第01讲：数列的概念【十大考点+十大题型】讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列

本讲义聚焦高中数学数列的概念这一核心知识点，系统梳理从数列定义、分类到函数关系、单调性、通项公式、递推公式及前n项和与通项关系的完整脉络，为后续等差等比数列学习搭建基础支架。 该资料特色在于题型系统全面，含9类从基础到综合的题型及变式，选用多地期中月考真题。通过函数视角理解数列培养抽象能力，例题变式设计提升推理运算能力，课中辅助分层教学，课后助力学生巩固查漏补缺。

第01讲：数列的概念 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一：数列及其有关概念 1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项． 2. 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}． 知识点二：数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 知识点三：函数与数列的关系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)． 知识点四：数列的单调性 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 知识点五：通项公式 1．如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 2．通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数． 知识点六：数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 知识点七　数列的前n项和Sn与an的关系 1． 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. 2．an＝ (1)由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2，…，n}这一条件． (2)可以利用不等式组找到数列的最大项；利用不等式组找到数列的最小项． 【题型归纳】 题型一:数列基本知识 【例1】．（25-26高二上·陕西榆林·期中）下列结论中，正确的是（    ） A．数列和数列是相同的数列 B．数列的通项公式的形式是唯一的 C．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 D．数列不存在通项公式 【变式1】．（25-26高二上·江苏苏州·月考）下列说法中正确的是（   ） A．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 B．数列的第项为 C．数列1，0，，与，，0，1是相同的数列 D．数列0，2，4，6，可记为 【变式2】．（23-24高二上·山西·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．数列可表示为集合 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的第项为 D．数列可记为 题型二：判断或者写出数列的项 【例2】．（2025高二上·重庆·专题练习）已知，数列，，，…，的项数为（   ） A． B． C．m D． 【变式1】．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）数列，，，，…的第项为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高二上·江苏南京·月考）已知数列，，…，，则是这个数列的（   ） A．第21项 B．第22项 C．第23项 D．第24项 题型三：根据数列的单调性求数列的最大（小）项数 【例3】．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列的通项公式为，则数列的最小项是（    ） A．第1项 B．第6项 C．第7项 D．第13项 【变式1】．（25-26高二上·江苏苏州·月考）数列的通项公式为满足：，则数列的最大项是第（   ）项． A．6 B．7 C．8 D．9 【变式2】．（24-25高二下·辽宁·期中）已知数列的通项公式为，它的前项中最小项是（   ） A． B． C． D． 题型四：由递推公式求数列的指定项 【例4】．（25-26高二上·福建莆田·期中）设数列满足，且，则（   ） A． B． C． D．3 【变式1】．（25-26高二上·福建龙岩·期中）若数列满足，，则（   ） A． B． C． D．6 【变式2】．（25-26高二·全国·假期作业）数列满足，若，则等于（   ） A． B． C． D． 题型五：利用Sn与an的关系求通项公式 【例5】．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）数列的前项和为，若，则 . 【变式1】．（25-26高二·全国·假期作业）已知数列的前n项和，则的通项公式为 ． 【变式2】．（2025·宁夏银川·模拟预测）已知数列满足，则数列的通项公式为 . 题型六：观测法求通项公式 【例6】．（25-26高二上·甘肃陇南·期中）已知数列的前4项分别为，，，，则数列的一个通项公式可以为 ． 【变式1】．（24-25高二上·天津和平·月考）数列 的一个通项公式是 . 