段，并结合等差数列的前n项和公式求解. 【详解】（1）在数列中，， 当时，， 两式相减，得，则，当n＝1时，，即，满足上式， 所以的通项公式是. （2）由（1）知，， 令，得，则，记， 当时，，则； 当时，，则 ， 所以数列的前n项和. 22．（25-26高二上·河北邯郸·月考）已知是等差数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)求的最值； (3)设，求数列的前20项和. 【答案】(1) (2)最小值为-42，无最大值. (3)106 【分析】（1）根据等差数列的求和公式建立方程组可得答案； （2）根据通项公式的特点可求最小值，没有最大值； （3）先求出的通项公式，根据等差数列求和公式可得答案. 【详解】（1）设数列的首项为，公差为， 则 解得， 故的通项公式为. （2）因为，所以单调递增. 因为，所以的最小值为，无最大值. （3）由（1）可知，， 所以易知为等差数列. 设的前项和为，则， 所以数列的前20项和为 23．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知为等差数列，，记分别为数列的前n项和， (1)求数列的通项公式； (2)证明： 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）根据题意结合等差数列性质可得，，进而求，即可得公差； （2）根据等差数列求和公式结合分组求和法分别求，进而比较大小. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，即， 又因为，则，，， 可得，即， 则，解得， 所以数列的通项公式. （2）由（1）可知：，， 则， 且 ， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以. 24．（25-26高二上·云南曲靖·期中）记为等差数列的前项和，已知 (1)求数列的通项公式； (2)记数列，的前项和为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式，求和公式，列方程组求解； （2）利用分组求和，将奇数项、偶数项的和分别由常数列、等差数列求和即可求出结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，解得， 所以； （2）由（1）得， . 25．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）正项数列满足：，对一切，有其中为数列的前项和. (1)证明是等差数列，并求出的通项公式； (2)若数列前项和，求数列的通项公式； (3)若，数列的前项和为，求的最大值和最小值. 【答案】(1)证明见解析， (2) (3)最大值为3，最小值为 【分析】（1）根据与的关系作差化简得出，再结合等差数列的定义和通项公式可求解； （2）利用计算； （3）利用裂项相消计算，再结合其增减性可得. 【详解】（1）因，则当时，， 两式作差得，即， 因，则， 当时，，又解得，则满足上式，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 其通项公式为； （2）由（1）得，当时，， 因，满足上式，所以其通项公式为； （3）， 则， 当为奇数时，，为递减数列，又，则；当为偶数时，，为递增数列， 又，则； 则的最大值为，最小值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲：等差数列的前n项和公式 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一：等差数列的前n项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋d 知识点二：等差数列前n项和的性质 1．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为. 2．设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d. 3．若等差数列{an}的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝. 4．若等差数列{an}的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)·an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，＝. 知识点三：等差数列{an}的前n项和公式的函数特征 1．公式Sn＝na1＋可化成关于n的表达式：Sn＝n2＋n.当d≠0时，Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(n，Sn)在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线y＝x2＋x上横坐标为正整数的一系列孤立的点． 2．等差数列前n项和的最值 (1)在等差数列{an}中， 当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定； 当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定． (2)Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值．当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值． 【题型归纳】 题型一：等差数列前n项和的基本量计算 【例1】．（24-25高二下·全国·课堂例题）（1）在等差数列中，已知，，，求和； （2）在等差数列中，已知，，求； （3）在等差数列中，已知，求 （4）求等差数列1，5，9，…，401各项的和； 【变式1】．（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中： (1)已知，，，求及； (2)已知，，，求； (3)已知，求. 【变式2】．（21-22高二·江苏·课后作业）在等差数列中， (1)已知，，求； (2)已知，求； (3)已知，，求； (4)已知，，，求． 题型二：等差数列前n项和的最值问题 【例2】．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知等差数列的前项和为，若，，则当取得最小值时，（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1】．（25-26高二上·甘肃平凉·月考）设为等差数列的前项和，且，若，则的最小值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．31 【变式2】．（24-25高二下·重庆·期末）等差数列的公差为d，前n项和为，若，，则当取得最大值时，（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型三：等差数列片段和的性质 【例3】．（25-26高二上·宁夏银川·月考）已知等差数列前项和，则 . 【变式1】．（25-26高二上·吉林四平·月考）已知等差数列的前项和为，若，则 . 【变式2】．（24-25高二下·陕西榆林·月考）在等差数列中，为其前项和，若，，则的值为 ． 题型四：等差数列前n项和与n的比值问题 【例4】．（24-25高二下·四川乐山·期末）已知是等差数列的前项和，设为数列的前项和，若，，则 . 【变式1】．（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中，，其前n项和为，若，则 ． 【变式2】．（2024高三·全国·专题练习）在等差数列中，，其前项和为，若，则 . 题型五：两个等差数列前n项和的比值问题 【例5】．（25-26高三上·湖南·月考）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则 . 【变式1】．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知数列和都是等差数列，且前项和分别为，，若，则 ． 【变式2】．（24-25高二下·山西长治·期中）已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则 ． 题型六：等差数列前n项和偶数项和奇数项 【例6】．（25-26高二上·全国·单元测试）已知一个项数为的等差数列，设其前项和为，其所有奇数项的和为480，所有偶数项的和为360，公差，则当为偶数时，此数列首尾两项之和为 ． 【变式1】．（24-25高二·全国·课堂例题）若等差数列的项数为，则 ． 【变式2】．（22-23高二上·江苏苏州·月考）一个等差数列共有偶数项,偶数项之和为84,奇数项之和为51,最后一项与第一项之差为63,则该数列公差为 . 题型七：等差数列前n项和绝对值问题 【例7】．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 【变式1】．（25-26高二上·重庆·期中）已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式. (2)记，数列的前项和为，求. 【变式2】．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知数列为公差为的等差数列，其前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)当公差不为0时， （i）求使成立的的取值； （ii）求数列的前项和. 题型八：等差数列的简单应用 【例8】．（24-25高二下·广东佛山·期中）小明从店购买了一辆价格为25万元的家用轿车，首付11万元，剩余的款项采用分期付款的方式还款，还款方式为：每年年底还固定款项2万元以及余款的当年利息，年利率为10%，直到全部还完为止．则购买这辆车小明最后实际共花（   ） A．28.5万元 B．30.6万元 C．31.8万元 D．32.2万元 【变式1】．（24-25高二下·四川眉山·期中）《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共出百钱，欲令高爵出少，以次渐多，问各几何？”意思是：“有大夫、不更、簪袅、上造、公士（爵位依次降低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增的等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若上造出27钱，则公士出钱数为（ ） A．31钱 B．32钱 C．33钱 D．34钱 【变式2】．（24-25高二下·安徽阜阳·月考）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”其意思是：现有一位善于步行的人，第一天行走了100里，以后每一天比前一天多走相同的里程数，九天他共行走了1260里，问每天增加的里程数是多少?关于该问题，有下述四个结论: ①从第二天起，每一天比前一天增加的里程数为10； ②此人第五天行走了150里； ③此人前六天共行走了750里； ④此人前八天共行走的里程是第九天行走里程的8倍. 所有正确结论的序号为（   ） A．①④ B．②③ C．②④ D．①③ 题型九：等差数列的最值求参数问题 【例9】．（24-25高二下·北京·期中）已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等差数列满足，，且数列的前n项和有最大值，那么取最小正值时，n等于（    ） A．4045 B．4046 C．4035 D．4034 【变式2】．（23-24高二上·云南昆明·月考）等差数列的前n项和为，已知，若存在正整数k，使得对任意，都有恒成立，则k的值为（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 题型十:等差数列求和的综合问题 【例10】．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知等差数列的公差，其前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，且时，恒成立，试求实数的最小值． 【变式1】．（25-26高二上·广西贺州·月考）已知正项数列满足（且），. (1)求； (2)求的通项公式； (3)设的前项和为，若恒成立，求的取值范围． 【变式2】．（24-25高二下·江西上饶·期中）已知等差数列为递增数列，且满足． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和，并求最大值、最小值． 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高三上·福建泉州·期中）设等差数列前项和为.若，则（    ） A． B． C．1 D． 2．（25-26高二上·河北石家庄·月考）已知是等差数列的前项和，若，则使的最小整数（   ） A．22 B．23 C．24 D．25 3．（25-26高二上·江苏南京·月考）设等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A． B． C． D．与有关 4．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．10 B．19 C．21 D．29 5．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 6．（25-26高二上·河南·期末）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，则谷雨日影长为（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 7．（25-26高二上·河北沧州·期中）已知等差数列，的前项和分别为和，若，则满足的正整数有（   ） A．1个 B．2个 C．5个 D．6个 8．（25-26高二上·浙江宁波·期中）设等差数列的前项和为，若有最大值，且，则中最大的是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·河北邢台·期中）已知公差为的等差数列的前项和为，若，，则下列说法错误的是（   ） A． B． C．若，则的最大值为12 D．前100项中，被7除余3的有14项 10．（25-26高二上·北京·期中）已知数列满足：，对于任意的，有，，则（    ） A．5050 B．50 C． D． 二、多选题 11．（25-26高三上·江苏南通·期中）设等差数列的前n项的和为，若，，则（ ） A． B． C．当时，取最大值 D．数列是递减数列 12．（25-26高二上·江苏泰州·月考）数列满足：，，则（    ） A． B． C．数列为等差数列 D．数列的前8项和为36 13．（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知等差数列的公差为，其前项和为，若，下列论断中正确的有（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．当或11时，取得最大值 14．（25-26高二上·宁夏银川·月考）在等差数列中，，，记数列的前项和为，下列选项正确的是（   ） A． B．数列是递增数列 C． D．数列的前10项和为50 15．（25-26高二上·江苏常州·月考）设是等差数列的前项和，若，，则（    ） A． B．中最小值为 C．当取得最大值时， D．使成立的最大整数为15 16．（25-26高二上·江苏常州·月考）设为不超过x的最大整数，为可能取到所有值的个数，是数列前n项的和，则下列结论正确的是（    ） A． B．189是数列中的项 C． D．当时，取最小值 三、填空题 17．（2026高三·全国·专题练习）在公差不为零的等差数列中，，则 ． 18．（24-25高二下·贵州遵义·月考）在等差数列中，，设，则 . 19．（2025高二上·山西临汾·专题练习）已知公差为的等差数列的前项和为，且，，则的取值范围是 20．（2025高二·全国·专题练习）已知递增数列的前项和满足，，设，若对任意，不等式恒成立，则的最小值为 . 四、解答题 21．（2025高二上·江苏南京·专题练习）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 22．（25-26高二上·河北邯郸·月考）已知是等差数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)求的最值； (3)设，求数列的前20项和. 23．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知为等差数列，，记分别为数列的前n项和， (1)求数列的通项公式； (2)证明： 24．（25-26高二上·云南曲靖·期中）记为等差数列的前项和，已知 (1)求数列的通项公式； (2)记数列，的前项和为，求． 25．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）正项数列满足：，对一切，有其中为数列的前项和. (1)证明是等差数列，并求出的通项公式； (2)若数列前项和，求数列的通项公式； (3)若，数列的前项和为，求的最大值和最小值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $