作业2 圆与圆的方程-【课堂快线】2024高二数学寒假作业（北师大版）

1.以点C(a,b)为圆心,r为半径的圆的方程为　　　　　　.  2.x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F>0)为圆的一般方程. 3.圆心C(a,b)到直线l的距离为d,当d<r时,直线l与圆C相交;当d=r时,直线l与圆C相切;当d>r时,直线l与圆C相离. 4.两个圆的圆心距d、两个圆的半径r1,r2的大小关系: 两个圆外离⇔　　　　　　　　;  两个圆外切⇔　　　　　　　　;  两个圆相交⇔　　　　　　　　;  两个圆内切⇔　　　　　　　　;  两个圆内含⇔　　　　　　　　.  【例题】　若圆C:x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同的点到直线l:x-y+c=0的距离为2,则c的取值范围是 (　　) A.[-2,2]　　　 B.(-2,2) C.[-2,2] D.(-2,2) 【解析】　圆C的标准方程为(x-2)2+(y-2)2=(3)2,即圆心坐标为C(2,2),半径为3. 要使圆上至少有三个不同的点到直线l:x-y+c=0的距离为2,圆心到直线的距离应小于或等于, 即d==≤,解得|c|≤2,即-2≤c≤2. 【答案】　C 【思维升华】　由直线与圆的位置关系求参数的基本思路 　(1)两方程联立,消元后根据Δ的取值情况列等式或不等式(相切⇔Δ=0,相离⇔Δ<0,相交⇔Δ>0); (2)根据圆心到直线的距离d与半径r的关系列等式或不等式(相切⇔d=r,相离⇔d>r,相交⇔d<r). 一、选择题 1.圆C:x2+y2-4x+2y-4=0的圆心坐标和半径分别是 (　　) A.(-2,1),9　　　　 　B.(-2,1),3 C.(2,-1),9 D.(2,-1),3 2.圆心为,且过的圆的方程为 (　　) A.+= B.x2+y2=5 C.+=5 D.x2+y2= 3.已知圆M:x2+y2-4y=0与圆N:x2+y2-2x-3=0,则圆M与圆N的位置关 (　　) A.内含 B.相交 C.外切 D.外离 4.若圆+=3关于直线5x+4y-a=0对称,则a= (　　) A.-1 B.1 C.3 D.-3 5.点在圆+=4的内部,则a的取值范围是 (　　) A.-1<a<1 B.a<-1 C.a<-1或a>1 D.a>1 6.设A是圆(x+1)2+y2=9上的动点,PA是圆的切线,且=4,则点P到点Q距离的最小值为 (　　) A.4 B.5 C.6 D.15 7.已知直线l 过点A,则直线 l 被圆O:x2+y2=12截得的弦长的最小值为 (　　) A.3 B.6 C.3 D.6 8.(多选)已知直线l:m(x-y+2)-x-y=0(m∈R),圆C的方程(x-1)2+(y+3)2=25,则下列说法正确的是 (　　) A.对于任意的m∈R,直线过定点(-1,1) B.存在m,使得直线l与圆C相切 C.存在m,使得直线l与圆C相交时弦长为4 D.存在m,使得直线l与圆C相交时弦长为2 二、填空题 9.圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2+2x+2y+1=0的交点坐标为　　　　.  10.由直线x-y+2=0上的点P向圆C:(x-4)2+(y+2)2=1 引切线PT(T为切点),则线段PT的最小长度为　　　　.  11.已知点P是圆x2+y2=1上任意一点,则的取值范围为　　　　.  三、解答题 12.设a为实数,若直线l与圆C:x2+y2+2x-4y+a=0交于A,B两点,弦AB的中点为M,求: (1)a的取值范围; (2)直线l的方程. 13.已知圆C:x2-6x+y2-6y+3=0,直线l:x+y-2=0是圆E与圆C的公共弦AB所在直线方程,且圆E的圆心在直线y=2x上. (1)求公共弦AB的长度; (2)求圆E的方程. 14.在平面直角坐标系xOy中,设圆x2+y2-4x=0的圆心为M. (1)求过点P(0,-4)且与圆M相切的直线的方程; (2)若过点P(0,-4)且斜率为k的直线与圆M相交于不同的两点A,B,设直线OA、OB的斜率分别为k1,k2,问k1+k2是否为定值?