作业9 空间向量在立体几何中的应用-【课堂快线】2024高二数学寒假作业（北师大版）

1.设点A,B是直线l上不重合的任意两点,称为直线l的　　　　.  2.如果一条直线l与一个平面α垂直,那么就把直线l的方向向量n叫作平面α的　　　　,则n⊥α.  3.设向量l,m分别是直线l,m的方向向量,n1,n2分别是平面α,β的法向量,则l∥m或l与m重合⇔　　　　;  l∥α或l⊂α⇔　　　　;  α∥β或α与β重合⇔　　　　;  l⊥m⇔　　　　;  l⊥α⇔　　　　;  α⊥β⇔　　　　.  4.(1)若向量a,b分别为直线a,b的方向向量,则直线a与b所成的角θ∈,且θ与两个方向向量所成的角<a,b>　　　　.  (2)直线与平面所成的角和直线与平面的垂线所成的角互余. (3)一般地,已知n1,n2分别为平面α,β的法向量,则二面角α⁃l⁃β的平面角与两法向量所成角<n1,n2>　　　　　　.  5.(1)点P到平面α的距离,等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量,在平面α的单位法向量n0方向上所作投影向量的长度,即d=　　　　.  (2)若点P是直线l外一点,l0是直线l的单位方向向量,点A是直线l上任意一点,则点P到直线l的距离为d=　　　　.  【例题】　已知四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,设PA=AB=a,AD=2a,求二面角B-PC-D的余弦值. 【解析】　建立如右图所示的空间直角坐标系,则B(a,0,0),C(a,2a,0),P(0,0,a),D(0,2a,0),=(0,2a,0),=(-a,0,a),=(-a,0,0),=(0,2a,-a). 设平面PBC、平面PCD的一个法向量分别为n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2),则有 取x1=1,则n1=(1,0,1)为平面PBC的一个法向量,取y2=1,则n2=(0,1,2)为平面PCD的一个法向量,则cos<n1,n2>==, 观察图形知二面角B-PC-D为钝角,故二面角B-PC-D的余弦值为-. 【思维升华】　 　求二面角θ的大小时,通过求二面角两个半平面所在平面的法向量u,v的夹角φ,把问题转化为向量的运算,需注意两法向量的夹角与二面角相等或互补,在解题中,可根据法向量的方向来进行判断,以便准确求出二面角的大小.一般地,如果二面角为锐角,选择cos θ=|cos φ|=;如果二面角为钝角,选择cos θ=-|cos φ|=-. 一、选择题 1.直线l的一个方向向量为,平面α的一个法向量为,若l⊥α,则实数t= (　　) A.　　　　　　 B.1 C.-2 D.- 2.若n1=,n2=(-1,2,-6)分别为平面α,β的一个法向量,则 (　　) A.α∥β B.α与β相交但不垂直 C.α⊥β D.α∥β或α与β重合 3.已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为正方形,AA1=2AB,E为AA1的中点,则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为 (　　) A. B. C. D. 4.设平面α与平面β的夹角为θ,若平面α,β的法向量分别为n1,n2,则cosθ= (　　) A. B. C. D. 5.已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量,若cos<m,n>=-,则直线l与平面α所成的角为 (　　) A. B. C. D. 6.已知平面α={P|n·=0},其中点P0(1,2,3),法向量n=(1,1,1),则下列各点中不在平面α内的是 (　　) A.(3,2,1) B.(-2,5,4) C.(-3,4,5) D.(2,-4,8) 7.已知向量n=(2,0,1)为平面α的法向量,点A(-1,2,1)在平面α内,则点P(1,2,2)到平面α的距离为 (　　) A. B. C.2 D. 8.(多选)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AB,BC上的动点,且=λ,=λ,λ∈,则 (　　) A.当λ=时,EF∥A1C1 B.当λ=时,异面直线B1E与A1F所成角的余弦值为 C.三棱锥B1-BEF的体积的最大值为1 D.不论λ取何值,都有A1F⊥C1E 二、填空题 9.已知A,B,C,则平面ABC的一个单位法向量是　　　　.  10.若两个平面α,β的法向量分别是u=,v=,则这两个平面所成的锐二面角的大小是　　　　.  11.在底面是直角梯形的四棱锥P⁃ABCD中,侧棱PA⊥底面ABCD,BC∥AD,∠ABC=90°,PA=AB=BC=2,AD=1,则AD到平面PBC的距离为　　　　.  三、解答题 12.如图,在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A'B'C'D',且AB=1,BC=2,AA'=2,求直线B'C与平面B'BDD'所成角的正弦值. 