作业7 直线与圆、圆与圆的位置关系-【课堂快线】2024高二数学寒假作业（湘教版）

1.直线与圆的位置关系及其判断方法 关系 相交 相切 相离 图示 交点个数 2 1 0 判断 方法 代数法 Δ>0 Δ=0 Δ<0 几何法 d<r d=r d>r 常见问题 弦长问题 切线问题 最值问题 　说明　r为圆的半径,d为圆心到直线的距离,Δ为直线方程与圆方程联立消去一个参数后所得的一元二次方程的判别式. 2.圆与圆的位置关系及判断 位置关系 相离 相交 相切 外离 内含 外切 内切 图示 交点个数 0 0 2 1 1 判定 方法 几何法 d> r1+r2 0<d< |r1-r2| |r1-r2|< d<r1+r2 d= r1+r2 d= |r1-r2| 代数法 Δ<0 Δ<0 Δ>0 Δ=0 Δ=0 　说明　d为两圆的圆心距;r1,r2分别为两圆半径,Δ为联立两圆方程消去一个未知数后的一元二次方程的根的判别式. 【例题】　已知两圆的方程分别为x2+y2-8x-4y+11=0和x2+y2+2y-3=0,则两圆的公切线有 (　　) A.1条　　　　　　　B.2条 C.3条 D.4条 【解析】　圆C1:x2+y2-8x-4y+11=0的圆心为C1(4,2),半径r1=3;圆C2:x2+y2+2y-3=0的圆心为C2(0,-1),半径r2=2. ∵圆心距|C1C2|==5=r1+r2, ∴两圆外切,∴两圆有3条公切线. 【答案】　C 【思维升华】　解决两圆的公切线问题的注意点 　(1)在求两圆的公切线时,首先要判断两圆的位置关系,以确定公切线的条数;其次,应注意公切线的几何性质. (2)当两圆相切时,两圆方程相减得到的直线方程就是两圆的公切线方程. 一、选择题 1.直线x-y+2=0与圆(x-a)2+(y-3)2=2相切,则a= (　　) A.3 B.-1 C.-3或1 D.3或-1 2.已知圆C:x2+y2=1,直线l:y=2x+b相交,那么实数b的取值范围是 (　　) A.(-3,1) B.(-¥,-) C.(,+¥) D.(-,) 3.若圆+=4与单位圆恰有三条公切线,则实数a的值为 (　　) A. B.2 C.2 D.2 4.在平面直角坐标系xOy中,直线2x-y+1=0被圆(x-a)2+(y-a)2=a2截得的弦长为2,则实数a的值为 (　　) A.-1 B.2 C.或-1 D.1或- 5.当圆x2+y2=4截直线l:x-my+m-1=0所得的弦最长时,则m的值为 (　　) A.- B.-1 C.1 D. 6.已知圆C:x2+y2-4x=0和直线l:kx-y+1-2k=0,则圆心C到直线l的最大距离为 (　　) A.1 B.2 C.3 D. 7.(多选)已知圆M:x2+y2-4x+3=0,则下列说法正确的是 (　　) A.点在圆M内 B.圆M关于x+3y-2=0对称 C.半径为 D.直线x-y=0与圆M相切 8.(多选)已知直线l:x+y-4=0,圆O:x2+y2=2,M是l上一点,MA,MB分别是圆O的切线,则 (　　) A.直线l与圆O相切 B.圆O上的点到直线l的距离的最小值为 C.存在点M,使∠AMB=90° D.存在点M,使△AMB为等边三角形 二、填空题 9.圆O1:x2+y2=1与圆O2:x2+y2-6x+8y+m=0外切,则实数m=　　　　.  10.已知直线x-y+3=0与圆+y2=9相交于A,B两点,则=　　　　.  11.已知直线l:x-y+1=0与圆C:x2+y2-2x-4y+t=0交于A,B两点,则线段AB的垂直平分线方程为　　　　.  三、解答题 12.圆x2+y2=8内有一点P,AB为圆的过点P且倾斜角为α的弦. (1)当α=135°时,求的长; (2)当弦AB最短时,求直线AB的方程. 13.已知圆C1:x2+y2+2x+2y-8=0与C2:x2+y2-2x+10y-24=0相交于A、B两点. (1)求公共弦AB所在的直线方程; (2)求圆心在直线y=-x上,且经过A、B两点的圆的方程; (3)求经过A、B两点且面积最小的圆的方程. 14.