作业10 计数原理-【课堂快线】2024高二数学寒假作业（北师大版）

1.分类加法计数原理:完成一件事,可以有n类办法,在第1类办法中有m1种方法,在第2类办法中有m2种方法……在第n类办法中有mn种方法,那么,完成这件事共有N=　　　　种方法.(也称“加法原理”)  2.分步乘法计数原理:完成一件事需要经过n个步骤,缺一不可,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法,那么,完成这件事共有N=　　　　种方法.  3.(1)一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素,按照　　　　排成一列,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.  (2)我们把从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素的所有　　　　的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数,记作.  (3)=　　　　=　　　　.  4.(1)一般地,从n个不同元素中,任取m(m≤n,且m,n∈N+)个元素为　　　　,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.  (2)从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素的所有组合的个数,叫作从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素的组合数,记作. (3)==　　　　　　　　=　　　　.  5.(a+b)n=. ① 公式①称为二项式定理,等号右边的式子称为(a+b)n的二项展开式,(a+b)n的二项展开式共有(n+1)项,其中各项系数　　　　(k=0,1,2,…,n)称为二项式系数,式中的an-kbk用Tk+1表示,称为二项展开式中第(k+1)项,又称为二项式通项,记作Tk+1=　　　　.  【例题】　某单位需派人员同时参加甲、乙、丙三个会议,甲需2人参加,乙、丙各需1人参加,从10人中选派4人参加这三个会议,不同的安排方法共有　　　　种.(用数字作答)  【解析】　解法一　先从10人中选出2人参加会议甲,再从余下8人中选出1人参加会议乙,最后从剩下的7人中选出1人参加会议丙.根据分步乘法计数原理,不同的安排方法共有=2520(种). 解法二　先从10人中选出2人参加会议甲,再从余下8人中选出2人分别参加会议乙、丙.根据分步乘法计数原理,不同的安排方法共有=2520(种). 【答案】　2520 【思维升华】　 　计数问题中,首先要分清楚是排列问题还是组合问题,即看取出的对象是“合成一组”还是“排成一列”,不能将二者混淆.若将排列问题误认为是组合问题,会导致遗漏计数,反之,会导致重复计数. 一、选择题 1.从甲地出发前往乙地,一天中有4趟汽车、3趟火车和1趟航班可供选择.某人某天要从甲地出发,去乙地旅游,则所有不同走法的种数是 (　　) A.16　 B.15 C.12 D.8 2.若=,则实数x的值为 (　　) A.2 B.4 C.6 D.2或6 3.甲、乙等5人排成一列,若甲需要站两侧,则排法总数为 (　　) A.120 B.24 C.12 D.48 4.的展开式中常数项为 (　　) A.30 B.20 C.15 D.10 5.为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会,某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”安装在学校的体育广场,每人参与且只参与一个吉祥物的安装,每个吉祥物都至少由两名志愿者安装,若小明和小李必须安装不同的吉祥物,则不同的分配方案种数为 (　　) A.8 B.10 C.12 D.14 6.的展开式中的常数项为 (　　) A.40 B.60 C.80 D.120 7.(多选)已知展开式中的二项式系数和为32,若=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则 (　　) A.n=5 B.a0=32 C.a3=270 D.a0-a1+a2-a3+…+an=-1 8.(多选)现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到A,B,C,D,E五家医院进行核酸检测指导,每名专家只能选择一家医院,且允许多人选择同一家医院,则 (　　) A.