作业6 直线与圆锥曲线的位置关系-【课堂快线】2024高二数学寒假作业（北师大版）

1.从几何角度看,位置关系有三种:相离、相交和相切.相离时,直线与圆锥曲线无公共点;相切时,直线与圆锥曲线有一个公共点;相交时,直线与椭圆有两个公共点,但直线与双曲线、抛物线的公共点可能有一个(直线与双曲线的渐近线平行时,直线与抛物线的对称轴平行或重合时)或两个. 2.斜率为k的直线l与圆锥曲线C交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则 |AB|=　　　　=　　　　.  【例题】　直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1相交于A,B两点. (1)求线段AB的长; (2)当a为何值时,以AB为直径的圆经过坐标原点O? 【解析】　由得(3-a2)x2-2ax-2=0(a≠±),则Δ=(-2a)2-4×(-2)(3-a2)=24-4a2>0,∴a2<6. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=. (1)|AB|= = =. (2)由题意知,OA⊥OB,则x1x2+y1y2=0,∴x1x2+(ax1+1)·(ax2+1)=0,即(1+a2)x1x2+a(x1+x2)+1=0, ∴(1+a2)·+a·+1=0,解得a=±1.故当a=±1时,以AB为直径的圆经过坐标原点O. 【思维升华】　 　求直线与圆锥曲线相交时的弦长问题常用以下两种方法: (1)求出交点A,B的坐标,利用两点间的距离公式求解; (2)利用弦长公式|AB|=·求解. 一、选择题 1.若一直线l平行于双曲线的一条渐近线,则l与双曲线的公共点个数为 (　　) A.0或1　　　　　 　B.1 C.0或2 D.1或2 2.抛物线y2=4x上的点到直线x-y+4=0的最小距离为 (　　) A. B. C. D. 3.直线y=kx(k>0)与双曲线-=1没有交点,则k的取值范围为 (　　) A. B.(2,+¥) C.[,+¥) D.(0,) 4.若直线l:mx+ny=4和圆O:x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数为 (　　) A.0个 B.至多有一个 C.1个 D.2个 5.过拋物线C:y2=4x的焦点F作斜率为1的直线l,交抛物线C于A,B两点,则弦长= (　　) A.3 B.8 C.9 D.12 6.已知点F是双曲线x2-=1的左焦点,直线4x-y-12=0与该双曲线交于两点P,Q,则△FPQ的重心G到y轴的距离为 (　　) A.1 B.4 C.3 D.2 7.已知F为椭圆C:+y2=1的右焦点,P,Q为椭圆C上两个动点,且满足FP⊥FQ,则·的最小值为 (　　) A. B.2 C.7-4 D.2- 8.(多选)已知椭圆C:+=1,斜率为的直线l交椭圆于A,B两点,存在定点P,使得PA,PB的斜率之和为定值,则点P坐标可以为 (　　) A. B. C. D. 二、填空题 9.斜率为2的直线与圆锥曲线交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,若弦长|AB|=2,则|y1-y2|=　　　　.  10.已知双曲线-x2=1的两条渐近线分别与抛物线y2=2px(p>0)的准线交于A、B两点,O为坐标原点,若△AOB的面积为1,则p的值为　　　　.  11.过双曲线C:-=1的左焦点F1且垂直于x轴的直线交C与M,N两点,若△MNF2 为直角三角形,则C的离心率为　　　　.  三、解答题 12.已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,A,B是椭圆的两个顶点,如果左焦点F到直线AB的距离为,求该椭圆的方程. 13.已知直线x-2y+1=0与抛物线y2=2x交于A,B两点,求的值. 14.已知椭圆的两个焦点坐标分别是,,并且经过点. (1)求椭圆的标准方程; (2)若直线y=x+1与椭圆交于A、B两点,M为AB中点,求直线OM斜率. 作业6　直线与圆锥曲线的位置关系 知识梳理 2. 知能训练 1.B　由题意,由于渐近线与双曲线没有公共点, 如图所示,若直线l平行于双曲线的一条渐近线, 故l与双曲线的公共点个数为1个.故选B. 2.A　方法一　易知直线y=x+4与抛物线y2=4x相离, 设直线y=x+m与抛物线y2=4x相切,则由, 得y2-4y+4m=0,所以Δ=16-16m=0,m=1, 则直线y=x+4与y=x+1的距离d==.故选A. 方法二　设抛物线上一点P, 则点P到直线x-y+4=0的距离d==,当t=2时,d取得最小值.故选A. 3.C　由得x2=1,此方程无实数解,则-≤0,解得k≤-或k≥.又k>0,所以k≥.故选C. 4.D　由题意可得:>2,即m2+n2<4, ∴点P(m,n)是在以原点为圆心,2为半径的圆内的点, ∵椭圆的长半轴为3,短半轴为2, ∴圆m2+n2=4内切于椭圆, ∴点P是椭圆内的点, ∴过点P(m,n)的一条直线与椭圆的公共点数为2.故选D. 5.B　由题设,F(1,0),则直线l为y=x-1,联立抛物线得y2-4y-4=0,∴yA+yB=4,yAyB=-4,则|yA-yB|2=-4yAyB=32,∴=·|yA-yB|=8.故选B. 6.C　由题意得:不妨设P,Q 联立双曲线方程与直线方程 消去y得x2-12x+19=0,故x1+x2=12 因为F,所以点G到y轴的距离为==3.故选C. 7.C　由题意得,由FP⊥FQ,得·=0, 则·=·(-)=-·==, 设P(x,y)(-2≤x≤2),由F(,0),得=(x-,y), 则=+y2=+(1-)=, 又-2≤x≤2,由二次函数的性质可知, ==7-4, 所以·的最小值为7-4.故选C. 8.AB　设直线l方程为y=x+t,代入椭圆方程消去y整理得x2+tx+t2-3=0.依题知Δ>0,即t2-4>0,t2<4. 设A,B,则x1+x2=-t,x1x2=t2-3, 如果存在P使得kPA+kPB为定值,那么kPA+kPB的取值与t无关, kPA+kPB=+=, 令=M,由Mt2+t+m2M-3M-2mn+3=0, 由题意知:该式对任意t恒成立,其中t2<4, ∴,解得:或. 综上,满足条件的定点P存在,坐标为或.故选AB. 9.4 解析:依题意,=2,即x1-x2=(y1-y2),于是得|AB|==|y1-y2|, 而|AB|=2,因此|y1-y2|=2,所以|y1-y2|=4. 10. 解析:由题设,渐近线方程为y=±2x,联立抛物线得:4x2=2px,则x=0或x=, 当x=0时,y=0;当x=-时,y=±p, 则△AOB的面积为××2p=1,又p>0,故p=. 11.+1 解析:由题可得MN:x=-c,代入双曲线C:-=1(a>0,b>0),解得y=±,∵△MNF2为直角三角形,则,∴=2c,∴c2-a2=2ac,∴e2-2e-1=0,∴e=1±,又e>1,∴e=+1. 12.解:∵e== ,∴a=2c ,b=c ……①; 直线AB的方程为x-y+b=0 ,左焦点F, F到直线AB的距离为d== ,将①代入,解得c=1,∴a=2,b= ,椭圆方程为+=1. 13.解:联立,消去x,得:y2-4y+2=0, Δ=(-4)2-4×1×2=8>0,设A,B,则y1+y2=4,y1y2=2, 所以=·=×=×=2. 14.解:(1)由于椭圆的焦点在x轴上, 所以设它的标准方程为+=1, 由椭圆定义知c=2,2a=+=2, 所以a=,所以b2=a2-c2=10-4, 所求椭圆的标准方程为+=1. (2)设直线与椭圆的交点为A,B, 联立方程,得8x2+10x-25=0, 得x1+x2=-,x1x2=-. 设AB的中点M坐标为,则x0==-,y0=,所以kOM=- . 学科网（北京）股份有限公司 $