【变式2】．（24-25高二上·全国·课后作业）在数列中，有序数对可以是 ． 题型七：累乘法求通项公式 【例7】．（25-26高二上·甘肃平凉·月考）已知数列满足，，则数列的通项公式是 【变式1】．（24-25高二下·四川广安·月考）数列中，若,，则 . 【变式2】．（24-25高二下·上海奉贤·月考）已知数列 满足 ，则 的通项公式为 题型八：累加法求通项公式 【例8】．（24-25高二上·广东广州·期末）已知数列中，则数列通项公式 ． 【变式1】．（24-25高二上·山东·期中）在数列中，，则的通项公式为 ． 【变式2】．（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，，则 . 题型九：由递推公式求通项公式 【例9】．（25-26高二上·福建宁德·月考）已知数列满足，设数列的通项公式为，则 ． 【变式1】．（2025·全国·模拟预测）已知数列满足，则 ． 【变式2】．（24-25高二下·山东淄博·期末）已知数列满足，且，其中，，则 . 题型十：数列概念的综合问题 【例10】．（25-26高二上·黑龙江大庆·月考）已知数列的前项和为，，对，都有． (1)写出数列的前5项； (2)求数列的通项公式； 【变式1】．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）已知数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)是否存在正整数，使成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【变式2】．（25-26高二上·全国·单元测试）已知数列为：1，3，4，7，11，18，29，47，76，…． (1)写出数列中，，的递推关系，并求是该数列中的第几项； (2)记是数列的前n项和，证明：为定值． 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高二上·河北邯郸·月考）已知数列，则该数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏苏州·期中）在数列中，，，，若的前项和为，则（    ） A．4052 B．4053 C．4054 D．4055 3．（24-25高二下·江西上饶·期中）数列满足，，则（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 4．（24-25高二下·贵州遵义·月考）数列的通项公式是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）数列的通项公式为，满足：，则数列的最大项是第（    ）项 A．6 B．7 C．8 D．9 6．（2025高二·全国·专题练习）在数列中，，，则等于（ ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·重庆·期中）已知数列满足，，则下列判断正确的是（    ） A．，使得 B．，使得 C． D．，使得数列的最小值为 8．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知数列满足，设，为数列的前项和.若对任意恒成立，则实数的最小值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、多选题 9．（24-25高二下·甘肃定西·期末）下列叙述不正确的有（　　） A．数列，，，与，，，是同一数列 B．数列，，，，的通项公式是 C．，，，，是常数列 D．，，，，是递增数列，也是无穷数列 10．（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）下列四个选项中，正确的是（    ） A．数列与数列是同一数列 B．数列是递减数列 C．数列的一个通项公式是 D．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 11．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知数列的前项和，则（    ） A． B．为递减数列 C．不等式的解集为有限集 D．当且仅当时，有最大值 12．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列满足，，其前项和为，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 13．（25-26高二上·重庆·期中）已知的通项公式为，若数列为递减数列，则实数的取值范围是 ． 14．（2025高二上·江苏南京·专题练习）已知数列的通项公式为，则数列的最小项是 ． 15．（25-26高二上·河南·期末）在数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积．已知是等积数列，，公积为4，则 ． 16．（25-26高二上·上海·月考）十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，…，即从第三项开始，每一项都等于它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列数称为“斐波那契”数列.已知数列为“斐波那契”数列，数列的前项和为，若，则 （用含的式子表示）. 四、解答题 17．（2025高二·全国·专题练习）写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)，，，； (2)，，，； (3)，，，； (4)，，，． 