第02讲：等差数列的概念【七大考点+七大题型】讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列

本讲义聚焦等差数列核心知识，系统梳理从概念（第2项起差为常数）、等差中项（2A=a+b）、通项公式（aₙ=a₁+(n-1)d）到函数角度（点在直线上）及性质（下标性质、运算性质等）的完整脉络，搭建从基础定义到深层应用的学习支架。 资料以七类题型为载体，涵盖定义法求通项、基本量计算等，如“等差数列的应用”结合天干地支纪年培养数学眼光，“判定与证明”题提升推理思维，例题配变式设计助课中教学，课后可通过“高分达标”练习查漏补缺，强化数学语言表达与知识应用能力。

第02讲：等差数列的概念 【考点梳理】 【考点梳理】 知识点一：等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，公差可正可负可为零． 知识点二：等差中项的概念 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项且2A＝a＋b. 知识点三：等差数列的通项公式 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d. 知识点四：从函数角度认识等差数列 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)． (1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1－d ； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d. 知识点五：等差数列的性质 1：等差数列通项公式的变形及推广 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 ①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，③d＝(m，n∈N*，且m≠n)．其中，①的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上． ②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1. ③可用来由等差数列任两项求公差． 2：等差数列的性质 1．若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为kd的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) 2.下标性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. 特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝2ap. 3．在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列． 4．等差数列{an}的公差为d，则d>0⇔{an}为递增数列；d<0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列． 【题型归纳】 题型一：利用定义法求等差数列的通项公式 【例1】．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第（   ）项 A．10 B．11 C．12 D．13 【变式1】．（25-26高三上·四川绵阳·期中）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高二下·辽宁丹东·期末）已知各项均为正数的数列中，，，则（    ） A．400 B．600 C．800 D．1000 题型二：等差数列的通项公式基本量的计算 【例2】．（24-25高二上·广东梅州·月考）等差数列中， (1)已知，求的值； (2)若，求的值． 【变式1】．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)数列中有多少项在到之间. 【变式2】．（25-26高二·全国·假期作业）在等差数列中，，． (1)求的值； (2)2026是否为数列中的项？若是，则为第几项？ 题型三：等差中项及应用 【例3】．（2025·广西来宾·模拟预测）在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为 ． 【变式1】．（24-25高二下·上海青浦·期末）与的等差中项为 . 【变式2】．（25-26高二上·全国·单元测试）已知四个正数成等差数列，则（    ） A． B． C． D．3 题型四：等差数列性质的应用 【例4】．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知为等差数列，，，则（   ） A．6 B．5 C．12 D．8 【变式1】．（25-26高三上·广西桂林·开学考试）已知数列为等差数列，若，则（   ） A．2026 B．2025 C．1013 D．1012.5 【变式2】．（2025·辽宁·二模）已知等差数列满足，，则（    ） A．1 B． C．4 D．8 题型五：等差数列的应用 【例5】．（22-23高三上·山东·月考）若将2至2022这2021个整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，则此数列的项数是（    ） A．95 B．96 C．97 D．98 【变式1】．（22-23高三上·江苏淮安·月考）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2022年是壬寅年，请问：在100年后的2122年为（    ） A．壬午年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年 【变式2】．（22-23高三上·辽宁·期末）我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们.定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学，当代密码学研究及日常生活都有着广泛的应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中能被3除余2，且被5除余3，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，那么此数列的项数为（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 题型六：等差数列的最大（小）项 【例6】．