作业11 曲线与方程-【课堂快线】2024高二数学寒假作业（湘教版）

　一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的　　　　;  (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的　　　　,此时,这个方程叫作　　　　,这条曲线叫作　　　　.  【例题】　在Rt△ABC中,∠CAB=90°,|AB|=2,|AC|=,曲线E过C点,动点P在曲线E上运动,且|PA|+|PB|是定值.建立适当的平面直角坐标系,求曲线E的方程. 【解析】　以线段AB的中点O为原点,建立如右图所示的平面直角坐标系.由题意可知,|BC|==.曲线E是以A,B为焦点,且过点C的椭圆,设其方程为+=1(a>b>0),则2a=|AC|+|BC|=+=4,2c=|AB|=2,所以a=2,c=1,所以b2=a2-c2=3. 所以曲线E的方程为+=1. 【思维升华】　 　利用椭圆定义求标准方程的问题(一般是求轨迹的问题)的思路:先分析几何图形所表示的几何关系,然后对比椭圆的定义,设出对应椭圆的标准方程,求出a,b的值,最后得到标准方程. 一、选择题 1.设F1、F2是两定点,=6,动点P满足-=6,则动点P的轨迹是 (　　) A.双曲线　　　　　　B.直线 C.线段 D.射线 2.已知O(0,0),P(1,1),Q(1,-1),则 (　　) A.O,P,Q均在抛物线y2=4x上 B.O,P,Q均在抛物线y2=3x上 C.O,P,Q均在抛物线y2=2x上 D.O,P,Q均在抛物线y2=x上 3.若曲线C的方程是F=0,则曲线C关于x轴对称的曲线方程是 (　　) A.F=0 B.F=0 C.F=0 D.F=0 4.定义:点到曲线的距离为该点到这个曲线上任意点的距离的最小值.已知曲线C:x2+6y+y2=0,那么平面内到曲线C的距离与到坐标原点O的距离相等的点的轨迹是 (　　) A.双曲线一支 B.一个椭圆 C.一条线段 D.一条射线 5.方程=0表示的曲线是 (　　) A.一个椭圆和一条直线 B.一个椭圆和一条射线 C.一条直线 D.一个椭圆 6.在平面直角坐标系xOy中,动点P关于x轴对称的点为Q,且·=2,则点P的轨迹方程为 (　　) A.x2+y2=2 B.x2-y2=2 C.x+y2=2 D.x-y2=2 7.已知圆C的标准方程是(x-2)2+(y-4)2=k(k>0),若圆C与y轴交于A,B两点,且点A在点B的上方,圆C与x轴交于E,F两点,且点E在点F的右方,则AE中点M的轨迹方程是 (　　) A.(y-2)2-(x-1)2=3(x>1,y>2+) B.(y-2)2-(x-1)2=3 C.(x-2)2-(y-1)2=3(x>1,y>2+) D.(x-2)2-(y-1)2=3 8.(多选)已知曲线C:+y2=1,则 (　　) A.曲线C关于原点对称 B.曲线C上任意点P满足≥1(O为坐标原点) C.曲线C与x2-4y2=0有且仅有两个公共点 D.曲线C上有无数个整点(整点指横纵坐标均为整数的点) 二、填空题 9.曲线x2=2y关于点M对称的曲线方程为　　　　.  10.已知△ABC的顶点A、B,若顶点C在抛物线y2=6x上移动,则△ABC的重心的轨迹方程为　　　　.  11.圆x2+y2=4与y轴的正半轴交于点B,P是圆上的动点,P点在x轴上的投影是D,点M满足=,则动点M的轨迹方程为　　　　.  三、解答题 12.已知动点P到定点A(5,0)的距离与到定直线x=的距离的比是,求P点的轨迹方程. 13.在△ABC中,A(-2,0),B(2,0),AC与BC斜率的积是-. (1)求点C的轨迹方程; (2)P(4,0),求PC的中点M的轨迹方程. 14.