13.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=3,点S、P在棱CC1、AA1上,且CS=SC1,AP=2PA1,点R、Q分别为AB、D1C1的中点.求证:直线PQ∥直线RS. 14.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PD⊥底面ABCD,PD=AD=2,点E,F,G分别为PA,AB,BC的中点,平面EFGM∩棱PC=M. (1)试确定的值,并证明你的结论; (2)求平面EFGM与平面PAD夹角的余弦值. 作业9　空间向量在立体几何中的应用 知识梳理 1.方向向量　2.法向量　3.l∥m　l⊥n1　n1∥n2　l⊥m　l∥n1　n1⊥n2　4.(1)相等或互补　(3)相等或互补 5.(1)|·n0|　(2) 知能训练 1.A　直线l的一个方向向量为,平面α的一个法向量为,且l⊥α,所以==,所以t=.故选A. 2.D　∵n2=-2n1,∴n1,n2共线,∴α∥β或α与β重合.故选D. 3.C　如图,以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系.设AA1=2AB=2,则B(1,1,0),E(1,0,1),C(0,1,0),D1.所以=,=,所以cos<,>==.故选C. 4.B　由两个平面的夹角概念知,cosθ=.故选B. 5.A　设直线l与平面α所成的角为θ,则sinθ==. ∵θ∈,∴θ=.选项A正确,选项BCD错误.故选A. 6.B　对于A,=(2,0,-2),n·=1×2+1×0+1×(-2)=0,故选项A在平面α内; 对于B,=(-3,3,1),n·=1×(-3)+1×3+1×1=1≠0,故选项B不在平面α内; 对于C,=(-4,2,2),n·=1×(-4)+1×2+1×2=0,故选项C在平面α内; 对于D,=(1,-6,5),n·=1×1+1×(-6)+1×5=0,故选项D在平面α内.故选B. 7.B　因为A(-1,2,1),P(1,2,2),所以=(-2,0,-1),因为平面α的法向量n=(2,0,1),所以点P到平面α的距离d===.故选B. 8.ABD　当λ=时,E,F分别为AB,BC的中点,则EF∥AC∥A1C1,故A正确; 建立如图所示的空间直角坐标系,当λ=时,点E,F,A1,B1, 则=,=, 异面直线B1E与A1F所成角的余弦值为==,故B正确; 又==2λ,∴=2-2λ, 从而=××2λ××2=λ=-+≤,故C错误; 当λ取任意值时,E,F,=,=, ∴·=-2+2+=0, ∴C1E⊥A1F,故D正确,故选ABD. 9.(,-,) 解析:由题设,=(-1,1,2),=(-3,-1,2), 若m=(x,y,z)是平面ABC的一个法向量,则, 令y=-1,则m=(1,-1,1),故平面ABC的一个单位法向量是=(,-,). 10.60° 解析:设这两个平面所成的锐二面角为θ,则cosθ===,所以所求锐二面角的大小是60°. 11. 解析:已知AB,AD,AP两两垂直. ∴以A为坐标原点,AB,AD,AP分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),=(2,0,-2),=(0,2,0). 设平面PBC的一个法向量为n=(a,b,c),则.令a=1,则n=(1,0,1).又=(2,0,0),∴d==. 12.解:B',C,B,D,=,=,=,设平面B'BDD'的法向量为m=,则,解得:z=0,令y=1得:x=2,则m=,设直线B'C与平面B'BDD'夹角为θ∈,则sinθ===, 故直线B'C与平面B'BDD'所成角的正弦值为. 13.解:以点D为原点,分别以、与的方向为x、y与z轴的正方向,建立空间直角坐标系. 则D、A、C、B、D1、A1、C1、B1, 由题意知P、Q、S、R, ∴=,=. ∴=,又PQ,RS不共线,∴PQ∥RS. 14.解:(1)=. 在△APB中,因为点E,F分别为PA,AB的中点,所以EF∥PB. 又EF⊄平面PBC,PB⊂平面PBC,所以EF∥平面PBC. 因为EF⊂平面EFG,平面EFG∩平面PBC=GM, 所以EF∥GM,所以PB∥GM. 在△PBC中,因为点G为BC的中点, 所以点M为PC的中点,即=. (2)因为底面ABCD为正方形,所以AD⊥CD. 因为PD⊥底面ABCD,AD,CD⊂平面ABCD,所以PD⊥AD,PD⊥CD.如图,建立空间直角坐标系D-xyz, 则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2), 因为E,F,G分别为PA,AB,BC的中点, 所以E(1,0,1),F(2,1,0),G(1,2,0). 所以=(1,1,-1),=(-1,1,0). 设平面EFGM的法向量n=(x,y,z),则 即 令x=1,y=1,z=2,于是n=(1,1,2).又因为平面PAD的法向量为m=(0,1,0),所以cos<m,n>===. 所以平面EFGM与平面PAD夹角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $