作业2 常用逻辑用语-【课堂快线】2024高一数学寒假作业（北师大版）

　　【例题】　已知集合A=[2a+1,3a-5],B=[3,22]. (1)求使A∩B=A成立的充要条件; (2)求A∩B=A的一个充分不必要条件.(用含a的不等式表示) 【思路点拨】　 A∩B=A⇔A⊆B,将原问题转化为集合间的关系问题求解即可. 【解析】　(1)A∩B=A⇔A⊆B,则集合A,B用数轴表示如图所示. 从而有解得6<a≤9. 反之亦成立,故6<a≤9即为所求. (2)由(1)可知A∩B=A的一个充分不必要条件可为7≤a≤8(答案不唯一). 【名师点睛】　探求充要条件的方法 探求一个命题成立的充要条件一般有以下两种方法. (1)等价转化法:将原命题进行等价变形或转化,直至获得其成立的充要条件,探求的过程,同时也是证明的过程,因为探求过程的每一步都是等价的,所以不需要将充分性和必要性分开来证. (2)非等价转化法:先探求出结论的必要条件,然后务必证明该条件也是结论的充分条件,方可得出结论的充要条件. 一、选择题 1.下列命题是存在量词命题的是 (　　) A.任何一个实数乘以0都等于0 B.所有的质数都是奇数 C.偶数不是质数 D.有的偶数是质数 2.命题“存在实数x,使x>1”的否定是 (　　) A.对任意实数x,都有x>1 B.不存在实数x,使x≤1 C.对任意实数x,都有x≤1 D.存在实数x,使x≤1 3.在△ABC中,“AB2+AC2=BC2”是“△ABC为直角三角形”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(多选)下列命题是真命题的是 (　　) A.∀x∈R,-x2<0 B.∃x∈Q,x2=5 C.∃x∈R,x2-x-1=0 D.若p:∀x∈N,x2≥1,则p的否定:∃x∈N,x2<1 5.若-1<x<3”是“x>2a-3”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是 (　　) A.{a|a<1} 　　　 B.{a|a≤1} C.{a|a>1} D.{a|a≥1} 6.(多选)若“x2>1”是“x<m”的必要不充分条件,则实数m的值可以是 (　　) A.-3 B.-2 C.-1 D.0 7.“若x∈[1,2],则ax2+1≤0恒成立”为真命题的充要条件是 (　　) A.a≤-1 B.a≤- C.a≤-2 D.a≤0 二、填空题 8.全称量词命题“所有的素数都是奇数”的否定是　　　　　　　　　　　　　　,这是　　　　命题(填“真”或“假”).  9.下列不等式:①x<1;②0<x<1;③-1<x<0;④-1<x<1;⑤x>-1.其中可以作为x2<1的一个充分不必要条件的所有序号为　　　　.  三、解答题 10.已知x,y都是非零实数,且x>y,求证:<的充要条件是xy>0. 11.已知命题“关于x的方程x2+mx+2m+5=0有两个不相等的实数根”是假命题. (1)求实数m的取值集合A; (2)设集合B={x|1-2a≤x≤a-1},结合(1),若x∈A是x∈B的充分不必要条件,求实数a的取值范围. 作业2　常用逻辑用语 【知能训练】 1.D　解析:选项D中“有的”是存在量词,所以选项D中的命题是存在量词命题. 2.C　解析:命题“存在实数x,使x>1”的否定是“对任意实数x,都有x≤1”. 3.A　解析:当B=90°或C=90°时,△ABC为直角三角形,但不能推出AB2+AC2=BC2,故选A. 4.CD　解析:A中,当x=0时,-x2=0,所以A是假命题;B中,由x2=5,得x=±,±是无理数,所以B是假命题;C中,当x=时,x2-x-1=0,所以C是真命题;D中,全称量词命题的否定是存在量词命题,“x2≥1”的否定是“x2<1”,所以D是真命题. 5.B　解析:因为“-1<x<3”是“x>2a-3”的充分不必要条件,所以{x|-1<x<3}是{x|x>2a-3}的真子集,则2a-3≤-1,解得a≤1.故选B. 6.ABC　解析:x2>1可得x>1或x<-1,若“x2>1”是“x<m”的必要不充分条件,则m≤-1,故选ABC. 7.A　解析:∵x∈[1,2],ax2+1≤0恒成立, ∴ax2≤-1,a<0, ∵x∈[1,2],∴ax2∈[4a,a],∴a≤-1, ∴由x∈[1,2],ax2+1≤0恒成立得a≤-1, 易知当a≤-1,x∈[1,2]时,ax2+1≤0恒成立. ∴“若x∈[1,2],则ax2+1≤0恒成立”为真命题的充要条件是a≤-1. 8.存在一个素数不是奇数　真　解析:“所有的素数都是奇数”的否定是“存在一个素数不是奇数”,2是素数,但不是奇数,故命题的否定是真命题. 9.②③　解析:由x2<1,解得-1<x<1. 对于①,x<1是x2<1的必要不充分条件; 对于②,0<x<1是x2<1的充分不必要条件; 对于③,-1<x<0是x2<1的充分不必要条件; 对于④,-1<x<1是x2<1的充要条件; 对于⑤,x>-1是x2<1的必要不充分条件. 故选②③. 10.解:<⇔-<0⇔<0. 由条件x>y⇔y-x<0,故<0⇔xy>0. 所以<⇔xy>0, 即<的充要条件是xy>0. 11.解:(1)若“关于x的方程x2+mx+2m+5=0有两个不相等的实数根”是真命题, 则Δ=m2-4(2m+5)>0,即m2-8m-20>0, 解得m<-2或m>10. 所以若“关于x的方程x2+mx+2m+5=0有两个不相等的实数根”是假命题,则-2≤m≤10, 所以A={m|-2≤m≤10}. (2)x∈A是x∈B的充分不必要条件,则A⫋B, 根据题意可知B≠⌀ ,所以解得a≥11. 当a=11时,B={x|-21≤x≤10} ,满足A⫋B,所以a=11成立,所以实数a的取值范围是{a|a≥11}. 学科网（北京）股份有限公司 $