已知A、B分别是直线y=x和y=-x上的两个动点,线段AB的长为2,P是AB的中点.求动点P的轨迹C的方程. 作业11　曲线与方程 知识梳理 　(1)解　(2)点　曲线的方程　方程的曲线 知能训练 1.D　因为-=6=,所以动点M的轨迹是射线.故选D. 2.D　O的坐标满足ABCD四个方程中的每一个;P的坐标不满足ABC中的方程,满足D中的方程y2=x,Q 的坐标不满足ABC中的方程,满足D中的方程y2=x.故选D. 3.B　根据曲线的对称性质得,用-y代换曲线C的方程是F=0中的y,可得F=0,则曲线C关于x轴对称的曲线方程F=0.故选B. 4.D　曲线C的方程为x2+=9,设所求动点为P,因为P到曲线C的距离与到坐标原点O的距离相等,所以=|-3|,整理得x=0,因为点到曲线的距离为该点到这个曲线上任意点的距离的最小值,所以P点的轨迹方程是x=0.故选D. 5.C　由方程=0,可得x2+3y2-3=0(x≥4)或x-4=0,即x=4,所以方程表示的曲线为一条直线.故选C. 6.B　设P,则Q,因为·=2,所以x2-y2=2.故选B. 7.A　由圆C的标准方程是(x-2)2+(y-4)2=k(k>0), 根据题意,令x=0,可得A(0,4+), 令y=0,可得E(2+,0), 设AE的中点为M(x,y),可得,(其中k>16), 化简消去参数k可得(y-2)2-(x-1)2=3,又由k>16,可得x>1,y>2+,结合选项,选项A符合题意.故选A. 8.BC　选项A,(2,0)满足+y2=1,故点(2,0)在曲线上,但(-2,0)不满足+y2=1,故点(-2,0)不在曲线上,故曲线C不关于原点对称,错误; 选项B,令P(x,y)在曲线上,故==. 当x≥0时,==≥1; 当x<0时,==>1, 故曲线C上任意点P满足≥1(O为坐标原点),正确; 选项C,联立,故x|x|+x2=4. 当x≥0时,2x2=4,解得x=,故有两个交点(,),(,-);当x<0时,0=4,无解,故曲线C与x2-4y2=0有且仅有两个公共点,正确; 选项D,当x≥0时,曲线C为+y2=1. 若为整点,则=1,y2=0或=0,y2=1, 故有(2,0),(0,1),(0,-1)三个整点; 当x<0时,曲线C为-+y2=1. 若为整点,则x=2k,k∈Z,y=±. 若y=±∈Z,则k=0,与x<0矛盾, 故曲线C上只有三个整点,不正确.故选BC. 9.=2 解析:设A为曲线x2=2y上的点,其关于点M对称的点为B, 所以,,即, 由于=2y0,所以,=2,即=2. 10.y2=2x-2 解析:设△ABC的重心为G,设点C,则,可得, 因为点C在抛物线y2=6x上,则=6x0,即9y2=6×,可得y2=2x-2.因为点C不能在x轴上,则y≠0,因此,△ABC的重心的轨迹方程为y2=2x-2. 11.+y2=1 解析:设M(x,y),由题意DP⊥x轴,且M是DP的中点,故P(x,2y),而P是圆上的动点,故x2+(2y)2=4,即+y2=1. 12.解析:由题意,设P(x,y),则=,化简得轨迹方程是 -=1. 13.解析:(1)设点C坐标为(x,y),由题知kAC·kBC=×=-,整理得点C的轨迹方程为+y2=1(x≠±2). (2)设点M坐标为(x,y),点C坐标为(x0,y0), 由中点坐标公式得,即. 将代入+y2=1(x≠±2)得点M的轨迹方程为:+=1(y≠0),即+4y2=1(y≠0). 14.解析:设P(x,y)、A(x1,y1)、B(x2,y2). ∵P是线段AB的中点,∴, ∵A、B分别是直线y=x和y=-x上的点, ∴y1=x1,y2=-x2,∴, 又∵=2,∴+=12, ∴12y2+x2=12,∴动点P的轨迹C的方程为+y2=1. 学科网（北京）股份有限公司 $