（20-21高二上·江苏无锡·期中）数列是等差数列，，数列满足，，设为的前项和，则当取得最大值时，的值等于（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【变式1】．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝ ． 【变式2】．（20-21高二上·上海浦东新·期中）在等差数列中，且，是数列前项的和，若取得最大值，则 题型七：等差数列的判定与证明 【例7】．（2025高二上·福建厦门·专题练习）已知数列满足，（）． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【变式1】．（25-26高二上·重庆·期中）数列 满足 . (1)求证:数列 是等差数列； (2)求数列 的通项公式． 【变式2】．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列的前项和满足.其中. (1)求的值. (2)求证：数列为等差数列. (3)证明：不等式对任意的正整数，都成立. 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高二·全国·假期作业）已知数列为等差数列，且满足，，则的值为（    ） A．2036 B．2126 C．126 D．3 2．（25-26高二上·重庆·期中）已知等差数列 满足 ，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏南京·月考）设数列是等差数列，“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 4．（25-26高二上·广东·期末）已知数列与均为等差数列，且，，则（    ） A．9 B．18 C．16 D．27 5．（25-26高二上·重庆·期中）在等差数列 中， ， ，则 的公差为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）设数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列的首项，且满足.则取最大值时，取值为（ ） A．2 B．4 C．6 D． 8．（25-26高二上·江苏镇江·期中）已知数列中，，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二·全国·假期作业）已知等差数列满足且公差，则该数列中一定不为零的项为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·浙江宁波·期中）下列有关数列的说法正确的是（ ） A．已知数列为等差数列，若，则1013 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．在数列1，，，2，，....，第8个数是 D．数列的前项和为，已知，是递增数列 11．（25-26高二上·甘肃平凉·月考）设数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C．是等差数列 D． 12．（25-26高三上·湖南·期中）若是等差数列，且，则（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高二上·江苏镇江·月考）设是等差数列，下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 14．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知数列共有项，且满足，，则下列说法正确的是（    ） A．数列是公差为或公差为的等差数列 B．的最小值是，最大值是 C．若，则满足条件的数组的组数共有组 D．符合已知条件且满足的数列的个数为个 15．（24-25高二下·河南濮阳·期末）已知是公差为d的等差数列，，，其中表示不小于x的最小整数，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则， C．若，，则d的取值范围是 D．若，，则d的取值范围是 三、填空题 16．（25-26高二上·云南·月考）已知数列是等差数列，是方程的两个实数根，则的值为 . 17．（25-26高二上·江苏·期中）在数列中，，，则的值为 . 18．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足：，则通项 ． 19．（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知等差数列，现在其每相邻两项之间插入一个数，使之成为一个新的等差数列，则数列的第23项为 ． 20．（2025高二·全国·专题练习）已知在数列中，，，对于且，有，若（，且，互质，则 ． 四、解答题 21．（25-26高二·全国·假期作业）已知在数列中，，，是关于项数n的一次函数． (1)求的通项公式，并求； (2)若是由，，，，…组成的，试归纳的一个通项公式． 22．（25-26高二上·内蒙古通辽·月考）（1）在等差数列中，若，，试判断91是否为此数列中的项． （2）已知数列的前n项和，求的通项公式． 23．（25-26高二上·重庆·期中）在数列中，，，且． (1)证明：是等差数列； (2)求的通项公式． 24．（25-26高二上·江苏南京·月考）（1）已知数列的各项均为正数，且对任意的正整数n，都有成立，证明：数列是等差数列； （2）设数列，，…，，…中的每一项都不为0.对任何，都有.证明：数列为等差数列. 25．（25-26高二上·江苏南通·期中）设等差数列的公差为，且，令，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设不等式对任意正整数均成立，求实数的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲：等差数列的概念 【考点梳理】 【考点梳理】 知识点一：等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，公差可正可负可为零． 