作业10 函数应用(二)-【课堂快线】2024高一数学寒假作业（北师大版）

几种常见的函数模型 　(1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0). (2)反比例函数模型:f(x)=+b(k,b为常数,k≠0). (3)一元二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0). 注意　一元二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的函数模型,常常用于处理最优、最省等问题,在高考的应用题中最为常见. (4)指数型函数模型:f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,b≠1). 指数型函数在实际问题中的应用比较广泛,主要有以下两类: ①平均增长率问题:若原来产值的基数为N,平均增长率为p,则关于时间x的总产值y=N(1+p)x; ②储蓄中的复利问题:若本金为a,每期利率为r,本利和为y,存期为x,则y=a(1+r)x. (5)对数型函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m≠0,a>0,a≠1). (6)幂型函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0,n≠1). (7)“对勾”函数模型:f(x)=ax+(a>0,b>0). (8)分段函数模型:一种比较复杂的函数模型,可以用来描述在不同区间上有不同变化规律的实际问题;或者将定义域上变化复杂的函数分成几段来研究,在每一段上函数有各自的变化规律,根据函数的具体变化,再分段选择相应的函数模型. 　　【例题】　某工厂拟建一座平面图(如图)为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过16米,如果池外周壁建造费用为每米400元,中间两条隔墙建造费用为每米248元,池底建造费用为每平方米80元(池壁厚度忽略不计,高度一定,且池无盖). (1)写出总造价y(单位:元)与污水处理池长x(单位:米)的函数关系式,并指出其定义域; (2)求污水处理池长和宽各为多少时,污水处理池总造价最低?并求出最低总造价. 【思路点拨】　 【解析】　(1)由污水处理池的长为x米,池底面积为200平方米,得宽为米, 则总造价y=400+248××2+80×200=800+16 000. 由题设条件得解得12.5≤x≤16. 故y=800+16 000,定义域为[12.5,16]. (2)先研究函数y=f(x)=800+16 000在[12.5,16]上的单调性. 对于任意的x1,x2∈[12.5,16],不妨设x1<x2,则f(x2)-f(x1)=800=800(x2-x1). ∵12.5≤x1<x2≤16,∴0<x1x2<324,∴>1,即1-<0.又x2-x1>0,∴f(x2)-f(x1)<0, 即f(x2)<f(x1),故函数y=f(x)在[12.5,16]上单调递减. ∴当x=16时,y取得最小值,ymin=800×+16 000=45 000,==12.5. 综上,当污水处理池的长为16米,宽为12.5米时,总造价最低,为45 000元. 【名师点睛】　解决“对勾”函数应用题的关键 解决“对勾”函数f(x)=ax+(a>0,b>0)的应用题时,需关注该函数的定义域、单调性(函数f(x)在和上单调递减,在和上单调递增)、值域和图象等.也可以通过变形构造,利用基本不等式求最值. 一、选择题 1.某种产品今年的产量是a,如果保持5%的年增长率,那么经过x年(x∈N*),该产品的产量y满足 (　　) A.y=a(1+5%x) B.y=a+5% C.y=a(1+5%)x-1 D.y=a(1+5%)x 2.据统计,每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似满足关系式:y=alog3(x+2),观测发现2018年冬(作为第1年)有越冬白鹤3 000只,估计到2024年冬越冬白鹤有 (　　) A.4 000只　　　　　 B.5 000只 C.6 000只 D.7 000只 3.在固定电压差(电压为常数)的前提下,当电流通过圆柱形的电线时,其电流强度I与电线半径r的三次方成正比,若已知电流通过半径为4毫米的电线时,电流强度为320安,则电流通过半径为3毫米的电线时,电流强度为 (　　) A.60安 B.240安 C.75安 D.135安 4.某单位为鼓励职工节约用水,作出如下规定:每位职工每月用水不超过10 m3的,按3元/m3收费;用水超过10 m3的,超过的部分按5元/m3收费.某职工某月缴水费55元,则该职工这个月实际用水 (　　) A.13 m3 B.14 m3 C.15 m3 D.16 m3 5.衣柜里的樟脑丸,随着时间会挥发而体积缩小,刚放进的新丸体积为a,经过t天后体积V与天数t的关系式为:V=a·e-kt.已知新丸经过50天后,体积变为a.若一个新丸体积变为a,则需经过的天数为 (　　) A.125 B.100 C.75　 D.50 6.把物体放在空气中冷却,如果物体原来的温度是T1(℃),空气的温度是T0(℃),经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式T=T0+(T1-T0)e-0.25t求得.把温度是90 ℃的物体,放在10 ℃的空气中冷却t分钟后,物体的温度是50 ℃,那么t的值约等于(参考数据:ln 3≈1.099,ln 2≈0.693) (　　) A.1.78 B.2.77 C.2.89 D.4.40 7.地震里氏震级是地震强度大小的一种度量.地震释放的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8+1.5M.已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级,若它们释放的能量分别为E1和E2,则的值所在的区间为 (　　) A.(1,2)　　　　 B.(5,6) C.(7,8) D.(15,16) 二、填空题 8.2018年年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元,随着我国经济的不断发展,预计该地区今后农民的人均年收入的年平均增长率为6%,那么2025年年底该地区的农民人均年收入约为　　　　元.  9.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元.当销售单价为6元时,日均销售量为480桶.根据数据分析,销售单价在进价基础上每增加1元,日均销售量就减少40桶.为了使日均销售利润最大,销售单价应定为　　　　元.  三、解答题 10.有l米长的钢材,要做成如图所示的窗框:上半部分为半圆,下半部分为四个全等的小矩形,则小矩形的长与宽之比为多少时,通过窗户的光线最多?并求出窗户面积的最大值. 11.我们知道,人们对声音有着不同的感觉,这与它的强度有关系,声音的强度用I(W/m2 )表示,但在实际测量时,常用声音的强度水平LI表示,它们满足以下公式:L1=10lg (单位为分贝,L1≥0,其中I0=1×10-12,这是人们平均能听到的最小强度,是听觉的开端).回答以下问题: (1)树叶沙沙声的强度是1×10-12 W/m2,耳语的强度是1×10-10 W/m2,恬静的无线电广播的强度是1×10-8W/m2,试分别求出它们的强度水平; (2)某一新建的小区规定:小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下.试求声音强度I的范围. 作业10　函数应用(二) 【知能训练】 1.D　解析:经过1年,y=a(1+5%), 经过2年, y=a(1+5%)2,…, 经过x年,y=a(1+5%)x. 2.C　解析:当x=1时,由3 000=alog3(1+2)得a=3 000,所以到2024年冬,即第7年,y=3 000×log3(7+2)=6 000.故选C. 3.D　解析:由已知,设比例常数为k,则I=k·r3.由题意,当r=4时,I=320,故有320=k×43,解得k==5,所以I=5r3.故当r=3时,I=5×33=135(安).故选D. 4.C　解析:设该职工这个月实际用水x m3,∵该职工这个月缴水费55元,∴该职工这个月实际用水超过10 m3,超过部分的水费为5(x-10)元,故由题意可得30+5(x-10)=55,解得x=15. 5.C　解析:由已知,得a=a·e-50k, ∴e-k=. 设经过t1天后,一个新丸体积变为a, 则a=a·, ∴=(e-k=, ∴=,t1=75. 6.B　解析:由题意可知50=10+(90-10)·e-0.25t,整理得e-0.25t=,即-0.25t=ln =-ln 2=-0.693,解得t≈2.77. 7.B　解析:∵lg E=4.8+1.5M, ∴lg E1=4.8+1.5×8=16.8, lg E2=4.8+1.5×7.5=16.05, ∴E1=1016.8,E2=1016.05,∴=100.75. ∵100.75>90.75=31.5=3×>5, 且100.75=1=1 00<1 29=6, ∴的值所在的区间为(5,6). 8.4 511　解析:设经过x年,该地区农民人均年收入为y元,则依题意有y=3 000×(1+6%)x=3 000×1.06x,因为2018年年底到2025年年底经过了7年,故x=7,所以y=3 000×1.067≈4 511元. 9.11.5　解析:设销售单价在进价的基础上增加x元,日销售利润为y元,则y=x[480-40(x-1)]-200, 由于x>0,且520-40x>0,所以0<x<13, 即y=-40x2+520x-200,0<x<13. 所以当x==6.5时,y取得最大值,即为了使日均销售利润最大,销售单价应定为5+6.5=11.5(元). 10.解:设小矩形的长为x米,宽为y米,窗户的面积为S米2, 则由题图可得9x+πx+6y=l,所以6y=l-(9+π)x, 所以S=x2+4xy=x2+x·[l-(9+π)x] =-·+. 要使通过窗户的光线最多,只需窗户的面积S最大. 由x>0,y>0,6y>0,得0<x<. 因为0<<, 所以当x=,y==,即=时,窗户的面积S有最大值,且Smax=. 11.解:(1)由题意可知,树叶沙沙声的强度水平为=10×lg =0(分贝);耳语的强度水平为=10×lg =20(分贝);恬静的无线电广播的强度水平为=10×lg =40(分贝). (2)由题意知0≤L1<50,即0≤10lg <50,∴1≤<105, 即1×10-12≤I<1×10-7. 故小区内的声音强度I应大于或等于1×10-12 W/m2,小于1×10-7 W/m2. 学科网（北京）股份有限公司 $