第2章 有理数及其运算-2025-2026学年七年级上册数学7分钟优化课堂（北师大版·新教材）

数学·七年级·上册BS班级： 姓名： 得分： 满分：50分，限时：20分钟 第二章 有理数及其运算 精练1有理数 一、核心知识巩固(1一3,5一11题，每题2分，4题4分，共24分) 知识点1正、负数的概念 1.下列为负数的是 A.0 B.3.14 C.-1 D.3 5 2.在-1,3，一6.8和2025这四个有理数中，正数有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.下列说法中正确的是 A.不带“一”的数都是正数 B.不存在既不是正数，也不是负数的数 C.如果a是正数，那么一a一定是负数 D.一个数不是正数就是负数 4下面各数：5，-号，0,0.56，-3，-25.8，号-0.001，+2，-60，哪些是正数， 哪些是负数？ 知识点2用正、负数表示具有相反意义的量 5.在世界数学史上，中国古代数学著作《九章算术》首次正式引入负数.如果盈利80 元记作+80元，那么一55元表示 () A.亏损25元 B.亏损55元 C.盈利25元 D.盈利55元 6.冰箱冷藏室的温度零上4℃，记作+4℃，冷冻室的温度零下20℃，应记作() A.-20℃ B.+20℃ C.-16℃ D.+16℃ 7.一种袋装食品的标准净重为200g,质监部门工作人员为了了解该种食品每袋净 重与标准净重的误差，把食品净重203g记为十3g,那么食品净重198g就记为 g. 知识点3有理数及其分类 22 8。在3.14，-2号，0，号，65%，-2.404004004…（每两个4之间依次多1个0），-3048 中，有理数有 () A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 ·13· 9.下列说法中：①一2号是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0；④3.14不 是有理数；⑤0是最小的有理数；⑥正整数，负整数统称为有理数，错误的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.下列关于“0”的说法：①0是正数和负数的分界点；②0是正数；③0是自然数； ④不存在既不是正数也不是负数的数；⑤0既是整数也是偶数；⑥0不是负数， 其中正确的有 个 1.在-18,2号0,12%，-7.2，-，7中，非负数的个数有 个. 二、综合知识运用(12一15题，每题3分，16题6分，共18分) 12.下列各数，既是分数又是负数的是 ( A司 B.-2 C.- Γ2 D.0 13.下面两个量中，不具有相反意义的是 ( A.盈利400元和亏损400元 B.浪费1t水和节约1t水 C.进三个球和输三场比赛 D.上升50m和下降50m 14.对于一3.271，下列说法不正确的是 () A.是非正数 B.是分数 C.是有理数 D.是非负整数 15.某种零件的直径的合格标准是(25士0.2)mm.经检查，一个零件的直径是24.9 mm,则该零件是 的（填“合格”或“不合格”）. 16把下列各数分别填在它所在的集合里：-5，-号，104，十4,2引，-2，-36%，0， 6.2 (1)正有理数集合{ …〉. (2)分数集合{ …} (3)非负整数集合{ …}. 三、拓广实践探索（共8分） 17.如图，将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题： (1)在A处的数是 (填“正数”或“负数”). (2)负数排在A,B,C,D中的什么位置？ (3)第2025个数是正数还是负数？排在对应于A,B,C,D中的什么位置？ 4→-58→-9A*B 1-0 6+7 10 ·14· 数学·七年级·上册BS班级： 姓名： 得分： 满分：50分，限时：20分钟 精练2相反数与绝对值 一、核心知识巩固(1一14题，每题2分，共28分) 知识点1相反数 1.一0.3的相反数是 () A. B.0.3 C.±0.3 D.-0.3 2.下列各对数中，互为相反数的是 () A.-0.5和2 B2和号 C.-3和时 D. 1和一2 3.