已知圆M的方程为+=. (1)求过点N与圆M相切的直线l的方程; (2)过点P(1,1)作两条相异直线分别与圆M相交于A,B两点,若直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,且k1+k2=0,试判断直线AB的斜率是否为定值,并说明理由. 作业7　直线与圆、圆与圆的位置关系 知能训练 1.D　圆(x-a)2+(y-3)2=2的圆心坐标为(a,3),半径为, 又直线x-y+2=0与圆(x-a)2+(y-3)2=2相切, 则=,解之得a=3或a=-1.故选D. 2.D　圆C的圆心为,半径为1,直线l:2x-y+b=0, 由于圆与直线l相交,所以<1,解得-<b<.故选D. 3.C　由题,两圆恰有三条公切线,说明两圆为外切关系(两条外公切线,一条内公切线),因此圆心距=2+1,结合a>0解得a=2.故选C. 4.C　圆心到直线2x-y+1=0的距离为, 又+1=a2,解得a=或-1.故选C. 5.C　要使直线与圆所得弦最长,则直线必过圆心(0,0), 所以m-1=0,可得m=1.故选C. 6.A　由直线l得:y-1=k,则直线l恒过定点A,由圆C:(x-2)2+y2=4,知圆心C,故圆心C到直线l的最大距离d==1.故选A. 7.BD　x2+y2-4x+3=0整理得:+y2=1, ∵x=4,y=0时x2+y2-4x+3=3>0,∴点在圆M外,A错;∵圆心M在直线x+3y-2=0上,∴圆M关于x+3y-2=0对称,B对;∵圆M半径为1,故C错;∵圆心M到直线x-y=0的距离为d==1,与半径相等,∴直线x-y=0与圆M相切,D对.故选BD. 8.BD　对于A选项,圆心到直线的距离d==2>=r,所以直线和圆相离,故A错误;对于B选项,圆O上的点到直线l的距离的最小值为d-r=,故B正确;对于C选项,当OM⊥l时,∠AMB有最大值60°,故C错误;对于D选项,当OM⊥l时,△AMB为等边三角形,故D正确.故选BD. 9.9 解析:圆O1的圆心O1,半径r1=1,圆O2的圆心O2,半径r2=,则=5.根据题意可得=r1+r2,即5=1+,∴m=9. 10.2 解析:根据圆的方程+y2=9,圆心坐标为,半径r=3,∴圆心到直线的距离d==2, 所以=2=2=2. 11.x+y-3=0 解析:由题意知,线段AB的垂直平分线斜率为-1, 因为圆C:(x-1)2+(y-2)2+t-5=0,所以圆心C, 因为圆心C在直线l:x-y+1=0上. 所以线段AB的垂直平分线过点C, 所以线段AB的垂直平分线方程为y-2=-1,即x+y-3=0. 12.解析:(1)直线AB的斜率k=tanα=-1,圆的半径r=2. 则直线AB的点斜式方程为y-2=-,即x+y-1=0. 则圆心到直线AB的距离d==. 由垂径定理,得+d2=r2, 所以=-,解得=. (2)当弦AB最短时,P为AB的中点,PO⊥AB, 由题意kPO·kAB=-1,则kAB=. 则直线AB的点斜式方程为y-2=,即x-2y+5=0. 13.解析:(1)将两圆方程相减得x-2y+4=0,此即为所求直线方程. (2)设经过A、B两点的圆的方程为x2+y2+2x+2y-8+λ=0(λ为常数), 则圆心坐标为,又圆心在直线y=-x上,故+=0,解得λ=-,故所求方程为x2+y2+6x-6y+8=0. (3)由题意可知以线段AB为直径的圆面积最小.两圆心所在直线方程为2x+y+3=0,与直线AB方程联立得所求圆心坐标为,由弦长公式可知所求圆的半径为.故面积最小的圆的方程为+=5. 14.解析:(1)显然当l的斜率不存在时,不符合题意;设l:y=k+,直线与圆相切,由圆心M到直线l的距离d===,解得k=3或k=-3. 当k=3时,直线l的方程为y=3x,当k=-3时,直线l的方程为y=-3x+9,所以直线l的方程为y=3x或y=-3x+9. (2)由题意可设PA:y=k1(x-1)+1. 由可得x2-x+-3k1+2=0, 设A,则1×x1=,所以x1=, y1=k1+1=, 同理B, 因为k1+k2=0,所以B, 所以kAB===-为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $