作业14 二项分布与超几何分布-【课堂快线】2024高二数学寒假作业（北师大版）

1.在研究随机现象时,经常要在相同条件下重复做大量试验来发现规律.一般地,在相同条件下重复做n次伯努利试验,且每次试验的结果都不受其他试验结果的影响,称这样的n次独立重复试验为n重伯努利试验. 2.一般地,在n重伯努利试验中,用X表示这n次试验中成功的次数,且每次成功的概率均为p,则X的分布列可以表示为P(X=k)=　　　　(k=0,1,2,…,n).  若一个随机变量X的分布列如上所述,则称X服从参数的n,p的二项分布,简记为X~B(n,p). 3.一般地,若随机变量X~B(n,p),则EX=　　　　,DX=　　　　.  特殊地,若随机变量X服从参数为p的两点分布,则EX=　　　　,DX=　　　　.  4.一般地,设有N件产品,其中有M(M≤N)件次品.从中任取n(n≤N)件产品,用X表示取出的n件产品中次品的件数,那么P(X=k)=　　　　,max{0,n-(N-M)}≤k≤min{n,M}.其中n≤N,M≤N,n,M,N∈N+.若一个随机变量X的分布列由上式确定,则称随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布.  5.一般地,当随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布时,其均值为EX=　　　　.  【例题】　某班组织知识竞赛,共有10道题目,现随机抽取3道让甲回答,规定至少要答对其中2道才能通过初试,已知甲只能答对其中6道,试求: (1)随机抽出的3道题目甲能答对的道数的分布列; (2)甲能通过初试的概率. 【解析】　(1)设随机抽出的3道题目甲能答对的道数为X,X的所有可能取值为0,1,2,3,易知X服从超几何分布, 则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==, 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P (2)由至少要答对其中2道才能通过初试,可知P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)++=,即甲能通过初试的概率为. 【思维升华】　求解超几何分布的分布列的步骤 　(1)判断随机变量X是否服从超几何分布; (2)建立超几何分布模型,确定参数N,n,M的值; (3)确定X的取值并求出相应的概率; (4)列出分布列. 一、选择题 1.已知随机变量X服从二项分布X~B(4,),则P(X=2)= (　　) A.　　B. C. D. 2.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数,则P(ξ≤1)等于 (　　) A. B. C. D. 3.某试验每次成功的概率为p,现重复进行10次该试验,则恰好有7次试验未成功的概率为 (　　) A.p3 B.p7 C.p4 D.p6 4.某党支部有10名党员,7男3女,为迎接建党100周年,从中选取2人做汇报演出,若X表示选中的女党员数,则P=　　　　. (　　)  A. B. C. D.1 5.从一个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次,每次取球1个,记X为取得红球的次数,则DX= (　　) A. B. C. D. 6.设随机变量X~B,如果EX=12,DX=4,那么n和p分别为 (　　) A.18和 B.16和 C.20和 D.15和 7.如果X~B(15,),则使P(X=k)最大的k值 (　　) A.3 B.4 C.4或5 D.3或4 8.(多选)中秋节又称祭月节、仲秋节、拜月节、团圆节等,是中国民间的传统节日、中秋节自古便有祭月、赏月、吃月饼等民俗,流传至今,经久不息.在一个食盒中装有大小一样的五仁月饼6个,鲜肉月饼4个,小明同学从中一次性任取4个月饼,设取出的4个月饼中鲜肉月饼的个数为X,则下列结论正确的是 (　　) A.P(X=2)= B.随机变量X服从二项分布 C.随机变量X服从超几何分布 D.P(1<X<4)= 二、填空题 9.从10件产品(其中次品3件)中,一件一件不放回地任意取出4件,则4件中恰有1件次品的概率为　　　　.  10.设随机变量X~B,满足P=.若Y=2X-1,则DY=　　　　.  11.假设苏州肯帝亚球队在某赛季的任一场比赛中输球的概率都等于p,其中0<p<1,且各场比赛互不影响.令X表示连续9场比赛中出现输球的场数,且令pk代表9场比赛中恰有k场出现输球的概率P(X=k).已知p5=p6,则该球队在这连续9场比赛中出现输球场数的期望为　　　　.  三、解答题 12.一个袋中装有5个形状大小完全相同的小球,其中红球有2个,白球有3个,从中任意取出3个球. (1)求取出的3个球恰有一个红球的概率; (2)若随机变量X表示取得红球的个数,求随机变量X的分布列. 13.在某公园中的射击游戏场中,在一次射击游戏中,要求射击2次,若至少命中一次则获奖,否则不获奖.已知游客甲的射击命中率为. (1)求甲在一次射击游戏中获奖的概率; (2)若甲玩三次射击游戏,设X为获奖次数,求随机变量X的概率分布列及数学期望值EX. 作业14　二项分布与超几何分布 知识梳理 2.pk(1-p)n-k　3.np　np(1-p)　p　p(1-p) 4.　5. 知能训练 1.C　P=··=.故选C. 2.D　P(ξ≤1)=1-P(ξ=2)=1-=.故选D. 3.A　由题意可知,重复进行10次试验,7次未成功,说明3次成功,所以所求概率为p3.故选A. 4.C　由题意,知X服从超几何分布,X的可能取值为0,1,2, 故P==,P==, P==, 于是P=P+P=+=.故选C. 5.D　由题意得:从一个装有4个白球和3个红球的袋子中取出一个球,是红球的概率为=,因为是有放回的取球,所以X~B,所以DX=5××=.故选D. 6.A　由解得n=18,p=.故选A. 7.D　==×≥1,得k≤3.所以当k≤3时,P(X=k+1)≥P(X=k), 当k>4时,P(X=k+1)<P(X=k), 其中k=3时,P(X=k+1)=P(X=k), 从而k=3或4时,P(X=k)取得最大值.故选D. 8.ACD　由题意知,随机变量X服从超几何分布,故B错误,C正确;P==,P==, 所以P=P+P=+=,故AD正确.故选ACD. 9. 解析:一件一件不放回地抽取4件,可以看成一次抽取4件,故共有种可能的结果,事件A含有×种结果.∴P==. 10. 解析:由P(X≥1)=1-P(X=0)=1-(1-p)2p0=,故(1-p)2=,则p=,所以X~B, 则DX=2×(1-)×=, 而Y=2X-1,则DY=4DX=. 11. 解析:由题意X~B(9,p),由于p5=p6, 则p5(1-p)4=p6(1-p)3,解得p=, EX=np=9×=. 12.解:(1)设取出的3个球恰有一个红球为事件A, 则P===. (2)随机变量X可能取值为0,1,2, P==,P==,P==, 故X的分布列为: X 0 1 2 P 13.解:(1)设“甲在一次射击游戏中获奖”为事件A,则 P=1-×=. (2)由(1)可知甲在一次射击游戏中获奖的概率为, 则随机变量X~B,且P=,k=0,1,2,3, 随机变量X的概率分布列为 X 0 1 2 3 P EX=np=3×=. 学科网（北京）股份有限公司 $