作业3 椭圆-【课堂快线】2024高二数学寒假作业（北师大版）

1.平面内到两个定点F1,F2的距离之　　　　等于常数(大于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作椭圆.这两个定点F1,F2叫作椭圆的　　　　,两个焦点间的距离|F1F2|叫作椭圆的　　　　.  2.椭圆的标准方程: 焦点在x轴上:　　　　　　　　.  焦点在y轴上:　　　　　　　　.  3.椭圆+=1(a>b>0)的简单几何性质: (1)范围:　　　　　　　　.  (2)对称性:对称轴:　　　　;对称中心:　　　　.  (3)顶点:　　　　　　　　.  (4)离心率:e=　　　　.  【例题】　已知F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P为椭圆上一点,则|PF1|·|PF2|的最大值是　　　　.  【思路点拨】　由椭圆定义建立|PF1|与|PF2|的关系,然后利用基本不等式求最大值. 【解析】　依题意a=10,由椭圆定义有|PF1|+|PF2|=20,所以|PF1|·|PF2|≤=100,当且仅当|PF1|=|PF2|时等号成立,故|PF1|·|PF2|的最大值是100. 【答案】　100 【思维升华】　解决椭圆最值问题的常见思路 1.与焦半径(椭圆上一点到焦点的距离称为焦半径)乘积有关的最值问题,一般利用椭圆的定义(两个焦半径的和为定值2a)根据基本不等式求解,注意等号成立的条件. 2.与|PF1|,|PF2|(P为椭圆上一点,F1,F2为椭圆的焦点)的和、差有关的最值问题,一般利用平面几何知识,转化为三点共线问题求解. 一、选择题 1.椭圆+=1的长轴长是 (　　) A.3　　　　　　　 　B.6 C.9 D.4 2.已知F1,F2是两个定点,且=2a(a是正常数),动点P满足+=a2+1,则动点P的轨迹是(　　) A.椭圆 B.线段 C.椭圆或线段 D.直线 3.已知椭圆+=1的离心率为,则= (　　) A. B. C. D. 4.已知椭圆C:+=1(a>0)的短轴长和焦距相等,则a的值为 (　　) A.1 B. C. D. 5.已知曲线C:+=1,则“a>0”是“曲线C是椭圆”的 (　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知F1,F2为椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点,过F1作椭圆的弦AB,若△AF2B的周长为8,椭圆的离心率e=,则椭圆的方程是 (　　) A.+=1 B.+x2=1 C.+y2=1 D.x2+=1 7.线段|AB|=4,|PA|+|PB|=6,M是AB的中点,当点P在同一平面内运动时,|PM|的最小值是 (　　) A.5 B. C.2 D. 8.(多选)已知椭圆M:+=1的左右焦点分别为F1、F2,左右顶点分别为A1、A2,P是椭圆上异于A1、A2的任意一点,则下列说法正确的是 (　　) A.△PF1F2周长为10 B.△PF1F2面积最大值为10 C.存在点P满足∠F1PF2=90° D.若△PF1F2面积为4,则点P横坐标为± 二、填空题 9.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2=120°,则椭圆离心率的取值范围为　　　　.  10.方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是　　　　.  11.已知椭圆的焦距是8,椭圆上的某点到两个焦点的距离之和等于16,则椭圆的标准方程是　　　　　　　　.  三、解答题 12.求以坐标轴为对称轴,并且经过两点A(0,2)和B(,)的椭圆的标准方程. 13.设①离心率e=,②椭圆C过点,③△PF1F2面积的最大值为,在这三个条件中任选一个,补充在下面(横线处)问题中,并作答. 问题:设椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,已知椭圆C的短轴长为2,　　　　求椭圆C的方程.  14.在平面直角坐标系xOy中,已知点F1,F2,点M满足+=4,记M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程; (2)已知点T为曲线C上的动点,当∠F1TF2取得最大值时,求出此最大值及点T的坐标. 作业3　椭圆 知识梳理 1.和　焦点　焦距　2.+=1(a>b>0)　+=1(a>b>0)　3.(1)-a≤x≤a,-b≤y≤b　(2)x轴和y轴 原点　(3)(±a,0),(0,±b)　(4) 知能训练 1.B　由椭圆方程知:a=3,故长轴长为6.故选B. 2.C　因为a2+1≥2a (当且仅当a=1 时,等号成立),所以|PF1|+|PF2|≥|F1F2|, 当a>0 且a≠1 时,|PF1|+|PF2|>|F1F2|,此时动点P的轨迹是椭圆; 当a=1 时,|PF1|+|PF2|=|F1F2|,此时动点P 的轨迹是线段F1F2.故选C. 3.D　因为e===,则8a2=9b2,所以=.故选D. 4.A　由题设易知:b=c,即有a2+1-a2=a2,可得a=1.故选A. 5.C　若曲线C是椭圆,则有 ,解得a>0,且a≠2, 故“a>0”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件.故选C. 6.D　由椭圆的定义知++=4a=8,所以a=2,又因为e==,所以c=,b2=a2-c2=1,所以椭圆的方程为x2+=1.故选D. 7.B　若以M为原点,AB为x轴建立平面直角坐标系, 由|PA|+|PB|=6>|AB|=4,则A(-2,0),B(2,0),若P(x,y), 故P轨迹是以A,B为焦点,焦距为4,长轴长为6的椭圆,且轨迹方程为+=1,所以|PM|的最小值是.故选B. 8.BD　由题意a=5,b=2,c=,F1(-,0),F2(,0),短轴一个端点B2(0,2), 由题知+=2a=10,故△PF1F2周长为10+2,故A错误; 利用椭圆的性质可知△PF1F2面积最大值为10,故B正确; 因为tan∠OB2F2===<1,所以0°<∠OB2F2<45°,从而∠F1B2F2=2∠OB2F2<90°,而P是椭圆上任一点时,当P是短轴端点时∠F1PF2最大,因此不存在点P满足∠F1PF2=90°,故C错误; 因为==·=4,=4, 则+=1,xP=±,故D正确.故选BD. 9.≤e<1 解析:设α=∠F1PF2,由椭圆的定义得:|PF1|+|PF2|=2a, 由余弦定理,得:cosα==-1=-1. 又·≤=a2,当且仅当==a时,·取最大值, 于是cosα≥-1, 所以cos120°=-≥-1⇒≤⇒e2=1-≥, 且0<e<1,∴≤e<1. 10.∪ 解析:因为方程+=1表示焦点在 y 轴上的椭圆, 所以有3>m2-2m>0,解得-1<m<0,或2<m<3. 11.+=1或+=1 解析:由题设,2c=8,2a=16,则a=8,c=4,而b2=a2-c2=48,所以椭圆的标准方程是+=1或+=1. 12.解:设椭圆方程为+=1,(m>0,n>0,m≠n) 所以,可得, 故椭圆的标准方程为x2+=1. 13.解:由题设,2b=2,即b=. ①离心率e=:则,可得a=2,则椭圆方程为+=1. ②椭圆C过点:则+=+=1,可得a2=4,则椭圆方程为+=1. ③△PF1F2面积的最大值为:则,可得a2=4,则椭圆方程为+=1.综上,椭圆C的方程为+=1. 14.解:(1)因为+=4>2=,则由椭圆定义可知,M的轨迹为以F1,F2为焦点的椭圆,且a=2,c=1,故b2=4-1=3,所以曲线C的方程为+=1. (2)由题意得:|F1T|+|F2T|=4,则由余弦定理得:cos∠F1TF2= = ==-1≥-1=, 当且仅当|F1T|=|F2T|=2时,等号成立,由于y=cosx在上单调递减,故∠F1TF2取得最大值为,此时点T坐标为. 学科网（北京）股份有限公司 $