作业12 计数原理、排列、组合-【课堂快线】2024高二数学寒假作业（湘教版）

1.分类加法计数原理 如果完成一件事有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,…,在第n类办法中有mn种不同的方法,每种方法都能独立完成这件事,那么完成这件事共有N=　　　　种不同的方法.  2.分步乘法计数原理 如果完成一件事需要分成n个步骤,第一步有m1种不同的方法,第二步有m2种不同的方法,…,第n步有mn种不同的方法,每个步骤都完成才算做完这件事,那么完成这件事共有N=　　　　种不同的方法.  3.一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素,按照　　　　排成一列,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.  4.排列数公式:=　　　　=　　　　.  5.一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素,　　　　地构成一组,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.  6.组合数公式:==　　　　　　=　　　　　　.  【例题】　有6名男医生,4名女医生,从中选3名男医生,2名女医生到5个不同地区巡回医疗,但规定男医生甲不能到地区A,则不同的分派方案共有　　　　种.  【解析】　解法一　分两类完成:(男医生甲是特殊对象,以他为分类标准) 第一类　甲被选中,有种分派方案; 第二类　甲不被选中,有种分派方案. 根据分类加法计数原理,分派方案共有+=5 760+7 200=12 960(种). 解法二　分两类完成:(地区A是特殊位置,以它为分类标准) 第一类　地区A分派女医生,有种分派方案; 第二类　地区A分派男医生但医生甲不到地区A,有种分派方案. 根据分类加法计数原理,分派方案共有+=12 960(种). 【答案】　12 960 【思维升华】　 　本题中不仅要选出5名医生(对象),还要求分配到5个地区(位置),因此是一道“既选又排”的排列、组合的综合问题.解决这类问题的方法是“先选后排”,同时要注意特殊对象、特殊位置优先安排的原则.若是选出5人而没有分派到各地巡回医疗,则是“只选不排”即组合问题,二者是有区别的. 一、选择题 1.要将4个不同的礼物分给3位同学,每人至少1个,不同分法的种数是 (　　) A.36　 B.48 C.64 D.72 2.已知某居民小区附近设有A,B,C,D4个核酸检测点,居民可以选择任意一个点位去做核酸检测,现该小区的3位居民要去做核酸检测,则检测点的选择共有 (　　) A.64种 B.81种 C.7种 D.12种 3.从1~7这七个数字中选3个数字,组成无重复数字的三位数,其中偶数的个数为 (　　) A.210 B.120 C.90 D.45 4.现有10本书,其中有4本不同的英文读物,6本不同的中文读物,某学生计划一年看完这10本书,为了缓解疲劳,要求英文读物不能相邻阅读,则可以排出的阅读顺序总数为 (　　) A. B. C. D. 5.2022年北京冬奥会某滑雪项目有四个不同的运动员服务点,现需将5名志愿者分配到这四个运动员服务点处,每处至少需要1名志愿者,则不同的安排方法共有(　　)种. A.45 B.54 C.240 D.480 6.树人中学6名学生进入学校绘画比赛决赛,赛后甲、乙、丙三人去咨询比赛成绩,老师说:“甲是6人中的前两名,乙不是6人中最好的,丙不是6人中最差的,而且6人的成绩各不相同.”根据老师的回答分析,6人的名次排列可能种数是 (　　) A.96种 B.174种 C.252种 D.504种 7.(多选)现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到A,B,C,D,E五家医院进行核酸检测指导,每名专家只能选择一家医院,且允许多人选择同一家医院,则 (　　) A.所有可能的安排方法有125种 B.若A 医院必须有专家去,则不同的安排方法有61种 C.若专家甲必须去A 医院,则不同的安排方法有16种 D.若三名专家所选医院各不相同,则不同的安排方法有10种 8.(多选)现有不同的红球4个,黄球5个,绿球6个,则下列说法正确的是 (　　) A.从中选出2个球,正好一红一黄,有9种不同的选法 B.若每种颜色选出1个球,有120种不同的选法 C.若要选出不同颜色的2个球,有31种不同的选法 D.若要不放回地依次选出2个球,有210种不同的选法 二、填空题 9.6名志愿者到2个小区参加垃圾分类宣传话动,每个小区安排3名志愿者,则不同的安排方法共有　　　　种.(用数字作答)  10.若6=,则n=　　　　.  11.在8所高水平的高校代表队中,选择5所高校进行航模表演.如果M、N为必选的高校,并且在航模表演过程中必须按先M后N的次序(M、N两高校的次序可以不相邻),则可选择的不同航模表演顺序有　　　　.  三、解答题 12.(1)书架上有3本不同的语文书,4本不同的数学书,2本不同的英语书,将这些书全部竖起排成一排,如果同类书不能分开,一共有多少种不同的排法? (2)某学校要安排5位同学表演文艺节目的顺序,要求甲既不能第一个出场,也不能最后一个出场,则共有多少种不同的安排方法? 13.已知数字1,2,3,4,5. (1)可以组成多少个没有重复数字的五位数; (2)可以组成多少个没有重复数字的五位偶数. 14.一组学生共有7人. (1)若有3名男生、4名女生,全体排成一排,男生互不相邻,求不同的排列方法总数; (2)全体排成一排,甲既不站排头也不站接尾,求不同的排列方法总数; (3)如果从中选出男生2人,女生2人,参加三项不同的活动,要求每人参加一项且每项活动都有人参加的选法有648种,问该组学生中男、女生各有多少人? 作业12　计数原理、排列、组合 知识梳理 1.m1+m2+…+mn　2.m1×m2×…×mn　3.一定的顺序 4.n(n-1)(n-2)·…·(n-m+1)　　5.不论次序　6.　 知能训练 1.A　由题可知,有1位同学分得两个礼物,其他2位同学各得一个,可以先从4个礼物中挑出2个,将礼物分为3份,与3位同学进行全排列,故不同分法的种数是=36.故选A. 2.A　3位居民依次选择检测点,方法数为43=64.故选A. 3.C　先从2,4,6中选1个排在个位,有=3种情况,再从剩下的6个数选2个排在十位和百位,有=30种,则根据分步乘法计数原理可得偶数的个数为3×30=90.故选C. 4.D　依题意首先将6本不同的中文读物全排列,则有种排法,再将4本不同的英文读物插入所形成的7个空中的4个空有种排法,按照分步乘法计数原理可得一共有种排法.故选D. 5.C　依题意得,5人分成满足题意的4组只有1,1,1,2,即只有一个服务点有2人,其余都是1人,∴不同的安排方法共有=×4×3×2×1=240种.故选C. 6.B　(1)当甲排在第一名,若乙在最后一名,则有=24种;若乙不在最后一名,则有=72种; (2)当甲排在第二名,若乙在最后一名,则有=24种;若乙不在最后一名,则有=54种; 故共有24+72+24+54=174种.故选B. 7.AB　对于A,每名专家有5种选择方法,则所有可能的安排方法有53=125种,A正确;对于B,由选项A知,所有可能的方法有53种,A 医院没有专家去的方法有43种,所以A医院必须有专家去的不同的安排方法有53-43=61种,B正确;对于C,专家甲必须去A 医院,则专家乙、丙的安排方法有52=25种,C错误;对于D,三名专家所选医院各不相同的安排方法有=60种,D错误.故选AB. 8.BD　对A,从中选出2个球,正好一红一黄,有4×5=20种不同的选法,所以A错误;对B,若每种颜色选出1个球,有4×5×6=120种不同的选法,所以B正确;对C,若要选出不同颜色的2个球,有4×5+5×6+4×6=74种不同的选法,所以C错误;对D,若要不放回地依次选出2个球,有15×14=210种不同的选法,所以D正确.故选BD. 9.20 解析:依题意不同的安排方法有·=20种. 10.3 解析:由6=,得6·=n,化简得n=3. 11.1 200 解析:从8所高校中选出5所,除去M、N还需要选3所,选法是种,当M、N两高校不相邻时,不同的表演顺序有=720;当M、N两高校相邻时,不同的表演顺序有=480,因此可选择的不同航模表演顺序有720+480=1200种. 12.解析:(1)用“捆绑法”将同类的书“捆绑在一起”进行排列,有=6种不同的排法,再将同类书进行排列,有=288种不同的排法,所以一共有6×288=1728种不同的排法. (2)先排两端的节目有=12种顺序,再排其余3个位置的节目,有=6种顺序,所以一共有12×6=72种不同的安排方法. 13.解析:(1)由题意可得:将5个数进行全排列,即=5×4×3×2×1=120个. (2)先排个位数,从2,4中选一个数排在个数有:=2个,其余的位置即剩下的4个数进行全排列,即=4×3×2×1=24个,所以可以组成=48个没有重复数字的五位偶数. 14.解析:(1)(揷空法)先排女生,有种方法,再在女生之间及首尾5个空位中任选 3 个空位安排男生,有种方法,共=1440(种). (2)先排甲,有5种方法,其余6人有种排列方法,共有5=3600 (种). (3)设有男生x人,女生则有7-x人,从这7人中选出2名男生2女生方法有 种,要求每人参加一项且每项活动都有人参加,有种,根据分步乘法计数原理得=648, 所以x(x-1)(7-x)(6-x)=72,(x∈N* 且2≤x≤5), 解得x=3或x=4, 所以该组学生中男生3人,女生4人或男生4人,女生3人. 学科网（北京）股份有限公司 $