作业5 两条直线的位置关系、点到直线的距离-【课堂快线】2024高二数学寒假作业（湘教版）

1.两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,它们的方程分别是l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2. (1)l1∥l2⇔　　　　.  (2)l1⊥l2⇔　　　　.  2.两条直线的交点坐标: 方程组 的解的情况 一组解 无解 无数组解 直线l1,l2的公共点个数 一个 零个 无数个 直线l1,l2的位置关系 相交 平行 重合 3.平面内任意两点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离公式: |AB|=　　　　　　　　.  4.点P0(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式d=　　　　　　　　　　.  【例题】　已知在△ABC中,A(3,2),B(-1,5),点C在直线3x-y+3=0上,若△ABC的面积S为10,则点C的坐标为　　　　.  【思路点拨】　根据三角形的面积公式,只需求出A,B两点间的距离,然后设出点C的坐标,利用点到直线的距离公式,即可求出点C的坐标. 【解析】　设点C到直线AB的距离为d, 由题意知|AB|==5, 直线AB的方程为=,即3x+4y-17=0. 因为S=|AB|·d=×5×d=10,所以d=4. 因为点C在直线3x-y+3=0上,设C(x0,3x0+3), 所以d===|3x0-1|=4,解得x0=-1或x0=, 故点C的坐标为(-1,0)或. 【答案】　(-1,0)或 【思维升华】 　应用点到直线的距离公式求解与三角形面积相关的问题的关键: (1)确定底和高; (2)点到直线的距离一般起到的作用是确定高,故具体问题中要根据具体条件,先合理选择“底”所在的直线和作为“顶点”的点,并求出该直线方程和点的坐标,再利用点到直线的距离公式求出高; (3)涉及求解最值的问题时要能够灵活根据条件应用函数思想求解,要注意变量取值范围的限制. 一、选择题 1.过两直线x+y-3=0,2x-y=0的交点,且与直线y=x平行的直线方程为 (　　) A.x+3y+5=0　　　B.x+3y-5=0 C.x-3y+5=0 D.x-3y-5=0 2.已知直线l1:2x+y=2m与l2:mx+2y=5互相垂直,则m= (　　) A.-2 B.-1 C.1 D.1或-2 3.过坐标原点O作直线l:x+y-6=0的垂线,垂足为H,则s2+t2的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 4.点P为x轴上的点,A,B,以A,B,P为顶点的三角形的面积为8,则点P的坐标为 (　　) A.或 B.或 C.或 D.或 5.过点P(-1,2)且与直线x-2y+1=0垂直的直线方程为 (　　) A.2x+y+4=0 B.2x+y=0 C.x+2y-3=0 D.x-2y+5=0 6.已知l1:3x+2ay-5=0,l2:x-ay-2=0,则满足l1∥l2的a的值是 (　　) A.- B.0 C.-或0 D.或0 7.已知点P在直线x-y-1=0上的运动,则+的最小值是 (　　) A. B. C. D. 8.(多选)已知两条直线l1、l2的方程分别为3x+4y+12=0与ax+8y-11=0,下列结论正确的是 (　　) A.若l1//l2,则a=6 B.若l1//l2,则两条平行直线之间的距离为 C.若l1⊥l2,则a= D.若a≠6,则直线l1、l2一定相交 二、填空题 9.在第一象限的点A到直线4x+3y-1=0的距离为3,则a的值为　　　　.  10.已知直线x-2y+m=0(m>0)与直线x+ny-3=0互相平行,且它们之间的距离是,则m+n=　　　　.  11.在直角坐标系中,若A、B、C,则+的最小值是　　　　.  三、解答题 12.已知一直线经过点,并且与点和的距离相等,求此直线的方程. 13.已知A(4,-3)、B(2,-1)和直线l:4x+3y-2=0,若坐标平面内存在一点P,使=,且点P到直线l的距离为2,求点P的坐标. 