化简：-[-(】 4.若a十2与一3互为相反数，则a的值为 知识点2绝对值 5.一3的绝对值是 A.3 B.-3 c D.-1 3 6.绝对值等于它本身的数是 A.1 B.1或0 C.正数 D.非负数 7.工厂检测四个零件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准 质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是 () A.+1.3 B.-2.1 C.+0.1 D.-0.8 8.请写一个绝对值小于2的整数 9.若|-a=7,则a的值是 知识点3有理数的大小比较 10.下列四个数中，最大的数是 A.5 B.-2 C.0 D.3 11.下列各数中，比一3小的数是 A.-4 B.-2 C.0 D. 12.下列选项记录了我国四个直辖市一月份的平均气温，其中气温最低的是() 北京 上海 天津 重庆 -5.6℃ B 4.6℃ -4.80 7.8℃ ·15· 1此较大小：一导 一；-0.125（填0<，>或=。 14.将下列各数：-(-5)，--3.51，-12，十4,0，用“<”连接起来。 二、综合知识运用(15一20题，每题3分，共18分) 15.下列各组数中，互为相反数的是 () A.-（-5)和-5 B.+(+4)和+一4 C.一一3和一3 D.十（一7）和一7 16.下列比较大小正确的是 () A.-(-21)<+(-21) &--7=-(-?》 c-<-号 D.--10>8号 17.如果x为有理数，式子2025一x十4存在最大值，这个最大值是 () A.2025 B.2024 C.2023 D.2022 18.已知m+2=0,则一[一(+m)]的值是 19.若a+1与|b-2互为相反数，则a+b的值为 20.已知+（一号）的相反数是，-(+3)的相反数是，之的相反数是0，则x十y十之 的相反数是 三、拓广实践探索（共4分） 21.阅读材料：当a=3时，有|a=3=a,即a>0时，a的绝对值是它本身；当a=0 时，a=0,即a的绝对值是0；当a=一3时，有|a|=3=-a,即a<0时，a的 绝对值是它的相反数.综合上述讨论，可得当a≥0时，|a|=a;当a<0时，a|= 一α.这种分析方法体现了数学中常用的分类讨论思想.请根据材料解答下列 问题： (1)比较大小：-7 7,3 -3(填“<”，“=”或“>”). (2)请仿照上述分类讨论的方法，分析|a与一a的大小关系. ·16· 到数学·七年级·上册BS班级： 姓名： 得分： 满分：50分，限时：20分钟 精练3数轴 一、核心知识巩固(1一8,10一12题，每题2分，9题7分，共29分) 知识点1数轴的定义及画法 1.下列四个数轴的画法中，规范的是 A.士012 B.1234 C.2-10十2 D.之寸0士 2.数轴是 A.规定了原点和正方向的一条直线 B.规定了单位长度的一条直线 C.规定了原点，正方向和长度单位的一条直线 D.规定了原点，正方向和单位长度的一条直线 知识点2用数轴上的点与有理数的关系 3.如图，在数轴上被笑脸覆盖的数可能是 10士 A.-2.3 B.-1.7 C.-1.3 D.1.7 4.如图，数轴上点P表示的数的相反数是 P -3-2-10123 A.-2 B.-1 C.1 D.2 5.在同一条数轴上，下列各数离原点最近的是 () A.-1 B.2 C.-0.3 D.号 6。数轴上A,B两点对应的数分别是-1.3和)，则A,B两点之间的整数有 个 知识点3利用数轴比较有理数的大小 7.如图，数轴上表示的点中，比一2大的是 () A.点A B.点B C.点C D.点D ”101之含 8.如图，若点A,B,C所对应的数为a,b,c,则下列大小关系正确的是 () A.b<c<a B.a<b<c C.b<a<c D.a<c<b ”士 ·17· 9.在数轴上表示出下列各数：-4，--2.5，-（-3)，-1，+51，并用“<”号 将所有的数连接起来 对432士012对45一 知识点4相反数及绝对值的几何意义 10.在数轴上到原点距离等于5的点所表示的数为 () A.±5 B.-5 C.5 D.不能确定 11.