若是,求出这个定值,若不是,请说明理由. 作业2　圆与圆的方程 知识梳理 1.(x-a)2+(y-b)2=r2　4.d>r1+r2　d=r1+r2　|r1-r2|<d<r1+r2　d=|r1-r2|　d<|r1-r2| 知能训练 1.D　由x2+y2-4x+2y-4=0,得(x-2)2+(y+1)2=9, 所以圆的圆心(2,-1),半径为3.故选D. 2.C　因圆的圆心为,且过,则圆的半径r==,所以所求圆的方程为+=5.故选C. 3.B　圆M:x2+y2-4y=0,即x2+=4,圆心M,R=2.圆N:x2+y2-2x-3=0,即+y2=4,圆心N,r=2,则|MN|==,故有R-r<|MN|<R+r.故两圆是相交关系.故选B. 4.B　若圆+=3关于直线5x+4y-a=0对称,∴圆心在直线5x+4y-a=0上,故5a-4-a=0,解得a=1.故选B. 5.A　∵点在圆+=4的内部,∴+<4,解得-1<a<1.故选A. 6.B　由圆(x+1)2+y2=9,可知圆心C,半径为3,又=4,所以=+32=25,即点P的轨迹方程为(x+1)2+y2=25,故点P到点Q距离的最小值为-5=5.故选B. 7.B　依题意可知A在圆内,且==,圆O的半径为2. 当OA与直线 l 垂直时,所截得的弦长最短, 即弦长的最小值为2=6.故选B. 8.AD　当时,有,故对于任意的m∈R,直线过定点(-1,1),A正确;又C(1,-3)且r=5,故(-1,1)到圆心C的距离为d==2<5, 所以直线l与圆C相交,且相交弦最短为2=2>4,故B、C错误,D正确.故选AD. 9.(0,-1),(-1,0) 解析:联立两个圆的方程:,C1方程代入C2,先得到x+y+1=0,再联立,得到x2+(-x-1)2=1,解得x=0或x=-1,对应的y值为y=-1或y=0,于是得到两圆交点为(0,-1),(-1,0). 10. 解析:圆C:(x-4)2+(y+2)2=1的圆心C(4,-2),半径r=1,点C(4,-2)到直线x-y+2=0的距离d==4,于是得=≥==,当且仅当PC垂直于直线x-y+2=0时取“=“,所以线段PT的最小长度为. 11. 解析:令k=,则y=kx-2k,代入x2+y2=1, 可得x2-4k2x+4k2-1=0, ∴Δ=-4≥0,解得-≤k≤, 即的取值范围为. 12.解:(1)将x2+y2+2x-4y+a=0化为(x+1)2+(y-2)2=5-a,即该圆的圆心为C(-1,2),半径为r=,a<5, 因为弦AB的中点为M, 所以M在圆的内部, 即(0+1)2+(1-2)2<5-a,解得a<3; 由a<3且a<5,得a<3,即a的取值范围是a<3. (2)因为kCM==-1,且CM⊥l,所以kl=1, 所以直线l的方程为y-1=x,即x-y+1=0. 13.解:(1)由圆C:x2-6x+y2-6y+3=0,可得+=15,所以圆心C,半径为,又直线l:x+y-2=0, ∴圆心C到直线l:x+y-2=0的距离为=2,∴公共弦AB的长度为2=2. (2)方法一:由题可设E,则CE⊥l, ∴=1,解得a=0,即E. 又E到直线l:x+y-2=0的距离为=, 所以圆E的半径为=3, ∴圆E的方程为x2+y2=9. 方法二:由题可设圆E的方程为x2-6x+y2-6y+3+λ=0,即x2+y2-x-y+3-2λ=0,又圆E的圆心在直线y=2x上, ∴=2×,解得λ=6,∴圆E的方程为x2+y2=9. 14.解:(1)由题设,圆M:(x-2)2+y2=4,即M(2,0),半径r=2, 当切线斜率不存在时,x=0是圆M一条切线, 当切线斜率存在时,设切线为y=kx-4,则r==2,解得k=,此时切线方程为3x-4y-16=0. 综上,所求直线方程为x=0或3x-4y-16=0. (2)设直线AB:y=kx-4,联立圆M整理得: (1+k2)x2-4(2k+1)x+16=0, 所以Δ=16(2k+1)2-64(1+k2)>0,即k>,且 xA+xB=,xAxB=, 又k1+k2=+=,而xByA=kxAxB-4xB,xAyB=kxAxB-4xA, 所以k1+k2=2k-=2k-(2k+1)=-1,即k1+k2为定值-1. 学科网（北京）股份有限公司 $