知识点二：等差中项的概念 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项且2A＝a＋b. 知识点三：等差数列的通项公式 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d. 知识点四：从函数角度认识等差数列 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)． (1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1－d ； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d. 知识点五：等差数列的性质 1：等差数列通项公式的变形及推广 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 ①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，③d＝(m，n∈N*，且m≠n)．其中，①的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上． ②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1. ③可用来由等差数列任两项求公差． 2：等差数列的性质 1．若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为kd的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) 2.下标性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. 特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝2ap. 3．在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列． 4．等差数列{an}的公差为d，则d>0⇔{an}为递增数列；d<0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列． 【题型归纳】 题型一：利用定义法求等差数列的通项公式 【例1】．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第（   ）项 A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【分析】观察法求出数列的通项公式，令，解方程求出结果即可. 【详解】由题意可知，被开方数是首项为3，公差为2的等差数列， 则该数列的通项公式为，令，解得，故A正确. 故选：A 【变式1】．（25-26高三上·四川绵阳·期中）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，可得，根据等差数列通项公式即可求解. 【详解】因为，所以， 又因为，所以数列为首项，公差为3的等差数列， 所以，所以. 故选：D 【变式2】．（24-25高二下·辽宁丹东·期末）已知各项均为正数的数列中，，，则（    ） A．400 B．600 C．800 D．1000 【答案】C 【分析】根据等差数列的定义和通项公式求解即可. 【详解】因为数列各项均为正数，且，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 所以，， 故选：C 题型二：等差数列的通项公式基本量的计算 【例2】．（24-25高二上·广东梅州·月考）等差数列中， (1)已知，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的性质，利用求出； （2）根据等差数列的性质，利用求出 【详解】（1），，且， （2），，，， 【变式1】．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)数列中有多少项在到之间. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件列出首项和公差的方程组，求解出结果即可求的通项公式； （2）根据求解出的范围，则结果可求. 【详解】（1）设的首项为，公差为， 因为， 所以，解得， 所以. （2）令，所以， 所以，所以项数有项， 所以中有项在到之间. 【变式2】．（25-26高二·全国·假期作业）在等差数列中，，． (1)求的值； (2)2026是否为数列中的项？若是，则为第几项？ 【答案】(1)； (2)2026是数列中的项，第507项. 【分析】（1）利用已知及等差数列的通项公式列方程求基本量，进而求项； （2）由（1）得，再结合已知求基本量判断是否为数列中的项，即可得. 【详解】（1）因为在等差数列中，，解得，， 所以； （2）由（1）得，令，得， 所以2026是数列中的项，即2026为中的第507项. 题型三：等差中项及应用 【例3】．（2025·广西来宾·模拟预测）在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据等差中项性质可得，再利用基本不等式中“1”的应用计算可得结果. 【详解】因为在公差不为0的等差数列中，是与的等差中项， 所以，所以， 因此， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 故答案为： 【变式1】．（24-25高二下·上海青浦·期末）与的等差中项为 . 【答案】2 【分析】根据等差中项定义计算求解. 【详解】与的等差中项为:. 故答案为：2. 【变式2】．（25-26高二上·全国·单元测试）已知四个正数成等差数列，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】由等差数列性质列方程组即可求解. 【详解】因为四个正数成等差数列，所以，解得． 故选：C. 题型四：等差数列性质的应用 【例4】．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知为等差数列，，，则（   ） A．6 B．5 C．12 D．8 【答案】D 【分析】利用等差数列的性质求解. 【详解】为等差数列，，，， ，，，. 故选：D. 【变式1】．（25-26高三上·广西桂林·开学考试）已知数列为等差数列，若，则（   ） A．