作业8 对数运算与对数函数-【课堂快线】2024高一数学寒假作业（北师大版）

　　【例题】　求下列函数的单调区间: (1)y=lo(x2+4x-12); (2)y=(log0.4x)2-2log0.4x+2. 【思路点拨】　本题主要考查复合函数单调区间的求法,求解时要先求函数的定义域. 【解析】　(1)由题意知x2+4x-12>0,依据二次函数u=x2+4x-12的图象可得x>2或x<-6,且u=x2+4x-12在(-∞,-6)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.又y=lou在定义域(0,+∞)上是减函数,故依据复合函数的单调性知所求函数的单调递增区间是(-∞,-6),单调递减区间是(2,+∞). (2)令t=log0.4x,易知t=log0.4x在(0,+∞)上单调递减,y=t2-2t+2=(t-1)2+1在[1,+∞)上单调递增,在( -∞,1)上单调递减. 由t=log0.4x≥1,得0<x≤0.4;由t=log0.4x<1,得x>0.4. 故所求函数的单调递增区间为(0.4,+∞),单调递减区间为(0,0.4]. 【名师点睛】　解决对数型复合函数单调性问题的思路 解决对数型复合函数的单调性问题的关键:一是看底数是否大于1,当底数未明确给出时,则应对底数是否大于1进行讨论;二是运用复合函数的单调性法则来判断其单调性;三是要注意其定义域. 对数型复合函数一般可分为两类:一类是对数函数为外函数,即y=logaf(x)(a>0,且a≠1)型;另一类是对数函数为内函数,即y=f(logax)(a>0,且a≠1)型.对于y=logaf(x)(a>0,且a≠1)型的函数的单调性,有以下结论:函数y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的单调性与函数u=f(x)(f(x)>0)的单调性在a>1时相同,在0<a<1时相反. 研究y=f(logax)(a>0,且a≠1)型复合函数的单调性,一般用复合函数的单调性法则判定即可,即令t=logax,则只需研究t=logax及y=f(t)的单调性即可. 一、选择题 1.对数式log(a-2)(5 -a)中实数a的取值范围是 (　　) A.(-∞,5)　　　　　 B.(2,5) C.(2,3)∪(3,5) D.(2,+∞) 2.(多选)下列说法中正确的是 (　　) A.lg(lg 10)=0 B.lg(ln e)=0 C.若10=lg x,则x=10 D.由log25x=,得x=±5 3.下列函数为对数函数的是 (　　) A.y=lo(-x) B.y=2log4(x-1) C.y=ln x D.y=lox(a是常数) 4.已知函数f(x)=lg ,若f(a)=b,则f(-a)等于 (　　) A.b B.-b C. D. 5.(多选)函数y=f(x)是y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,则下列结论中正确的是 (　　) A.f(x2)=2f(x) B.f(2x)=f(x)+f(2) C.f=f(x)-f(2) D.f(2x)=2f(x) 6.已知a>0,且a≠1,则函数y=ax与y=loga(-x)的图象可能是 (　　) A B C D 7.定义区间[x1,x2](x1<x2)的长度等于x2-x1.函数y=|logax|(a>1)的定义域为[m,n](m<n),值域为[0,1].若区间[m,n]的长度的最小值为,则实数a的值为 (　　) A. B.2 C. D.4 二、填空题 8.log3(9×272)+log26-log23+log43×log316=　　　　..  9.函数y=f(x)的图象与y=2x的图象关于直线y=x对称,则函数y=f(4x-x2)的单调递增区间是　　　　.  三、解答题 10.(1)计算:lg25-lg22+lg 4+×-; (2)已知log189=a,18b=5,试用a,b表示log365. 11.已知函数f(x)=log2(x2-2mx+3). (1)当m=1时,求f(x)的值域; (2)若f(1)<f(2),求实数m的取值范围; (3)若f(x)在区间(2,+∞)上单调递增,求实数m的取值范围. 作业8　对数运算与对数函数 【知能训练】 1.C　解析:要使对数式log(a-2)(5-a)有意义, 需解得2<a<3或3<a<5. 2.AB　解析:∵lg 10=1,∴lg(lg 10)=lg 1=0,A正确;∵ln e=1,∴lg(ln e)=lg 1=0,B正确;若10=lg x,则x=1010,C不正确;由log25x=,得x=2=5,D不正确. 3.C　解析:对于A,真数是-x,故A不是对数函数; 对于B,y=2log4(x-1)=log2(x-1),真数是x-1,不是x,故B不是对数函数; 对于C,ln x的系数为1,真数是x,故C是对数函数; 对于D,底数a2+a=-,当a=-时,底数小于0,故D不是对数函数. 4.B　解析:由>0得或所以-1<x<1,即函数f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称.又f(-x)=lg=lg=-lg=-f(x),故函数f(x)为奇函数,所以f(-a)=-f(a)=-b. 5.ABC　解析:∵函数y=f(x)是y=ax(a>0,且a≠1)的反函数, ∴f(x)=logax(a>0,且a≠1). ∴f(2x)=loga(2x)=loga2+logax=f(x)+f(2), f(x2)=logax2=2logax=2f(x), f=loga=logax-loga2=f(x)-f(2). 6.B　解析:方法一　若0<a<1,则 函数y=ax的图象呈下降趋势且过点(0,1),而函数y=loga(-x)的图象呈上升趋势且过点(-1,0),以上图象均不符合. 若a>1,则函数y=ax的图象呈上升趋势且过点(0,1),而函数y=loga(-x)的图象呈下降趋势且过点(-1,0),只有B中图象符合. 方法二　首先指数函数y=ax的图象只可能在x轴上侧,函数y=loga(-x)的图象只可能在y轴左侧,从而排除A,C;再看单调性,y=ax与y=loga(-x)的单调性正好相反,排除D.只有B中图象符合. 方法三　注意到y=loga(-x)的图象关于y轴的对称图象为y=logax的图象,y=logax与y=ax的图象关于直线y=x对称,由此可直接确定选B. 7.D　解析:作出y=|logax|的图象,如图所示,要使函数y=|logax|的值域为[0,1],则定义域中必含有1.因为a-1-=a+-2>0,所以a-1>1-,所以最小区间长度为1-=,所以a=4. 8.11　解析:原式=log3(32×36)+log2+log43·2log34=log338+log22+2=11. 9.(0,2)　解析:由题知f(x)=log2x,则f(4x-x2)=log2(4x-x2),由4x-x2>0得0<x<4,其定义域为(0,4).因为y=4x-x2在(0,2)上单调递增,所以函数y=f(4x-x2)的单调递增区间为(0,2). 10.解:(1)lg25-lg22+lg 4+×- =(lg 5)2-(lg 2)2+lg 4+×1- =(lg 5+lg 2)(lg 5-lg 2)+lg 4+- =lg 10·lg +lg 4=lg +lg 4 =lg=lg 10=1. (2)由题可知,log189=a,由18b=5得log185=b, 则log365=== == = ===. 11.解:(1)当m=1时,f(x)=log2(x2-2x+3)=log2[(x-1)2+2],故f(x)的值域为[1,+∞). (2)由f(1)<f(2)得log2(4-2m)<log2(7-4m), 所以解得m<.即实数m的取值范围为. (3)f(x)=log2(x2-2mx+3)=log2[(x-m)2+3-m2]. 若f(x)在区间(2,+∞)上单调递增,则m≤2且7-4m≥0,所以m≤,即实数m的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $