作业4 直线的方程-【课堂快线】2024高二数学寒假作业（湘教版）

1.当直线l与x轴相交时,我们把x轴正向绕交点　　　　旋转到与直线l　　　　　方向首次重合所成的角α叫作直线l的倾斜角.  2.一条直线的倾斜角α的　　　　值k称为这条直线的斜率,即k=　　　　.  3.直线的方程 名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围 点斜式 　　　  (x0,y0)是直线上一点,k是斜率. 不垂直于x轴的直线. 斜截式 　　　  k是斜率,b是直线在y轴上的截距. 不垂直于x轴的直线. 两点式 　　　　(x1≠x2,y1≠y2)  (x1,y1),(x2,y2)是直线上两点. 不垂直于x轴和y轴的直线. 截距式 　　　  (a≠0,b≠0) a是直线在x轴上的非零截距,b是直线在y轴上的非零截距. 不垂直于x轴和y轴,且不过原点的直线. 一般式 　　　  (A2+B2≠0) 所有直线. 【例题】　若A,B(4,-1),C(-4,-m)三点在同一条直线上,则实数m的值为　　　　.  【解析】　由于A,B,C三点所在的直线不可能垂直于x轴,即斜率存在,因此可设直线AB,BC的斜率分别为kAB,kBC.由斜率公式得, kAB==,kBC==. ∵A,B,C三点在同一条直线上, ∴kAB=kBC, 即=,即m2-3m-12=0, 解得m1=,m2=. 故常数m的值是或. 【答案】　或 【思维升华】　解析几何中证明A,B,C三点共线的常见方法 　(1)任意两点确定的直线的倾斜角相等,则三点共线. (2)任意两点确定的直线的斜率,要么都不存在,要么存在且相等,则三点共线. (3)利用共线向量.若=λ或=λ+(1-λ),则三点共线. (4)利用线段长的关系,若|AC|=|AB|+|BC|,则三点共线. 一、选择题 1.直线+=1的倾斜角为 (　　) A.　　　　　 B. C. D. 2.若直线l过点A(-2,0),B(0,3),则直线l的方程为 (　　) A.3x-2y+6=0 B.2x-3y+6=0 C.3x-2y-6=0 D.3x+2y-6=0 3.直线x-y+2=0恒过定点 (　　) A. B. C. D. 4.过点P且与两坐标轴上的截距相等的直线共有 (　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 5.已知过定点直线kx-y+4-k=0在两坐标轴上的截距都是正值,且截距之和最小,则直线的方程为 (　　) A.x-2y-7=0 B.x-2y+7=0 C.2x+y-6=0 D.x+2y-6=0 6.已知直线l过A,并与两坐标轴截得等腰三角形,那么直线l的方程是 (　　) A.x-y-1=0或x+y-3=0 B.x-y-1=0或x-y+3=0 C.x+y+1=0或x-y+3=0 D.x+y+1=0或x+y-3=0 7.(多选)已知直线l的方程是Ax+By+C=0,则下列说法中正确的是 (　　) A.若A·B·C≠0,则直线l不过原点 B.若A·B>0,则直线l必过第四象限 C.若直线l不过第四象限,则一定有A·B<0 D.若A·B<0且A·C>0,则直线l不过第四象限 8.(多选)下列说法不正确的是 (　　) A.=k不能表示过点M且斜率为k的直线方程 B.在x轴、y轴上的截距分别为a,b的直线方程为+=1 C.直线y=kx+b与y轴的交点到原点的距离为b D.设A,B,若直线l:ax+y+1=0与线段AB有交点,则a的取值范围是 二、填空题 9.经过点(-3,2),倾斜角为60°的直线的点斜式方程是　　　　　　　　.  10.已知m≠0,直线ax+3my+2a=0在两坐标轴上的截距之和为2,则直线的斜率为　　　　.  11.一束光线经过点A由x轴反射后,经过点B射出,则反射光线所在直线方程是　　　　.  三、解答题 12.已知直线l过点P(-2,3),且与x轴、y轴分别交于A、B两点.若点P恰为AB的中点,求直线l的方程. 13.已知三角形ABC的顶点坐标为A(-1,5)、B(-2,-1)、C(4,3), (1)求AB边所在的直线方程; (2)求AB边的高所在直线方程. 14.已知直线l过点(1,3),且与x轴、y轴都交于正半轴,求: (1)直线l与坐标轴围成的三角形面积的最小值及此时直线l的方程; (2)直线l与两坐标轴截距之和的最小值及此时直线l的方程. 