小梦做题时，画了一个数轴，在数轴上原有一个点A,其表示的数是一3，由于粗 心，小梦把数轴的原点标错了位置，使点A正好落在了一3的相反数的位置，要 把数轴画正确，原点应 () A.向右移6个单位长度 B.向右移3个单位长度 C.向左移6个单位长度 D.向左移3个单位长度 12.数轴上表示数a和a+4的点到原点的距离相等，则a的值为 二、综合知识运用(13一15题，每题3分，共9分) 13.如图，数轴上点P到原点的距离是 32101十 A.3 B.-2 C.2 D.1 14.数轴上与点2相距3个单位长度的点表示的数为 15.有理数a,b所表示的点在数轴上的位置如图所示，将a,b,a,一b按从大到小 的顺序排列，并用“<”号连接，结果为 b 三、拓广实践探索（共12分） 16,在数轴上，点P表示的数是a,点P表示的数是己。我们称点P是点P的“相 关点”，已知数轴上A1的相关点为A2,点A2的相关点为A3,点A3的相关点为 A…,这样依次得到点A1,A2,A,A,,A.若点A1在数轴表示的数是7，则 点A2025在数轴上表示的数是 ·18· 到数学·七年级·上册BS班级： 姓名： 得分： 满分：50分，限时：20分钟 精练4有理数的加法 一、核心知识巩固(1一3,5一9题，每题3分，4题6分，共30分) 知识点1有理数加法法则 1.计算一2+（一5）的结果等于 A.-3 B.3 C.-7 D.7 2.比-1大2的数为 A.-3 B.0 C.1 D.2 3.下列运算中正确的有 A.-3+(-3)=0 B.-10+(+8)=2 C.0+(-5)=5 D.5+（-2)=3 4计算：号+(-)= ,3)+(-2) 知识点2有理数的加法运算律 5.下列交换加数位置的变形，正确的是 () A.-3+4-3=-3+3-4 B.-3+4-3=-4+3-3 c.9+1.5-79-}+1.5 n.9+1.5-9-}-1.5 6.小明同学在解题时，将式子-号+号+()-（一）变成了+(-号】+ [后一-（一》】后再进行计算，该同学运用了 () A.加法交换律 B.加法结合律 C.加法交换律和结合律 D.乘法分配律 7.用简便方法计算：(-48)+(-3.6)+(-一2.2)+3号- 知识点3有理数加法的应用 8.魏晋时期的数学家刘徽用算筹（小棍形状的记数工具）来表示正负数，其中正放 表示正数，斜放表示负数，例如图1表示的是（一2）十（十4）=十2的运算过程.按 照这种方法，可推算图2中的算式为 () A皿四 MⅢW 图1 图2 A.(-5)+(-3)=+2 B.(-5)+(+3)=-2 C.(+5)+(-3)=+2 D.(+5)+(+3)=-2 ·19· 9.某超市二月份的收入为亏损1万元，三月份的收入为2万元，该超市这两个月的 总收入为 万元 二、综合知识运用(10一14题，每题3分，共15分) 10.若|m=9,ln=2,且m十n<0,则m+n的值为 () A.-7 B.-11 C.7或-7 D.-7或-11 11.某天股票A开盘价18元，上午11：30跌1.5元，下午收盘时涨0.3元，则股票 A这天收盘价为 () A.17.7元 B.16.2元 C.16.8元 D.-18.3元 12.若a,b互为相反数，则2025+a+1+b= 13.为了备战校园足球联赛，一名守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正 数，返回记作负数，记录（单位：米）为：+7，一6，+8，一10，+13，一8，一4，守门 员最后 (选填“回到了”或“没回到”)球门线的位置 14.计算：(-1)+2+(-3)+4+(-5)+6+…+(-97)+98+(-99). 三、拓广实践探索（共5分） 15.阅读下面的解题方法， 计算：-58+(-93)+173+(-32) 解：原式-[(-5)+(-】+[(-9)+(-号】+(17+)+[(-3)+ (-]=[(-5)+(-9)+1+(-3)+[(-)+(-)+(+)+(-号】 0+(-）=- 上述解题方法叫做拆项法，按此方法计算：（一2024)+4046号十 (-2025号+1日 ·20· 数学·七年级·上册BS班级： 姓名： 得分： 满分：50分，限时：20分钟 精练5有理数的减法 一、核心知识巩固(1一3,5一10题，每题2分，4题4分，11题5分，共27分) 知识点1有理数减法法则 1.