作业7 指数运算与指数函数-【课堂快线】2024高一数学寒假作业（北师大版）

　　【例题】　已知函数f(x)=(a>0,a≠1). (1)判断函数f(x)的奇偶性; (2)讨论f(x)的单调性; (3)求f(x)的值域. 【思路点拨】　(1)根据函数的奇偶性定义进行判断;(2)分离常数,并根据单调性的定义进行证明;(3)通过分离常数对函数变形,从复合函数的角度分析求值域. 【解析】　(1)易知函数f(x)的定义域为R, 因为f(-x)====-f(x),所以f(x)是奇函数. (2)因为函数f(x)==1-,设x1,x2∈R,x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=-=-=. 当a>1时,y=ax在R上单调递增,由x1<x2,得<,所以-<0,又+1>0,+1>0, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),即此时f(x)在R上单调递增; 同理,当0<a<1时f(x1)>f(x2),即此时f(x)在R上单调递减. 综上,当a>1时,函数f(x)在R上单调递增, 当0<a<1时,函数f(x)在R上单调递减. (3)令ax=t,则t>0, 结合(2)知原函数等价于y=1-, 易知y=1-在区间(0,+∞)上单调递增,所以-1<1-<1,故f(x)的值域为(-1,1). 【名师点睛】　(1)一般用f(x)=这个形式的解析式研究上述函数的奇偶性;(2)用f(x)=1-这个形式的解析式研究上述函数的单调性;(3)由于定义域为R,仅考虑函数单调性不能求出值域,因此通过换元,从复合函数的角度求解,当然同学们也可尝试结合内层与外层函数的图象性质求解. 一、选择题 1.下列函数为偶函数的是 (　　) A.f(x)=x-1 　　　 B.f(x)=x2+x C.f(x)=2x-2-x D.f(x)=2x+2-x 2.已知f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=x·2x+a-1.若f(-1)=,则a= (　　) A.-3 B.-2 C.-1 D.0 3.(多选)下列计算正确的是 (　　) A.= B.(-a2)3=a6 C.=a D.=-π 4.设x>0,且1<bx<ax,则 (　　) A.0<b<a<1 B.0<a<b<1 C.1<b<a D.1<a<b 5.函数y=a|x|(a>1)的大致图象是 (　　) A B C D 6.函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大,则a的值为 (　　) A.或 B. C. D.2或3 7.若不等式>对一切实数x恒成立,则实数a的取值范围为 (　　) A. B. C.∪ D.∪ 二、填空题 8.已知指数函数f(x)的图象经过点,则f=　　　　.  9.已知a,b是方程x2-6x+4=0的两个根,且a>b>0,则的值为　　　　.  三、解答题 10.求下列函数的定义域和值域: (1)y=; (2)y=; (3)y=; (4)y=. 11.已知f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,当x∈(0,1)时f(x)=. (1)求f(x)在(-1,1)上的解析式; (2)判断函数f(x)在区间(0,1)上的单调性,并证明; (3)求f(x)的值域. 作业7　指数运算与指数函数 【知能训练】 1.D　解析:函数f(x)=x-1和f(x)=x2+x不具有奇偶性,故排除选项A和选项B;选项C中f(x)=2x-2-x,则f(-x)=2-x-2x=-(2x-2-x)=-f(x),所以f(x)=2x-2-x为奇函数,故排除选项C;选项D中f(x)=2x+2-x,则f(-x)=2-x+2x=f(x),所以f(x)=2x+2-x为偶函数. 2.A　解析:∵f(x)是奇函数且f(-1)=,∴f(1)=-,即21+a-1=-,即1+a=-2,解得a=-3. 3.AD　解析:对于A,=(23=2-2=,故A正确; 对于B,(-a2)3=-a6,故B错误; 对于C,=(a8=|a|,故C错误; 对于D,=(-π5=-π,故D正确. 故选AD. 4.C　解析:∵1<bx,∴b0<bx.又x>0,∴b>1. ∵bx<ax,∴>1,又x>0,∴>1, ∴a>b,即1<b<a. 5.B　解析:y=a|x|=当x≥0时,y=a|x|(a>1)的图象与指数函数y=ax(a>1)的图象相同,由y=a-x与y=ax的图象关于y轴对称知,B选项符合题意. 6.A　解析:①当0<a<1时,函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值f(x)max=f(1)=a1=a,最小值f(x)min=f(2)=a2, ∴a-a2=,解得a=或a=0(舍去); ②当a>1时,函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值f(x)max=f(2)=a2,最小值f(x)min=f(1)=a1=a, ∴a2-a=,解得a=或a=0(舍去). 综上所述,a=或a=. 7.A　解析:因为不等式>对一切实数x恒成立, 所以>(3-1)x+1,即>3-x-1对一切实数x恒成立.又因为y=3x为R上的增函数, 所以x2-2ax>-x-1对一切实数x恒成立, 所以x2+(1-2a)x+1 >0对一切实数x恒成立, 故Δ=(1-2a)2-4<0,解得-<a<, 故选A. 8.　解析:根据题意,设f(x)=ax(a>0且a≠1). ∵函数f(x)的图象经过点, ∴a-2=,解得a=±4.又a>0,∴a=4, 即函数f(x)的解析式为f(x)=4x, 则f==. 9.　解析:∵a,b是方程x2-6x+4=0的两个根, ∴∵a>b>0,∴>. 方法一　∵====,∴==. 方法二　原式=====. 方法三　原式=====. 10.解:(1)要使函数式有意义,则1-3x≥0,即3x≤1=30. 因为函数y=3x在R上是增函数,所以x≤0. 故函数y=的定义域为(-∞,0]. 因为x≤0,所以0<3x≤1,所以0≤1-3x<1. 所以∈[0,1),即函数y=的值域为[0,1). (2)要使函数式有意义,则x-4≠0,解得x≠4. 所以函数y=的定义域为{x|x≠4}. 因为≠0,所以≠1,即函数y=的值域为{y|y>0, 且y≠1}. (3)要使函数式有意义,则-|x|≥0,解得x=0. 所以函数y=的定义域为{x|x=0}. 因为x=0,所以==1,即函数y=的值域为{y|y=1}. (4)定义域为R. 因为x2-2x-3=(x-1)2-4≥-4, 所以≤=16. >0,所以函数y=的值域为(0,16]. 11.解:(1)当x∈(-1,0)时,-x∈(0,1). ∵函数f(x)为奇函数, ∴f(x)=-f(-x)=-=-. 又f(0)=f(-0)=-f(0),∴2f(0)=0,f(0)=0. 故当x∈(-1,1)时,f(x)的解析式为 f(x)= (2)f(x)在(0,1)上单调递减.证明如下: 设0<x1<x2<1, 则f(x1)-f(x2)=-=. ∵0<x1<x2<1,∴->0,-1>0. ∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2). ∴f(x)在(0,1)上单调递减. (3)由(2)知f(x)=在(0,1)上单调递减,从而由奇函数图象的对称性知f(x)在(-1,0)上单调递减. ∴当0<x<1时,f(x)∈, 即f(x)∈; 当-1<x<0时,f(x)∈, 即f(x)∈. 而f(0)=0,故函数f(x)在(-1,1)上的值域为∪{0}∪. 学科网（北京）股份有限公司 $