作业1 集合-【课堂快线】2024高一数学寒假作业（北师大版）

　　【例题】　设A={x|x2-x-2=0},B={x|x2+x+a=0,a∈R|,若A∪B=A,则实数a的取值范围为　　　　.  【思路点拨】　用列举法表示集合A→由A∪B=A得B⊆A→分类讨论集合B中元素个数的情况,确定a的取值范围 【解析】　A={x|x2-x-2=0}={-1,2},集合B是关于x的方程x2+x+a=0的解集. ∵A∪B=A,∴B⊆A. 当B=⌀,即关于x的方程x2+x+a=0无实数根时,Δ=1-4a<0,即a>,符合题意. 当集合B中仅有一个元素,即关于x的方程x2+x+a=0有两个相等的实数根时,Δ=1-4a=0,即a=,此时B==.又不是集合A的子集,∴a=不符合题意,舍去. 当集合B中含有两个元素,即B={-1,2}时,则-1和2是关于x的方程x2+x+a=0的两个根,∴-1+2=-1,显然不成立,舍去. 综上所述,实数a的取值范围是. 【答案】　 【名师点睛】　通过深刻理解题意,把A∪B=A(A∩B=A)转化为集合之间的包含关系B⊆A(A⊆B),可以把相关问题化归为常见的方程(组)、不等式(组)等数学问题,我们把这称为数学的化归思想,是常用的数学思想方法之一.另外,解题时不可忽略空集的特殊性. 一、选择题 1.下列各组对象不能构成集合的是 (　　) A.上课迟到的学生 B.2021年高考数学难题 C.所有有理数 D.小于π的正整数 2.集合{x|2x +1≥5}表示成区间是 (　　) A.(2,+∞) 　　　 B.[2,+∞) C.(-∞,2) D.(-∞,2] 3.集合A=,用列举法可以表示为 (　　) A.{3,6} B.{1,2,4,5,6,9} C.{-6,-3,-2,-1,3,6} D.{-6,-3,-2,-1,2,3,6} 4.已知集合A={1,2},B={a,a2+3},若A∩B={1},则实数a的值为 (　　) A.- B.0 C.1 D.2 5.满足{1,2}⫋A⊆{1,2,3,4,5}的集合A的个数为 (　　) A.8 B.3 C.4 D.7 6.(多选)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A,B是U的两个子集,且满足A∪B=U,A∩(∁UB)={1,4},(∁UA)∩B={5,6,7},则 (　　) A.2∈A B.2∉B C.A∩B={2,3} D.A∪(∁UB)={1,2,3,4} 7.(多选)若集合A={x|x=m2+n2,m,n∈Z},则 (　　) A.1∈A B.2∈A C.3∈A D.4∈A 二、填空题 8.已知A={x|x2+px-6=0},B={x|x2+qx+2=0},且A∩(∁RB)={2},则p=　　　　,q=　　　　.  9.若集合A={x|ax2+3x+2=0}中至多有一个元素,则实数a的取值范围是　　　.  三、解答题 10.集合A是由形如m+n(m∈Z,n∈Z)的数构成的,试分别判断a=-,b=-,c=(1-2)2与集合A的关系. 11.设全集U=R,集合A={x|0<2x+a≤3},B=. (1)当a=1时,求(∁UB)∪A; (2)若A⊆B,求实数a的取值范围. 参 考 答 案 作业1　集合 【知能训练】 1.B　解析:上课迟到的学生属于确定的互异的对象,所以能构成集合;2021年高考数学难题界定不明确,所以不能构成集合;所有有理数满足集合的确定性、无序性、互异性,所以能构成集合;小于π的正整数分别为1,2,3,所以能构成集合.故选B. 2.B　解析:由2x+1≥5得x≥2,表示成区间是[2,+∞),故选B. 3.C　解析:∵x∈N*,∴3-x∈Z.∵∈Z,∴3-x是6的约数,∴3-x=±1,3-x=±2,3-x=±3,3-x=±6. 3-x=1,得x=2∈N*; 3-x=-1,得x=4∈N*; 3-x=2,得x=1∈N*; 3-x=-2,得x=5∈N*; 3-x=3,得x=0,与已知x∈N*矛盾,故3-x≠3; 3-x=-3,得x=6∈N*; 3-x=6,得x=-3,与已知x∈N*矛盾,故3-x≠6; 3-x=-6,得x=9∈N*. 故3-x的值只能是-1,1,-2,2,-3,-6, 对应的值依次为-6,6,-3,3,-2,-1,即A={-6,-3,-2,-1,3,6}.故选C. 4.C　解析:由于a2+3≥3,且A∩B={1},故a=1,则B={1,4},满足A∩B={1},故选C. 5.D　解析:方法一　集合A满足{1,2}⫋A⊆{1,2,3,4,5}, ∴集合A必含有元素1和2,且至少含有3,4和5中的一个, ∴满足条件的集合A为{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共7个. 方法二　由题意可知,集合A的个数即集合{3,4,5}的非空子集的个数,为23-1=7. 6.ACD　解析:因为A∩(∁UB)={1,4},所以1,4∈A,且1,4∉B. 因为(∁UA)∩B={5,6,7},所以5,6,7∈B,且5,6,7∉A. 又因为A∪B=U,若2∈A,2∉B,或2∈B,2∉A,则2∈A∩(∁UB)或2∈(∁UA)∩B,不符合题意,所以2∈A且2∈B. 同理3∈A且3∈B. 综上,A={1,2,3,4},B={2,3,5,6,7},A∩B={2,3}, A∪(∁UB)={1,2,3,4}.故选ACD. 7.ABD　解析:对于选项A,m2+n2=1,存在m=0,n=±1或m=±1,n=0使其成立,故选项A正确. 对于选项B,m2+n2=2,存在m=±1,n=±1,使其成立,故选项B正确. 对于选项C,由m2+n2=3,可得m2≤3,n2≤3, 若m2=0,则n2=3,可得n=±,n∉Z,不成立; 若m2=1,则n2=2,可得n=±,n∉Z,不成立; 若m2=2,则m=±,m∉Z,不成立; 若m2=3,则m=±,m∉Z,不成立; 所以不存在m,n为整数使m2+n2=3成立,故选项C不正确. 对于选项D,m2+n2=4,此时存在m=0,n=±2或m=±2,n=0使其成立,故选项D正确. 8.1　　解析:由题意可得2∈A,即x=2是方程x2+px-6=0的根,∴4+2p-6=0,p=1,∴A={2,-3}.又A∩(∁RB)={2}, ∴-3不是∁RB中的元素,且2是∁RB中的元素,即-3是集合B中的元素,且2不是集合B中的元素, ∴9-3q+2=0,即q=. 当q=时,B=,符合题意. 9.　解析:若a=0,则集合A={x|3x+2=0}=,符合题意; 若a≠0,则Δ=9-8a≤0,解得a≥,符合题意. 综上所述,实数a的取值范围是. 10.解:∵a=-=0+(-1)×,而0,-1∈Z,∴a∈A; ∵b===+,而,∉Z, ∴b∉A; ∵c=(1-2)2=13+(-4)×,而13,-4∈Z,∴c∈A. 11.解:(1)当a=1时,A=. ∵B=,∴∁UB=, ∴(∁UB)∪A={x|x≤1或x≥2}. (2)A=, 若A⊆B,则当A=⌀时,-≥∴0≥3不成立, ∴A≠⌀,∴解得-1<a≤1. ∴实数a的取值范围是{a|-1<a≤1}. 学科网（北京）股份有限公司 $