作业4　直线的方程 知识梳理 1.逆时针　向上　2.正切　tan α　3.y-y0=k(x-x0)　y=kx+b　=　+=1　Ax+By+C=0 知能训练 1.D　直线+=1的斜率为k=-,所以倾斜角为.故选D. 2.A　由直线l过点A(-2,0),B(0,3),则直线l的方程为+=1,即3x-2y+6=0.故选A. 3.A　将x-y+2=0变形为a-x-y+2=0,令x-y=0且-x-y+2=0,解得x=1,y=1,故直线恒过定点.故选A. 4.B　①当直线的两坐标轴上的截距为0时,设直线方程为y=kx,由题意有-3=2k,则k=-,∴直线方程为y=-x满足条件; ②当直线的两坐标轴上的截距不为0时,设l的方程为+=1.把点P代入直线方程得+=1.解得a=-1,从而直线方程为x+y+1=0. 故满足条件的直线方程为x+y+1=0和y=-x.故选B. 5.C　直线kx-y+4-k=0可变为k-y+4=0,所以过定点P,又因为直线kx-y+4-k=0在两坐标轴上的截距都是正值,可知k<0, 令x=0,y=4-k,所以直线与y轴的交点为A, 令y=0,x=1-,所以直线与x轴的交点为B, 所以4-k+1-=5++≥5+2=5+4=9,当且仅当-k=-即k=-2时取等号,所以此时直线的方程为2x+y-6=0.故选C. 6.C　由题意可知,所求直线的倾斜角为45°或135°,即直线的斜率为1或-1,故直线方程为y-1=x+2或y-1=-(x+2), 即x-y+3=0或x+y+1=0.故选C. 7.ABD　若A·B·C≠0,则A,B,C都不等于0,当x=y=0时,A·0+B·0+C≠0,所以直线l不过原点,故A正确;若A·B>0,则直线斜率-<0,则直线一定过第二四象限,故B正确;若直线l不过第四象限,若有直线过第一二象限时,此时A=0,则A·B=0,故C错误;若A·B<0且A·C>0,则->0,-<0,所以直线的斜率大于0,在x轴上截距小于0,所以直线经过第一二三象限,不经过第四象限,故D正确.故选ABD. 8.BCD　因过点M且斜率为k的直线方程为y-y1=k(x-x1),由=k知,x≠x1,即=k不过点M,A正确;当x轴、y轴上的截距a,b都为0时的直线方程不能用+=1表示,B不正确;直线y=kx+b中的b是该直线在y轴上的截距,它可以取负数,而直线y=kx+b与y轴的交点到原点的距离为非负数,C不正确;直线l:ax+y+1=0过定点P(0,-1),如图,直线PB的斜率kPB==2,直线PA的斜率kPA==-,点P与线段AB上的点所成直线的斜率范围是(-∞,-]∪[2,+∞), 即-a£-或-a≥2,则a的取值范围是(-∞,-2]∪[,+∞),D不正确. 9.y-2= 解析:由题知,直线斜率为tan60°=, 则直线的点斜式方程为y-2= . 10.解析:对于直线ax+3my+2a=0,m≠0, 令x=0解得y=-; 令y=0解得x=-2, ∴-+=2,解得a=-6m, 原直线方程可化为2x-y+4=0,∴k=2. 11.y=x-1 解析:首先求点A关于x轴对称的点A'(-1,-2), 所以反射光线过B和A'(-1,-2)两点, 故直线方程为=,即y=x-1. 12.解析:设直线l的方程为y-3=k(x+2)(k≠0) 令x=0,得y=2k+3;令y=0,得x=--2. 故A,B(0,2k+3). 因为P是AB的中点,所以=-2,解得k=. 故直线l的方程为y-3=,即3x-2y+12=0. 13.解析:(1)因为A(-1,5)、B(-2,-1), 所以由两点式方程可得=, 化为一般式可得6x-y+11=0. (2)直线AB的斜率为=6.所以由垂直关系可得AB边高线的斜率为-,故AB边的高所在直线方程为y-3=-,化为一般式可得x+6y-22=0. 14.解析:(1)设直线l:+=1(a>0,b>0),则+=1, 所以1=+≥2,得ab≥12,当且仅当a=2,b=6时,等号成立, 所以直线l与坐标轴围成的三角形的面积ab≥×12=6, 所以直线l与坐标轴围成的三角形面积的最小值为6, 此时直线l:+=1,即3x+y-6=0. (2)设直线l:+=1(a>0,b>0),则+=1, 所以a+b=(a+b)(+)=4++≥4+2=4+2,当且仅当a=1+,b=3+时,等号成立. 此时直线l的方程为+=1. 学科网（北京）股份有限公司 $