作业13 离散型随机变量的均值与方差-【课堂快线】2024高二数学寒假作业（北师大版）

1.设离散型随机变量X的分布列如下表: X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称EX=　　　　　　　　,为随机变量X的均值或数学期望(简称期望).  2.若离散型随机变量X的分布列如下表: X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则(xi-EX)2描述了xi(i=1,2,…,n)相对于均值EX的偏离程度,而DX=E(X-EX)2=　　　　为这些偏离程度的加权平均,刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度.我们称DX为随机变量X的方差,其算术平方根　　　　为随机变量X的标准差,记作σX.  【例题】　在某公司的两次投标工作中,每次中标可以获利14万元,没有中标损失成本费8 000元.若每次中标的概率为0.7,每次投标相互独立,设公司这两次投标盈利为X万元,则EX= (　　) A.18.12　　　 B.18.22 C.19.12 D.19.22 【解析】　由题意得X的可能取值为28,13.2,-1.6, P(X=28)=0.72=0.49, P(X=13.2)=2×0.7×(1-0.7)=0.42, P(X=-1.6)=(1-0.7)2=0.09, ∴EX=28×0.49+13.2×0.42-1.6×0.09=19.12. 【思维升华】　求离散型随机变量X的均值与方差的步骤 　(1)理解X的意义,写出X的所有可能取值; (2)求X取每个值时的概率; (3)写出X的分布列; (4)由均值的定义求EX; (5)由方差的定义求DX. 注意:离散型随机变量aX+b的均值与方差可以利用性质E(aX+b)=aEX+b,D(aX+b)=a2DX求解. 一、选择题 1.已知随机变量X的方差为DX=3,则D= (　　) A.9 B.3 C. D. 2.已知离散型随机变量X的分布列如下表,则X的数学期望EX等于 (　　) X 0 1 2 P 0.2 a 0.5 A.0.3 B.0.8 C.1.2 D.1.3 3.若X~B,则EX= (　　) A.2 B.1 C.3 D.4 4.随机变量X的分布列如下表.若EX=1,则DX= (　　) X -2 1 2 P a b A.0 B.2 C.3 D.4 5.同时抛两枚质地均匀的硬币3次,设两枚硬币均正面向上的次数为X,则X的期望是 (　　) A. B. C.1 D. 6.已知随机变量X~B(n,p),且EX=4,DX=2,则P(X=1)= (　　) A. B. C. D. 7.(多选)已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 0.3 m 0.1+m 则 (　　) A.m=0.3 B.m=0.4 C.EX=2.1 D.EX=2.6 8.(多选)甲乙两位同学纸牌游戏(纸牌除了颜色有不同,没有其他任何区别),他们手里先各持4张牌,其中甲手里有2张黑牌,2张红牌,乙手里有3张黑牌,1张红牌,现在两人都各自随机的拿出一张牌进行交换,交换后甲、乙手中的红牌数分别为X、Y张,则 (　　) A.P= B.P= C.EX=EY D.DX=DY 二、填空题 9.已知随机变量X的概率分布列为: X 2 3 4 5 P m n 已知X的数学期望为,则P=　　　　.  10.一个口袋中装有7个球,其中有5个红球,2个白球,抽到红球得2分,抽到白球得3分.现从中任意取出3个球,则取出3个球的得分Y的均值EY为　　　　.  11.篮球运动员在比赛中每次罚球得分的规则是:命中得1分,不中得0分.已知某篮球运动员罚球命中的概率为0.9,设其罚球一次的得分为X,则X的方差DX=　　　　.  三、解答题 12.在最强大脑比赛的最后冲关环节中,面对唯一一道冲关题,答对得1分,答错得0分.如果某选手答对冲关题的概率为0.8,那么他冲关得分X的均值是多少? 13.假定篮球运动员甲每次投篮命中的概率为.现有3个篮球,该运动员甲准备投篮,一旦投中即停止投篮,否则一直投篮到篮球用完(不重复使用).设耗用篮球数为X,求: (1)X的概率分布列; (2)均值EX. 14.体育课排球发球项目考试的规则是:每名学生最多发球3次,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p,发球次数为X,若X的数学期望EX>1.75,求p的取值范围. 作业13　离散型随机变量的均值与方差 知识梳理 1.x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn　2.　 知能训练 1.C　∵D=DX=.故选C. 2.D　依题意可得0.2+a+0.5=1,解得a=0.3,所以EX=0×0.2+1×0.3+2×0.5=1.3.故选D. 3.B　因为随机变量X服从二项分布,n=2,p=,所以EX=np=2×=1.故选B. 4.B　由题意可知,,解得,所以DX=×+×+×=2.故选B. 5.B　设抛掷2枚硬币一次,2枚硬币均正面向上为事件A,则P(A)=,易知X~B(3,),所以EX=3×=.故选B. 6.C　由二项分布的方差和期望公式可得: ,解得p=,n=8,则P(X=1)=··==.故选C. 7.AC　由0.3+m+0.1+m=1,得m=0.3,则EX=1×0.3+2×0.3+3×0.4=2.1.故选AC. 8.AD　甲取出一张红牌为事件A,乙取出一张红牌为事件B, 则P==,P=, 则X的可能取值为1、2、3,且Y=3-X, 则P=×=,P=×+×=,P=×=, 所以EX=1×+2×+3×=, 所以EY=E=3-EX=3-=, DY=D=DX=DX,故正确的有AD. 9. 解析:EX=2×+3×+4m+5n=, 又++m+n=1,解得m=,n=, 则P=++=. 10. 解析:Y的可能取值为6,7,8,且 P===,P===, P===, 所以得分Y的均值EY=6×+7×+8×=. 11.0.09 解析:由题意知,随机变量X的可能取值为0,1。 因为P(X=1)=0.9,P(X=0)=1-0.9=0.1, 所以EX=1×0.9+0×0.1=0.9,DX=×0.9+×0.1=0.09. 12.解:因为P=0.8,P=0.2,所以EX=0×0.2+1×0.8=0.8.即他冲关得分X的均值是0.8. 13.解:(1)随机变量X的所有取值是1,2,3, P(X=1)=,P(X=2)=×=, P=××=, 所以X的分布列为: X 1 2 3 P (2)EX=1×+2×+3×=. 14.解:由已知条件可得P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=(1-p)2, 则EX=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=p+2(1-p)p+3(1-p)2=p2-3p+3>1.75, 解得p>或p<,又由p∈(0,1),可得p∈(0,). 学科网（北京）股份有限公司 $