作业10 抛物线-【课堂快线】2024高二数学寒假作业（湘教版）

1.定义:我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离　　　　的点的轨迹叫作抛物线,　　　　叫作抛物线的焦点,　　　　叫作抛物线的准线.  2.标准方程:　　　　　　　　、　　　　　　　　.  3.抛物线y2=2px(p>0)的几何性质:(1)范围:　　　　.  (2)对称性:　　　　.  (3)顶点:　　　　.  (4)离心率:e=　　　　.  【例题】　已知抛物线的方程为x2=8y,焦点为F,点A的坐标为(-2,4),在抛物线上求一点P,使|PF|+|PA|的值最小. 【思路点拨】　由抛物线的定义将|PF|进行转化→数形结合→当三点共线时求得最小值 【解析】　∵(-2)2<8×4,∴点A(-2,4)在抛物线x2=8y的内部.如图,设抛物线的准线为l,过点P作PQ⊥l于点Q,过点A作AB⊥l于点B,连接AQ,由抛物线的定义可知|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|≥|AQ|≥|AB|,当且仅当P,Q,A三点共线时,|PF|+|PA|取得最小值,即|AB|. ∵A(-2,4),∴不妨设|PF|+|PA|的值最小时点P的坐标为(-2,y0),代入x2=8y,得y0=.故使|PF|+|PA|的值最小的点P的坐标为. 【思维升华】　 　利用抛物线定义研究最值的本质是利用三角形不等式求解,即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,共线时取最值. 一、选择题 1.抛物线y2=x的焦点坐标为 (　　) A.(,0)　　　　　　　B.(0,) C.(,0) D.(0,) 2.顶点在原点,关于x轴对称,并且经过点M的抛物线方程为 (　　) A.y2=4x B.y2=-4x C.x2=y D.x2=-y 3.若抛物线y2=8x上的点P的横坐标为3,则点P到焦点的距离是 (　　) A.7　　　B.6　　　C.5　　　D.4 4.已知抛物线C:y2=mx的焦点为F,准线为l,“m>4”是“F到l的距离大于2”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.过拋物线C:y2=4x的焦点F作斜率为1的直线l,交抛物线C于A,B两点,则弦长= (　　) A.3 B.8 C.9 D.12 6.抛物线y2=4x上的点到直线x-y+4=0的最小距离为 (　　) A. B. C. D. 7.过点与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线有 (　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条 8.已知抛物线C:y2=x的准线为l,点A的坐标为,点P在抛物线上,点P到直线l的距离为d,则-d的最大值为 (　　) A. B. C.1 D. 二、填空题 9.过点(1,-2)的抛物线的标准方程是 　. 10.已知点P是抛物线y2=4x上的一个动点,则点P到点的距离与P到y轴的距离之和的最小值为　　　　.  11.已知A,B是抛物线y2=8x上两点,若线段AB的中点到抛物线的准线的距离为5,则直线AB的方程可能是　　　　.(本题答案不唯一,符合题意即可)  三、解答题 12.设抛物线x2=2py(p>0)上的点M与焦点F的距离为4,点M到y轴的距离为,求抛物线的方程和点M的坐标. 13.已知抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为x轴,且与圆x2+y2=4相交的公共弦长为2,求抛物线的方程. 14.已知点P在抛物线y2=-4x上,求点P到椭圆+=1左顶点的距离最小值. 作业10　抛物线 知识梳理 1.相等　点F　直线l　2.y2=±2px(p>0)　x2=±2py(p>0)　3.(1)x≥0,y∈R　(2)对称轴为x轴　(3)(0,0)　(4)1 知能训练 1.C　因为抛物线方程为y2=x,焦点是在x轴正半轴,所以其焦点坐标为(,0).故选C. 2.B　依题意,设抛物线方程为y2=mx,m≠0,于是得22=m·(-1),解得m=-4,所以所求抛物线方程是y2=-4x.故选B. 3.C　抛物线y2=8x的焦点F,准线为x=-2,由P的横坐标为3,所以P到准线的距离为5,故点P到焦点的距离是5. 4.A　F到l的距离大于2等价于>2,即m>4或m<-4,由于m>4⇒m>4或m<-4,而m>4或m<-4⇒/m>4,故答案为充分不必要条件.故选A. 5.B　由题设,F(1,0),则直线l为y=x-1,联立抛物线得y2-4y-4=0,∴yA+yB=4,yAyB=-4,则|yA-yB|2=-4yAyB=32,∴=·|yA-yB|=8.故选B. 6.A　解法一　易知直线y=x+4与抛物线y2=4x相离, 设直线y=x+m与抛物线y2=4x相切,则由, 得y2-4y+4m=0,所以Δ=16-16m=0,m=1, 则直线y=x+4与y=x+1的距离d==.故选A. 解法二　设抛物线上一点P, 则点P到直线x-y+4=0的距离d==,当t=2时,d取得最小值.故选A. 7.C　由已知,可得 ①当直线过点且与x轴平行时,方程为y=1,与抛物线y2=8x只有一个公共点; ②当直线斜率不存在时,方程为x=0,与抛物线y2=8x只有一个公共点; ③当直线斜率存在时,设直线方程为y=kx+1,由可得, k2x2+(2k-8)x+1=0,Δ=(2k-8)2-4k2=0,解得k=2,故直线方程y=2x+1. 所以存在3条直线y=1,x=0,y=2x+1满足过点与抛物线y2=8x只有一个公共点.故选C. 8.A　抛物线C:y2=x的焦点F(,0),依题意,d=|PF|,则-d=-|PF|≤|AF|=,当且仅当点P,F,A共线,即点P为抛物线顶点时取“=”,所以-d的最大值为.故选A. 9.y2=4x或x2=-y 解析:当抛物线焦点在x轴上时,设方程为y2=mx(m≠0),则有(-2)2=m·1,解得m=4,即有y2=4x,当抛物线焦点在y轴上时,设方程为x2=ny(n≠0),则有12=n·(-2),解得n=-,即有x2=-y,所以过点(1,-2)的抛物线的标准方程是y2=4x或x2=-y. 10.1 解析:由抛物线y2=4x可知其焦点为F, 由抛物线的定义可知=xP+1, 故点P到点M的距离与P到y轴的距离之和为+xP=+-1≥-1=-1=1, 即点P到点的距离与P到y轴的距离之和的最小值为1. 11.x=3(答案不唯一) 解析:由题知,抛物线y2=8x的准线为l:x=-2, 因为线段AB的中点到抛物线的准线的距离为5, 所以线段AB的中点为M. 当AB斜率不存在时,x=3符合题意; 当直线AB斜率存在且不为0时,设直线AB的方程为x=ky+b,代入y2=8x,整理得y2-8ky-8b=0, 所以8k=2y0=,所以b=3-4k2, 所以直线AB的方程为x=ky+3-4k2, 令k=1,得直线AB的方程为x=y-1,即x-y+1=0. 12.解析:抛物线x2=2py(p>0)的准线方程为y=-,设点M的纵坐标为y0,由已知结合抛物线定义得y0-(-)=4⇒y0=4-,又点M到y轴的距离为,于是得点M(±,4-),而点M在抛物线x2=2py上,从而有=2p(4-),整理得p2=5p,而p>0,解得p=5,所以抛物线的方程为x2=10y,点M的坐标为(±,). 13.解析:由题意,设所求抛物线的方程为y2=2px,交点A,B, 因为抛物线与圆x2+y2=4相交的公共弦长为2, 则+=2,即y1-y2=2. 由对称性知y2=-y1,代入上式,解得y1=, 把y1=代入x2+y2=4,解得x1=±1, 当x1=1时,点(1,)在抛物线y2=2px上,所以p=; 当x1=-1时,点(-1,)在抛物线y2=2px上,所以p=-. 于是所求抛物线的方程为y2=3x或y2=-3x. 14.解析:因为点P在抛物线y2=-4x上,设P(-,y), 而由椭圆+=1可知其左顶点的坐标为(-4,0), 记点P到左顶点的距离为d,则d===≥2, 当y2=8时,即y=±2,x=-2时,有最小值2. 学科网（北京）股份有限公司 $