作业15 学业质量测评-【课堂快线】2024高一数学寒假作业（北师大版）

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A={x|0<log4x<2},B={x|ex-3≤1},则A∩(∁RB)= (　　) A.(3,16)　　　　　 B.(3,8) C.(1,3] D.(1,+∞) 2.某林场有树苗300 00棵,其中松树苗4 000棵,为调查树苗的生长情况,采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为150的样本,则样本中松树苗的数量为 (　　) A.30　　B.25　　 C.20　　D.15 3.函数y=+x的大致图象是 (　　) 4.福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号01,02,…,33组成,某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号,选取方法是从如下随机数表中的第1行的第5列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第6个红色球的编号为 (　　) 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 17 34 91 64 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 A.23 B.20 C.04 D.17 5.从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球,那么互斥而不对立的两个事件是 (　　) A.“至少有一个黑球”与“都是黑球” B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” C.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” D.“至少有一个黑球”与“都是红球” 6.已知正数x,y满足+=3,则x+y的最小值为 (　　) A. B.2 C. D.6 7.设a,b,c均为正数,且2a=loa,=lob,=log2c,则 (　　) A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c 8.若某同学连续三次考试的名次(第一名为1,第二名为2,以此类推且没有并列名次情况)不大于3,则称该同学为该班级的尖子生.根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次数据,推断一定不是尖子生的是 (　　) A.甲同学:平均数是2,中位数是2 B.乙同学:平均数为2,方差小于1 C.丙同学:中位数是2,众数是2 D.丁同学:众数是2,方差大于1 二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分. 9.下列说法中正确的是 (　　) A.a2+b2≥2ab成立的条件是a≥0,b≥0 B.a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R C.a+b≥2成立的条件是a≥0,b≥0 D.a+b≥2成立的条件是ab>0 10.下列计算正确的是 (　　) A.= B.()(-3)÷=-9a(a>0,b>0) C.= D.已知x2+x-2=2,则x+x-1=2 11.在某次高中学科知识竞赛中,对4 000名考生的参赛成绩进行统计,可得到如图所示的频率分布直方图,其中分组的区间为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],60分以下视为不及格.若同一组中数据用该组区间中间值作代表值,则下列说法中正确的是 (　　) A.成绩在[70,80)的考生人数最多 B.不及格的考生人数为1 000 C.考生竞赛成绩的平均分约为70.5分 D.考生竞赛成绩的中位数为75分 12.定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足:f(x)+g(x)=4x,下列结论正确的有 (　　) A.f(x)=,且0<f(1)<g(2) B.∀x∈R,总有[g(x)]2-[f(x)]2=1 C.∀x∈R,总有f(-x)g(-x)+f(x)g(x)=0 D.∃x0∈R,使得f(2x0)>2f(x0)g(x0) 三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.函数f(x)=+log2(x-2)的定义域为　　　　.  14.若f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,且定义域为[a-1,2a],则a=　　　　,b=　　　　.(第一空2分,第二空3分)  15.若函数f(x)=(m-1)xa是幂函数,则函数g(x)=loga(x-m)(其中a>0,a≠1)的图象过定点的坐标为　　　　.  16.甲、乙两人独立破译一个密码,他们能译出密码的概率分别为和,则该密码被破译的概率为　　　　.  四、解答题(本题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分) 已知函数f(x)=2x+. (1)证明:函数f(x)是奇函数; (2)证明:函数f(x)在[1,+∞)上单调递增. 18.(本小题满分12分) 已知集合A为函数f(x)=log2(1-x)+的定义域,集合B为函数g(x)=-3的值域. (1)求A∩B; (2)若C={x|a-1<x<1-2a},且C⊆(A∩B),求实数a的取值范围. 19.(本小题满分12分) 某购物中心举行抽奖活动,顾客从装有编号分别为0,1,2,3四个球的抽奖箱中,每次取出1个球,记下编号后放回,连续取两次(假设取到任何-个小球的可能性相同).若取出的两个小球号码相加之和等于5,则中一等奖;若取出的两个小球号码相加之和等于4,则中二等奖;若取出的两个小球号码相加之和等于3,则中三等奖;其他情况不中奖. (1)求顾客中三等奖的概率; (2)求顾客未中奖的概率. 20.(本小题满分12分) 某校高一某班的某次数学测试成绩(满分100分)如下:56,58,62,63,63,65,66,68,69,71,72,72,73,74,75,76,77,78,79,,90,95,由于保存不利,其中[80,90)内的成绩被墨水覆盖.根据该数据绘制的频率分布直方图(如图)也被墨水覆盖了部分区域 (　　) (1)求成绩在区间[50,60)内的频率及抽样人数; (2)求成绩在区间[80,90)内的频数,并计算频率分布直方图中区间[80,90)对应的小矩形的高; (3)试估计全班成绩在82分以下的学生比例. 21.(本小题满分12分) 某快递公司在某市的货物转运中心拟引进智能机器人分拣系统,以提高分拣效率和降低物流成本,已知购买x台机器人的总成本p(x)=万元. (1)若使每台机器人的平均成本最低,则应买多少台? (2)现按(1)中的数量购买机器人,需要安排m人将邮件放在机器人上,机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣,经实验知,每台机器人的日平均分拣量q(m)=(单位:件),已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1 200件,问引进机器人后,日平均分拣量达最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几? 22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx是偶函数. (1)求实数k的值. (2)若关于x的方程f(x)=+a没有实数根,求实数a的取值范围. (3)若函数g(x)=+m·2x-1,x∈[0,log23],是否存在实数m,使得g(x)的最小值为0?若存在,求出m的值,若不存在,请说明理由. 作业15　学业质量测评 1.A　解析:因为集合A={x|0<log4x<2}={x|1<x<16},B={x|ex-3≤1}={x|x≤3},所以∁RB=(3,+∞),A∩(∁RB)=(3,16).故选A. 2.C　解析:抽样比是=,则样本中松树苗的数量为×4 000=20. 3.C　解析:方法一　易得函数y=+x的定义域为{x|x≠0},排除A,B;当x=-1时,y=-2,选项D中的图象不符合,排除D.选C. 方法二　函数y=+x的定义域为{x|x≠0} ,依据绝对值的定义可得y=易知选项C对应的图象正确. 4.C　解析:从上面随机数表中的第1行的第5列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出的6个红色球的编号依次为17,23,20,24,06,04,故选出来的第6个红色球的编号为04. 5.C　解析:从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球, 在A中,“至少有一个黑球”与“都是黑球”能同时发生,不是互斥事件,故A不符合题意; 在B中,“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”能同时发生,不是互斥事件,故B不符合题意; 在C中,“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生,但能同时不发生,是互斥而不对立的两个事件,故C符合题意; 在D中,“至少有一个黑球”与“都是红球"是对立事件,故D不符合题意.故选C. 6.B　解析:由题得x+y=x+(y+1)-1=×[x+(y+1)]×3-1=×[x+(y+1)]×-1=×-1≥×-1=2, 当且仅当x=y=1时取等号,所以x+y的最小值为2. 故选B. 7.A　解析:因为a,b,c均为正数,所以由指数函数和对数函数的单调性得loa=2a>1⇒0<a<, lob=∈(0,1)⇒<b<1, log2c=>0⇒c>1,所以a<b<c.故选A. 8.D　解析:甲同学:平均数为2,说明名次之和为6,中位数是2,得出三次考试名次均不大于3,断定为尖子生. 乙同学:平均数为2,说明名次之和为6,方差小于1,得出三次考试名次均不大于3,断定为尖子生. 丙同学:中位数为2,众数为2,说明三次考试名次至少有两次为2,名次从小到大排序可能为1,2,2;2,2,2;2,2,3;2,2,x(x>3).所以丙同学可能是尖子生. 丁同学:众数为2,方差大于1,说明某两次名次为2,设另一次名次为y,经验证,当y=1,2,3时,方差均小于1,故y>3.推断丁一定不是尖子生. 故选D. 9.BC　解析:根据基本不等式成立的条件可知只有BC正确,故选BC. 10.BC　解析:选项A,==,故错误; 选项B,()(-3)÷=-9·=-9a,故正确; 选项C,==(32==,故正确; 选项D,因为x2+x-2=(x+x-1)2-2=2,所以(x+x-1)2=4,则x+x-1=±2,故错误. 故选BC. 11.ABC　解析:由频率分布直方图可得,成绩在[70,80)的频率最高,因此考生人数最多,故A正确;成绩在[40,60)的频率为0.010×10+0.015×10=0.25,因此不及格的人数为4 000×0.25=1 000,故B正确;考生竞赛成绩的平均分约为45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1=70.5(分),故C正确;因为成绩在[40,70)的频率为0.45,在[70,80)的频率为0.3,所以中位数为70+10×≈71.67(分),故D错误.故选ABC. 12.ABC　解析:定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足:f(x)+g(x)=4x　①,所以f(-x)+g(-x)=4-x,则-f(x)+g(x)=4-x　②,所以由①②可得f(x)=,g(x)=,又f(0)=0<f(1)=<g(2)=8+,故A正确;[g(x)]2-[f(x)]2=-=1,故B正确;根据函数的奇偶性,f(-x)g(-x)+f(x)g(x)=-f(x)g(x)+f(x)g(x)=0,故C正确;f(2x0)-2f(x0)g(x0)=-=0,故D错误. 13.(2,4)　解析:对于函数f(x)=+log2(x-2),有解得2<x<4.因此,函数f(x)=+log2(x-2)的定义域为(2,4). 14.　0　解析:因为f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,且定义域为[a-1,2a],所以a-1+2a=0,解得a=. 又f(-x)=ax2-bx+3a+b=f(x)=ax2+bx+3a+b,所以b=0.故a=,b=0. 15.(3,0)　解析:由函数f(x)=(m-1)xa是幂函数,可得m-1=1,即m=2,故g(x)=loga(x-2).当x-2=1,即x=3时,g(3)=0.故过定点的坐标为(3,0). 16.　解析:该密码没有被破译的概率为×=,由对立事件的概率知,该密码被破译的概率为1-=. 17.解:(1)易知函数f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,又f(-x)=-2x-=-f(x),所以函数f(x)是奇函数. (2)f(x)=2x+,任取1≤x1<x2,则f(x1)-f(x2)=2x1+-2x2-=2(x1-x2)+=(x1-x2)=, 因为1≤x1<x2,所以x1-x2<0,2x1x2-1>0,即f(x1)-f(x2)<0,所以函数f(x)在[1,+∞)上单调递增. 18.解:(1)由函数f(x)的定义域需满足 解得-1<x<1,所以A=(-1,1). 令t=2x-x2,则t∈(-∞,1],所以3t∈(0,3],3t-3∈(-3,0],所以B=(-3,0].所以A∩B=(-1,0]. (2)由于C⊆(A∩B),故可分C=⌀和C≠⌀两种情况进行讨论. 若C=⌀,则a-1≥1-2a,解得a≥. 若C≠⌀,则解得≤a<. 综上,实数a的取值范围为. 19.解:(1)设事件A为“顾客中三等奖”,样本空间包含(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(3,3),共16个样本点.事件A包含(0,3),(1,2),(2,1),(3,0),共4个样本点,所以P(A)==. (2)设事件B为“顾客未中奖”,“两个小球号码相加之和等于5”这事件包含(2,3),(3,2),共2个样本点,“两个小球号码相加之和等于4”这一事件包含样本点(1,3),(2,2),(3,1),共3个. 则P(B)=1-P()=1-=. 所以顾客未中奖的概率为. 20.解:(1)易知成绩在区间[50,60)内的频率为0.008×10=0.08,成绩在区间[50,60)内的频数为2, 所以抽样人数为=25. (2)成绩在区间[80,90)内的频数为25-21=4; 频率分布直方图中区间[80,90)对应的小矩形的高为÷10=0.016. (3)成绩在82分以下的学生比例为学生成绩不足82分的频率,设相应频率为b,学生成绩在[82,100)内的频率为0.016×(90-82)+0.008×10=0.208,则b=1-0.208=0.792,由此估计全班成绩在82分以下的学生约占79.2%. 21.解:(1)由总成本p(x)=万元,可得每台机器人的平均成本y===x++1≥2+1=2.当且仅当x=,即x=300时, 等号成立.∴若使每台机器人的平均成本最低,则应买300台. (2)引进机器人后,每台机器人的日平均分拣量q(m)=当1≤m≤30时,300台机器人的日平均分拣量为160m(60-m)=-160m2+9 600m,∴当m=30时,机器人日平均分拣量有最大值144 000件;当m>30时,日平均分拣量为480×300=144 000(件),∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144 000件.若传统人工分拣144 000件,则需要人数为=120(人).∴日平均分拣量达最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少×100%=75%. 22.解:(1)因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(-x), 所以log4(4x+1)+kx=log4(4-x+1)-kx, 化简得2kx=log4(4-x+1)-log4(4x+1)=log4=-x, 所以2kx=-x恒成立,则k=-. (2)由题意知方程log4(4x+1)-=+a无解,即log4(4x+1)-x=a无解,a=log4=log4无解, 因为>0,所以1+>1,则log4>0,所以a≤0. 故实数a的取值范围是(-∞,0]. (3)g(x)=+m·2x-1=4x+m·2x,x∈[0,log23],令t=2x,则t∈[1,3],h(t)=t2+mt,图象开口向上,图象的对称轴方程为t=-. ①当-≤1,即m≥-2时,h(t)min=h(1)=1+m=0,解得m=-1; ②当1<-<3,即-6<m<-2时,h(t)min=h=-=0,解得m=0(舍去); ③当-≥3,即m≤-6时,h(t)min=h(3)=9+3m=0,解得m=-3(舍去). 综上所述,存在m=-1使g(x)的最小值为0. 学科网（北京）股份有限公司 $