作业8 空间向量基本定理及坐标运算-【课堂快线】2024高二数学寒假作业（北师大版）

1.空间向量基本定理:如果向量a,b,c是空间三个不共面的向量,p是空间任意一个向量,那么存在唯一的三元有序实数组(x,y,z),使得p=　　　　.  2.一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 3.设向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),根据空间向量的运算法则,不难得到: (1)a+b=　　　　　　;  (2)a-b=　　　　　　;  (3)λa=　　　　　　;  (4)a·b=　　　　　　.  4.如果设向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),那么当b≠0时,a∥b⇔∃λ∈R,使得　　　　;  a⊥b⇔a·b=0⇔　　　　.  5.设向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),根据空间向量运算的坐标表示,可以得到以下结论: (1)|a|==　　　　.  若点A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2),则 |AB|=||= . (2)cos<a,b>==　　　　(a≠0,b≠0).  【例题】　已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),求以AB,AC为邻边的平行四边形的面积. 【解析】　由题意,得=(-2,1,6)-(0,2,3)=(-2,-1,3),=(1,-1,5)-(0,2,3)=(1,-3,2). 设θ=<,>,则cos θ===.又<,>∈[0,π], ∴sin θ===, ∴以AB,AC为邻边的平行四边形的面积S=||||sin θ=7. 【思维升华】　 　利用空间向量的坐标运算求夹角、距离问题时,要先利用题设条件写出相关点的坐标,再求得相关向量的坐标,进而利用空间向量的夹角公式和模求解. 一、选择题 1.若a=(2,0,1),b=(-3,1,-1),c=(1,1,0),则a+2b-3c= (　　) A.(-1,-2,0)　　　　 B.(-7,-1,0) C.(-7,-1,1) D.(-7,-1,-1) 2.已知a=,b=,则a·等于 (　　) A.(0,34,10) B.(-3,19,7) C.44 D.23 3.若向量a=,b=(2,-1,2),且a与b的夹角余弦值为,则实数λ等于 (　　) A.0 B.- C.0或- D.0或 4.如图,在三棱柱ABC⁃A1B1C1中,M为A1C1的中点,若=a,=c,=b,则可表示为 (　　) A.-a+b+c B.a+b+c C.-a-b+c D.a-b+c 5.已知空间向量a=(-2,1,m),b=(1,-1,0),p=(-1,2,t),若a,b,p共面,则m+t= (　　) A.-1 B.0 C.1 D.- 6.已知a=,b=,且//,则 (　　) A.x=,y=1 B.x=,y=-4 C.x=2,y=- D.x=1,y=-1 7.已知{a,b,c}是空间向量的一个基底,{a+b,a-b,c}是空间向量的另一个基底,若向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(4,2,3),则向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为 (　　) A.(4,0,3) B.(1,2,3) C.(3,1,3) D.(2,1,3) 8.(多选)若,,是三个不共面的单位向量,且两两夹角均为θ,则 (　　) A.θ的取值范围是 B.能构成空间的一个基底 C.“=2-+”是“P,A,B,C四点共面”的充分不必要条件 D.·=0 二、填空题 9.已知A,B,=,则的坐标为　　　　.  10.已知是空间的一个基底,若λ+μ+v=0,则λ2+μ2+v2=　　　　.  11.如图,在四面体ABCD中,E是BC的中点,设=,=,=,请用{,,}的线性组合表示=　　　　.  三、解答题 12.已知直线l经过A(-2,1,1),B(1,0,-3)两点,求直线l上一点P,使得=-. 13.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=60°,AB=2,BC=CC1=1,求·. 14.如图,在单位正方体ABCD-A'B'C'D'中,点M是AB'上的点,且AM=AB',点N是BD上的点,且BN=BD,求MN的长. 作业8　空间向量基本定理及坐标运算 知识梳理 1.xa+yb+zc　3.(1)(x1+x2,y1+y2,z1+z2)　(2)(x1-x2,y1-y2,z1-z2)　(3)(λx1,λy1,λz1),λ∈R　(4)x1x2+y1y2+z1z2　4.　x1x2+y1y2+z1z2=0 5.(1)　(2) 知能训练 1.D　a+2b-3c=(2,0,1)+2·(-3,1,-1)-3·(1,1,0)=(-7,-1,-1).故选D. 2.C　∵a=,b=,∴a+3b=,∴a·=·=2×17+5×2=44.故选C. 3.C　由题知,cos<a,b>===,即3λ2+4λ=0,解得λ=0或λ=-.故选C. 4.A　=++=-++=-++(-)=-++=-a+b+c.故选A. 5.B　若a、b、p共面,则a=λb+μp, 即(-2,1,m)=(λ-μ,-λ+2μ,μt), 故,故.故选B. 6.B　因为a=,b=,所以a+2b=,2a-b=-=,因为//,所以==,解得:x=,y=-4.故选B. 7.C　∵p在基底{a,b,c}下的坐标为(4,2,3),∴p=4a+2b+3c. 设p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为, 则p=x+y+zc=a+b+zc, 对照系数,可得: 解得:, ∴p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为.故选C. 8.BD　因,,是三个不共面的单位向量,且两两夹角均为θ,则三棱锥O-ABC是侧棱长为1的正三棱锥,如图, 作OO'⊥平面ABC于点O',连接O'A,O'B,O'C,则O'A=O'B=O'C=r∈(0,1), ∠AO'B=∠BO'C=∠CO'A=,BC=r,△BOC中,由余弦定理得cosθ==1-r2∈(-,1), 于是得θ∈(0,),A不正确; 因,,是不共面的,由空间向量基底的意义知,B正确; 假定P,A,B,C四点共面,依题意,存在唯一实数对(x,y)使得=x+y,即=x+(1-x-y)+y, 而=2-+,由空间向量基本定理知,此方程组无解,则有P,A,B,C四点不共面, “=2-+”是“P,A,B,C四点共面”的既不充分也不必要条件,C不正确; (++)·=(++)·(-)=·-·+-=cosθ-cosθ+1-1=0,D正确.故选BD. 9.(1,1,2) 解析:由题设,=-=(3,3,6), 所以==(1,1,2). 10.0 解析:∵是空间的一个基底,∴,,为不共面向量. 又∵λ+μ+v=0,∴λ=μ=v=0,∴λ2+μ2+v2=0. 11.+- 解析:在△ABC中,因为E是BC的中点,所以==, 所以=+=+-. 12.解:设点P(x,y,z),因A(-2,1,1),B(1,0,-3), 则=(x+2,y-1,z-1),=(3,-1,-4), 又=-,于是得,解得, 即点P(-5,2,5),所以点P(-5,2,5). 13.解:∵直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=60°,AB=2,BC=CC1=1,∴CC1⊥AB,BB1⊥BC, ∴·=· =·+·+·+· =2×1×cos120°+1=0. 14.解:建立如图所示的坐标系, 则A,B',B,D , 设M,N 因为AM=AB',BN=BD, 所以=,=, 即 所以x1=,y1=0,z1=,x2=,y2=,z2=0, 所以M,N , 所以MN=== . 学科网（北京）股份有限公司 $