作业4 双曲线-【课堂快线】2024高二数学寒假作业（北师大版）

1.平面内到两个定点F1,F2的距离之　　　　等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线.这两个定点F1,F2叫作双曲线的　　　　,两个焦点间的距离叫作双曲线的　　　　.  2.标准方程 (1)焦点位于x轴:　　　　　　　　.  (2)焦点位于y轴:　　　　　　　　.  3.双曲线-=1(a>0,b>0)的几何性质 (1)范围:　　　　　　　　.  (2)对称性:对称轴:　　　　;对称中心:　　　　.  (3)顶点:　　　　.  (4)渐近线:　　　　.  (5)离心率:e=　　　　.  【例题】　(1)与椭圆+y2=1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是 (　　) A.-y2=1　　　B.-y2=1 C.-=1 D.x2-=1 (2)与双曲线-=1有相同的焦点,且经过点(3,2)的双曲线方程是　　　　　　　　.  【解析】　(1)由题易得,双曲线的焦点为(±,0),∴c=,2a=-=2, ∴a=,b=1,故与椭圆+y2=1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是-y2=1. (2)方法一:∵两双曲线焦点相同, ∴可设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0), 且易知c2=16+4=20,即a2+b2=20　①. 又双曲线经过点(3,2),∴-=1　②. 由①②得a2=12,b2=8,故所求双曲线的标准方程为-=1. 方法二:依题意设所求双曲线的方程为-=1(-4<λ<16).∵双曲线过点(3,2),∴-=1,解得λ=4,λ=-14(舍去).故所求双曲线的标准方程为-=1. 【答案】　(1)B　(2)-=1 【思维升华】 　求双曲线标准方程的两个关键点: (1)定位:“定位”是指在“标准方程”的前提下,确定焦点位于哪条坐标轴上,以判断方程的形式; (2)定量:“定量”是指确定a2,b2的具体数值,常根据条件列方程(组)求解. 一、选择题 1.若方程+=1表示的图形是双曲线,则m的取值范围是 (　　) A.m>5　　　　　　　B.m<-4 C.m<-4或m>5 D.-4<m<5 2.双曲线-=1的左焦点的坐标是 (　　) A.(-,0) B.(-3,0) C.(-4,0) D.(-5,0) 3.设F1,F2是双曲线C:x2-=1的左,右焦点,点P在双曲线C的右支上,当=6时,△PF1F2面积为 (　　) A.4 B.3 C. D.6 4.已知双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,焦距为8,离心率为2,则该双曲线的方程为 (　　) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 5.双曲线-y2=1的渐近线方程为 (　　) A.y=±4x B.y=±2x C.y=±x D.y=±x 6.已知双曲线的渐近线方程为y=±x,则其离心率为 (　　) A. B.2 C. D. 7.已知左、右焦点分别为F1,F2的双曲线C:-=1(a>0)上一点P到左焦点F1的距离为6,点O为坐标原点,点M为PF1的中点,若|OM|=5,则双曲线C的渐近线方程为 (　　) A.y=±2x B.y=±x C.y=±x D.y=±4x 8.(多选)设F1,F2分别是双曲线x2-=1(b>0)的左右焦点,过F2作x轴的垂线与双曲线交于A,B两点,若△ABF1为正三角形,则 (　　) A.b= B.双曲线的离心率为 C.双曲线的焦距为2 D.△ABF1的面积为4 二、填空题 9.经过两点,的双曲线的标准方程为　　　　　　.  10.若双曲线y2-=1(m>0)的渐近线与圆x2+y2-4x+1=0相切,则m=　　　　.  11.已知F为双曲线C:-=1的右焦点,A为C的左顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴,若AB的斜率为2,则C的离心率为　　　　.  三、解答题 12.