作业9 双曲线-【课堂快线】2024高二数学寒假作业（湘教版）

1.定义:平面上到两个定点F1,F2的　　　　　　　　　　　　　　　的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点F1,F2叫作双曲线的　　　　,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　叫作双曲线的焦距.  2.标准方程: (1)焦点位于x轴: 　. (2)焦点位于y轴: 　. 3.双曲线-=1(a>0,b>0)的几何性质 (1)范围: 　. (2)对称性:对称轴:　　　　;对称中心:　　　　.  (3)顶点:　　　　.  (4)渐近线:　　　　.  (5)离心率:e=　　　　.  【例题】　已知双曲线的渐近线方程是y=±x,焦距为2,则双曲线的标准方程为　　　　　　　　.  【解析】　当双曲线的焦点在x轴上时, 由题意知 解得所以所求双曲线的标准方程为-=1. 当双曲线的焦点在y轴上时,由 解得所以所求双曲线的标准方程为-=1. 故所求双曲线的标准方程为-=1或-=1. 【答案】　-=1或-=1. 【思维升华】　 　当题目条件没有明确双曲线的焦点所在坐标轴时,应分两种情况进行讨论.同时注意在这两种情况下,渐近线方程是有区别的:焦点在x轴上时,渐近线方程为y=±x;焦点在y轴上时,渐近线方程为y=±x. 一、选择题 1.若方程+=1表示的图形是双曲线,则m的取值范围是 (　　) A.m>5　　　　　　 B.m<-4 C.m<-4或m>5 D.-4<m<5 2.若一直线l平行于双曲线的一条渐近线,则l与双曲线的公共点个数为 (　　) A.0或1 B.1 C.0或2 D.1或2 3.设F1,F2是双曲线C:x2-=1的左,右焦点,点P在双曲线C的右支上,当=6时,△PF1F2面积为 (　　) A.4 B.3 C. D.6 4.已知双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,焦距为8,离心率为2,则该双曲线的方程为 (　　) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 5.已知双曲线的渐近线方程为y=±x,则离心率为 (　　) A. B.2 C. D. 6.已知左、右焦点分别为F1,F2的双曲线C:-=1(a>0)上一点P到左焦点F1的距离为6,点O为坐标原点,点M为PF1的中点,若|OM|=5,则双曲线C的渐近线方程为 (　　) A.y=±2x B.y=±x C.y=±x D.y=±4x 7.已知点F是双曲线x2-=1的左焦点,直线4x-y-12=0与该双曲线交于两点P,Q,则△FPQ的重心G到y轴的距离为 (　　) A.1 B.4 C.3 D.2 8.(多选)设F1,F2分别是双曲线x2-=1(b>0)的左右焦点,过F2作x轴的垂线与双曲线交于A,B两点,若△ABF1为正三角形,则 (　　) A.b= B.双曲线的离心率 C.双曲线的焦距为2 D.△ABF1的面积为4 二、填空题 9.经过两点,的双曲线的标准方程为　　　　　　　　　　　　.  10.已知双曲线-x2=1的两条渐近线分别与抛物线y2=2px(p>0)的准线交于A、B两点,O为坐标原点,若△AOB的面积为1,则p的值为　　　　.  11.过双曲线C:-=1的左焦点F1且垂直于x轴的直线交C与M,N两点,若△MNF2 为直角三角形,则C的离心率为　　　　.  三、解答题 12.已知双曲线C与椭圆E:+=1有公共焦点,且它的一条渐近线方程为y=x. (1)求椭圆E的焦点坐标; (2)求双曲线C的标准方程. 13.中心都在坐标原点的椭圆与双曲线,它们有共同的在x轴上的焦点F1、F2,且=4,其中椭圆与双曲线的离心率之比为1∶4,椭圆的长半轴长与双曲线的实半轴长之差为6. (1)求椭圆和双曲线的标准方程; (2)若点N是椭圆和双曲线的一个交点,求cos∠F1NF2. 14.