14.已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A(-1,4)、B(-2,-1)、C(2,3). (1)求边BC的中垂线所在的直线方程和平行四边形ABCD的顶点D的坐标; (2)求△BCD的面积. 作业5　两条直线的位置关系、 点到直线的距离 知识梳理 1.(1)k1=k2且b1≠b2　(2)k1k2=-1 3.　4. 知能训练 1.C　由解得,则直线x+y-3=0,2x-y=0的交点,又直线y=x的斜率为,则所求直线方程为y-2=,整理得x-3y+5=0.故选C. 2.C　因为直线l1:2x+y=2m与l2:mx+2y=5互相垂直,所以2m+2=0,解得m=1.故选C. 3.D　依题意,=(s,t),直线l的方向向量n=(a-1,a+2),则有, 解得,因此, s2+t2==, 因当a=-时,2+取最小值,则有0<≤8,所以s2+t2的取值范围是(0,8].故选D. 4.A　设P,直线AB的方程为x-y+1=0, 点P到直线AB的距离d=,=2, 所以S=×2×=8,解得x=-9或x=7, 所以点P的坐标为或.故选A. 5.B　直线x-2y+1=0的斜率kl=,因为l⊥l',故l'的斜率kl'=-2,故直线l'的方程为y-2=-2(x+1),即2x+y=0.故选B. 6.C　由l1∥l2可得3·-·2a=0,得a=0或a=-,当a=0时,l1:3x-5=0,l2:-x-2=0,符合题意;当a=-时,l1:3x-y-5=0,l2:3x-y+4=0,符合题意; 故满足l1∥l2的a的值为0或-.故选C. 7.A　+表示点P与距离的平方,因为点到直线x-y-1=0的距离d==, 所以(x-2)2+(y-2)2的最小值为d2=.故选A. 8.ABD　若l1//l2,则=≠,∴a=6,A正确; 由A知,l2:6x+8y-11=0,直线l1的方程可化为6x+8y+24=0, 故两条平行直线之间的距离为=,B正确; 由l1⊥l2,则3a+4×8=0,∴a=-,C不正确; 由A知a=6时,l1//l2,所以a≠6时,则直线l1、l2一定相交,D正确.故选ABD. 9.4 解析:A在第一象限,所以a>0, 点A到直线4x+3y-1=0的距离为3,则 =3,解得a=4或a=-6. 因为a>0,所以a=4. 10.0 解析:因为直线x-2y+m=0(m>0)与直线x+ny-3=0互相平行,所以n=-2且m≠-3. 又两直线间的距离是,所以d==, 因为m>0,解得m=2,所以m+n=0. 11. 解析:由题意可知,点C在y轴上,点A关于y轴的对称点为M,由对称性可得=, 所以,+=+≥==, 当且仅当点C为线段BM与y轴的交点时,等号成立, 故+的最小值为. 12.解析:假设所求直线的斜率存在,则可设其方程为y-2=k,即kx-y-k+2=0. 由题设有:=,即=,解得k=4,则直线方程为4x-y-2=0. 又所求直线的斜率不存在时,方程为x=1,适合题意.∴所求直线的方程为4x-y-2=0或x=1. 13.解析:设点P的坐标为(a,b).∵A(4,-3),B(2,-1),所以线段AB的中点M的坐标为(3,-2).而AB所在直线的斜率kAB==-1, ∴线段AB的垂直平分线方程为y+2=x-3,即x-y-5=0. ∵点P(a,b)在直线x-y-5=0上,∴a-b-5=0　①; 又点P(a,b)到直线4x+3y-2=0的距离为2, ∴=2,即4a+3b-2=±10　②. 联立①②,解得或 故所求点P的坐标为(1,-4)或. 14.解析:(1)如图,设BC边中点为E, ∵B(-2,-1)、C(2,3),∴E(0,1),kBC==1. 边BC的中垂线所在的直线的斜率为-1,由直线的点斜式方程得边BC的中垂线所在的直线为y-1=-1(x-0),即x+y-1=0. 设AC边中点为M,则M点坐标为, 设点D的坐标为(x,y),由已知得M为线段BD的中点, 有,解得,∴D(3,8). (2)由B(-2,-1)、C(2,3)得|BC|==4,直线BC的方程为x-y+1=0, ∴D到直线BC的距离d(D-BC)==2, ∴S△BCD=×4×2=8. 学科网（北京）股份有限公司 $