作业6 圆的方程-【课堂快线】2024高二数学寒假作业（湘教版）

1.圆的标准方程 圆心为C(a,b),半径为r的圆的方程为　　　　　　　　.  2.圆的一般方程 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(　　　　)叫作圆的一般方程.  【例题】　已知△ABC三个顶点的坐标为A(1,3),B(-1,-1),C(-3,5),则这个三角形外接圆的一般方程为　　　　　　　　　　　　.  【解析】　方法一　设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0). 因为此圆过A,B,C三点, 所以解得 故所求圆的一般方程为x2+y2+4x-4y-2=0. 方法二　线段AB的垂直平分线的方程为y-1=-(x-0)　①,线段BC的垂直平分线的方程为y-2=(x+2)　②,联立①②可得圆心坐标为(-2,2). 设圆的半径为r,则r2=(1+2)2+(3-2)2=10, 故所求圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=10,化为一般方程为x2+y2+4x-4y-2=0. 【思维升华】　求圆的方程的基本思想 　(1)求圆的方程时,若能根据已知条件找出圆心坐标和半径,则可直接写出圆的标准方程,否则可通过圆的标准方程或圆的一般方程用待定系数法求解. (2)解答圆的相关问题时,要注意数形结合,充分利用圆的几何性质,以简化运算过程. 一、选择题 1.经过三个点A(0,0),B(2,0),C(0,-2)的圆的方程为 (　　) A.+=2 B.+=2 C.+=4 D.+=4 2.若直线y=kx与圆(x-1)2+y2=3的两个交点关于直线x+2y+b=0对称,则k,b的值分别为 (　　) A.k=2,b=-1　　　 B.k=-2,b=1 C.k=,b=-4 D.k=-,b=4 3.已知圆+=4关于直线ax+by+1=0(a>0,b>0)对称,则+的最小值为 (　　) A. B.9 C.4 D.8 4.设甲:实数a<3;乙:方程x2+y2-x+3y+a=0是圆,则甲是乙的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.圆x2+y2+2x-4y-6=0的圆心和半径分别是 (　　) A.,11 B.,11 C., D., 6.已知方程x2+y2+kx-2y-k2=0表示的圆中,当圆面积最小时,此时k= (　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 7.(多选)已知方程x2+y2-4x+8y+2a=0,则下列说法正确的是 (　　) A.当a=10时,表示圆心为(2,-4)的圆 B.当a<10时,表示圆心为(2,-4)的圆 C.当a=0时,表示的圆的半径为2 D.当a=8时,表示的圆与y轴相切 8.(多选)已知圆M与直线x+y+2=0相切于点A(0,-2),圆M被x轴所截得的弦长为2,则 (　　) A.圆M的圆心在定直线x-y-2=0上 B.圆M的面积可以是50π C.圆M的半径可以为1 D.满足条件的所有圆M的半径之积为10 二、填空题 9.圆心在直线2x-3y-1=0上的圆与x轴交于A(1,0)、B(3,0)两点,则圆的方程为　　　　　　　　.  10.圆+=5关于直线x-y=0对称的圆的方程为　　　　.  11.若抛物线y=x2+ax+b与坐标轴分别交于三个不同的点A、B、C,则△ABC的外接圆恒过的定点坐标为　　　　.  三、解答题 12.已知△ABC的三个顶点分别为A,B,C,求: (1)AB边中线所在的直线方程; (2)△ABC的外接圆的方程. 13.(1)求过点A(2,5),且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程. (2)已知圆C:x2+y2+Dx+Ey-6=0,圆心在直线x+y-2=0上,且圆心在第二象限,半径长为4,求圆的一般方程. 14.已知方程x2+y2-2cosα·x-4sinα·y+4sin2α-sinα+1=0表示圆. (1)求α的取值范围. (2)求该圆半径的最大值. 作业6　圆的方程 知识梳理 1.(x-a)2+(y-b)2=r2　2.D2+E2-4F>0 知能训练 1.C　由已知得,A(0,0),B(2,0),C(0,-2)分别在原点、x轴、y轴上,∴AB⊥AC,∴经过三点圆的半径为 r===2, 圆心坐标为BC的中点,即, ∴圆的标准方程为+=4.