已知双曲线C与椭圆E:+=1有公共焦点,且它的一条渐近线方程为y=x. (1)求椭圆E的焦点坐标; (2)求双曲线C的标准方程. 13.中心都在坐标原点的椭圆与双曲线,它们有共同的在x轴上的焦点F1、F2,且=4,其中椭圆与双曲线的离心率之比为1∶4,椭圆的长半轴长与双曲线的实半轴长之差为6. (1)求椭圆和双曲线的标准方程; (2)若点N是椭圆和双曲线的一个交点,求cos∠F1NF2. 14.已知双曲线C:-=1的渐近线方程为y=±x,其右焦点F到渐近线的距离为,点P为双曲线右支上一动点. (1)求双曲线C的标准方程; (2)求·的最小值. 作业4　双曲线 知识梳理 1.差的绝对值　焦点　焦距　2.-=1(a>0,b>0)　(2)-=1(a>0,b>0)　3.(1)x≤-a或x≥a,y∈R　(2)坐标轴　原点　(3)(±a,0)　(4)y=±x　(5) 知能训练 1.D　由题设,(m-5)(m+4)<0,可得-4<m<5.故选D. 2.D　由题设,c==5,故左焦点的坐标为(-5,0).故选D. 3.B　∵双曲线C:x2-=1,∴a=1,b=,c=2,又点P在双曲线C的右支上,=6, 所以-=2a,6-=2,即=4, 又=2c=4, ∴△PF1F2面积为×6×=3.故选B. 4.B　由题意可设双曲线的标准方程为-=1, 因为双曲线的焦距为8,则2c=8,所以c=4, 又双曲线的离心率为=2, 所以a=2,则b2=c2-a2=16-4=12, 所以双曲线的标准方程为-=1.故选B. 5.C　双曲线-y2=1的渐近线方程为-y2=0,即y=±x.故选C. 6.C　因双曲线的渐近线方程为y=±x,则该双曲线实半轴长a与虚半轴长b相等,设半焦距长c,所以双曲线离心率e===.故选C. 7.A　由|OM|=5,得|PF2|=10>6,∴点P在双曲线左支上,故=4=2a,∴a=2,得双曲线方程为-=1,∴双曲线C的渐近线方程为y=±2x.故选A. 8.ABD　在正三角形△ABF1中,由双曲线的对称性知,F1F2⊥AB,|AF1|=2|AF2|, 由双曲线定义有:|AF1|-|AF2|=2,因此,|AF1|=4,|AF2|=2,|F1F2|==2,即半焦距c=,则b==,A正确;双曲线的离心率e==,B正确;双曲线的焦距=2,C不正确;△ABF1的面积为|AF1|2=4,D正确.故选ABD. 9.x2-=1 解析:设双曲线方程为mx2-ny2=1,mn>0,依题意有, 解得m=1,n=, 所以所求双曲线的标准方程为x2-=1. 10. 解析:双曲线y2-=1(m>0)的渐近线为:x=±my, 圆x2+y2-4x+1=0的圆心(2,0)与半径, 双曲线y2-=1(m>0)的渐近线与圆x2+y2-4x+1=0相切, 则=,解得m=,或m=-(舍去). 11.3 解析:设双曲线焦距为2c,则F,B,A,因为AB的斜率为2,所以kAB==2,整理得c2-2ac-3a2=0,解得c=3a,所以e=3. 12.解:(1)由题设,c===2,又a=4>b=2, 所以椭圆E的焦点坐标为(±2,0). (2)由题设,设双曲线C为x2-3y2=λ(λ>0), 由(1)知:λ+=c2=4,可得λ=3, 所以双曲线C的标准方程为-y2=1. 13.解:(1)依题意,椭圆与双曲线的半焦距c=2,设椭圆长半轴长为a,则双曲线实半轴长为a-6,则椭圆的离心率为, 双曲线的离心率为,于是得=,解得a=8, 因此,椭圆长半轴长为8,短半轴长为=2,双曲线实半轴长为2,虚半轴长为=2, 所以椭圆和双曲线的方程分别为+=1和-=1. (2)由椭圆、双曲线的对称性,不妨设点N在第一象限,F1,F2分别为左右焦点, 由椭圆的定义得:|NF1|+|NF2|=16,由双曲线的定义得:|NF1|-|NF2|=4,解得|NF1|=10,|NF2|=6, 而|F1F2|=4,在△F1NF2中,利用余弦定理可得:cos∠F1NF2===,所以cos∠F1NF2=. 14.解:(1)因双曲线C:-=1的渐近线y=±x,则a=b, 而右焦点F到y=±x的距离为,则=,解得:c=2,又a2+b2=c2,于是得a2=b2=2, 所以双曲线C的标准方程为-=1. (2)由(1)知F,x0≥,=,=,=-2, 则·=x0+=2-2x0-2=2-,所以当x0=时.·取得最小值为2-2. 学科网（北京）股份有限公司 $