作业12 随机变量及分布列-【课堂快线】2024高二数学寒假作业（北师大版）

1.像这种取值随着试验结果的变化而变化的量称为　　　　.随机变量常用字母X,Y,ξ,η等来表示.  2.(1)取值能够　　　　的随机变量称为离散型随机变量.  (2)若离散型随机变量X的取值为x1,x2,…,xn,…,随机变量X取xi的概率为pi(i=1,2,…,n,…),记作P(X=xi)=pi(i=1,2,…,n,…). ① ①式也可以列成表,如下表: xi x1 x2 … xn … P(X=xi) p1 p2 … pn … 上表或①式称为离散型随机变量X的分布列,简称为X的分布列. (3)性质: ①pi>0(i=1,2,…,n,…); ②p1+p2+…+pn+…=1. 3.若在某个试验中,每次试验中有两个相互对立的结果,可以分别称为“成功”和“失败”,每次“成功”的概率均为p,每次“失败”的概率均为1-p,则称这样的试验为伯努利试验. 【例题】　设X是一个离散型随机变量,其分布列为 X 0 1 P 9a2-a 3-8a 则常数a的值为 (　　) A.　　　　　B. C.或 D.-或- 【解析】　由离散型随机变量分布列的性质可得 解得a=. 【答案】　A 【思维升华】　 　本题易由离散型随机变量分布列的性质得9a2-a+3-8a=1,解得a=或a=,从而错选C.产生错误的原因在于仅注意到离散型随机变量X的分布列满足概率和为1,忽略了0<pi<1(i=1,2). 一、选择题 1.若离散型随机变量X的分布列为P=0.4,P=a,P=2a,则a的值为 (　　) A.0.1　　　　　 B.0.2 C.0.3 D.0.4 2.先后抛掷一个骰子两次,记随机变量ξ为两次掷出的点数之和,则ξ的取值集合是 (　　) A.{1,2,3,4,5,6} B.{2,3,4,5,6,7} C.{2,4,6,8,10,12} D.{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} 3.若离散型随机变量X的分布列为P=a,i=1,2,3,则a的值为 (　　) A. B. C. D. 4.袋中有大小相同质地均匀的5个白球、3个黑球,从中任取2个,则可以作为随机变量的是 (　　) A.至少取到1个白球 B.取到白球的个数 C.至多取到1个白球 D.取到的球的个数 5.袋中装有5个红球、10个黑球.每次随机抽取1个球后,若取得黑球后则另外换1个红球放回袋中,直到取得红球为止.若抽取的次数为X,则表示事件“放回3个红球”的是 (　　) A.X=2 B.X=3 C.X=4 D.X=5 6.若随机变量Y的分布列如下表,则当P=0.8时,实数x的取值范围是 (　　) Y -2 -1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 A.x≤2 B.1<x<2 C.1≤x≤2 D.1<x≤2 7.已知随机变量X的分布列为P(X=i)=(i=1,2,3,4),则P(2≤X<4)= (　　) A. B. C. D. 8.(多选)设随机变量ξ的分布列为P=ak,则 (　　) A.a= B.P= C.P= D.P= 二、填空题 9.袋中装有除颜色外,质地大小完全相同的4个小球,其中有1个红球、3个白球,从中任意取出1个观察颜色,取后不放回,如果取出的球的颜色是红色,则停止取球,如果是白色,则继续取球,直到取到红球时停止,记停止时的取球次数为ξ,则ξ所有可能取值的集合为　　　　.  10.将一个各面都涂了油漆的正方体切割为64个同样大小的小正方体,经过充分搅拌后,从中随机取1个小正方体,记它的油漆面数为X,则P=　　　　,P=　　　　.  11.已知随机变量X的分布列为P=(k=1,2,3,4),则c=　　　　,P的值为　　　　.  三、解答题 12.写出下列随机变量的取值范围: (1)某足球队在5次点球中,射进的球数X; (2)从10张标号分别为1,2,…,10的卡片中随机抽取1张,所抽得的卡片标号为Y; (3)同时拋5枚硬币,正面朝上的硬币数为Z. 13.设ξ是一个离散型随机变量,其分布列为: ξ -1 0 1 P 1-2q q2 (1)求q的值; (2)求P,P. 14.从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试. (1)求选出的3名同学中至少有1名女生的概率; (2)设ξ表示选出的3名同学中男生的人数,求ξ的分布列. 作业12　随机变量及分布列 知识梳理 1.随机变量　2.(1)一一列举出来 知能训练 1.B　由0.4+a+2a=1,解得a=0.2.故选B. 2.D　因为随机变量ξ表示两次掷出的点数之和,所以ξ的取值可能为:2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,故ξ的取值集合是{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}.故选D. 3.A　由题意得:P+P+P=a=1,解得a=.故选A. 4.B　根据离散型随机变量的定义,能够一一列出的只能是B选项,其中A、C选项是事件,D选项取到球的个数是2个,ACD错误.故选B. 5.C　因为“放回3个红球”表示前3次摸到的都是黑球,第4次摸到红球,所以X=4.故选C. 6.D　由题表得P+P+P+P=0.8,则1<x≤2.故选D. 7.A　依题意,+++=1,解得a=10,即P(X=i)=(i=1,2,3,4),所以P(2≤X<4)=P(X=2)+P(X=3)=+=.故选A. 8.AB　对于选项A,∵随机变量ξ的分布列为P=ak,∴P+P+P+P+P=a+2a+3a+4a+5a=15a=1,解得a=,故A正确; 对于选项B,易知P=P=3×=,故B正确; 对于选项C,易知P=P+P=+2×=,故C错误; 对于选项D,易知P=5×=,故D错误.故选AB. 9. 解析:若第一次取到红球,则停止取球,此时ξ=1,若第一次取到白球,第二次取到红球,则停止取球,此时ξ=2;若第一次和第二次都取到白球,第三次取到红球,则停止取球,此时ξ=3;若前3次都取到白球,则第四次必取到红球,则停止取球,此时ξ=4;综上所述,ξ所有可能取值的集合为{1,2,3,4}. 10.　 解析:依题意,原正方体每条棱上中间的2个小正方体2面涂有油漆,于是得一共有2×12=24个小正方体2面涂有油漆, 所以P==. 原正方体每个顶点处的小正方体3面涂有油漆,一共有8个,则共有8个小正方体3面涂有油漆,即有P==. 所以P=P+P=+=. 11.　 解析:由题意,得+++=c=1,解得c=,所以P=P+P=×=. 12.解:(1)在5次点球中,射进的球数X最小为0,最大为5,X∈{0,1,2,3,4,5}. (2)从10张标号分别为1,2,…,10的卡片中随机抽取1张,所抽得的卡片标号为Y,Y最小值为1,最大值为10,则Y∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. (3)同时拋5枚硬币,正面朝上的硬币数为Z,Z最小值为0,最大值为5,则Z∈{0,1,2,3,4,5}. 13.解:(1)由离散型随机变量ξ分布列知: +(1-2q)+q2=1, 解得q=1-,或q=1+,(舍)∴q=1-. (2)由(1)可得1-2q=-1,q2=-, 所以P=P=, P=P+P=+-1=-. 14.解:(1)由题意可知,选出的3名同学全是男生的概率为, 所以选出的3名同学中至少有1名女生的概率1-=. (2)根据题意,ξ的可能取值为0,1,2,3,则 P==,P(ξ=1)== , P(ξ=2)==,P(ξ=3)==, 所以ξ的分布列为: ξ 0 1 2 3 P 学科网（北京）股份有限公司 $