故选C. 2.A　由题意可知,直线x+2y+b=0过圆心(1,0),且直线y=kx与直线x+2y+b=0垂直, 所以,解得k=2,b=-1.故选A. 3.B　圆+=4的圆心为,依题意,点在直线ax+by+1=0上, 因此-a-2b+1=0,即a+2b=1, ∴+==5++≥5+2=9,当且仅当=,即a=b=时取“=”, 所以+的最小值为9.故选B. 4.B　若方程x2+y2-x+3y+a=0表示圆,则+32-4a=10-4a>0,解得a<.∵a<3⇒/a<,a<⇒a<3,∴甲是乙的必要不充分条件.故选B. 5.D　先化为标准方程可得+=11,故圆心为,半径为.故选D. 6.B　由x2+y2+kx-2y-k2=0,得+(y-1)2=+1,易知当k=0,圆的半径最小,即圆的面积最小.故选B. 7.BCD　x2+y2-4x+8y+2a=0整理为:+=20-2a,A选项,当a=10时,此时半径为0,故A错误;B选项,当a<10时,此时半径大于0,表示圆心为(2,-4)的圆,B正确;C选项,当a=0时,表示的圆的半径为2,C正确;D选项,当a=8时,表示的圆半径为2,又圆心坐标为,故与y轴相切,D正确.故选BCD. 8.ABD　对A:因为圆M与直线x+y+2=0相切于点A(0,-2),故直线AM与直线x+y+2=0垂直,故M落在直线x-y-2=0上,故A正确;对B、C、D:设圆心为(a,a-2),则R==|a|=,∴a=1或-5,∴R=或5,圆M的面积可以是2π或50π,∴满足条件的所有圆C的半径之积是10,故B、D正确,C错误.故选ABD. 9.(x-2)2+(y-1)2=2 解析:由题意得,圆心在直线x=2上, 又圆心在直线2x-3y-1=0上,令x=2,得y=1, ∴圆心M的坐标为(2,1),又A(1,0), 半径|AM|==, 则圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=2. 10.+=5 解析:圆+=5的圆心为,半径为; 圆心关于直线x-y=0对称的点为, 所以所求圆的方程为+=5. 11. 解析:设抛物线y=x2+ax+b交y轴于点B,交x轴于点A、C,由题意可知Δ=a2-4b>0,由根与系数的关系可得x1+x2=-a,x1x2=b,所以,线段AC的中点为,设圆心为P,由=可得 +t2=+,解得t=, ∵+ax1+b=0,则t==,则t-b=, 所以,圆P的方程为+=, 整理可得+ax+b=0, 方程组的解为. 因此,△ABC的外接圆恒过的定点坐标为. 12.解析:(1)设AB的中点为D(-2,1),则CD所在直线的斜率为-,则CD边所在直线的方程为y-1=-(x+2),即3x+4y+2=0. (2)设△ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 由,解之可得 故△ABC的外接圆的方程为x2+y2+2x+2y-8=0. 13.解析:(1)解法一　①当直线l在坐标轴上的截距均为0时,方程为y=x,即5x-2y=0. ②当直线l在坐标轴上的截距不为0时,可设方程为+=1,即x-y=a,又∵l过点A(2,5),∴2-5=a,a=-3,∴l的方程为x-y+3=0. 综上所述,直线l的方程是5x-2y=0或x-y+3=0. 解法二　由题意知直线的斜率一定存在.设直线的点斜式方程为y-5=k(x-2), 当x=0时,y=5-2k;当y=0时,x=2-. 根据题意得5-2k=-(2-),解方程得k=或k=1. 当k=时,直线方程为y-5=(x-2),即5x-2y=0; 当k=1时,直线方程为y-5=1×(x-2),即x-y+3=0. 综上所述,直线l的方程是5x-2y=0或x-y+3=0. (2)圆心C(-,-),因为圆心在直线x+y-2=0上,所以---2=0,即D+E=-4.① 又因为半径长r==4,所以D2+E2=40.② 由①②可得或, 又因为圆心在第二象限,所以-<0,即D>0,则. 故圆的一般方程为x2+y2+2x-6y-6=0. 14.解析:(1)因方程x2+y2-2cosα·x-4sinα·y+4sin2α-sinα+1=0表示圆, 则有(-2cosα)2+(-4sinα)2-4(4sin2α-sinα+1)>0,整理得:sin2α-sinα<0,解得0<sinα<1, 而α∈[0,2π),则有0<α<或<α<π, 所以α的取值范围是0<α<或<α<π. (2)由(1)知0<α<或<α<π,圆的半径r==≤, 当且仅当sinα=,即α=或α=时取“=”, 所以圆半径的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $