作业9 函数应用(一)-【课堂快线】2024高一数学寒假作业（北师大版）

1.函数零点的概念 使得f(x0)=0的数x0称为方程f(x)=0的解,也称为函数f(x)的零点.f(x)的零点就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标. 2.函数的零点与方程的解的关系 函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔方程f(x)=0有实数解. 3.函数的零点存在定理 若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,并且在区间端点的函数值一正一负,即f(a)·f(b)<0,则在开区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即在区间(a,b)内相应的方程f(x)=0至少有一个解. 4.函数零点的性质 对于任意函数y=f(x),只要它的图象是一条连续不断的曲线,则有: ①当函数的图象通过它的变号零点时,函数值变号; ②在相邻的两个零点之间,所有的函数值保持同号. 　　【例题】　定义运算M:x􀱋y=设函数f(x)=(x2-3)􀱋(x-1),若函数y=f(x)-c恰有两个零点,则实数c的取值范围是 (　　) A.[-3,-2) B.[-3,-2]∪[3,+∞) C.[-2,2] D.(-3,-2)∪[2,+∞) 【解析】　由新定义可知, f(x)=(x2-3)􀱋(x-1)= 作出函数y=f(x)的图象,如图所示. 由图象可知要使函数y=f(x)-c恰有两个零点,则函数y=f(x)和y=c的图象要有两个不同的交点, 由图象得c≥2或-3<c<-2. 故c的取值范围为(-3,-2)∪[2,+∞). 【答案】　D 【名师点睛】　根据函数零点个数或零点所在区间求参数的方法 (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),通过解不等式(组)确定参数的取值范围. (2)分离参数法:先将参数分离,然后将原问题转化成求函数值域的问题加以解决. (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后利用数形结合思想求解. 一、选择题 1.函数f(x)=x2-2x-8的零点是 (　　) A.2和-4　　　　 B.-2和4 C.(2,0)和(-4,0) D.(-2,0)和(4,0) 2.下列选项中的图象对应的函数没有零点的是 (　　) A B C D 3.“m<1”是“函数f(x)=x2+x+m有零点”的 (　　) A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4.用二分法研究函数f(x)=x3-2x2+3x-6的零点,选取初始区间(-2,4),则下一个有零点的区间为 (　　) A.(-2,1) B.(1,4) C.(1,2.5) D.(2.5,4) 5.(多选)若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法中不正确的是 (　　) A.若f(a)f(b)>0,则不存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0 B.若f(a)f(b)<0, 则存在且只存在一个实数c∈(a,b),使得f(c)=0 C.若f(a)f(b)>0,则有可能存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0 D.若f(a)f(b)<0,则有可能不存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0 6.若f(x)是奇函数,且x0是y=f(x)+ex的一个零点,则-x一定是下列哪个函数的零点 (　　) A.y=f(-x)ex-1 B.y=f(x)e-x+1 C.y=exf(x)-1 D.y=exf(x)+1 7.已知函数f(x)=若方程f(x)-2x=0恰有三个不同的实根,则实数a的取值范围是 (　　) A.[-1,1) B.[-1,2) C.[-2,2) D.[0,2] 二、填空题 8.函数f(x)=-x2+x-lg x的零点个数为　　　　.  9.若函数f(x)=x2-2ax+2在区间[0,4]上至少有一个零点,则实数a的取值范围为　　　　.  三、解答题 10.当m为何值时,方程mx2+(m+1)x+m=0有两个不相等的实根? 11.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2-2x. (1)求f(x)的解析式,并画出f(x)的图象. (2)设g(x)=f(x)-k,利用图象讨论:当实数k为何值时,函数g(x)有①一个零点;②两个零点;③三个零点? 作业9　函数应用(一) 【知能训练】 1.B　解析:解方程f(x)=x2-2x-8=0,得x=-2或x=4. 因此,函数f(x)=x2-2x-8的零点是-2和4.故选B. 2.D　解析:函数图象与x轴有交点,相应函数就有零点,观察图象可知,只有选项D中函数的图象与x轴没有交点. 3.C　解析:∵函数f(x)=x2+x+m有零点,∴方程x2+x+m=0有解,则Δ=1-4m≥0,解得m≤, 由于m≤⇒m<1,m<1不能推出m≤, ∴“m<1”是“函数f(x)=x2+x+m有零点”的必要不充分条件. 4.B　解析:易知f(-2)=-8-8-6-6=-28<0, f(4)=64-32+12-6=38>0. 因为=1,且f(1)=1-2+3-6=-4<0, 所以下一个有零点的区间为(1,4). 5.ABD　解析:对函数f(x)=x2,f(-1)f(1)>0,但f(0)=0,故A错;对于函数f(x)=x3-x,f(-2)f(2)<0,但f(0)=f(-1)=f(1)=0,故B错;函数f(x)=x2满足C,故C正确;由零点存在定理知D错. 6.C　解析:由题可得f(x0)+=0①,即f(x0)=-, 又f(x)是奇函数,则由①可得-f(-x0)+=0, 即f(-x0)=,将-x0分别代入选项验证. 选项A:f(-(-x0))-1=f(x0)-1=-·-1=-2≠0. 选项B:f(-x0) +1=f(-x0)+1=+1≠0. 选项C:f(-x0)-1=-1=0. 选项D:f(-x0)+1=+1=2≠0. 故-x0是函数y=exf(x)-1的零点. 7.B　解析:令g(x)=f(x)-2x,则由题意可得函数g(x)=恰有三个不同的零点.如图,结合函数y=-x+2与y=x2+3x+2的图象可知-1≤a<2.故选B. 8.1　解析:函数f(x)的零点个数即方程-x2+x=lg x的解的个数,也即函数y=-x2+x与y=lg x图象的交点个数,作出两个函数的图象,由图可知,两个函数的图象有且只有1个交点(1,0),即函数f(x)只有1个零点. 9.[,+∞)　解析:因为函数f(x)=x2-2ax+2在区间[0,4]上至少有一个零点,且f(0)=2>0, 所以或 解得≤a≤4或a>4,即a≥. 所以实数a的取值范围为[,+∞). 10.解:∵方程有两个不相等的实根, ∴即, ∴∴ 解得-<m<0或0<m<1. 故当-<m<0或0<m<1时,方程mx2+(m+1)x+m=0有两个不相等的实根. 11.解:(1)当x≥0时,f(x)=x2-2x. 设x<0,则-x>0, 则f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x. ∵函数f(x)为奇函数,∴f(x)=-f(-x)=-x2-2x, 则f(x)= 画出函数f(x)的图象如图所示. (2)由g(x)=f(x)-k=0可得f(x)=k, 结合(1)中函数的图象可知: ①当k<-1或k>1时,y=k与y=f(x)的图象有一个交点,即函数g(x)=f(x)-k有一个零点; ②当k=-1或k=1时,y=k与y=f(x)的图象有两个交点,即函数g(x)=f(x)-k有两个零点; ③当-1<k<1时,y=k与y=f(x)的图象有三个交点,即函数g(x)=f(x)-k有三个零点. 学科网（北京）股份有限公司 $