2026 B．2025 C．1013 D．1012.5 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求解. 【详解】数列为等差数列，所以. 故选：C 【变式2】．（2025·辽宁·二模）已知等差数列满足，，则（    ） A．1 B． C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质有即可求解. 【详解】因为数列为等差数列，且，， 所以，，解得，，所以． 故选：C． 题型五：等差数列的应用 【例5】．（22-23高三上·山东·月考）若将2至2022这2021个整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，则此数列的项数是（    ） A．95 B．96 C．97 D．98 【答案】C 【分析】因为3与7的最小公倍数为21，问题转化为求2至2022这2021个数中被21除余2的数. 【详解】由题意，3与7的最小公倍数为21，被3除余2且被7除余2的数的个数即为被21除余2的个数，又，2至2022这2021个整数中被21除余2的数的个数为：. 故选：C 【变式1】．（22-23高三上·江苏淮安·月考）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2022年是壬寅年，请问：在100年后的2122年为（    ） A．壬午年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年 【答案】A 【分析】将天干和地支分别看作等差数列，结合，，分别求出100年后天干为壬，地支为午，得到答案. 【详解】由题意得：天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列， 由于，余数为0，故100年后天干为壬， 由于，余数为4，故100年后地支为午， 综上：100年后的2122年为壬午年. 故选：A 【变式2】．（22-23高三上·辽宁·期末）我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们.定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学，当代密码学研究及日常生活都有着广泛的应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中能被3除余2，且被5除余3，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，那么此数列的项数为（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】D 【分析】由，，变形得到的通项公式，从而得到不等式组，求出此数列的项数. 【详解】由题意得：能被3除余2的数为2，5，8，11……， 故，， 被5除余3的数为3，8，13……，故，， 被7除余1的数为1，8，15……，故，， 由，，， 故，， 令，解得：， 因为，所以，故此数列的项数为20. 故选：D 题型六：等差数列的最大（小）项 【例6】．（20-21高二上·江苏无锡·期中）数列是等差数列，，数列满足，，设为的前项和，则当取得最大值时，的值等于（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【解析】由，得到首项和公差的关系以及公差的范围，然后求得通项公式，判断的正负，再利用通项与前n项和关系求解. 【详解】设数列的公差为d， 因为， 所以，即， 因为， 所以， 所以， 当时，，当时，， 所以， 又因为， 所以，故中最大 ， 故选：D 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式以及数列前n项和的最值问题，还考查逻辑推理的能力，属于中档题. 【变式1】．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝ ． 【答案】16 【分析】根据题意求通项公式，由通项公式得的单调性，进而根据单调性判断最值. 【详解】由题意，， 令，得，解得， 所以当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 又，，则， 因此当最小时，， 故答案为： 【变式2】．（20-21高二上·上海浦东新·期中）在等差数列中，且，是数列前项的和，若取得最大值，则 【答案】 【解析】求出公差，与通项公式，由可得使取得最大值时的值． 【详解】设公差为，则得，解得， ， 由，，即， ∴取得最大值时，． 故答案为：9． 【点睛】本题考查等差数列的前项，考查前项和的最值问题． 是等差数列的前项和，时，求其最大值的两种方法： （1）若，，则最大； （2）可利用二次函数的性质求得最大值． 题型七：等差数列的判定与证明 【例7】．（2025高二上·福建厦门·专题练习）已知数列满足，（）． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）数列中，由，得， 显然，否则，矛盾，则， 所以数列是等差数列. （2）由（1）知，等差数列的首项为，公差为， 则，整理得， 所以数列的通项公式为. 【变式1】．（25-26高二上·重庆·期中）数列 满足 . (1)求证:数列 是等差数列； (2)求数列 的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）∵数列满足， ∴， ∴数列是公差为的等差数列. （2）由（1）已知数列是公差为的等差数列， 又∵，∴数列的首项为， ∴， ∴. 【变式2】．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列的前项和满足.其中. (1)求的值. (2)求证：数列为等差数列. (3)证明：不等式对任意的正整数，都成立. 【详解】（1）当，所以 当，所以. （2）因为① 所以当时，② ①-②得③ 所以当时，④ ③-④得 所以 又因为.所以 所以，所以 所以数列为等差数列. （3）由（2）知，，所以 要证只要证， 只要证 所以 所以，下证成立. 因为，因为 所以，得证. 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高二·全国·假期作业）已知数列为等差数列，且满足，，则的值为（    ） A．2036 B．2126 C．126 D．