18．（2025高二·全国·专题练习）已知数列的前项和为，解决下列问题． (1)若通项公式为，求其前项和； (2)若前项和，求其通项公式； (3)若前项和，求其通项公式； (4)已知，求其通项公式． 19．（24-25高二下·广东汕尾·期末）已知数列的前n项和为，且满足，，． (1)分别求出数列中的，，的值； (2)求数列的通项公式． 20．（2025高二下·全国·专题练习）设数列的前项和为，且，． (1)求； (2)求的通项． 21．（24-25高二下·北京顺义·期末）已知项数列，对任意，都有，记，的取值构成集合. (1)写出，； (2)求； (3)记，若，求的取值集合. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲：数列的概念 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一：数列及其有关概念 1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项． 2. 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}． 知识点二：数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 知识点三：函数与数列的关系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)． 知识点四：数列的单调性 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 知识点五：通项公式 1．如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 2．通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数． 知识点六：数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 知识点七　数列的前n项和Sn与an的关系 1． 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. 2．an＝ (1)由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2，…，n}这一条件． (2)可以利用不等式组找到数列的最大项；利用不等式组找到数列的最小项． 【题型归纳】 题型一:数列基本知识 【例1】．（25-26高二上·陕西榆林·期中）下列结论中，正确的是（    ） A．数列和数列是相同的数列 B．数列的通项公式的形式是唯一的 C．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 D．数列不存在通项公式 【答案】C 【分析】根据数列的定义判断AC；根据数列通项公式的概念举例判断BD. 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A，数列和数列是不同的数列，A错误； 对于B，数列的通项公式可以为，也可以为， 该数列通项公式不唯一，B错误； 对于C，由数列定义知，数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数，C正确； 对于D，该数列的通项公式可以为，错误． 故选：C 【变式1】．（25-26高二上·江苏苏州·月考）下列说法中正确的是（   ） A．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 B．数列的第项为 C．数列1，0，，与，，0，1是相同的数列 D．数列0，2，4，6，可记为 【答案】B 【分析】根据数列的定义和概念逐项判断即可. 【详解】选项A：数列除了递增数列和递减数列，还有常数列（所有项都相等）、摆动数列（项的大小交替变化）等， 所以一个数列不是递增数列，不一定就是递减数列，A说法错误； 选项B：对于数列，它的第项为，B说法正确； 选项C：数列是按一定顺序排列的一列数，数列1，0，，，和数列，，0，1排列顺序不同， 所以这两个数列不是相同数列，C说法错误； 选项D：数列0，2，4，6，的通项公式为， 而表示的数列为2，4，6，8，，首项不同，D说法错误. 故选：B 【变式2】．（23-24高二上·山西·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．数列可表示为集合 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的第项为 D．数列可记为 【答案】C 【分析】利用数列定义即可逐个选项判断即可得解. 【详解】对于A，由数列的定义易知A错误； 对于B，两个数列排列次序不同，是不同的数列，故B错误； 对于C，数列的第项为，故C正确； 对于D，因为，所以，这与数列的定义不相符，故D错误. 故选：C. 题型二：判断或者写出数列的项 【例2】．（2025高二上·重庆·专题练习）已知，数列，，，…，的项数为（   ） A． B． C．m D． 【答案】B 【分析】本题可先根据数列的通项公式，结合数列的最后一项，通过建立等式来求解项数. 【详解】可以发现其被开方数是首项为3，公差为2的等差数列. 根据等差数列通项公式（其中为首项，d为公差）， 这里，，则被开方数的通项公式为. 已知数列的最后一项为， 那么被开方数对应通项公式. 