所有可能的安排方法有125种 B.若A 医院必须有专家去,则不同的安排方法有61种 C.若专家甲必须去A 医院,则不同的安排方法有16种 D.若三名专家所选医院各不相同,则不同的安排方法有10种 二、填空题 9.若6=,则n=　　　　.  10.的展开式中,x7的系数为15,则a=　　　　.  11.在8所高水平的高校代表队中,选择5所高校进行航模表演.如果M、N为必选的高校,并且在航模表演过程中必须按先M后N的次序(M、N两高校的次序可以不相邻),则可选择的不同航模表演顺序有　　　　.  三、解答题 12.在二项式的展开式中 (1)求各二项式系数和; (2)求含x2的项的系数. 13.某学习小组有4名男生和3名女生共7人. (1)将这7人排成一排,4名男生相邻有多少种不同的排法? (2)从中选出2名男生和2名女生分别承担4种不同的任务,有多少种不同的选派方法? 14.在下面三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并对其求解.条件①:前三项的二项式系数之和为16;条件②:第3项与第4项的二项式系数相等;条件③:所有项的系数之和为1024. 问题:在的展开式中,　　　　.  (1)求n的值; (2)求展开式中所有的有理项. 注:如果选择不同的条件分别解答,则按第一个解答计分. 作业10　计数原理 知识梳理 1.m1+m2+…+mn　2.m1·m2·…·mn　3.(1)一定的顺序　(2)不同排列　(3)n(n-1)(n-2)……[n-(m-1)]　　4.(1)一组　(3)　　5.　an-kbk 知能训练 1.D　根据分类加法计数原理,可知共有4+3+1=8种不同的走法.故选D. 2.D　由=,得或,解得x=2或x=6,所以实数x的值为2或6.故选D. 3.D　甲在两侧选一种站法为=2,剩余4人全排列有=24种,共计2×24=48种安排方法.故选D. 4.C　展开式的通项为Tr+1==x12-3r,令12-3r=0,得r=4,故的展开式中常数项为=15.故选C. 5.C　按除去小明和小李后,剩余3人与小明同组的人数确定分组方法,即+=6种方法,这两组安装吉祥物的方法为=2,故按要求这五人共有6×2=12种方法.故选C. 6.A　的展开式的通项为Tr+1=x5-r=x5-2r,而=x3-, 令5-2r+3=0,得r=4,令5-2r-1=0,得r=2, 所以的展开式中的常数项为-=40.故选A. 7.ABD　由2n=32,得n=5,A正确.令x=0,得a0=32,B正确.因为n=5,所以a3=×33×22=1080,C错误.令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1,D正确. 8.AB　对于A,每名专家有5种选择方法,则所有可能的安排方法有53=125种,A正确;对于B,由选项A知,所有可能的方法有53种,A 医院没有专家去的方法有43种,所以A 医院必须有专家去的不同的安排方法有53-43=61种,B正确;对于C,专家甲必须去A 医院,则专家乙、丙的安排方法有52=25种,C错误;对于D,三名专家所选医院各不相同的安排方法有=60种,D错误.故选AB. 9.3 解析:由6=,得6·=n,化简得n=3. 10.- 解析:的展开式中的第r+1项为Tr+1=x10-r,r=0,1,...,10,令r=3,则=120××a3=15,解得a3=-,即a=-. 11.1 200 解析:从8所高校中选出5所,除去M、N还需要选3所,选法是种,当M、N两高校不相邻时,不同的表演顺序有=720,当M、N两高校相邻时,不同的表演顺序有=480,因此可选择的不同航模表演顺序有720+480=1 200种. 12.解:(1)各二项式系数和为25=32. (2)因为Tk+1=(2x)5-k,令5-k=2,解得k=2,所以x2的项的系数为23=80. 13.解:(1)因为4名男生相邻,所以看作一个元素,则将4个元素全排列,再将4个男生全排列,然后由分步计数原理得:·=576种不同的排法. (2)选出2名男生有种选法,选出2名女生有种选法,然后全排列有种排法,再利用分步计数原理得:··=432种不同的选派方法. 14.解:(1)选条件①:由题意,前三项的二项式系数之和为++=16,即1+n+=16,故n2+n-30=0,因为n>0,故n=5; 选条件②:由题意,=,故=,解得n=5; 选条件③:令x=1,有4n=1024,解得n=5, (2)由题意,的通项为Tr+1==3r·, 故当r=2,5时为有理项,分别为T3=32·x6=90x6,T6=35·x10=243x10,故有理项为90x6与243x10. 学科网（北京）股份有限公司 $