3 【答案】D 【分析】根据已知，利用等差数列通项公式求公差，再应用通项公式求项即可. 【详解】设等差数列的公差为d，则， 所以. 故选：D 2．（25-26高二上·重庆·期中）已知等差数列 满足 ，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，则由等差数列的通项公式代入可得： . 故选：B. 3．（25-26高二上·江苏南京·月考）设数列是等差数列，“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】分充分性和必要性分别判断．充分性：直接利用等差数列的性质即可证明．必要性：取进行否定． 【详解】在等差数列中，若，则成立，故充分性满足； 下面讨论必要性：取，若，则不一定成立，故必要性不满足， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 4．（25-26高二上·广东·期末）已知数列与均为等差数列，且，，则（    ） A．9 B．18 C．16 D．27 【答案】A 【分析】根据等差中项的公式，令两式相加即可得出答案. 【详解】因为数列与均为等差数列，且，， 所以 所以， 则. 故选：. 5．（25-26高二上·重庆·期中）在等差数列 中， ， ，则 的公差为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】通过列方程组的方法来求得公差. 【详解】设公差为， 依题意，，解得. 故选：B 6．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）设数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数的运算可推导出数列是公比为2的等比数列，利用等比数列的基本性质可求解. 【详解】因为，得，所以， 所以，所以数列是以为公比的等比数列， 又，所以， 即. 故选：A. 7．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列的首项，且满足.则取最大值时，取值为（ ） A．2 B．4 C．6 D． 【答案】C 【分析】结合已知条件可得是等差数列，进而求出的通项公式，然后根据通项公式的特征即可求解. 【详解】因为， 所以，所以，又，所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 所以， 当时，取得最大值，所以取值为. 故选：C. 8．（25-26高二上·江苏镇江·期中）已知数列中，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用条件证明数列是等差数列并求出数列的通项公式，将代入即可得解. 【详解】已知，两边同时除以， 可得，即. 又当时，， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以， 所以. 故选：A 二、多选题 9．（25-26高二·全国·假期作业）已知等差数列满足且公差，则该数列中一定不为零的项为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用等差数列的通项公式及已知得且，即可得. 【详解】由，则，可得， ∴且， 则必有，都不为0. 故选：ACD 10．（25-26高二上·浙江宁波·期中）下列有关数列的说法正确的是（ ） A．已知数列为等差数列，若，则1013 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．在数列1，，，2，，....，第8个数是 D．数列的前项和为，已知，是递增数列 【答案】ABC 【分析】根据等差数列的性质判断A，由通项公式判断B，根据规律判断C，求出可判断D. 【详解】数列为等差数列，则，所以1013，故A正确； 令，解得（舍去），即，故B正确； 因为数列1，，，2，，....，所以第8个数是，故C正确； 因为，所以，故， 所以不是递增数列，故D错误. 故选：ABC 11．（25-26高二上·甘肃平凉·月考）设数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C．是等差数列 D． 【答案】ACD 【分析】代入计算判断A；由求解判断B；利用等差数列定义判断C；结合选项C利用等差数列通项公式求得，代入题干即可求解判断D. 【详解】当时，，解得，故A正确； 由，得，上述两式作差，得， 即，故B错误； 由，得，所以是公差为1的等差数列，故C正确； 因为，所以，即， 所以，故D正确. 故选：ACD. 12．（25-26高三上·湖南·期中）若是等差数列，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】记的公差为，由已知可得，逐项计算判断即可. 【详解】记的公差为.因为，所以. 的正负不确定，故A错误. ，故B正确. 由，， 所以，故C正确. ，故D错误. 故选：BC. 13．（25-26高二上·江苏镇江·月考）设是等差数列，下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】BC 【分析】设的公差为，根据公差的正负不确定可判断A；根据等差数列单调性可判断B，根据等差中项、基本不等式可判断C；利用等差数列通项公式可判断D. 【详解】设的公差为， 对于A，， 因为公差的正负不确定，所以的正负不确定，故A错误； 对于B，因为， 即异号， 当时，由等差数列的单调性可知，即， 当时，由等差数列的单调性可知，即， B正确， 对于C，，所以， 又，故不存在使原式取等情况，，故C正确； 对于D， ，D错误； 故选：BC. 14．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知数列共有项，且满足，，则下列说法正确的是（    ） A．数列是公差为或公差为的等差数列 B．的最小值是，最大值是 C．若，则满足条件的数组的组数共有组 D．符合已知条件且满足的数列的个数为个 【答案】BCD 【分析】由题意得或，对比等差数列的定义可判断A；分和两种情况求的最小值和最大值即可判断B；由知，，，，这4组的数只能为2或1，结合组合数可判断C；由知，的数只能为2或1，结合组合数可判断D. 【详解】对于A，由得：或，前后两项差为1或2，不一定是等差数列，故A不正确； 对于B，当为等差数列时，且，最小为，，最大为18，故B正确； 对于C，，，而，，，这4组的数只能为2或1，它们的和为6，故有2个1，2个2，故有种，故C正确； 对于D，由，则，每个的数只能为2或1，故有，故D正确． 