令， 解得. 所以数列，，，…，的项数为， 故选：B. 【变式1】．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）数列，，，，…的第项为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过观察数列的分母和分子的规律，即可求得数列第项的值. 【详解】首先分析数列的分母规律：给出的前项分母依次为，，，，可见第项的分母为.因此，第项的分母为. 再分析数列的分子规律：给出的前项分母依次为，，，，相邻两项的差均为，构成首项为，公差为的等差数列，其通项公式为.因此，第项的分子为. 综上所述，数列的第项为. 故选：C 【变式2】．（25-26高二上·江苏南京·月考）已知数列，，…，，则是这个数列的（   ） A．第21项 B．第22项 C．第23项 D．第24项 【答案】C 【分析】根据题设，令求参数即可得. 【详解】由题设，令，可得， 所以是这个数列的第23项. 故选：C 题型三：根据数列的单调性求数列的最大（小）项数 【例3】．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列的通项公式为，则数列的最小项是（    ） A．第1项 B．第6项 C．第7项 D．第13项 【答案】B 【分析】由题设，结合分式型函数的性质分析数列的单调性及的区间上下界，即可得. 【详解】由，， 当时，，即， 当时，，即， 数列在上都单调递减， 所以最小项为，即第6项. 故选：B 【变式1】．（25-26高二上·江苏苏州·月考）数列的通项公式为满足：，则数列的最大项是第（   ）项． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】设数列的最大项为,由求解. 【详解】设数列的最大项为.则，即， 化简得，解得， 所以，又，所以， 即数列的最大项是第项. 故选：A. 【变式2】．（24-25高二下·辽宁·期中）已知数列的通项公式为，它的前项中最小项是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件说明，再假设数列的第项最小，，，列不等式求其解，可得结论. 【详解】因为，故，，所以， 假设数列的第项最小，，， 则，故， 所以， 所以，即数列的前项中最小项是， 故选：D. 题型四：由递推公式求数列的指定项 【例4】．（25-26高二上·福建莆田·期中）设数列满足，且，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据给定的递推公式，计算数列前5项确定周期，进而求出指定项. 【详解】数列中，，且，则， ，因此数列是周期为4的数列， 所以. 故选：C 【变式1】．（25-26高二上·福建龙岩·期中）若数列满足，，则（   ） A． B． C． D．6 【答案】D 【分析】根据数列的递推关系式得数列是周期数列，从而得的值. 【详解】因为，， 所以，，，，， 所以是周期为4的数列，故. 故选：D. 【变式2】．（25-26高二·全国·假期作业）数列满足，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数列的递推公式，依次求得.或由前几项得数列是周期数列，根据最小正周期为3，求得. 【详解】因为，所以，所以， 所以.易知数列是周期数列，最小正周期为3. 同理，． 故选：C. 方法二： 由，得，所以， 所以. 易知数列是周期数列，最小正周期为3. 所以. 故选：C. 题型五：利用Sn与an的关系求通项公式 【例5】．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）数列的前项和为，若，则 . 【答案】 【分析】利用的关系，作差求出后检验首项即可求解. 【详解】当， 故， 当不符合上式， 故， 故答案为：. 【变式1】．（25-26高二·全国·假期作业）已知数列的前n项和，则的通项公式为 ． 【答案】 【分析】降次作差再验证即可. 【详解】， 当时，， 由于也适合此等式，∴． 故答案为：. 【变式2】．（2025·宁夏银川·模拟预测）已知数列满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】，当时，，两式相减即可得解，注意验证是否成立即可. 【详解】由题意， 当时，，两式相减得， ，解得， 在中，令，可得，故也满足， 综上所述，所求即为. 故答案为：. 题型六：观测法求通项公式 【例6】．（25-26高二上·甘肃陇南·期中）已知数列的前4项分别为，，，，则数列的一个通项公式可以为 ． 【答案】 【分析】分别观察分子和分母的规律可得通项. 【详解】由前四项可知，其分子为奇数， 其分母后一项是前一项的二倍， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 【变式1】．（24-25高二上·天津和平·月考）数列 的一个通项公式是 . 【答案】 【分析】根据已知数列可知，数列中每项分子以递增，分母以递增，且正负相间. 【详解】由题意，数列 可化为， 所以数列的通项公式为：. 故答案为：. 【变式2】．（24-25高二上·全国·课后作业）在数列中，有序数对可以是 ． 【答案】 【分析】分析给定数列的前几项的特征，利用观察法求出通项公式，进出求出得解. 【详解】依题意，各项依次写为，，，，，…， 则通项公式为，，即， 所以有序数对为. 故答案为： 题型七：累乘法求通项公式 【例7】．（25-26高二上·甘肃平凉·月考）已知数列满足，，则数列的通项公式是 【答案】 【分析】根据题意可得，再利用累乘法求解． 