作业7 空间向量及运算-【课堂快线】2024高二数学寒假作业（北师大版）

1.空间中P(x1,y1,z1),Q(x2,y2,z2)两点,则P,Q两点间的距离为|PQ|=　　　　　　　　.  2.在空间中,我们把具有　　　　和　　　　的量叫作空间向量.向量的大小叫作向量的　　　　或模.  3.表示向量a的有向线段的长度也叫作向量a的　　　　或模,用|a|表示.有向线段的方向表示向量的方向.方向　　　　且模　　　　的向量称为相等向量.  方向　　　　且模　　　　的向量互为相反向量,向量a的相反向量用-a表示.为了方便起见,规定模为0的向量叫作　　　　,记为0.  4.当表示向量的两条有向线段所在的直线　　　　时,称这两个向量互为共线向量(或平行向量).  5.我们把平行于同一平面的向量,叫作共面向量. 6.定理:空间两个向量a,b(b≠0)共线的充要条件是存在　　　　的实数λ,使得　　　　.  7.已知两个空间向量a,b,把|a||b|cos<a,b>叫作a与b的数量积,记作a·b,即a·b=　　　　.  【例题】　如图所示,四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1的底面ABCD是矩形,AB=4,AD=3,AA1=5,∠BAA1=∠DAA1=60°,求AC1的长. 【解析】　由题意得·=0, ·=4×5×cos 60°=10, ·=3×5×cos 60°=. 因为=++=++, 所以||2=(++)2=||2+||2+||2+2(·+·+·)=42+32+52+0+20+15=85,所以AC1的长为. 【思维升华】　求两点间的距离或线段长的方法 　(1)将此线段用向量表示,通过向量运算来求对应向量的模. (2)因为a·a=|a|2,所以|a|=,这是利用向量解决距离问题的基本公式.另外,该公式还可以推广为|a±b|==. (3)可用a·e=|a|cos θ(e为单位向量,θ为a,e的夹角)来求一个向量在另一个向量上的投影的数量. 一、选择题 1.向量a,b互为相反向量,已知=3,则下列结论正确的是 (　　) A.a=b　　　　　　　B.a+b为实数0 C.a与b方向相同 D.=3 2.下列说法正确的是 (　　) A.任一空间向量与它的相反向量都不相等 B.将空间向量所有的单位向量平移到同一起点,则它们的终点构成一个圆 C.同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小 D.不相等的两个空间向量的模必不相等 3.在正四面体A-BCD中,点E,F分别是AC,AD的中点,则与的夹角为 (　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 4.已知三棱柱ABC-A1B1C1,点P为线段B1C1的中点,则= (　　) A.++ B.++ C.+- D.++ 5.已知向量i,j,k是一组单位向量,且两两垂直.若m=8j+3k,n=-i+5j-4k,则m·n的值为 (　　) A.7 B.-20 C.28 D.11 6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有下列命题: ①=3||2;②·(-)=0;③与的夹角为60°. 其中正确的命题有 (　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 7.已知空间四边形ABCD,点E、F分别是AB与AD边上的点,M、N分别是BC与CD边上的点,若=λ,=λ,=μ,=μ,则向量与满足的关系为 (　　) A.= B.∥ C.= D.≠ 8.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式中运算结果为的是 (　　) A.++ B.++ C.++ D.++ 二、填空题 9.在空间四边形ABCD中,若△BCD是正三角形,且E为其中心,连接DE,则+--的化简结果为　　　　.  10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,设AD=AA1=1,AB=2,则=　　　　.  11.任意四面体ABCD中,·+·+·=　　　　.  三、解答题 12.如图,已知四面体ABCD,点E,F分别是BC,CD的中点,化简下列表达式,并在图中标出化简后的结果所对应的向量. (1)++; (2)+; (3)-. 13.已知=4,向量e 为单位向量,<a,e>=,求向量a 在向量e 方向上的投影的数量. 14.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,底面是正方形,AD=AB=2,AA1=1,∠A1AB=∠DAA1=60°,=3,=2,设=a,=b,=c. (1)试用a、b、c表示; (2)求MN的长度. 作业7　空间向量及运算 知识梳理 1.　2.大小　方向　长度　3.长度　相同　相等　相反　相等　零向量　4.平行或重合　6.唯一　a=λb　7.|a||b|cos<a,b> 知能训练 1.D　向量a,b互为相反向量,则a,b模相等、方向相反,所以a=-b,故A错误;a+b=0,故B错误;a与b方向相反,故C错误;==3,故D正确.故选D. 2.C　A:零向量与它的相反向量相等,故错误;B:将空间中的所有单位向量平移到同一起点,则它们的终点构成一个球面,故错误;C:空间向量与平面向量一样,既有模又有方向,不能比较大小,故正确;D:一个非零空间向量与它的相反向量不相等,但它们的模相等,故错误.故选C. 3.C　由题意,可得=,所以<,>=<,>=180°-<,>=180°-60°=120°.故选C. 4.D　在三棱柱ABC-A1B1C1中,点P为线段B1C1的中点,则 =,=,==, 所以=+=++ =++(+) =++.故选D. 5.C　向量i,j,k是一组单位向量,且两两垂直, 所以jk|=1且i·j=j·k=i·k=0. 因为m=8j+3k,n=-i+5j-4k, 所以m·n=(8j+3k)·(-i+5j-4k)=40-12=28.故选C. 6.B　对于①, =+++2·+2·+2·=3,所以①正确;对于②,·(-)=(+-)·(-)=-=0,所以②正确;对于③,因为∥,AD1,AC,D1C分别为面的对角线,所以∠AD1C=60°,所以与的夹角为120°,所以③错误.故选B. 7.B　由=λ,=λ,得=-=λ=λ,所以、共线,同理,由=μ,=μ,得=μ,所以、共线,所以、共线,即∥.故选B. 8.BD　根据空间向量的加法运算法则及正方体的性质,逐一进行判断: A中,++=++=+=; B中,++=+=; C中,++=+=+=; D中,++=+=.故选BD. 9.0 解析:延长DE,交BC于点F,则F为BC的中点,∴=,=,∴+--=+++=0. 10. 解析:由=====. 11.0 解析:·=·(+)=·+·, ∴·+·+·=·+·+·+·=(-)·+·=·+·=0. 12.解:(1)++=+=; (2)+=+=; (3)-=-=. 13.解:由题意=4,=1,<a,e>=,则向量a 在向量e 方向上的投影的数量为=a·e=·cos=4×=-2. 14.解:(1)=+=+=c+=a+b+c. (2)=a+b+c, =-=-a-b-c, ∴= ==. 学科网（北京）股份有限公司 $