计算（一7）一（一3）的结果等于 () A.-4 B.4 C.-8 D.8 2.有理数的减法法则是减去一个数等于加上这个数的相反数，老师让四位同学用 字母表示法则，则四位同学中表示完全正确的是 () A.甲：a-b=a+(-b) B.乙：a-b=a-b C.丙：a-b=a+b D.丁：a-b=-a+b 3.下列运算正确的是 A.(-4)+8=-12 B.5-(-8)=-3 C.(-4)+(-8)=12 D.(-5)+0=-5 4.计算：一3一3= ;6-(-2)= 知识点2有理数减法的应用 5.2025年某一天，某市的最高气温为3℃，最低气温为一13℃，则这一天的温差是 () A.16℃ B.10℃ C.-16℃ D.-10℃ 6.标准大气压下，酒精的凝固点约为一117℃，水银的凝固点约为一39℃.酒精的凝 固点比水银的凝固点约低 ℃. 7.众所周知，公元纪年中没有公元零年.历史的长河就像一条“缺零数轴”一样.比如 汉武帝刘彻出生于公元前156年，公元前156年就可以用“缺零数轴”中的一156表 示，公元前87年去世，则汉武帝享年 岁 知识点3有理数的加减混合运算及应用 8.将一3一(+6)一（一5）+（一2）写成省略括号的形式是 () A.-3+6-5-2 B.-3-6+5-2 C.-3-6-5-2 D.-3-6+5+2 9计算-21号+3后十号一言最适当的方法是 6 A.-21号+3日+号+(-》 B.(-21号+38+（号-） c.(-21号-+38+】 D.(-21号+号)+(38-》 ·21· 10.某餐厅一周内的盈亏情况（盈余记为正，亏损记为负，单位：元)如下：十520， 一1020，一1050，+1270，一870，十370，+980，则这一周的盈亏情况是() A.盈余 B.亏损 C.不盈不亏 D.无法判断 1.计算：4日+(-6.2)-(-2号)+3号 二、综合知识运用(12一16题，每题3分，共15分) 12.手机支付给生活带来便捷，如图是王老师某日微信账单的收支明细（正数表示 收入，负数表示支出，单位：元)，王老师当天微信收支的最终结果是 () A.收入4元 B.支出2元 C.支出6元 D.支出9元 微信红包一来自李某某+26.00 输入数 数小于-1 取相反数 某平台商户-7.00 否 加-7 扫二维码付给某店-15.00 减2 输出结果n 第12题图 第15题图 13.墨尔本与北京的时差是十2小时（即同一时刻墨尔本时间比北京时间早2小 时)，飞机从墨尔本飞到北京大约需用12小时，若乘坐从墨尔本8：00（当地时 间)起飞的航班，则到达北京机场时，北京当地时间是 () A.15:00 B.18:00 C.20:00 D.22:00 14.数轴上与一3的距离等于4个单位长度的点所表示的数为 15.如图是计算机程序计算，当输入的数为0时，输出的结果n= 16.有一动点P从原点O出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二 次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长 度，…，按照如此规律不断地左右运动，当运动到2025次时，则点P所对应的 有理数为 三、拓广实践探索（共8分） 17.定义一种新运算：规定a△b=a十b一3，例如2△1=2十1一3=0. (1)计算：-1△3. (2)计算：(3△1)△(-3). ·22·数学·七年级·上册BS 为4(a-2b)=4×(30-2×7)= 64cm. ②该长方体纸盒的长为a一2c=30 2×5=20cm,宽为4,2c=30-2X5 2 10cm,高为c=5cm, ∴.该有盖长方体纸盒的体积为20× 10X5=1000cm3. 精练5截一个几何体 1.A2.D3.A4.D 5.三棱柱，四棱柱6.30 7.(1)圆(2)长方形 (3)六边形 (4)三角形 8.C9.12;1810.1411.圆锥 12.解：(1)圆柱 (2)圆柱的底面半径为6cm,高为 10cm, '.截面的最大面积为：6×2×10= 120cm2. 精练6从三个方向看物体的形状 1.A2.C3.A 4.解：如图即为所求. 主视图 左视图 俯视图 5.D6.D7.六棱柱8.22 9.解：(1)8 (2)如图即为所求。 从正面看 从左面看 (3)2×(7+5+5)=34cm, 答：该几何体的表面积为34cm2. 10.解：(1)3；1；1 (2)9;11 (3)如图即为所求. 从左面着 第二章有理数及其运算 精练1有理数 1.C2.B3.C 12 4解：正数：5,0.56，号，十2 负数：-号，-3，-25.8，一0.0001， -600. 5.B6.A7.-2 8.C9.D10.411.412.C13.C 14.D15.合格 16.解：1)1004，+4,7,6.2. 21 2)-号，-36%6.2 (3)1004,+4,0. 17.解：(1)正数 (2)由图中规律，可得负数排在B和 D的位置. (3).2025÷4=506…1,∴.第2025 个数是负数，排在B的位置 精练2相反数与绝对值 1.B2.A3.-}4.15.A 6 数学·七年级·上册BS 6.D7.C8.0(答案不唯一)9.士7 10.A11.A12.A13.>;> 14.-|-3.5<-12<0<+4K-(-5) 15.C16.C17.A18.-219.1 20.-14 3 21.解：(1)=；> (2)由题意，得当a>0时，a=a>一a; 当a=0时，|a|=0=-a; 当a<0时，la|=-a. 精练3数轴 1.C2.D3.B4.D5.D6.6 7.D8.A 9.解：如图所示，即为所求， 3型 子。1的等 -4<--2.51<-1<-（-32)< 1+5. 10.A11.A12.-2 13.C14.-1或5 15.-b<a<a<b16.-1 精练4有理数的加法 1.C2.C3.D4.27 54 5.C 6.C7.-78.B9.110.D11.C 12.202613.回到了14.解：-50. 15.解：原式=(-2024)+(-8】+ (4046+号)+[(-2025)+(-号】 +(1+), 9 =(-2024)+4046+(-2025)+1+ [(-)+(+)+(-)+], =-2十0， =-2. 精练5有理数的减法 1.A2.A3.D4.0;85.A6.78 7.698.B9.D10.A 山.解：原式-8+()+9+， 的+(）， =7+(-3), =4. 12.A13.B14.-7或115.-5 16.-1013 17.解：(1)由题意，得一1△3=一1+3一3 =-1. (2)由题意，得3△1=3+1一3=1， .(3△1)△(-3)=1△(-3)=1+（一 3)-3=1-3-3=-5. 技巧专题有理数加减运算中的常用技巧 1.解：原式=(-4)+（一13）+(-5)+ 9+7, =[(-4)+(-13)+(-5)]+(9+7), =(-22)+16, =-6. 2.解：原式=20+(-14)+18+(-13)， =(20+18)+[(-14)+(-13)], =38+(-27), =11. 数学·七年级·上册BS 3.解：原式--3日-4日+5号+63， =-8+12, =4. 4.解：原式-[(+)+(-)]+ [(-)+6], =-号+6 0总 5.獬：原式=2.7+(-8.5)+(-3.5)十 1.3, =(2.7+1.3)+[(-8.5)+(-3.5)], =4+(-12), =-8. 6.解：原式=(-3.76)+33+(-7.24) 7, =[-376)+(-7.24]+(3+79), =-11+11, =0. 7.解：原式=(-17-号)+16++ (-15-3)+(-2-2), =(-17+16-15-2)+(-号+ }》, =-18-3, ·9 3 =-18 4 8.解：原式=-2028- +2027+3 4 2026 5+2025+2, 1 =(-2028+2027-2026+2025) +(+-+》 -2-1 =-2 精练6有理数的乘法 1.B2.B3.D4.-65.B 6.,17.C8.B9.C10.-2025 1.D12.B13.-100是 14.B15.B16.-10017.-4 18.-号 19.解：(1)⑤；-64 (2)加法交换律；乘法分配律 (3)原式=8×号-16×号-6×号， 7 =(8-16-6)×22 ’ =-14×号， =-44. 精练7有理数的除法 1.D2D3C4}5.-2 6.B7.63 8· 数学·七年级·上册BS 8.解：(1)同学E垫球最多，垫球最多的 同学，垫球38下 (2)30×6+2+6-3+1+8-2=192, 答：这一组的同学共垫球192下. (3)192÷6=32, 答：这一组同学平均垫球32下. 9D10.B1.g 12.-3 2 13.(1)1(2)0或-4 14.解：(1) (2)原式的倒数=（日一-是+号-》 ÷(-), =(后是+号号)×(-42， =-7+9-28+12, =-14, 故原式=一立 精练8有理数的乘方 1.D2.D3.(-4)74.D5.B 6.C7.168.A9.C10.2×10 11.B12.C13.345600014.47000 15.B16.D17.号 18.2.18×108 19.解：(1)相等，理由如下： ①.22×32=4×9=36，(2×3)2= 62=36, ∴.22×32=(2×3)2； ②：(-)'×2--2×8=-27， 8 [（-2)×2=(-3)=-27, (-'×2=[（-)×2, .根据以上规律，可得ab”=(ab)”. (2)原式=[号×(-5)1=(-1) =—1 精练9有理数的混合运算 1.A2.D3.解：(1)18.(2)-9. 4.D5.0.6×+126,D7.D 8.C9.千10.1.411.C12.A 13.414.-1415.5.5916.44999 17.解：(1)-5(2)-2 (3)(-2)3×[-(2+1)]=24. 重点专题一有理数的实际应用 1.解：(1)(+50)+(-120)+(+60)+ (+150)+(-80)+(+140)+(-130)+ (+120)=190, 答：科考队是在海岛M的北边，距离 海岛M有190海里. (2)由题意，可得 1+50+1-120|+1+601+1+150|+ 1-801+|+140|+1-130+|+120 =850, 答：科考队的船只总共行驶了850 海里， (3)4×850=3400, 答：船只共耗油3400升. 2.解：(1)7+5+(-9)+(-2)+8=9， 答：李师傅在钟楼的南边，距离钟楼9 千米， (2)0.08×(7+5+-9+ 画数学·七年级·上册BS -2+8)=2.48, 答：接送这5批乘客共耗油2.48升 (3)8+(7-3)×1.5=14, 答：李师傅接送完第1批乘客获得的 车费是14元. 重点专题二与数轴动点有关的问题 1.解：(1)由题意，得当原点O与点C重 合时，点A表示的数为一8，点B表示 的数为一2，点C表示的数为0， ∴.P=(-8)+(-2)十0=-10， 当原点O与AB的中点重合时，点A, B表示的数为一对相反数， 由题意，得点A,B之间的距离为6， .点A表示的数为一3，点B表示的 数为3，点C表示的数为5， .P=-3十3十5=0. (2)原点O沿着数轴每向左移动1 cm,点A,B,C表示的数分别增加1， 则饣的值将会增大3， 由(1)，得当原点O与点C重合时，p =一10， ∴.当=-4时，-4一（一10）=6， 6÷3=2, ∴.原点O从点C向左移动2cm,此时 原点O与点B重合. 2.解：(1)-5；-2(2)3(3)2 (4)将向右移动记为正，向左移动记 为负， .向左移动一个单位长度，再向右移 动2个单位长度，可记为一1+2=1， 向左移动3个单位长度，再向右移动 ·1( 4个单位长度，可记为一3十4=1， ∴.每移动两次为一组，每组等于向右 移动一个单位长度， 2024÷2=1012, ∴.操作2024次后，P点表示的数为 -5+1012=1007, ∴.操作2025次后，P点表示的数为 1007-2025=-1018. 第三章整式及其加减 精练1代数式 1.B2.B3.C4.C 5.(a+b26.10b+a70.99a元 8.πa2-b29.D10.C11.A 12.(2m+5）13.(3a+3) 14.(m+6)cm 15.解：(1)长方形的面积为ab, 窗帘面积为2×x×(怡)=86， ∴.窗户能射进阳光的面积是ab一 8b. (2)长方形的面积为ab, 窗布面积为不×（名）=66， ∴.窗户能射进阳光的面积是ab一 66 精练2代数式的值 1.D2.D3.2504.A5.D 6.解：1)s=x[()-(号门=日x 0