【详解】，，即， ， 满足上式，所以. 故答案为：． 【变式1】．（24-25高二下·四川广安·月考）数列中，若,，则 . 【答案】 【分析】先由题意结合累乘法求出数列的通项公式即可计算求解. 【详解】若，，则且， 所以， 所以. 故答案为：. 【变式2】．（24-25高二下·上海奉贤·月考）已知数列 满足 ，则 的通项公式为 【答案】 【分析】通过递推公式得到相邻两项的比值关系，然后利用累乘法求出数列的通项公式. 【详解】已知，将换为，可得， 那么（）. 利用累乘法求（）， 由（）可得： 观察发现，约分后可得（）. 当时，，与已知相符. 所以，. 故答案为：，. 题型八：累加法求通项公式 【例8】．（24-25高二上·广东广州·期末）已知数列中，则数列通项公式 ． 【答案】 【详解】化简的表达式： 所以. 利用累加法求 当时，； 当时，； . 将以上个式子累加得： 已知，则： . 故答案为：. 【变式1】．（24-25高二上·山东·期中）在数列中，，则的通项公式为 ． 【答案】； 【分析】求出，利用累加法求和得到通项公式. 【详解】， 故， 所以 . 故答案为： 【变式2】．（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，，则 . 【答案】， 【分析】利用累加法可求数列的通项公式. 【详解】因为， 所以. 所以，，…， 以上各式相加，得： 所以 又也符合上式， 所以，. 故答案为：， 题型九：由递推公式求通项公式 【例9】．（25-26高二上·福建宁德·月考）已知数列满足，设数列的通项公式为，则 ． 【答案】 【分析】根据给定的递推关系求出可得. 【详解】数列满足， 当时，， 两式相减得，因此. 又时，，满足上式，所以. 故答案为：. 【变式1】．（2025·全国·模拟预测）已知数列满足，则 ． 【答案】 【分析】根据题意分和两种情况，结合前项和与通项之间的关系分析求解. 【详解】因为①， 当时，；当时，②． ①－②可得，则③，且，不符合式③， 所以． 故答案为：. 【变式2】．（24-25高二下·山东淄博·期末）已知数列满足，且，其中，，则 . 【答案】 【分析】求出，观察规律即可求解. 【详解】， 对于奇数项，， 所以，对于偶数项， ， 所以，所以. 故答案为：. 题型十：数列概念的综合问题 【例10】．（25-26高二上·黑龙江大庆·月考）已知数列的前项和为，，对，都有． (1)写出数列的前5项； (2)求数列的通项公式； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与的关系逐项计算可得前5项； （2）根据与的关系推得，利用累乘法计算即得数列通项. 【详解】（1）由且，得，解得， 由且，，得，解得， 由且，，，得，解得， 由且，，，，得，解得； （2）因，当时，， 两式相减可得，，即，所以， 所以，即，则， 因满足，故数列的通项公式为. 【变式1】．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）已知数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)是否存在正整数，使成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，过程见解析 【分析】（1）根据计算； （2）将通项公式代入化简求. 【详解】（1）， 则时，， 两式作差得， 又符合上式，故； （2）假设存在正整数，使成立，即， 化简得，得或，均不是正整数， 故不存在正整数，使成立. 【变式2】．（25-26高二上·全国·单元测试）已知数列为：1，3，4，7，11，18，29，47，76，…． (1)写出数列中，，的递推关系，并求是该数列中的第几项； (2)记是数列的前n项和，证明：为定值． 【答案】(1)，第2026项 (2)证明见解析 【分析】（1）由题可得递推式，再根据递推即可求解； （2）通过构造数列，可得是常数列即可证明. 【详解】（1）观察数列知，数列从第三项起，每一项是前两项的和，即递推关系为， 则，，， 所以， 所以 ， 即是该数列的第2026项； （2）证明：由（1）知，，所以 所以， 所以数列是常数列，所以，为定值. 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高二上·河北邯郸·月考）已知数列，则该数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意中一组数的规律归纳出数列的通项公式即可. 【详解】将数据代入各个选项中，验证可知， 该数列的一个通项公式为. 故选：D. 2．（25-26高二上·江苏苏州·期中）在数列中，，，，若的前项和为，则（    ） A．4052 B．4053 C．4054 D．4055 【答案】A 【分析】根据题意分析可知，数列的一个周期为3，结合周期性运算求解即可. 【详解】因为，，， 令，则，即， 且，可得， 可知数列的一个周期为3， 所以. 故选：A. 3．（24-25高二下·江西上饶·期中）数列满足，，则（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据数列的递推关系可求. 【详解】因为，故为奇数，故， 而为偶数，，因为偶数，故， 故选：B. 4．（24-25高二下·贵州遵义·月考）数列的通项公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据每一项的绝对值与该项序号的关系以及每一项的符号与该项序号的关系可以得到． 【详解】根据题意分子为，所以分子通项为， 分母为，所以分母通项为， 又数列除第一项外，奇数项为正，偶数项为负，符号满足， 综上，． 故选：D． 5．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）数列的通项公式为，满足：，则数列的最大项是第（    ）项 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】设数列的最大项为,由求解. 【详解】设数列的最大项为， 则，即，化简得，解得， 所以，又，所以， 即数列的最大项是第项. 故选：B 6．（2025高二·全国·专题练习）在数列中，，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将给定的递推公式变形，再借助累加法计算作答. 【详解】在数列中，由，得， 则当时， ， 因此，显然满足上式， 所以. 故选：C 7．（25-26高二上·重庆·期中）已知数列满足，，则下列判断正确的是（    ） A．，使得 B．，使得 C． D．，使得数列的最小值为 【答案】C 【分析】根据给定的递推公式得，利用反证法推理判断B；求出数列通项公式，确定的范围判断A；确定数列单调性判断CD. 【详解】由，得， 对于B，假定，使得，而，则，， 于是，与矛盾，因此假定是错的，即，B错误； ，，而，， 数列是首项为，公比为2的等比数列，则 ，因此，， 对于A，，则，对，A错误； 对于CD，，而函数是减函数，又， 则，即，，因此数列是递增数列， ，且是数列的最小项，C正确，D错误. 故选：C 8．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知数列满足，设，为数列的前项和.若对任意恒成立，则实数的最小值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用前项和与第项的关系求出，进而求出，再由裂项相消法求出即可求出最小值. 【详解】数列中，，当时，， 当时，，两式相减得， 则，而不满足此式，因此， 当时，，当时，满足上式； 因此，由对任意恒成立，得， 所以的最小值为． 故选：B 二、多选题 9．（24-25高二下·甘肃定西·期末）下列叙述不正确的有（　　） A．数列，，，与，，，是同一数列 B．数列，，，，的通项公式是 C．，，，，是常数列 D．，，，，是递增数列，也是无穷数列 【答案】ABC 【分析】利用数列的定义可判断A选项；利用观察法求出数列通项公式可判断B选项；利用常数列的定义可判断C选项；利用数列的单调性和无穷数列的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，数列是按一定顺序排成的一列数，即数列，，，与，，，是两个数列，故A错误； 对于B选项，数列，，，，的通项公式是，故B错误； 对于C选项，，，，，是摆动数列，故C错误； 对于D选项，，，，，是递增数列，也是无穷数列，故D正确. 故选：ABC. 10．（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）下列四个选项中，正确的是（    ） A．数列与数列是同一数列 B．数列是递减数列 C．数列的一个通项公式是 D．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 【答案】BD 【分析】由数列的定义可判断ABC，由求解可判断D. 【详解】对于A，由数列概念，显然不是同一数列，错误， 对于B，由，即数列为递减数列，B正确， 对于C，由观察法可知，C错误， 对于D，由，解得，D正确， 故选：BD 11．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知数列的前项和，则（    ） A． B．为递减数列 C．不等式的解集为有限集 D．当且仅当时，有最大值 【答案】AC 【分析】计算判断A；举反例判断B；求出通项公式即可求解不等式判断C；根据数列项的符号求解最大值判断D. 【详解】根据题意，数列的前项和， 当时，有，故A正确； 当时， ， 对于B，，显然不满足为递减数列，故B错误； 对于C，显然，当时，，当且仅当， 则不等式的解集为，为有限集，故C正确； 对于D，由于， 所以当或4时，取得最大值，故D错误； 故选：AC． 12．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列满足，，其前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于A，根据递推式计算即可；对于B，由题可得，再根据即可推导；对于C，可举例判断；对于D，由题知，，再利用累加法即可求解． 【详解】，，，，，故A正确； 对于B，由， ，故B正确 对于C，当时，，而，，故C错误. 因为，， 即，，…， 累加得 ，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 13．（25-26高二上·重庆·期中）已知的通项公式为，若数列为递减数列，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意结合数列单调性的定义分析可知对任意恒成立，再根据恒成立问题分析求解即可. 【详解】若数列为递减数列，且， 则， 可得对任意恒成立， 可知当时，取到最小值9，可得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 14．（2025高二上·江苏南京·专题练习）已知数列的通项公式为，则数列的最小项是 ． 【答案】 【分析】由题设，结合分式型函数的性质分析数列的单调性，进而可求解. 【详解】由，， 当时，，即， 当时，，即， 数列在上都单调递减， 所以最小项为，即. 故答案为：. 15．（25-26高二上·河南·期末）在数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积．已知是等积数列，，公积为4，则 ． 【答案】 【分析】由题意利用列举法，列举数列的前几项，可得数列的周期，进而求和即可． 【详解】由，且，则，同理解得，， 由题意可得下表： 数列的最小正周期，由， 则． 故答案为： 16．（25-26高二上·上海·月考）十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，…，即从第三项开始，每一项都等于它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列数称为“斐波那契”数列.已知数列为“斐波那契”数列，数列的前项和为，若，则 （用含的式子表示）. 【答案】 【分析】根据数列每一项都等于它前两项的和规律，写出前2024项，各式左、右两边分别相加，即可得到之间的关系，即可得出. 【详解】由已知得，，…，， 以上各式左、右两边分别相加，化简得， 即， 又，， 所以. 故答案为：m+1 四、解答题 17．（2025高二·全国·专题练习）写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)，，，； (2)，，，； (3)，，，； (4)，，，． 【答案】(1) (2) (3)． (4) 【详解】（1）从数列的前4项，，，中发现规律， 其通项公式是． （2）从数列的前4项，，，中发现规律，其每一项的符号按照的规律变化， 并且每一项的绝对值都比前一项大6， 因此该数列的通项公式为． （3）从该数列的前4项，，，中发现规律， 由，，，，， 可以联想常见数列，，，，， 它的通项公式为， 因此该数列的通项公式为． （4）从该数列的前4项，，，中发现规律， 其通项公式为． 18．（2025高二·全国·专题练习）已知数列的前项和为，解决下列问题． (1)若通项公式为，求其前项和； (2)若前项和，求其通项公式； (3)若前项和，求其通项公式； (4)已知，求其通项公式． 【答案】(1)． (2) (3) (4) 【分析】由求解即可. 【详解】（1）由数列的前项和的定义可知． （2）当时，；当时，不满足上式． 所以通项公式为 （3）当时，；当时，，不满足上式． 因此通项公式为. （4）由题意知，当时，， 两式相减可得， 则，当时，，不满足上式． 故通项公式为. 19．（24-25高二下·广东汕尾·期末）已知数列的前n项和为，且满足，，． (1)分别求出数列中的，，的值； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)，，． (2) 【分析】（1）解法1：利用与的关系，得到与之间的关系，再结合求出，再逐项，，的值. 解法2：根据的意义，利用及，依次逐项求得，，，的值. （2）解法1：由（1），得，相减得到，进而分别为奇数和偶数时的的通项. 解法2：根据（1）中得到的，，，，的值，猜想的通项公式，再进行证明. 【详解】（1）（解法1）（1）当时，， 又∵，∴， 当时，∵，∴， ∵，∴， ∴，，． （解法2）：∵，，， ∴，解得， 又∵，∴，解得， 同理，解得， ，解得， 故，，． （2）（解法1）由（1）（解法一）知，，， 则，故时，有，① ∴，② 由①，②得，，即， 当n为偶数时，， 当n为奇数时，． 综上所述，数列的通项公式为（或，）． （解法2）由（1）（解法一）知，，，则， 故时，有， 当n为奇数时，由，，，…，， 由以上各式可得，，…，， 可得，故． 当n为偶数时，由，，，…，， 以上各式两两相减，可得，，…，， 可得， 又∵，∴， 综上所述，数列的通项公式为（或，）． （解法3）由（1）知，，且，，，，， 归纳上述结果，猜想． 当时，，猜想成立， 假设当时，， 那么， 即时，猜想成立． 综上所述，对任意，上述猜想都成立， 即． （解法4）当时，， 又∵，∴， 当时，∵，∴， ∵，∴，即，符合， ∴时，有． ∴，，，…，， 又由（1）知，，， 故当n为奇数时，；当n为偶数时，． 故数列的通项公式为（或，）． 20．（2025高二下·全国·专题练习）设数列的前项和为，且，． (1)求； (2)求的通项． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用前项和与通项公式的关系得到，再结合赋值法求解即可. （2）结合已知结论得到，再利用累乘法求出，最后得到即可. 【详解】（1）由题意得，，则， 显然，则，当时，有， 故，化简得， 即，令，得到. （2）由已知得当时，， 则，且， 当时，， 故（） 当时，也符合上式，故数列的通项为. 21．（24-25高二下·北京顺义·期末）已知项数列，对任意，都有，记，的取值构成集合. (1)写出，； (2)求； (3)记，若，求的取值集合. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据定义列举即可； （2）根据题意分析设中取值情况即可确定； （3）由，得或，再分析的和的情况，即可确定. 【详解】（1）时，，所以， ，所以. （2）时，， 由（1）可知的值由前面的的决定，而， 设中有个取，则有个取， 所以， 即. （3）由（2）知，，或， 或时，中有个取，个取， 设， 所以， 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $