作业3 等比数列-【课堂快线】2024高二数学寒假作业（湘教版）

1.一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项之比都等于　　　　,那么这个数列称为等比数列,这个常数叫作等比数列的　　　　　　.公比通常用字母　　　　表示(q≠0).  2.等比数列的通项公式:an=　　　　.  3.等比中项:在两个数a,b之间插入数G,使a,G,b成等比数列,则G称为a与b的　　　　.  4.等比数列{an}的前n项和的公式: (1)Sn= (2)Sn= 【例题】　设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,等比数列{bn}的公比为q.已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)当d>1时,记cn=,求数列{cn}的前n项和Tn. 【解析】　(1)由题意有 即解得或 故或 (2)由d>1,知an=2n-1,bn=2n-1,故cn=,于是 Tn=1+++++…+　①, Tn=+++++…+　②. ①-②可得Tn=2+++…+-=3-,故Tn=6-. 【思维升华】　错位相减法求和的适用情况和注意点 　一般地,若数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列且公比为q(q≠1),求{anbn}的前n项和Sn时,常用“乘公比,错位减”的方法求和,即错位相减法.在写出Sn与qSn的表达式时,应特别注意将两式“错项对齐”,以便于下一步准确写出Sn-qSn的表达式. 在运用错位相减法求数列前n项和时要注意四点:①乘数(式)的选择;②对q的讨论;③两式相减后各项间呈现的规律;④可构成数列的项的项数. 一、选择题 1.已知-4,x,-16成等比数列,则x的值为 (　　) A.8　　B.-8 C.±8 D.±4 2.已知正项等比数列中,公比q=,a3a5=16,则a6= (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 3.设单调递增的等比数列满足+=,a1a5=36,则公比q= (　　) A. B. C.2 D. 4.已知等比数列中,a3=3,a2a7=9a4,则a1= (　　) A.±1 B.±2 C.1 D.2 5.设是等差数列,且a1=ln2,a2+a3=5ln2,则++…+= (　　) A.2n B.n2+2n C.2n D.2n+1-2 6.等比数列的前n项和为Sn,已知S1,2S2,3S3成等差数列,则的公比为 (　　) A. B. C.3 D. 7.已知等比数列的各项均为正数,且a1≠a2,lga1+lga2022=0,若f(x)=,则f(a1)+f(a2)+…+f(a2022)= (　　) A.4044 B.2023 C.2022 D.1011 8.(多选)设数列,的前n项和分别为Sn,Tn,则下列命题正确的是 (　　) A.若an+1-an=2,则数列为等差数列 B.若bn+1=2bn,则数列为等比数列 C.若数列是等差数列,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n……成等差数列 D.若数列是等比数列,则Tn,T2n-Tn,T3n-T2n……成等比数列 二、填空题 9.设等比数列满足a1+a2+…+a8=3,a9+a10+…+a16=6,则a17+a18+…+a24=　　　　.  10.在等比数列中,若a1,a10是方程3x2-2x-6=0的两根,则a4·a7=　　　　.  11.已知等比数列满足an+1>an,且其前n项和Sn<0,则数列的通项公式可以是an=　　　　.(写出一个符合条件的即可)  三、解答题 12.已知正项数列的前n项和Sn满足Sn=2an-2,(n∈N+).求数列的通项公式. 13.数列满足a1=,2an+1=an+n+2.记bn=an-n,求证:数列为等比数列. 14.已知为等差数列,为等比数列,的前n项和Sn=3·2n-3,a1=b1,a7+a16=b5. (1)求数列,的通项公式; (2)记cn=,求数列的前n项和Tn. 作业3　等比数列 知识梳理 1.同一个常数　公比　q　2.a1qn-1　3.等比中项 4.(1)　(2) 知能训练 1.C　由题意知,x2=×,解得x=±8.故选C. 2.A　因为q=,a3a5=16,所以a1·a1=16,所以=4×16×16,因为an>0,所以a1=32,所以a6=a1=32×=1.故选A. 3.A　因为为等比数列,所以a1a5=a2a4=36,所以+===,则a2+a4=13,又单调递增,所以q>1,解得a2=4,a4=9,则q2=,因为q>1,所以q=.故选A. 4.C　设等比数列的公比为q,由a3=3,a2a7=9a4, 得, 解得q2=3,a1=1.故选C. 5.D　设的公差为d. ∵a2+a3=5ln2,∴a2+a3=2a1+3d=5ln2. 又∵ a1=ln2,∴d=ln2, ∴an=a1+(n-1)d=nln2. 又∵=eln2=2,=enln2==2n, ∴++…+=2+22+23+…+2n==2n+1-2, 故选D. 6.D　设等比数列的公比为q, 因为S1,2S2,3S3成等差数列,所以S1+3S3=2×2S2, 所以4a1+3a2+3a3=4a1+4a2, 化为3a3=a2,解得q=.故选D. 7.C　∵lga1+lga2022=0,∴a1a2022=1. f(x)+f()=+=2, ∴f(a1)+f(a2022)=2. ∵a1a2022=a2a2021=…=a1011a1012, ∴f(a1)+f(a2022)=f(a2)+f(a2021)=…=f(a1011)+f(a1012), ∴f(a1)+f(a2)+…+f(a2022)=×2=2022.故选C. 8.AC　对于A,由等差数列的定义可知当an+1-an=2时,数列为等差数列,所以A正确;对于B,当bn=0时,满足bn+1=2bn,但数列不是等比数列,所以B错误; 对于C,数列是等差数列,数列的前n项和为Sn, 则S2n-Sn-Sn=2na1+d-2[na1+d]=n2d, S3n-S2n-(S2n-Sn)=S3n-2S2n+Sn=3na1+d-2[2na1+d]+na1+d=n2d,所以S3n-S2n-(S2n-Sn)=(S2n-Sn)-Sn,所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n……成等差数列,所以C正确;对于D,当等比数列的公比q=-1,n为偶数时,Tn,T2n-Tn,T3n-T2n……均为零,所以Tn,T2n-Tn,T3n-T2n……不成等比数列,所以D错误.故选AC. 9.12 解析:等比数列中,a1+a2+…+a8=3,所以a9+a10+…+a16=×q8=3×q8=6,所以q8=2,a17+a18+…+a24=×q8=6×q8=12. 10.-2 解析:若a1,a10是方程3x2-2x-6=0的两根,则a1·a10=-2. ∵数列为等比数列,则a4·a7=a1·a10=-2. 11.-(答案不唯一) 解析:由题意知,设等比数列的公比为q, 由an+1>an,得anq>an,若an<0,则q<1, 由Sn<0得<0,所以a1<0, 则an=-可满足上述条件. 12.解析:∵Sn=2an-2,(n∈N+), Sn-1=2an-1-2,(n≥2,n∈N+) 两式相减得到an=2an-1(n≥2,n∈N+). 当n=1时,可得a1=2, 又∵an>0,∴是首项为2,公比为2的等比数列, ∴的通项公式为an=2n. 13.证明:∵2an+1=an+n+2,∴2=an-n, ∴=,∴数列是以b1=a1-1=,公比为的等比数列. 14.解析:(1)设的公差为d,的公比为q, 由已知可得b1=3,b2=S2-S1=9-3=6,则q==2, 即bn=b1qn-1=3×2n-1=3·2n-1. ∵a1=b1,∴a1=3, 又∵a7+a16=b5=48, ∴a7+a16=2a1+21d=6+21d=48,解得d=2, 即an=3+2=2n+1. (2)由(1)知cn==, 令Tn=①, ①式两边同乘得: Tn=②, 错位相减得Tn= =, 则Tn=. 学科网（北京）股份有限公司 $