故选：BCD. 15．（24-25高二下·河南濮阳·期末）已知是公差为d的等差数列，，，其中表示不小于x的最小整数，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则， C．若，，则d的取值范围是 D．若，，则d的取值范围是 【答案】ABD 【分析】对于A，依题计算易得；对于B，由可推得恒为整数，从而可得结论；对于C，由求得，结合条件分类讨论，即可求得d的范围；对于D，由，分析易得，因，结合，可得，推得对于且恒成立，从而可求得d的范围. 【详解】对于A，因，，则， ，则，故A正确； 对于B，因，则恒为整数，因，故得，，即B正确； 对于C，因，则，因， 则，又，则， ①若，即，则， ， ，不满足题意， ②若，即，此时， ， ，满足题意。 ③若时，， ， ，不满足题意． 综上分析，可得，故C错误． 对于D，因，则，则， 则， 因，，则， 又，故， 故在且上恒成立， 即对于且恒成立， 而单调递增，故，故得，即D正确. 故选：ABD. 三、填空题 16．（25-26高二上·云南·月考）已知数列是等差数列，是方程的两个实数根，则的值为 . 【答案】7 【分析】由韦达定理和等差中项性质得到答案. 【详解】由韦达定理得， 又数列是等差数列，故，所以，解得. 故答案为：7 17．（25-26高二上·江苏·期中）在数列中，，，则的值为 . 【答案】201 【分析】先由递推关系分析得到数列是以为首项，以4为公差的等差数列，再由等差数列的性质可得. 【详解】因为，所以数列是以为首项，以4为公差的等差数列， 所以. 故答案为：201 18．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足：，则通项 ． 【答案】 【分析】取倒数得到数列是等差数列，根据数列的通项公式得到数列的通项公式. 【详解】取倒数后得，即， 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列， 所以， 所以， 故答案为：. 19．（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知等差数列，现在其每相邻两项之间插入一个数，使之成为一个新的等差数列，则数列的第23项为 ． 【答案】 【分析】先计算出原等差数列的公差，进而得到新的等差数列的公差，从而求出的通项公式，得到新数列的第项. 【详解】在相邻两项之间插入一个数，使之成为一个新的等差数列， 则等差数列的公差为原等差数列公差的． 设等差数列为，公差为， 易知，则， 则的公差为， 则． 所以． 故答案为:. 20．（2025高二·全国·专题练习）已知在数列中，，，对于且，有，若（，且，互质，则 ． 【答案】8086 【分析】根据递推关系的结构进行分析，两边取倒数得数列为等差数列，利用等差数列通项公式求得，进而求出，，即可得解． 【详解】对的两边取倒数，得， 即，故数列为等差数列， 其首项为，公差为， 故，所以． 于是，所以． 故答案为：8086 四、解答题 21．（25-26高二·全国·假期作业）已知在数列中，，，是关于项数n的一次函数． (1)求的通项公式，并求； (2)若是由，，，，…组成的，试归纳的一个通项公式． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题意，设与的一次函数的通项，根据，，求解即可． （2）计算出，，，，，猜想的一个通项公式． 【详解】（1）设（），则， 解得 ∴， ∴． （2）由（1）知， 则， ， ， 猜想． 22．（25-26高二上·内蒙古通辽·月考）（1）在等差数列中，若，，试判断91是否为此数列中的项． （2）已知数列的前n项和，求的通项公式． 【答案】（1）91为数列中的第43项；（2） 【分析】（1）利用等差数列的“项的性质”（如，当时）及通项公式求解； （2）利用数列的前项和求通项公式的方法求解（利用，再验证的情况）. 【详解】（1）因为，所以，解得， 因为，所以， 又因为，解得， 代入通项公式为：， 令，即，解得（为正整数）， 即91为数列中的第43项． （2）∵， ∴当时，， 当时，， 将代入，得，与一致， ∴的通项公式是． 23．（25-26高二上·重庆·期中）在数列中，，，且． (1)证明：是等差数列； (2)求的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等差数列的定义进行证明. （2）利用累加法求数列的通项公式. 【详解】（1）因为， 且， 所以数列是以4为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）得：. 所以，，，…，. 以上各式相加得：， 又，所以 24．（25-26高二上·江苏南京·月考）（1）已知数列的各项均为正数，且对任意的正整数n，都有成立，证明：数列是等差数列； （2）设数列，，…，，…中的每一项都不为0.对任何，都有.证明：数列为等差数列. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）由已知得，整理得，根据等差数列的定义得证； （2）根据题设等式化简得且，结合及等差数列的定义得证. 【详解】（1）由可得， 展开得，即， 整理得， 依题意，则，可得， 故数列是公差为3的等差数列. （2）当时，，此式恒成立； 记①， 当时，②， 由①②可得：， 依题意，等式两边同时乘以，， 即时，③， 当时，④， 用③④：， 整理得， 将等式两边同时除以，可得， 即且， 由时且，则，可得， 根据等差数列的定义，可知数列是等差数列. 25．（25-26高二上·江苏南通·期中）设等差数列的公差为，且，令，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设不等式对任意正整数均成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列通项公式代入化简可得，进而可得，代入即可解得，进而可得； （2）构造数列，则，判断数列单调性，分为奇数和为偶数两种情况讨论数列的最小项，即可得解. 【详解】（1）由数列为等差数列，且， 则，则， 所以， 则， 又， 即， 解得或， 又，则， 所以； （2）由（1）得， 又， 设，则， 又，所以恒成立， 则数列为单调递增数列； 当为奇数时，恒成立，即； 当为偶数时，恒成立，即，； 综上所述. 2 学科网（北京）股份有限公司 $