已知双曲线C:-=1的渐近线方程为y=±x,其右焦点F到渐近线的距离为,点P为双曲线右支上一动点. (1)求双曲线C的标准方程; (2)求·的最小值. 作业9　双曲线 知识梳理 1.距离之差的绝对值为正常数(小于|F1F2|)　焦点　两个焦点之间的距离|F1F2|　2.-=1(a>0,b>0)　-=1(a>0,b>0)　3.(1)x≤-a或x≥a,y∈R　(2)坐标轴　原点　(3)(±a,0)　(4)y=±x　(5) 知能训练 1.D　由题设,(m-5)(m+4)<0,可得-4<m<5.故选D. 2.B　由题意,由于渐近线与双曲线没有公共点, 如图所示,若直线l平行于双曲线的一条渐近线, 故l与双曲线的公共点个数为1个.故选B. 3.B　∵双曲线C:x2-=1,∴a=1,b=,c=2, 又点P在双曲线C的右支上,=6, 所以-=2a,6-=2,即=4, 又=2c=4,∴△PF1F2面积为×6×=3.故选B. 4.B　由题意可设双曲线的标准方程为-=1, 因为双曲线的焦距为8,则2c=8,所以c=4, 又双曲线的离心率为=2,所以a=2,则b2=c2-a2=16-4=12,所以双曲线的标准方程为-=1.故选B. 5.C　因双曲线的渐近线方程为y=±x,则该双曲线实半轴长a与虚半轴长b相等,设半焦距长为c,所以双曲线离心率e=== .故选C. 6.A　由|OM|=5,得|PF2|=10>6,∴点P在双曲线左支上,故=4=2a,∴a=2,得双曲线方程为-=1,∴双曲线C的渐近线方程为y=±2x.故选A. 7.C　不妨设P,Q, 联立双曲线方程与直线方程得, 消去y得: x2-12x+19=0,故x1+x2=12. 因为F,所以点G到y轴的距离为==3.故选C. 8.ABD　在正三角形△ABF1中,由双曲线的对称性知,F1F2⊥AB,|AF1|=2|AF2|,由双曲线定义有:|AF1|-|AF2|=2,因此,|AF1|=4,|AF2|=2,|F1F2|==2,即半焦距c=,则b==,A正确;双曲线的离心率e==,B正确;双曲线的焦距=2,C不正确;△ABF1的面积为|AF1|2=4,D正确.故选ABD. 9.x2-=1 解析:设双曲线方程为mx2-ny2=1,mn>0,依题意有,解得m=1,n=, 所以所求双曲线的标准方程为x2-=1. 10. 解析:由题设,渐近线方程为y=±2x,联立抛物线得:4x2=2px,则x=0或x=,当x=0时,y=0;当x=-时,y=±p, 则△AOB的面积为××2p=1,又p>0,故p=. 11.+1 解析:由题可得MN:x=-c,代入双曲线C:-=1(a>0,b>0),解得y=±, ∵△MNF2为直角三角形,则,∴=2c,∴c2-a2=2ac,∴e2-2e-1=0, ∴e=1±,又e>1,∴e=+1. 12.解析:(1)由题设,c===2,又a=4>b=2, 所以椭圆E的焦点坐标为(±2,0). (2)由题设,令双曲线C为x2-3y2=λ(λ>0), 由(1)知:λ+=c2=4,可得λ=3, 所以双曲线C的标准方程为-y2=1. 13.解析:(1)依题意,椭圆与双曲线的半焦距c=2,设椭圆长半轴长为a,则双曲线实半轴长为a-6, 则椭圆的离心率为,双曲线的离心率为,于是得=,解得a=8,因此,椭圆长半轴长为8,短半轴长为=2,双曲线实半轴长为2,虚半轴长为=2, 所以椭圆和双曲线的方程分别为+=1和-=1. (2)由椭圆、双曲线的对称性,不妨设点N在第一象限,F1,F2分别为左右焦点, 由椭圆的定义得|NF1|+|NF2|=16, 由双曲线的定义得|NF1|-|NF2|=4,解得|NF1|=10,|NF2|=6, 而|F1F2|=4,在△F1NF2中,利用余弦定理可得: cos∠F1NF2= ==, 所以cos∠F1NF2=. 14.解析:(1)双曲线C:-=1的渐近线方程为y=±x,则a=b,而右焦点F到y=±x的距离为,则=,解得c=2,又a2+b2=c2,于是得a2=b2=2, 所以双曲线C的标准方程为-=1. (2)由(1)知F,x0≥,=,=,=-2, 则·=x0+=2-2x0-2=-,所以当x0=时.·取得最小值为2-2. 学科网（北京）股份有限公司 $