作业5 函数的性质-【课堂快线】2024高一数学寒假作业（北师大版）

　　【例题】　设函数f(x)对任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-2. (1)求证:f(x)是奇函数; (2)在区间[-3,3]上,f(x)是否有最值?如果有,求出最值;如果没有,说明理由. 【思路点拨】　(1)f(x+y)=f(x)+f(y)对一切x,y∈R均成立,令y=-x,则f(x+y)=f(0)=f(x)+f(-x),因此,需先计算f(0);(2)应先研究函数f(x)在[-3,3]上的单调性,然后确定f(x)是否存在最值. 【解析】　(1)令x=y=0,则有f(0+0)=f(0)+f(0),即f(0)=2f(0),所以f(0)=0. 令y=-x,则有0=f(0)=f(x)+f(-x),所以f(x)为奇函数. (2)任取-3≤x1<x2≤3,则x2-x1>0. 由题意,得f(x2-x1)<0,且f(x1)-f(x2)=f(x1)-f[x1+(x2-x1)]=f(x1)-[f(x1)+f(x2-x1)]=-f(x2-x1)>0,即f(x1)>f(x2), 所以f(x)在[-3,3]上单调递减. 所以函数f(x)在[-3,3]上有最值,最大值为f(-3)=-f(3)=-3f(1)=6,最小值为f(3)=-f(-3)=-6. 【名师点睛】　第(1)小问中利用“赋值法”得出f(x)是奇函数,这是一种较为常用的技巧,想到这样做是因为y=f(x)是奇函数⇔f(-x)=-f(x),从形式上可以看出函数的奇偶性与x和-x有关,所以想到把式中的y去掉,且同时要出现x和-x,令y=-x就不难理解了.第(2)小问中f(x)是抽象函数,不可能求出具体的解析式来解决最值问题,因此考虑利用函数的单调性来解决. 【解题通法】　判断或证明抽象函数的奇偶性,需利用奇、偶函数的定义,找准方向,巧妙赋值,合理、灵活地变形,找出f(x)与f(-x)的关系. 一、选择题 1.下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是 (　　) A.f(x)=3-x　　 B.f(x)=-x2-3x C.f(x)= D.f(x)=|x| 2.(多选)下列命题中为真命题的是 (　　) A.定义在(a,b)上的函数f(x),如果∃x1,x2∈(a,b),当x1<x2时,有f(x1)<f(x2),那么f(x)在(a,b)上单调递增 B.如果函数f(x)在区间I1上单调递减,在区间I2上也单调递减,那么f(x)在区间I1∪I2上就一定单调递减 C.∀x1,x2∈(a,b),且x1≠x2,当<0时,f(x)在(a,b)上单调递减 D.∀x1,x2∈(a,b),且x1≠x2,当(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0时,f(x)在(a,b)上单调递增 3.函数f(x)=(3a-2)x+1-a在[-2,3]上的最大值是f(-2),则实数a的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 4.设函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,a,b∈R且a+b≤0,则下列选项正确的是 (　　) A.f(a)+f(b)≤-[f(a)+f(b)] B.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b) C.f(a)+f(b)≥-[f(a)+f(b)] D.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b) 5.已知f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x-2,则f的值为 (　　) A.- B.- C. D. 6.已知y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,它们的定义域都是[-3,3],且它们在x∈[0,3]上的图象如图所示,则不等式<0的解集为 (　　) A.(1,2) B.(0,1)∪(2,3) C.(-2,-1)∪(0,1)∪(2,3) D.(-3,-2)∪(-1,1)∪(2,3) 7.若定义在R上的函数f(x)满足f(x1-x2)=f(x1)-f(x2)-1,其中x1,x2∈R,则下列说法一定正确的是 (　　) A.f(x)为奇函数 B.f(x)+1为奇函数 C.f(x)为偶函数 D.f(x)+1为偶函数 二、填空题 8.已知定义在R上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=x2-x-1,那么当x<0时,f(x)=　　　　　　　　.  9.已知函数f(x)在定义域[0,+∞)上单调递减,则f(1-x2)的减区间为　　　　.  三、解答题 10.判断函数f(x)=在区间(1,+∞)上的单调性,并用单调性定义证明. 11.已知函数f(x)=x2-2ax+2,x∈[-1,1],求函数f(x)的最小值. 作业5　函数的性质 【知能训练】 1.D　解析:根据一次函数、二次函数、反比例函数的单调性可知,f(x)=3-x,f(x)=-x2-3x,f(x)=在(0,+∞)上为减函数,f(x)=|x|在(0,+∞)上为增函数. 2.CD　解析:“存在”“无穷多个”不能代表“所有”“任意”,故A是假命题;由f(x)=可知,f(x)=的单调递减区间是(-∞,0)和(0,+∞),但其在定义域上不单调,故B是假命题; ∵<0等价于[f(x1)-f(x2)]·(x1-x2)<0,又等价于或即或∴f(x)在(a,b)上单调递减,C是真命题,同理可得D也是真命题. 3.D　解析:函数f(x)=(3a-2)x+1-a在[-2,3]上的最大值是f(-2),则函数f(x)在[-2,3]上单调递减,则3a-2<0,解得a<. 4.D　解析:因为a+b≤0,所以a≤-b,b≤-a, 又函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数, 所以f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a). 结合不等式的性质易知,f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b). 5.C　解析:因为f(x)为奇函数,所以f=-f. 又因为f=-2=-,所以f=-f=.故选C. 6.C　解析:y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数. 根据函数图象的对称性画出y=f(x),y=g(x)在[-3,3]上的图象,如图所示. 当<0时,有或由图可得所求不等式的解集是(-2,-1)∪(0,1)∪(2,3). 7.B　解析:由题意,令x1=x2=0,得f(0)=-1,令x1=0,x2=x,得f(-x)=-f(x)-2,则f(x)+1=-[f(-x)+1],又函数y=f(x)+1的定义域为R,故f(x)+1为奇函数. 8.-x2-x+1　解析:当x<0时,-x>0,则f(-x)=x2+x-1. 因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=x2+x-1=-f(x),所以f(x)=-x2-x+1. 9.[-1,0]　解析:∵f(x)的定义域为[0,+∞), ∴1-x2≥0,即x2≤1,故-1≤x≤1. 令u=1-x2,则f(1-x2)=f(u). 当x∈[0,1]时,u=1-x2单调递减,则f(1-x2)单调递增; 当x∈[-1,0]时,u=1-x2单调递增,则f(1-x2)单调递减. 故f(1-x2)的减区间为[-1,0]. 10.解:函数f(x)=在区间(1,+∞)上单调递减. 证明如下: 任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=- = =. ∵x1<x2,∴x2-x1>0, 又x1,x2∈(1,+∞), ∴x2+x1>0,-1>0,-1>0. ∴>0, 即f(x1)>f(x2). ∴f(x)在区间(1,+∞)上单调递减. 11.解:可画出二次函数相关部分的简图,用数形结合法解决问题. y=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2(x∈R)的图象开口向上,且对称轴为直线x=a. 当a≥1时,函数f(x)的图象如图(1)中实线部分所示,函数f(x)在区间[-1,1]上单调递减,最小值为f(1)=3-2a; 当-1<a<1时,函数f(x)的图象如图(2)中实线部分所示,函数f(x)在区间[-1,1]上先单调递减后单调递增,最小值为f(a)=2-a2; 当a≤-1时,函数f(x)的图象如图(3)中实线部分所示,函数f(x)在区间[-1,1]上单调递增,最小值为f(-1)=3+2a. 综上,当a≥1时,函数f(x)的最小值为3-2a;当-1<a<1时,函数f(x)的最小值为2-a2;当a≤-1时,函数f(x)的最小值为3+2a. 学科网（北京）股份有限公司 $